2025年中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)過(guò)關(guān)練：圓的有關(guān)概念及性質(zhì)

第21關(guān)圓的有關(guān)概念及性質(zhì)

基礎(chǔ)練

考點(diǎn)1圓的有關(guān)概念和垂徑定理

“2024湖南長(zhǎng)沙］如圖，在OO中，弦AB的長(zhǎng)為8,圓心O到AB的距離OE=4,則。O的半徑長(zhǎng)為

B.4V2

2.［2024內(nèi)蒙古通遼］如圖，圓形拱門(mén)最下端AB在地面上，D為AB的中點(diǎn)，C為拱門(mén)最高點(diǎn)，線段CD經(jīng)過(guò)

拱門(mén)所在圓的圓心，若AB=lm,CD=2.5m,則拱門(mén)所在圓的半徑為（）

ADB

A.1.25mB:1.3mC.1.4mD.1.45m

3.［2024四川涼山州］數(shù)學(xué)活動(dòng)課上,同學(xué)們要測(cè)一個(gè)如圖所示的殘缺圓形工件的半徑，小明的解決方案是：在

工件圓弧上任取兩點(diǎn)A,B,連接AB,作AB的垂直平分線CD交AB于點(diǎn)D,交AB于點(diǎn)C,測(cè)出AB=40cm,CD=l

0cm,則圓形工件的半徑為

A.50cmB.35cmC.25cmD.20cm

4.［2023湖南常德］沈括的《夢(mèng)溪筆談》是中國(guó)古代科技史上的杰作，其中收錄了計(jì)算圓弧長(zhǎng)度的“會(huì)圓術(shù)”，如

圖，AB是以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓弧,C是弦AB的中點(diǎn),D在AB上,CD_LAB.“會(huì)圓術(shù)”給出AB長(zhǎng)1的近似值

s的計(jì)算公式：s=4B+霄當(dāng)OA=2,ZAOB=90°at|l-s|=.（結(jié)果保留一位小數(shù)）

5.［2024江西撫州校級(jí)模擬］圖1是某育花苗圃的木制大門(mén)，門(mén)上面一部分是半圓形，下面一部分是長(zhǎng)方形.現(xiàn)有

一輛裝滿(mǎn)貨物的小貨車(chē)要從該木制大門(mén)（大門(mén)相關(guān)尺寸見(jiàn)圖2）開(kāi)進(jìn)該苗圃，車(chē)高2.5m,寬1.6m.問(wèn)：這輛小貨車(chē)能否

通過(guò)該苗圃的木制大門(mén)?

圖1圖2

考點(diǎn)2圓心角、圓周角、弧、弦之間的關(guān)系

6.[2024湖南]如圖,AB,AC為。O的兩條弦，連接OBQC,若NA=45。,則NBOC的度數(shù)為（）

A.60°B.75°C.90°D.135°

7.[2024重慶B卷]如圖,AB是。O的弦QCLAB交。O于點(diǎn)C,點(diǎn)D是。O上一點(diǎn)，連接BD,CD.若/D=28。,

則/OAB的度數(shù)為（）

A.28°B.34°C.56°D.62°

8.〔2024北京〕如圖,。O的直徑AB平分弦CD（不是直徑）.若/D=35。,則NC='

9.[2024江蘇連云港]如圖,AB是圓的直徑,/1、N2、N3、Z4的頂點(diǎn)均在AB上方的圓弧上,/1、Z4的一

邊分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B,則Nl+N2+/3+/4='

10.[2024四川南充]如圖,AB是。O的直徑，位于AB兩側(cè)的點(diǎn)C,D均在。0上,NBOC=30。,貝!|/ADC=

度.

D

11.[2024內(nèi)蒙古包頭]如圖,AB是。O的直徑,BC,BD是。。的兩條弦，點(diǎn)C與點(diǎn)D在AB的兩側(cè),E是OB上

一點(diǎn)（OE>BE）,連接OC,CE,且/BOC=2/BCE.

⑴如圖L若BE=1,CE=V5,求。O的半徑；

⑵如圖2,若BD=2OE,求證:BD〃OC.（請(qǐng)用兩種證法解答）

考點(diǎn)3圓內(nèi)接多邊形

12.[2024黑龍江牡丹江]如圖,四邊形ABCD是。O的內(nèi)接四邊形，AB是0O的直徑，若/BEC=20。,則/A

DC的度數(shù)為（）

A.1000B.1100C.1200D.1300

第12題團(tuán)第13題圖

13.[2024吉林]如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于。O,過(guò)點(diǎn)B作BE〃AD,交CD于點(diǎn)E.若/BEC=5。。廁/ABC的

度數(shù)是（）

A.50°B.1000C.130°D.150°

14.［2024四川宜賓］如圖,△ABC內(nèi)接于0O,BC為。O的直徑,AD平分/BAC交00于D,則唱絲的值為

)

A.V2B.V3C.2V2D.2V3

15.［2024山東濱州］如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于。O,若四邊形OABC是菱形，則ND

16.［2024江西上饒一模］平面上有4個(gè)點(diǎn)，它們不在同一直線上，過(guò)其中3個(gè)點(diǎn)作圓，可以作出n個(gè)不重復(fù)的圓,

則n的值不可能為（）

A.4B.3C.2D.1

17.R024新疆］如圖,AB是。O的直徑,CD是。O的弦,ABJ_CD,垂足為E.若CD=8,OD=5,則BE的長(zhǎng)為（

)

A.1B.2C.3D.4

18.［2024河南開(kāi)封一模］如圖，一圓弧過(guò)方格的頂點(diǎn)A,B,C,試在方格中建立平面直角坐標(biāo)系，使點(diǎn)A的坐

標(biāo)為（24）,點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-4,2）,則該圓弧所在圓的圓心坐標(biāo)是（）

A.(-l,2)

D.(2,l)

19.［2024湖北武漢一模］如圖，皿和歡分別是以ABAC為直徑的兩個(gè)半圓其中AC是半圓。的一條弦，

E是AC的中點(diǎn)，D是近的中點(diǎn).若AB=6,DE=1,_,且AO3廁AC的長(zhǎng)為（）

X.3+V3B.4+V3

C.3+V2D.4+V2

20J2024陜西］如圖,BC是。O的弦，連接OB,OC,NA是BC所對(duì)的圓周角，則NA與NOBC的度數(shù)的和是.

21.［2024江西］如圖,AB是OO的直徑,AB=2,點(diǎn)C在線段AB上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)C的弦DELAB,將喙沿DE翻折

交直線AB于點(diǎn)F,當(dāng)DE的長(zhǎng)為正整數(shù)時(shí)，線段FB的長(zhǎng)為.

22.［2024浙江瑞安二模］圖1是圓形置物架，示意圖如圖2所示.已知置物板AB〃CD〃EF,且點(diǎn)E是BD的中

點(diǎn).測(cè)得AB=EF=12cm,CD=18cm,/BAC=9(F,/ABG=60。,則該圓形置物架的半徑為cm.

圖1圖2

23.如圖，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中、AD<AC、/人口(2</8人口延長(zhǎng)人口至點(diǎn)以使人￡=人匚延長(zhǎng)8人至點(diǎn)兄連

接EF,使/AFE=/ADC.

⑴若/AFE=60。.CD為直徑求/ABD的度數(shù).

(2)求證:①EF〃:BC;②EF=BD.

AO

C

'B

24.[2024安徽馬鞍山一模]如圖，在。O中,AB、AC為弦,CD為直徑,ABLCD于E,BFEMC于F,BF與CD相交

于G.

⑴求證：ED=EG-

(2)若AB=4V5,OG=2,求。O的半徑.

25.[2024安徽蚌埠二模]如圖，OO中兩條互相垂直的弦AB,CD交于點(diǎn)P.AB經(jīng)過(guò)點(diǎn)O,E是AC的中點(diǎn)，連

接EP并延長(zhǎng)，交BD于點(diǎn)F.

(1)若AB=10,OE=VTU,求AC的長(zhǎng)；

(2)求證:EF_LBD.

D

26J2024遼寧大連一模］參考資料：對(duì)角互補(bǔ)的四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)一定在同一個(gè)圓上.

請(qǐng)利用上述結(jié)論解決以下問(wèn)題：

如圖,AB為。01與。。2的公共弦，連接01A并延長(zhǎng)交。于C連接BC、0102.

⑴請(qǐng)?zhí)骄?1,CQ,B四點(diǎn)是否共圓，若是.請(qǐng)證明并使用尺規(guī)作圖，作出四邊形OiCO2B的外接圓，保留作圖

痕跡；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

⑵若。1。2-AC=BC-O2B,寫(xiě)出CB與OOi的位置關(guān)系，并證明.

1.B

2.B解析:連接0A,

?.D為AB的中點(diǎn)，C為拱門(mén)最高點(diǎn)，線段CD經(jīng)過(guò)拱門(mén)所在圓的圓心，AB=lm,

.-.CD±AB,AD=BD=0.5m,

設(shè)拱門(mén)所在圓的半徑為rm,

?.CD=2.5m,/.OD=(2.5-r)m,

r2=0.52+(2.5-r)2,解得r=1.3,

二拱門(mén)所在圓的半徑為1.3m.

3.C解析:設(shè)圓心為0,連接0B,

/CD垂直平分AB,AB=40cm,

，點(diǎn)0在直線CD上,BD=20cm,

設(shè)圓形工件的半徑為rem,則0C=0B=

rem,

?.CD=10cm,/.OD=(r-10)cm,

???NODB=90°,0D2+BD2=OB2,

??.(r-10)2+202=*解得r=25,即圓形工件的半徑為25cm.

4.0.1解析：連接OC、

.OA=2,NAOB=90°、

AOB=2,AB=2近、

??C是弦AB的中點(diǎn)，

.-.CO±AB;.CD±AB,.-.DSC,0共線，

CO=y[2,CD=2-y[2,

■■s=AB+—,???s=2V2+(2-‘)=3,

OA2

,907rx2

I=----------=7T,

180

.-.|l-sl=|n-3|~3.14-3~0.1.

5.能通過(guò)

解析二?車(chē)寬1.6m,1.6<2,

，要判斷小貨車(chē)能否通過(guò)，只要比較距大門(mén)中軸線0.8m處的門(mén)高與車(chē)高即可.如圖過(guò)點(diǎn)0作0P1,EF于點(diǎn)

P,在PF上取點(diǎn)H,使得PH=0.8m,過(guò)點(diǎn)H作HM^AB于點(diǎn)D,交半圓AB于點(diǎn)M.

易知DH=OP=2.3m,OM=OB=lm,OD=PH=0.8m.

在RbOMD中，由勾股定理可得，MD=VOM12-OD2=V12-0.82=

，MH=MD+DH=0.6+2.3=2.9(m),

??-2.9>2.5,

二.這輛小貨車(chē)能通過(guò)該苗圃的木制大門(mén).

1

ZA--ZBOC.

2

又"二45。，

/.zBOC=2x45°=90°.

7.B解析:「4=28°,

.-.zBOC=2zD=560.

-,OC±AB,

二點(diǎn)C為AB的中點(diǎn),

AC^BC,

..NAOC=NBOC=56。，

NOAB=90°-56°=34°.

8.55

9.90

解析：:AB是圓的直徑，

.■.AB所對(duì)的弧是半圓，所對(duì)圓心角的度數(shù)為180°,所對(duì)的圓周角的度數(shù)為90°,?21/2/3/4所對(duì)的弧的

和為半圓，

1

44④+N4=士x180°=90°.

2

11.⑴3⑵見(jiàn)解析

解析:⑴過(guò)點(diǎn)。作OH，BC于點(diǎn)H.

-,OC=OB,OH±BC,

.-.zCOH=zBOH,CH=BH,

?.zBOC=2zBCE,

zBOH=zBCE,

?.zBOH+zOBH=90°,

.?.zBCE+zOBH=90°,

.?.zCEB=90°,

???BC=y/EC2+EB2=V5T1=A/6,

CH=BH=

2

BHEBY1

cosNOnDBUH=—=—=-p,

OBBCOBA/6

.QB=3,：OO的半徑為3.

⑵證法一:過(guò)點(diǎn)O作OK,BD于點(diǎn)K,則BK=DK,

?.BD=2OE,/.OE=BK,

?.zCEO=zOKB=90°,OC=OB,

RfOEC2RtABKO(HL),

..NCOE=NOBK,

.-.BDllOC.

證法二:過(guò)點(diǎn)0作OKLBD于點(diǎn)K,則BK=DK,

?.BD=2OE,.-.OE=BK,

D1Z

???cosZCOE=—oc,cosNOBK=—OB,0C=OB,

.,.coszCOE=coszOBK,

.-.zCOE=zOBK,

/.BDllOC.

12.B解析:連接AC,

/AB是。0的直徑,.zACB=90。，

.NBEC=20°,

.-.zCAB=zBEC=20°,

NABC=90°-NBAC=70°,

1?四邊形ABCD是。。的內(nèi)接四邊形，

zADC=180°-zABC=110°.

13.C解析:「BEIIAD,

..NADC=NBEC=50。，

1.四邊形ABCD內(nèi)接于。0,

.?.zABC=180°-zADC=130°.

14.A解析:如圖，連接BD,CD,

；BC是。。的直徑，

..NBAC=NBDC=90°,

/AD平分NBAC,

.,.zBAD=zCAD,

BD=DC,

.■.BD=CD,

在四邊形ABDC中，

zACD+zABD=180°,

將AADC繞D點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到△ADB,點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)A）則A,B,A，三點(diǎn)共線,

A

..AB+AC=AB+A'B=AA',由旋轉(zhuǎn)可知NA'DB=NADC,A'D=AD,

zA'DA=NA'DB+NBDA=NADC+.NBDA=NBDC=90°,

..在等腰直角三角形A'DA中，sinA'=sin45°=—=^,

AA乙

.AB+AC_AA_rr

??AD-AD-'

15.60

解析二?四邊形ABCD內(nèi)接于。0,

.,.zB+zD=180o,

..四邊形OABC是菱形，

.,.zB=zAOC,

.-.zAOC+zD=180o,

由圓周角定理得ND即NAOC=2ND,

，2ND+ND=180。，

zD=60°.

16.C解析：分為三種情況：①當(dāng)四點(diǎn)都在同一個(gè)圓上時(shí)，如圖1,此時(shí)n=l;

②當(dāng)三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，如圖2,過(guò)A,B,C或A,C,D或A,B,D作圓,共可作3個(gè)圓，即n=3;

③當(dāng)A,B,C,D四點(diǎn)不共圓，且其中的任何三點(diǎn)都不共線時(shí)，如圖3,

過(guò)A,B,C或B,C,D或GD,A或D,A、B作圓，共可作4個(gè)圓，即n=4.

故n的值不可能是2,故選C.

17.B解析:?：AB是。0的直徑，且AB±CD,

?"E=Q=4.

在RtADOE中，OE—V52-42=3,.1BE=5-3=2.

18.C解析:如圖所示，

?.AW=1,WH=3,

AH-Vl2+32——V10,

■,BQ=3,QH=1,

???BH=Vl2+32=V10,

..AH=BH,同理AD=BD,

.■■DH為線段AB的垂直平分線，易得WH為線段AC的垂直平分線，

??.H為圓的兩條弦的垂直平分線的交點(diǎn)，

則BH=AH=HC,H為圓心.

貝m亥圓弧所在圓的圓心坐標(biāo)是（-1,1）.

19.D解析:連接DA,DC,EO,BC,OE交AC于點(diǎn)F,

'.E是AC的中點(diǎn)/.OE垂直平分AC,

；.F是AC的中點(diǎn).

.AC為OF的直徑,;.NADC=90°.

是麗的中點(diǎn)，

???FD垂直平分AC,

，D,E,F,。在同一條直線上,DA=DC,NDFA=90°,..NDAF=45°；DF=AF.設(shè)EF=x，則.DF=AF=CF=x+l,OF=|x

6—x=3—x,.".AC=2x+2,

???F是AC的中點(diǎn),0是AB的中點(diǎn)，

.■.OF是MBC的中位線,

.'.BC=2OF=6-2x.

.AB為。O的直徑"?zACB=90°,在RfABC中,根據(jù)勾股定理得，AB2=AC2+BC2,

62=(2x+2/+(6—2%)2,x—1+/或x=1—

?.AC>3,.,.2x+2>3,.,.x>|,.'.x=l+冬

AC=2x+2=4+V2.

20.90°

解析:「NA是BC所對(duì)的圓周角，

NA--NO.

2

-,OB=OC,

.,.zOBC=zOCB.

X-.zO+zOBC+zOCB=180°,

.?.zO+2zOBC=180°,

：.-z0+NOBC=90",

2

SPzA+zOBC=90°.

21.2-百或2或：2+V3

解析:17X8=2,AB是。O的直徑

.-.0<DE<2,

VDE的長(zhǎng)為正整數(shù)，

??.DE的長(zhǎng)為1或2,

分情況討論：

①當(dāng)DE=1且DE在點(diǎn)O右側(cè)時(shí)，連接OD,如圖1,

由題意得DC=CE=^,OB=OD=|X5=1,

OC=y/OD2-DC2=—,

2

???CB=0B-OC=1--,

2'

FB=2CB=2.-43.

②當(dāng)DE=2時(shí)，如圖2,FB=20B=2.

③當(dāng)DE=1且DE在點(diǎn)0左側(cè)時(shí)，連接OD,如圖3,

由題意得DC=CE=^,0B=0D=|48=1,

OC=y/OD2-DC2=—,

2

BCOB+OC=1+—,

2

???FB=2CB=2+V3.

綜上,線段FB的長(zhǎng)為2-遮或2或2+V1

解題關(guān)鍵

根據(jù)DE4AB,可得DE=1或2,利用勾股定理進(jìn)行解答即可，進(jìn)行分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵.

22.14

解析：如圖，延長(zhǎng)FE交AC于點(diǎn)J,過(guò)點(diǎn)B作BT±CD于點(diǎn)T.

?.ABIIE"CD,BE=ED.，AJ=JC,NCJO=NCAB=90°.

，F(xiàn)J垂直平分線段AC,

，圓心。在EJ上，連接AO,設(shè)AO=OF=rcm.

易得EJ丑(4B+CD)=|(12+18)=15(cm),

.■.FJ=EJ+EF=12+15=27(cm),

.NCAB=NACD=NBTC=90°,

二四邊形ACTB是矩形，

「.AB=CT=12cm,

..DT=CD-CT=18-12=6(cm),

.ABIICD,:NBDT=NABG=60。，

???BT=V3DT=V3x6=6V3(cm),

AC=BT=6y/3cm,

A]=C]=3y/3cm,

2__

在RSAOJ中，產(chǎn)=(3V3)+(27-r)2,，r=14,即圓形置物架的半徑為14cm.

23.(1)30°

(2)①見(jiàn)解析②見(jiàn)解析

解析:Q)；CD為直徑，,zCAD=90°,

?.zAFE=zADC=60°,

ZACD=90°-60°=30°,

.?.zABD=zACD=30°.

⑵證明:①..?四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，

.?.zADC+zABC=180°,

X/zAFE=zADC,

..NAFE+NABC=180。，

.-.EFllBC.

②過(guò)點(diǎn)D作DGUBC交。O于點(diǎn)G,連接AG,CG,

??,DGllBC"?.易得BD=CG,

.-.BD=CG,

1?四邊形ACGD是圓內(nèi)接四邊形，

，易得NGDE=NACG,

EFIIBC.EFIIDG,.".NDEF=NGDE、

.,.zDEF=zACG,

?.zAFE=zADC,zADC=zAGC,

..NAFE=NAGC、

.AE=AC,.”AEF學(xué)ACG(AAS),

.-.EF=CG,.-.EF=BD.

24.(1)見(jiàn)解析⑵g

解析：Q)證明:連接BD,

?.AB±CD于E,BF，AC于F,

..NCFG=NGEB=90°,

又.?NCGF=NBGE,..NC=NGBE,

???AD=AD,

.,.zC=zDBE,

..NGBE=NDBE,

?.AB±CD,

..NGEB=NDEB=90°,

.-.zBGE=zBDE,

.■.B