2025年中考數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)：分式與分式方程（含解析）

2025年中考數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)專題03：分式與分式方程

一、單選題

1.化簡膽-工結(jié)果正確的是（）

aa

A.1B.aC.-D.

4a

丫+丫一

2.已知爐+.-3=0,則代數(shù)式=+3等2二9的值是（）

x-1X-X

A.2B.-2C.!D.

22

AD「無z_i_2

3.若△+—二（A、B、。均為常數(shù)）的計(jì)算結(jié)果為（八,八,則A+3+2C的值為（）

xx+1x+2++

A.1B.2C.3D.4

A

4.如果使分式一1有意義的。和6的值都擴(kuò)大為原來的2倍，則分式的值擴(kuò)大為原來的4倍，那

么整式A可以是（）

A.a+bB.2a+2bC.abD.a2b

5.從-3,-2,-1,0』,2,3這七個(gè)數(shù)中，隨機(jī)抽一個(gè)數(shù)，記為a.若數(shù)a使關(guān)于x的一元二次方程

Y—2（a-4）x+/=。有實(shí)數(shù)解，且關(guān)于曠的分式方程旨一3=二有正整數(shù)解，則抽到的數(shù)。恰好

符合條件的概率是（）

,6532

A.—B.—C.—D.—

7777

6.某小區(qū)為了改善環(huán)境，計(jì)劃在花壇種植300株花，由于志愿者的加入，每小時(shí)比原計(jì)劃多種50株，

結(jié)果提前0.5小時(shí)完成任務(wù).設(shè)原計(jì)劃每小時(shí)種x株，根據(jù)題意，可列方程（）

300300300300

A.=0.5B.=0.5

x+50XX%—50

300300300300

C.=0.5D.=0.5

x-50XXx+50

二、填空題

2

7.計(jì)算：—+—=___.

a-l1-a

4x

8.在函數(shù)y=中，自變量x的取值是_____.

2x-3

9.若aH-=3,貝UQ2H——=.

aa

10.對(duì)實(shí)數(shù)a,b定義運(yùn)算“★”如下：“★6=計(jì)算[2*3卜[(一2)★(-4)]=

[a(a<b,a^0)

325

1L方程聲+1二港E的解為----------

12.關(guān)于x的方程=1匚的解為非負(fù)數(shù)，則相的取值范圍是_____.

x-11-x

3Y0

13.若關(guān)于x的分式方程==1-二的解為正數(shù)，且一次函數(shù)>=以-。+6的圖象經(jīng)過第一、二、

x-11-x

三象限，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和為

14.已知甲做180個(gè)零件與乙做240個(gè)零件所用的時(shí)間相等.如果兩個(gè)人每小時(shí)共做140個(gè)零件，那

么甲、乙兩個(gè)人每小時(shí)各做多少個(gè)零件？設(shè)甲每小時(shí)做x個(gè)零件，則乙每小時(shí)做個(gè)零件，所列

方程為

三、解答題

15.先化簡再求值：1+一］?竺1其中“7=退-2.

\m-2)m-2

16.已知x(x+2)=2,求代數(shù)式—+：x+4+7的值.

22_

17.解方程：

x+3x-3

18.已知關(guān)于x的分式方程==2-4.

無一33-尤

(1)若加表示的數(shù)是2,解這個(gè)分式方程；

(2)查詢發(fā)現(xiàn)正確答案為“原分式方程無解”，請(qǐng)你求出原分式方程中加代表的數(shù)是多少.

19.觀察以下等式：

第1個(gè)等式：lx*=l+g,

.人白—14+6.1

第zA2個(gè)等式：7x一1=1十二，

244

第3個(gè)等式：?1亨9+9=1+1卜

入片人—井116+121

第4個(gè)等式：-x^—=1+-,

466

片丘_人?125+151

第5個(gè)等式：-X-—=1+-,

577

按照以上規(guī)律.解決下列問題：

⑴寫出第6個(gè)等式：；

(2)寫出你猜想的第九個(gè)等式(用含"的式子表示)，并證明.

20.據(jù)燈塔專業(yè)版數(shù)據(jù)，截至2025年2月18日，《哪吒之魔童鬧?！房偲狈窟_(dá)123.2億元，登頂全

球動(dòng)畫電影票房榜，是亞洲首部票房過百億的影片，并創(chuàng)造了全球單一電影市場(chǎng)最高票房紀(jì)錄.該片

來源于哪吒鬧海的傳統(tǒng)故事，但又重塑了全新的“魔童”哪吒形象：表面吊兒郎當(dāng)，實(shí)則勇敢堅(jiān)毅，強(qiáng)

烈反差引發(fā)情感共鳴；“我命由我不由天”的不屈精神，讓觀眾淚目.為滿足兒童對(duì)哪吒的喜愛，某玩

具店決定各用300元購進(jìn)了A、B兩種哪吒玩偶.已知一個(gè)8種哪吒玩偶是一個(gè)A種玩偶價(jià)格的2倍，

且購進(jìn)兩種玩偶的數(shù)量共15個(gè).

(1)求購進(jìn)A、8兩種哪吒玩偶的單價(jià)各是多少元？

(2)因銷售效果不錯(cuò)，該玩具店決定再次購進(jìn)A、3兩種哪吒玩偶共80個(gè)，且A種哪吒玩偶的數(shù)量不

多于B種哪吒玩偶數(shù)量的3倍，問此次購進(jìn)最少要花多少錢？

21.某生產(chǎn)商計(jì)劃用相同材質(zhì)的結(jié)繩編織兩種中國結(jié)，其中320米結(jié)繩用于編織團(tuán)錦結(jié)，168米結(jié)繩

用于編織福字結(jié).己知每個(gè)團(tuán)錦結(jié)使用結(jié)繩長度比每個(gè)福字結(jié)使用結(jié)繩長度少0.2米.若編織出的團(tuán)

錦結(jié)數(shù)量是福字結(jié)數(shù)量的2倍，且剛好能用完所有結(jié)繩.

團(tuán)錦結(jié)福字結(jié)

(1)求該生產(chǎn)商能編織團(tuán)錦結(jié)和福字結(jié)各多少個(gè).

(2)已知原來每個(gè)團(tuán)錦結(jié)的成本為35元，售價(jià)為45元；每個(gè)福字結(jié)的成本為28元，售價(jià)為35元.由

于制作工藝升級(jí)，制作成本有所增加.且兩種中國結(jié)制作成本增加的金額相同，售價(jià)不變.若該生產(chǎn)

商希望全部售出兩種中國結(jié)后的總利潤不低于840元，求每個(gè)中國結(jié)的成本最多增加多少元.

《2025年中考數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)專題03：分式與分式方程》參考答案

題號(hào)123456

答案ABDDDD

1.A

【分析】本題主要考查了同分母分式加減，根據(jù)同分母分式相加減時(shí)，分母不變，分子相加減，進(jìn)行

計(jì)算即可.

【詳解】解："1一1="匕1=1.

aaa

故選：A.

2.B

2（2x-3）

【分析】此題考查了分式的化簡求值.利用分式的加法和整體代入得到*一冒即可求出答案.

-[2x-3）

【詳解】解：???/+尤_3=0

?*-x2=3-x,

x+32x—9

------------1-----2--------

x-1X—x

x2+3x2x-9

=-------H------

1）x—x

x2+5x—9

x2-x

3—九+5x9

3—x—x

_2（2x-3）

-（2%-3）

=-2

故選：B

3.D

【分析】本題考查分式的加減運(yùn)算，解三元一次方程組，解題的關(guān)鍵是正確化簡分式.

…4ABC(A+B+C)X2+(3A+2B+C)X+2A

先將一+--+―-化簡計(jì)算得到-——一,則得到方程組

xx+1%+2

2A=2

<A+B+C=1,即可求解A3,C,再代入求值.

3A+28+0=0

ABC

【詳解】解:—+-----+

xx+lx+2

(x+l)(x+2)A+x(x+2)B+x(x+l)C

x(x+l)(x+2)

(x+l)(x+2)A+x(x+2)B+x(x+l)C

x(x+l)(x+2)

(x?+3x+2)A+(x?+2x)B++元)(j

x(x+l)(x+2)

(A+B+C)x2+(3A+2B+C)x+2A

x(x+l)(x+2)

龍2+2

?T+4+上

aB、c均為常數(shù))的計(jì)算結(jié)果為而訴②'

xx+1x+2

2A=2

二.vA+3+C=1

3A+2B+C=0

A=1

解得：B=-3,

C=3

A+B+2c=1+(-3)+2x3=4,

故選：D.

4.D

【分析】本題考查分式的基本性質(zhì)，根據(jù)分式的基本性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】解：若整式A是。+6,將原分式中。和6的值都擴(kuò)大為原來的2倍可得

2a+2b2(“+萬)a+b

分式的值不變，則A不符合題意;

4a+262(2a+Z?)2a+b

4a+462(2“+2b)2a+2b

若整式A是2。+2)，將原分式中。和b的值都擴(kuò)大為原來的2倍可得

4a+262(2a+6)2a+b

分式的值不變，則B不符合題意；

4ab4ab2ab

若整式A是必，將原分式中。和6的值都擴(kuò)大為原來的2倍可得工工稹=而，分式的

tTCrI乙U4I乙IUf乙IU

值擴(kuò)大為原來的2倍，則C不符合題意；

若整式A是1b,將原分式中“和6的值都擴(kuò)大為原來的2倍可得/==/^八==：，分式

4(7+2b2(2a+6)2a+b

的值擴(kuò)大為原來的4倍，則D符合題意;

故選：D.

5.D

【分析】本題考查概率公式，根的判別式，分式方程的解，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵.

利用一元二次方程根的判別式可得△=4(〃-4)2-4]=_32a+64>0,即aV2.由分式方程可得

>=號(hào)，進(jìn)而可得審為正整數(shù)，且不等于L由題意可知，抽到的數(shù)。共有7種等可能的結(jié)果,

其中抽到的數(shù)。恰好符合條件的結(jié)果有2種，利用概率公式可得答案.

【詳解】解：,??關(guān)于尤的一元二次方程f-2(a-4)尤+/=。有實(shí)數(shù)解，

A=4(a-4)2-4<22=-32?+64>0,

解得：A<2.

解分式方程寧-3=一一得>=等，

y-ii-y2

..?關(guān)于》的分式方程上等-3=r匚有正整數(shù)解，

y-11-y

；.y=晝/7+為4正整數(shù)，且不等于1.

.?.-3,-2,-1,0,1,2,3這七個(gè)數(shù)中，滿足以上條件的。的值有：0,2,

9

.?.抽到的數(shù)。恰好符合條件的概率是晟.

故選：D.

6.D

【分析】設(shè)原計(jì)劃每小時(shí)種x株，則實(shí)際每小時(shí)種(x+50)株，根據(jù)前1小時(shí)完成任務(wù).列出分式方

程即可.

本題考查從實(shí)際問題抽象出分式方程，找出等量關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵.

【詳解】解：設(shè)原計(jì)劃每小時(shí)種尤株,

300300八=

根據(jù)題意得,----------------=0.5

xx+50

故選：D.

7.~a

【分析】本題考查分式的加減運(yùn)算，將原式轉(zhuǎn)化為同分母分式減法，然后根據(jù)同分母分式加減法運(yùn)算

法則進(jìn)行計(jì)算即可.

2

【詳解】解：—+—

(1—11—CL

aa2

a—1a—1

Q—/

6Z—1

a(\-a)

a—1

=-Q.

故答案為：-a.

°3

8.xw一

2

【分析】本題考查了函數(shù)自變量的范圍，分式有意義的條件，根據(jù)分母不等于0列式計(jì)算即可得解.

【詳解】解：；2x-370,

?.尤J

2，

故答案為：無仁3

9.7

【分析】此題考查分式的化簡求值.把。+1=3,兩邊平方，即可求得/+4的值，即可解答.

aa

【詳解】解：：。+1=3,

a

**?^<2+—^=32,即/H—^+2=9,

1

a9-\—-=9—2=7.

a

故答案為：7.

10.2

【分析】本題考查了新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算，涉及負(fù)整數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算，理解新定義是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)新定義分別求2*3=2-3二,(一2)型-4)=(-2尸=再代入［2幻卜［(-2)蟲-4)］即可求解.

o16

【詳解】解：2^3=2-3=1,(一2)★(-4)=(-2尸=上，

o16

微無卜［(-2)k-4)］=：+2=2,

故答案為：2.

11.尤=1

【分析】此題考查了解分式方程.去分母化為整式方程，解整式方程并檢驗(yàn)即可.

325

【詳解】解：萬口+『五刁，

去分母得到，3x+2(2x—1)=5,

解得x=l,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=l是分式方程的解，

故答案為：X=l.

12.m>-3J!L-1

【分析】本題主要考查解分式方程，分式方程的解，解一元一次不等式，先解出方程々-3=1匚的

解為工="『，再根據(jù)題意列出不等式知f20且等*1,最后求解即可，掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是

解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：y-3=廣，

x-11-x

nr—3（x-1）=-x.

/.m—3x+3=—x,

.m+3

??x—,

2

,口工卡一心m+3?m+3,

由題意可知且一

解得〃欄-3且〃z片-1,

故答案為：m>-3JLm-1.

13.11

【分析】本題考查了分式方程與一次函數(shù)的綜合，熟練掌握解分式方程的方法以及一次函數(shù)圖象與系

數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

先求出分式方程的解，根據(jù)分式方程的解為正數(shù)，可得。>1且。片3,再由一次函數(shù)丫=6-。+6的

圖象經(jīng)過第一、二、三象限，可得0<。<6,從而得到所有滿足條件的整數(shù)。的值為2,4,5,即可

求解.

3xn

【詳解】解：-^-=1--^-

x-11-x

3光=%—1+〃,

解得：x=?,

???分式方程的解為正數(shù)，

%>0且%—1。0,

--1^0,

22

解得：a>1且aw3,

??,一次函數(shù)丁=依-a+6的圖象經(jīng)過第一、二、三象限，

a>0

—Q+6>0

解得：0<a<6,

，l<a<6且。*3,

所有滿足條件的整數(shù)a的值為2,4,5,

所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是2+4+5=11.

故答案為：11

【分析】本題考查了列代數(shù)式，列分式方程，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件,

找出合適的等量關(guān)系.

設(shè)甲每小時(shí)做尤個(gè)零件，由兩個(gè)人每小時(shí)共做140個(gè)零件，即可表示出乙每小時(shí)做的零件個(gè)數(shù)，然后

根據(jù)“甲做180個(gè)零件與乙做240個(gè)零件所用的時(shí)間相同”列出方程即可.

【詳解】解：設(shè)甲每小時(shí)做x個(gè)零件，

:兩個(gè)人每小時(shí)共做140個(gè)零件，

乙每小時(shí)做。40-力個(gè)零件,

180240

根據(jù)題意得,

x140-x

180_240

故答案為:140-x；

x140-%

IVm2+m-29百-3

13.-------------,------------

m-213

【分析】本題考查分式的化簡求值、分母有理數(shù)，先根據(jù)分式的混合運(yùn)算法則和運(yùn)算順序化簡原式,

再代值求解即可.

【詳解】解：U+D±，

卜m—2Jm-2

_m-1(祖+2)-2)

m—2m—2

(m-1)(m+2)

m-2

_m2+m-2

m-2'

當(dāng)m=6―2時(shí)，

(6_4)(4+4)

_3g+12-9-12yli

3-16

_9百-3

-—13--

16.2

【分析】本題主要考查分式的化簡求值，掌握分式的化簡是關(guān)鍵.

根據(jù)分式的性質(zhì)化簡，再代入計(jì)算即可.

_0+2)2y

xx+2

=x(x+2),

當(dāng)x(x+2)=2時(shí)，原式=2.

17.x=7

【分析】本題考查了可化為一元二次方程的分式方程，去分母轉(zhuǎn)化為一元二次方程是解題的關(guān)鍵；先

去分母化為一元二次方程，再解一元二次方程并檢驗(yàn)即可得解.

【詳解】解：等式兩邊同乘以，-9)得，

4X-(X2-9)=2(X-3)-2(X+3),

尤2—4x-21=0，

(x-7)(x+3)=0,

X1=7,x2=—3,

經(jīng)檢驗(yàn)：々=-3是原方程的增根，舍去；

所以原方程的解為x=7.

18.(l)x=2

(2)m=l

【分析】本題考查解分式方程，分式方程無解問題，熟練掌握解分式方程的步驟，正確的計(jì)算，是解

題的關(guān)鍵：

(1)去分母，將方程轉(zhuǎn)化為整式方程，求解后進(jìn)行檢驗(yàn)即可；

(2)去分母，將方程轉(zhuǎn)化為整式方程，分整式方程無解和分式方程有增根兩種情況進(jìn)行求解即可.

【詳解】（1）解：當(dāng)m=2時(shí)，方程化為：丹x-2=2-42,

x-33-x

去分母，得：x-2=2x-6+2,

解得：x=2；

經(jīng)檢驗(yàn)，元=2是原方程的解，

???方程的解為％=2.

去分母,得：x-2=2x-6+m,

整理，得：x=4-m,

??,分式方程無解，

?,?方程有增根，

%—3=0,

x=3,

3=4—m,

m=l.

（2）_Lx式士即=1+」二；證明見解析

nn+2n+2

【分析】本題考查算式規(guī)律的歸納能力，分式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是能準(zhǔn)確理解題意，并通過觀

察、計(jì)算、歸納進(jìn)行求解.

（1）根據(jù)前5個(gè)等式的規(guī)律可知，第6個(gè)等式應(yīng)是1x=1+1；可得等式：1x型|型=1+1；

（2）由⑴中的規(guī)律可知，第"個(gè)等式應(yīng)是工義日±加=1+」一，分別把等式左邊、右邊的分式化簡，

nn+2n+2

可得結(jié)果都為〃+勺3，即可證明等式成立.

【詳解】（1）解：第1個(gè)等式：lx號(hào)=1+；,

4日人-_rx14+6.1

第2個(gè)等式：7x一1=1十二，

244

第3個(gè)等式：11x9^+p9=l+11,

入AAA.A._tx116+121

第4個(gè)等式：-x^—=1+-,

466

冬N人?125+151

第5個(gè)等式：-X——-=1+-,

577

根據(jù)規(guī)律可得，第6個(gè)等式：lx^±^=l+L

688

J.L.AL136+181

故答案為：-x——=1+-；

688

(2)解：猜想：第"個(gè)等式為式士叫=1+—匚，

n〃+2n+2

、〒口口七?1〃(〃+3)〃+3

證明：左邊=—X」-----------,

nn+2n+2

*、上｛1n+21"+3

右邊=1+------=-------+-------=-------,

n+2n+2n+2n+2

，左邊=右邊，

故猜想成立.

20.(1)4種哪吒玩偶單價(jià)是30元，8種哪吒玩偶單價(jià)是60元

(2)3000元

【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用以及一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是:

(1)找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；(2)根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，找出卬關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式.

(1)設(shè)購進(jìn)A種哪吒玩偶的單價(jià)是x元,則購進(jìn)8種哪吒玩偶的單價(jià)是2x元,利用數(shù)量=總價(jià)+單價(jià)，

結(jié)合購進(jìn)兩種玩偶的數(shù)量共15個(gè)