2025年中考數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)：銳角三角函數(shù)（含解析）

2025年中考數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)專題15：銳角三角函數(shù)

一、單選題

1.如圖，滑雪道AC的長(zhǎng)為320m,則滑雪道的豎直高度A3的長(zhǎng)為()

320

A.320cosa(m)B.320sina(m)C.320tana(m)D.(m)

2.如圖，沿A3方向開(kāi)山修路，為了加快施工進(jìn)度，要在小山的另一邊同時(shí)施工，從A3上的一點(diǎn)C,

取NACD=146。，CD=500m,ZD=56°.要使點(diǎn)A、C、E在同一條直線上，那么開(kāi)挖點(diǎn)E離點(diǎn)。的

距離是()

A.500mB.500sin56°mC.500cos56°mD.500tan56°m

3.在VABC中，若NC=90。，BC=6辨,AC=3,貝UtanA的值估計(jì)在()

A.2到3之間B.3到4之間C.4到5之間D.5到6之間

4.如圖，是用12個(gè)相似的直角三角形組成的圖案.若AB=1,則尸G=()

KL

ED

125布口

412564N32A/3

64642727

5.如圖在咫ABC中，ZB=90°,ZACB=60°,在AC上取一點(diǎn)￡,使EC=3AE,。為AB中點(diǎn)，EB

與OC交于點(diǎn)/，若DB=25ZADE^30°,則3尸的長(zhǎng)度是()

D

A.也「8手D.孚

B.2幣

27

6.如圖，在RtAABC中，，C=90。，-4=30。，AB=6,BD平分/ABC,分別以A。為圓心,

大于口。的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)RG,作直線FG交4c于點(diǎn)E.連接見(jiàn)則BE的長(zhǎng)為（）

6C.6y/3D.V21

7.如圖，ABCD的對(duì)角線AC、3。交于點(diǎn)E以AB為直徑的半圓0經(jīng)過(guò)點(diǎn)E,若ABC。的周長(zhǎng)為

24,AC=6A/3,則圖中陰影部分的面積為（

r3n9也D.3

+9A/3Vz.----1-----

222

8.在等腰Rt^ABC中，NA=90。，點(diǎn)。在上，點(diǎn)E在AC上且AD=CE=』AC,連接E。，將

4

沿￡?翻折到Rt^ABC的內(nèi)部，得到A'ED-連接AB.則tanNA'3D=（）

ADB

AB

-11-1c-nD.5

二、填空題

4

9.如圖，在菱形ABC。中，點(diǎn)P、。分別是"、3c的中點(diǎn)，連接。尸、"2若sin/PDQ=l，。。=10,

10.如圖，在矩形A3CD中項(xiàng)=2">=2,以點(diǎn)A為圓心，AD的長(zhǎng)為半徑作圓，交A3于點(diǎn)E,過(guò)

點(diǎn)8作1A的切線BG交CD于點(diǎn)G,切點(diǎn)為點(diǎn)R則圖中陰影部分的面積為.

11.如圖，在VABC中，AB^AC=12,3c=10,點(diǎn)。為BC中點(diǎn)，點(diǎn)尸以每秒1個(gè)單位的速度從B

出發(fā)沿BfAfC運(yùn)動(dòng).當(dāng)△月□?為等腰三角形時(shí)，f的值為.

12.如圖，在菱形ABC。中，AB=4,ZABC=60°,點(diǎn)E為邊上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)尸為AE中點(diǎn)，點(diǎn)G

為OE上一點(diǎn)，滿足EF=FG,連接CG,則CG的最小值為.

13.如圖，在矩形A3c。中，BC=12,DC=9,M為矩形內(nèi)一點(diǎn)，連接9、CM、DM,

ZABM=ZBCM，貝ijsin/CDM的最大值為.

BC

14.如圖，平行四邊形ABC。，NB=45。,AB=8,AD=10,G為邊BC上一點(diǎn)，連接AG,將ABG

沿AG翻折，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為？，E為中點(diǎn)，F(xiàn)為邊C。上一點(diǎn)，連接斯，將1)￡戶沿防翻折，

點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰巧也為3',則。/=____.

三、解答題

16.圖1是放置在水平地面上的落地式話筒架實(shí)物圖，圖2是其示意圖.支撐桿A3垂直于地/,活

動(dòng)桿CD固定在支撐桿上的點(diǎn)E處，若/AEC=132。，BE=110cm,DE=80cm,

/AD

BF

(1)過(guò)。作。尸垂直于地/,求NED尸的度數(shù).

(2)求活動(dòng)桿端點(diǎn)。離地面的高度。下.(結(jié)果精確到1cm,參考數(shù)據(jù):

sin48°?0.74,cos48°?0.67,tan48°?l.ll)

17.如圖，在ABCD中，E,尸是對(duì)角線8。上的兩點(diǎn)(點(diǎn)E在點(diǎn)/左側(cè))，且/AEB=NCFD=90。.

(1)求證：四邊形AECP是平行四邊形；

3

(2)當(dāng)A5=5,tanZABE=-,=/時(shí)，求斯的長(zhǎng).

18.如圖，VABC內(nèi)接于IO,^ABC=45°,過(guò)點(diǎn)C作《。的切線交54的延長(zhǎng)線于E,連接Q4交3c

于點(diǎn)。，連接AC,OC.

E

⑴求證NACE=/ABC；

(2)探究AC,3c與CD的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由;

⑶若tan/OCO=；,CE=6,求。的半徑.

19.實(shí)驗(yàn)是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的重要途徑.如圖是小明同學(xué)安裝的化學(xué)實(shí)驗(yàn)裝置，安裝要求為試管口

略向下傾斜，鐵夾應(yīng)固定在距試管口的三分之一處.現(xiàn)將左側(cè)的實(shí)驗(yàn)裝置圖抽象成右側(cè)的示意圖，已

知試管AB=24cm,BE=|AB,試管傾斜角ZABG為12。.

（1）試管口B與鐵桿OE的水平距離BG的長(zhǎng)度為cm（結(jié)果用含非特殊角的三角函數(shù)表示）

（2）實(shí)驗(yàn)時(shí)，導(dǎo)氣管緊靠水槽臂延長(zhǎng)8M交CN的延長(zhǎng)線于點(diǎn)/，且于點(diǎn)N（點(diǎn)

C,D,N,尸在一條直線上），測(cè)得：DE=28cm,MV=8cm,=147°,求線段ON的長(zhǎng)度.（結(jié)果精

確到0.1cm）（參考數(shù)據(jù)：sinl20=0.21,cosl2°=0.98,tanl2°=0.21）

20.如圖1,在矩形ABCD中，垂直對(duì)角線AC于點(diǎn)E,交2C于點(diǎn)死M是M的中點(diǎn)，連接CM

并延長(zhǎng)，交AD于點(diǎn)N,NHLAC于點(diǎn)、H,連接

圖1圖2

⑴求證：HM=DM.

Q)若AN=CD,求tan/AAC的值.

(3)如圖2,若尸是3c的中點(diǎn)，BC=4,求AE的長(zhǎng).

《2025年中考數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)專題15：銳角三角函數(shù)》參考答案

題號(hào)12345678

答案BCCDCDCC

1.B

【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的定義解答即可.

本題考查了正弦函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握定義是解題的關(guān)鍵.

An

【詳解】解：根據(jù)題意，得sinc=m1,AC的長(zhǎng)為320m,

AC

故AB=ACsina=320sin(z(m),

故選：B.

2.C

【分析】本題考查了三角形的外角性質(zhì)及解直角三角形，解題的關(guān)鍵是判斷出一CDE是直角三角形.根

據(jù)三角形的外角性質(zhì)求出皿C=9O。，然后判斷出CDE是直角三角形，利用解直角三角形即可求解.

【詳解】解：ZACD=146°,ZD=56°

ZDEC=146°-ZZ)=146°-56°=90°,

是直角三角形，

???開(kāi)挖點(diǎn)E離點(diǎn)。的距離：DE=CDcosZD=500cos56°m,

故選：C.

3.C

【分析】本題考查正切的定義，二次根式的估值，熟練掌握正切的定義和二次根式的估值方法是解題

的關(guān)鍵.先利用正切的定義求出tanA,再利用二次根式的估值方法估值即可.

【詳解】解：：/C=90。，BC=6A/5,AC=3,

??皿4嘿=竽=2日廊,

V16<20<25,

4<咽<5,

tanA在4到5之間，

故選：C.

4.D

【分析】本題主要考查銳角三角函數(shù)的應(yīng)用、含30。直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，掌握相似三角形的

性質(zhì)成為解題的關(guān)鍵.

先求解==誓=30。，可得絲=絲=2￡==cos30°=^,

12OBOCOD2

器=器=*==sin30°=1,然后解直角三角形可得。6=喈，最后根據(jù)含30。直角三角形的

性質(zhì)即可解答.

【詳解】解：：12個(gè)相似的直角三角形,

360°“°ABBCCD.“01

：./BOA=/BOC==------=30,-----=-----=-----==sm30=一,

12OBOCOD2

OAOBPC_

=cos30°=,

而一無(wú)一五一2

AB=1,

：.OB=2AB=2,QA=O3COS30O=5

OB2473

,OC=

?垂＞百3

22

4后81673

OC亍8OE=^=3_1673-_32

OD=月一9

拒6""3'V39，

222222

32

OFV64G

6627

~T

?「F1nr32rz

227

故選D.

5.C

【分析】根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，結(jié)合題意得到=BC=4,AC=8,如圖所示，

過(guò)點(diǎn)石作于點(diǎn)G,EG=^~AG=叵又AE=2EG=2=DE,CE=2AE=6f如圖

33

所示，過(guò)點(diǎn)石作石"AD,交C。于點(diǎn)”，可證qC￡〃S/、c4P,EH=-再證

2f

FF3

得到——=—,設(shè)跖=3羽5b=4%,BE=EF+BF=3x+4x=7x,在吊BEG中,運(yùn)用勾股定理得到

BF4

x=巫,由此即可求解.

7

【詳解】解：在mABC中，ZB=90°,ZACB=60°,

.'?NA=30。，

ZA=ZADE=30°,

：.AE=DE,

???點(diǎn)。是AB中點(diǎn)，BD=25

:.AD=BD=ZAAB=2BD=A6

tanZA=tan30°=，

AB3

??.BC=—=—x4V3=4,

33

???AC=2BC=8,

如圖所示，過(guò)點(diǎn)石作￡G_LAZ)于點(diǎn)G,

AG=DG=-AD=-x2y/3=y[3f

22

tanNA=tan30°=，

AG3

EG=—AG=—x^=l,

33

???AE=2EG=2=DE,

：.CE=2AE=6,

如圖所示，過(guò)點(diǎn)石作E"AD,交CO于點(diǎn)”,

:?CEHs3CAD,

.CEEH

*'CA-

?口口_CE_6/r-_3A/3

??EH—,AZ)——x2,3-------,

CA82

EHAD,即即BD,

???^EFH^BFD,

T7TJZ7Z73,\/3

,即三3,

BDBF而=而」

設(shè)EF=3x,BF=4x,

BE=EF+BF=3x+4x=7x,

在RfBEG中，EG=1,BG=BD+DG=2&6=36，

BE=y]EG2+BG2=+@4)2=2幣,

lx=2幣,

解得，％=----，

7

._2幣_(tái)8幣

??BF-A-X—4x-------------,

77

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)

值的計(jì)算，相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握特殊角的三角函數(shù)的計(jì)算，相似三角形的判定和性質(zhì)是解

題的關(guān)鍵.

6.D

【分析】利用直角三角形的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)，勾股定理，線段垂直平分線的基本作圖，角的

平分線的意義解答即可.

【詳解】解：C=90。，-4=30。，AB=6,

ZABC=60°,BC=1AB=3,AC=^AB2-BC2=3A/3>

：3。平分/ABC,

NCBD=30°,

CD=BCtanNCBD=出,

AD=AC-CD=26

根據(jù)基本作圖，得斯垂直平分線段AD,

/.DE=-AD=y/3,

2

CE=CD+DE=2y/3,

BE=yJCE2+BC2=V21.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)，勾股定理，線段垂直平分線的基本作圖，

角的平分線的意義，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

7.C

【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定，扇形面積公式，解直角三角形，掌握知識(shí)點(diǎn)的

應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

連接OE,證明四邊形ABCZ）是菱形，再求出AE=EC=gAC=3/，AB=6,又

AE36

cosABAC=則ABAC=30°,最后由S陰影=S扇形AOE—SAOE+SBEC—（S扇形BOE—SBOE）即

可求解.

【詳解】解：連接0E,

：為直徑的半圓0直徑,

，ZAEB=90°,

：.BDYAC,

?/四邊形ABC。是平行四邊形，

四邊形A3C。是菱形，

,*?A_E=EC=-AC=3y/3,^/\AOE~S^BOE，S△曲E=S^BCE，

ABCD的周長(zhǎng)為24,

???AB=6,

：.BO=OE=3,

???cosNBAC=^^=乎=#,BE=ylAB2-AE2=^62-（373）2=3,

???NB4C=30。，

???ZBOE=60°,

：.NAOE=120。，

S陰影=S扇形AOE-SAOE+SBEC一（s扇形BQE-SBOE

=

S扇形AOE-SAOE+SBEC—S扇形BOE+SBOE

=S扇形AOE+SBEC—S扇形BOE

120x^-x3260x^-x32

+-X3X3A/3-

3602360

=3兀+也工

22

工+喧

22

故選：C.

8.C

【分析】本題考查了等腰三角形的定義、折疊的性質(zhì)、解直角三角形、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握折

疊的性質(zhì)和解直角三角形的方法是解題關(guān)鍵.設(shè)AS=AC=44（a>0）,則AD=CE=°,AE=BD=3a,

利用勾股定理可得。E=Wa,再連接A'A，交DE于點(diǎn)、F,過(guò)點(diǎn)A作A'G,AB于點(diǎn)G,根據(jù)折疊的

性質(zhì)可得。E垂直平分A'A,AD=AD=a,利用三角形的面積公式可得AF的長(zhǎng)，從而可得A'A的長(zhǎng)，

利用勾股定理可得DF的長(zhǎng)，然后利用三角形的面積公式可得AG的長(zhǎng)，利用勾股定理可得OG的長(zhǎng)，

從而可得BG的長(zhǎng)，最后根據(jù)正切的定義計(jì)算即可得.

【詳解】解：：在等腰中，ZA=90°,

AB=AC,

設(shè)A5=AC=4a(a>0),

AD=CE=-AC,

4

AD=CE=a,

AAE=AC-CE=3a,BD=AB-AD=3a,

DE=VAD2+AE2=VlOa>

如圖，連接A'A，交DE于點(diǎn)、F,過(guò)點(diǎn)A作A'GLAB于點(diǎn)G,

由折疊的性質(zhì)得：DE垂直平分A'A，ArD=AD=a,

：.ArA=2AF,

?：S=-DEAF=-ADAE,

"ADF22

.yADAEa-3a3亞。

DE10

.?.A，A=①，DF=MD2_AF2=?,

510

又sA皿=,

3回a回a

AG=44C=5.10=現(xiàn)，

ADa5

Z)G='A》—AG?=￡,

BG=BD-DG=——

5

3Q

AI「-Q

/.在Rt^A'BG中，tanAA'BD=-----=--y—=—,

BGHa11

故選：c.

o2廂

y.-------

3

【分析】解直角三角形求出產(chǎn)G=8,ZX；=6進(jìn)而證明△DCQ四△HBQ,得"Q=OQ=10,CD=BH

所以AD=AB=9,GH=GQ+HQ=14,然后由勾股定理求出?”=2體，結(jié)合點(diǎn)尸是AJ3的中點(diǎn)，

即可解決問(wèn)題.

【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)尸作PG，。。于點(diǎn)G,分別延長(zhǎng)。。、AB,交于點(diǎn)

則ZPGD=ZPGH=90°,

4PG

sinZPDG=-=——,0P=10,

5DP

:.PG=8,

:.DG=^DP2-PG2=V102-42=6,

在菱形ABC。中，AB=BC=CD=AD,ZA=ZC,

??,點(diǎn)P、。分別是AB、5C的中點(diǎn)，

CQ=^BC,AP=BP=^AB

：.CQ=AP,

：.ADCQ^ADAP,

DQ=DP=10,

GQ=DQ-DG=4,

CD//AB,

:.NC=NHBC,

在_QC。和"Q中

ZC=ZHBC

CQ=BQ

ZBQH=ZCQD

:./\DCQ^AHBQ,

DQ=HQ=\O,CD=BH,

,-.AB=AD=CD=BH,GH=GQ+HQ=4+10=14,

:.PH=^PG2+GH2=V82+142=2病，

PH=PB+BH=-AB+AB,

2

返,

3

23

故答案為：交.

3

【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形以及勾股定理。解題關(guān)鍵是

通過(guò)作輔助線，利用三角函數(shù)求出相關(guān)線段長(zhǎng)度，借助菱形性質(zhì)證明三角形全等，進(jìn)而結(jié)合勾股定理

建立線段關(guān)系求解.

10.2--7I--

42

【分析】本題主要考查矩形的性質(zhì)、切線的性質(zhì)、三角函數(shù)及扇形面積，熟練掌握矩形的性質(zhì)、切線

的性質(zhì)、三角函數(shù)及扇形面積公式是解題的關(guān)鍵；連接AF,由題意易得

AB=DC=2,BC=AD=1,DC//AB,ZDAB=ZC=90°,AFLBG,AF=AD=1,然后可得

ZA5G=30°,進(jìn)而根據(jù)三角函數(shù)及割補(bǔ)法可進(jìn)行求解.

【詳解】解：連接AF,如圖所示：

,??四邊形A8C。是矩形，AB=2AD^2,

：.AB=DC=2,BC=AD=1,DC//AB,ZDAB=ZC=90°,

:過(guò)點(diǎn)B作A的切線BG交CO于點(diǎn)G,切點(diǎn)為點(diǎn)F,

AF_LBG,AF=AD=1,

??sinNABG=----=一,

AB2

：.ZABG=30°f

?:DC//AB,

：.ZCGB=ZABG=30°,

BC

CG=

tan30°

,,S陰影=S矩形A5CD-S扇形D3-SBCG

=1X2-2^.1X^X1

3602

。1A/3

42

故答案為：2—工兀一-.

42

11.225或18或19或1匕19

66

【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形應(yīng)用等知識(shí)，分點(diǎn)尸在上和AC上討論,

然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和解直角三角形的應(yīng)用求解即可.

【詳解】解：連接AZ),

AAD1BC,BD=CD=5,

①當(dāng)點(diǎn)尸在54上時(shí)，ZPDC>ZADC=90°,

/.APCD為等腰三角形時(shí)，只有PD=CD,

PD=BD,

過(guò)。作。Q,3尸于°,

貝I］族=230,

VcosB=^=^

BDAB

.BQ=±

"5"12

???陽(yáng)哈

??.哈

25125

t=-4-1=——；

66

②當(dāng)點(diǎn)尸在AC上時(shí),

V△產(chǎn)口）為等腰三角形,

?.CD=CP或DP=CP或CD=DP,

當(dāng)CD=CP=5時(shí)，如圖,

￡=(12x2-5)+1=19；

當(dāng)r)p=cp時(shí),如圖，過(guò)尸作尸。，。于0,

貝l]CQ=；CD=g,

?…衛(wèi)一

ACCP

5

12CP

解得CP=6,

.?"=（2x12-6）+1=18；

當(dāng)CD=DP時(shí)，如圖，過(guò)。作OQ_LC尸于。

A

則CP=2CQ,

?.?…旦生,

ACCD

.^_CQ

??一，

125

解得cQ=fj

2xl2-y

25119

綜上，才的值為胃或18或19或中,

66

12.2百-2/-2+26

【分析】本題考查菱形的性質(zhì)，解直角三角形，圓周角等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線,

構(gòu)造動(dòng)點(diǎn)G的軌跡來(lái)解決問(wèn)題.

連接AG,根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)和直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半可得推得AF=FG=E7"則

ZAGE=ZAGD=9Q°,根據(jù)圓周角定理可知：點(diǎn)G在以AD為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，取AD的中點(diǎn)。，當(dāng)

O,G,C三點(diǎn)共線時(shí)，CG的值最小，由此可解答.

【詳解】解：如圖，連接AG,

尸是AE的中點(diǎn),

：.-AE=AF=EF,

2

EF=FG,

AF=FG=EF,

/.乙FAG=NFGA,ZFGE=NFEG,

?：ZFAG+ZFGA+NFGE+NFEG=2(ZFG4+ZFGE)=180。,

ZFGA+ZFGE=90°=ZAGE,

ZAGE=ZAGD=90°,

.??點(diǎn)G在以A￡＞為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，取A￡）的中點(diǎn)。，連接OG,如圖:

G,C三點(diǎn)共線時(shí)，CG的值最小,

四邊形ABC。是菱形，AB=4,ZABC=6O°,

ZADC=60°,AD=CD=AB=4,

OD=OG=—AD=2,

2

VcosZADC=-,—

2CD2

：.ZCOD=90°

OC=yJCD2-OD2=2A/3,

CG的最小值為-2.

故答案為：26-2.

13.”

13

【分析】先根據(jù)題意判斷出點(diǎn)M在以BC為直徑的圓上，要想使sin/CDM的取最大值，此題中其實(shí)

就是要NCD必越大就可以，根據(jù)圖形可知當(dāng)DM與：，E相切時(shí)，NCDM的最大，如圖此時(shí)算出CG

的長(zhǎng)度即可解決問(wèn)題；

【詳解】解：在矩形ABC。中，ZABC=ZDCB=90°,

：.ZABM+ZMBC=90°,

ZABM=NBCM,

：./BCM+ZMBC=90°,

=90°,

所以點(diǎn)”在以3c為直徑的圓上，

如圖，作以2C為直徑的E,要使sin/CDM取最大值，即當(dāng)DM與IE相切時(shí)，連接

BM,ME,MC,DE,

'：ZDCB=90°,

0c是CE的切線，

???DM與I石相切，DC=9

DM=DC=9

TE為3C中點(diǎn)，BC=12

：.EC=6,

,,DE=+92=3^13

?：ME=EC,DM=DC,

???OE垂直平分MC,

：.MC=2FC,NCFD=90。,

:.Z\CDFs公EDC,

CD?=DF?DE,

即81=0尸?3萬(wàn)，

V1313

CF=VDC2-DF2=，

??.g皿，

13

過(guò)點(diǎn)C作CGJ.DM于G,

：.--MCDF=-CGMD

22f

即LMC?。齊

22

皿」x9CG

213132

ino

解得：CG=^

在RtCGD中,

108

sinZCDM=——

CD913

12

故答案為：—

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的綜合題，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)和解直角三角形等知識(shí)點(diǎn),

解決此題的關(guān)鍵是要找到點(diǎn)"的位置.

14.巫

7

【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，其中涉及勾股定理與折疊問(wèn)題以及解直角三角形相關(guān)，考查學(xué)

生的綜合應(yīng)用能力，有一定難度.本題先連接DM,延長(zhǎng)E尸交于點(diǎn)H,得出NAB'D=90。和

AB=AB'=8,由勾股定理得出3月=斯=3,同時(shí)過(guò)尸作FMJ_DE，交。E于點(diǎn)M,結(jié)合平行四邊

FM15

形的性質(zhì)以及3〃由=署—,列方程得出。加二株=一,進(jìn)一步即可得出DF.

【詳解】解：連接DT,延長(zhǎng)E尸交T于點(diǎn)

E為中點(diǎn),

*'-EA=ED,

JJEF沿EF翻折得到_3'砂，

EB'=ED=EA,

ZAB'。=90°,

ABG沿AG翻折得到△AB'G,AB=8,AD=10,

AB=AB'=8f

在RtAAB'D中，由勾股定理可得：B'D=-JAD2-AB'2=6>

EB'=ED,ZDEF=NB'EF,

B'H=DH=3,EH±B'D,

過(guò)下作FMJLDE,交DE于點(diǎn)M,

四邊形ABC。是平行四邊形，ZS=45°,

ZADC=ZB=45°,

在RtADE"中，由勾股定理可得：EH=y/ED2-DH2=4.

DHFM3r4

設(shè)施=%，由tanNOEH=——=——，可得一=—,^EM=-x,

EHEM4EM3

在RtMMF中，ZADC=45。,則有==

由ED=,可得％+g■兀=5,解得工二亍，BPDM=FM=—,

「.DF=y/2DM=.

7

故答案為：”也.

7

15.1

【分析】本題考實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，特殊角的三角函數(shù)值的運(yùn)算，先進(jìn)行特殊角的三角函數(shù)的值，負(fù)整

數(shù)指數(shù)幕，去絕對(duì)值和零指數(shù)幕的運(yùn)算，再進(jìn)行加減運(yùn)算即可.

【詳解】解：原式=2x—2x2+3+l=l-4+3+1=1.

2

16.(1)48°

(2)164cm

【分析】(1)先根據(jù)鄰補(bǔ)角互補(bǔ)求出NAED=48。，結(jié)合兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等得

ZEDF=ZAED=48°,即可作答.

(2)過(guò)點(diǎn)石作石尸，易得四邊形防尸M是矩形，即板=6E=110cm,再通過(guò)解直角三角形可

得DM=DE?cosNEDM,即可求解.

本題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，平行線的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)與判定，做出合適的輔助線構(gòu)

造直角三角形是解題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)解：???NAEC=132。，

???ZAED=1800-ZAEC=180°-132°=48°,

ZABF=ZDFB=90°f

???ZABF+ZDFB=180°,

???AB//DF,

：.ZEDF=ZAED=48°；

(2)解：過(guò)點(diǎn)E作成f_L。尸，

?；EM±DF,ABYBF,DF±BF,

：.ZEMF=ZEBF=ZMFB=90°,

，四邊形是矩形，

：.MF^BE^lWcm,

由(1)得/EDM=NAED=48。，

DM=DEcosAEDM-80x0.67=53.6cm,

DF=DM+MF^164cm.

17.(1)見(jiàn)解析

(2)EF=V13-2

【分析】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)

定義等知識(shí)；熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.

(1)證AE〃b,運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)得A3〃CE),再證ABEWCDF(AAS),^AE=CF,即可

得出結(jié)論；

(2)由銳角三角函數(shù)定義和勾股定理求出AE=3,BE=4,再證血用二/四八貝八曲/匿-3/反:尸,

rpFF.—

得三=經(jīng)，求出石尸=2,進(jìn)而得出答案?

BFCF

【詳解】(1)證明：ZAEB=ZCFD=90°f

.\AE.LBD,CFLBD,

.'.AE//CF,

四邊形ABC。是平行四邊形，

:.AB=CD,AB//CD,

.\ZABE=ZCDF,

在,和VCD廠中，

ZAEB=ZCFD

</ABE=/CDF,

AB=CD

AABE^ACDF(AAS),

.'.AE=CF,

二?四邊形A￡C歹是平行四邊形；

3AF

(2)解：在RtzMBE中，tanZABE=-=—,

4BE

設(shè)AE=3a,則BE=4a,

222

由勾股定理得：(3a)+(4a)=5f

解得：々=1或々=—1(舍去),

/.AE=3,BE=4,

由(1)得：四邊形A￡C廠是平行四邊形,

:.ZEAF=ZECF,CF=AE=3,

ZCBE=ZEAF,

:.ZECF=ACBE,

tanNCBE=tanZJECF,

.CFEF

,,一,

BFCF

.\CF2=EFxBF,

設(shè)EF=x,貝尸=%+4,

/.32=x(x+4),

解得：x=-J13-2^x=-A/13-2,(舍去),

18.(1)詳見(jiàn)解析

(2)AC2=BCCD

(3)4

【分析】(1)先證明ZAOC=2ZABC=90°,結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)與切線的性質(zhì)可得ZACE=ZABC；

Ar

(2)先證明△ABCs.C,可得T}=右，再變形即可；

ACCD

(3)過(guò)點(diǎn)E作EH_LAC于點(diǎn)目，證明C//=E〃=Y^CE=3VI,再證明NAEH=NDCO,結(jié)合

2

tanZAEH=tanZDCO=1,再進(jìn)一步求解即可；

【詳解】(1)解：如圖①，ZABC=45°,

:.ZACO=45°.

CE為切線,

ZOCE=90°,ZACE=45°.

:.ZACE=ZABC.

（2）解：AC2=BCCD,理由見(jiàn)解析：

由（1）得NC4D=90?！猌ACO=45。，

:.ZABC=ZCADf

又ZACB=/DCA,

.BCAC

'~\C~~CD'

AC2=BC-CD.

（3）解：如圖②，過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)H,

CH=EH=—CE=3。2.

2

ZCDO=ZCAD+ZACB=^50+ZACB,

ZEAH=ZABC+/AC5=45。+/AC6,

:.ZCDO=ZEAHf

又ZAHE=ZDOC=9。。,

：.ZAEH=ZDCO,

AEH=tan/DCO=—

3

.AH1

???

EH3

AH=LEH=e.

3

:.AC=AH+CH=442.

V2

OC=—AC=4.

2

【點(diǎn)睛】本題考查的是圓周角定理的應(yīng)用，切線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形的

應(yīng)用，作出合適的輔助線，熟練的利用相似三角形的判定與性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)的應(yīng)用是解本題的

關(guān)鍵.

19.(I)8cosl2°

(2)26.2cm

【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問(wèn)題.

(1)根據(jù)cosl2。，得出8G的長(zhǎng)度；

(2)延長(zhǎng)GB,NM交于點(diǎn)H,得出四邊形DNHG是矩形，通過(guò)計(jì)算得出GH的長(zhǎng)度，從而得出DN

的長(zhǎng)度.

【詳解】(1)解：：AB=24cm,BE=^AB,

BE=gx24=8(cm),

,：cosZABG=—,即cosl2°=—

BE8

BG=8cosl2°(cm),

故答案為：8cosl20；

(2)解：BG=8cosl2°=7.84cm,

FGFG

,.?sin/ABG=——，即sinl2°=——

BE8

.?.石G=8sinl20=1.68cm,

延長(zhǎng)GBNM交于點(diǎn)、H,則四邊形DV"G是矩形,

NH=DG=DE-EG=28-1.68=26.32(cm),

:.HM=NH-MN=26.32-8=18.3