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文檔簡介
半角模型
1.核心知識
1、半角在內(nèi):正方形ABCD,點E在邊CD上,點F在邊BC上./EOF=45°
BFCG^'B-------------------CG^~~BFC
【輔助線】延長BC至點G,使BG=DE,連接AG.
【結(jié)論】
①旋轉(zhuǎn)全等:△ABG^AADE,理由SAS.
②對稱全等:△FAG^AFAE,理由SAS.
③EF=BF+DE,進而推出4CEF的周長等于正方形周長的一半.
④AF平分/BFE,AE平分/DEF.
2、半角在外:正方形ABCD,NEOF=45。,,與DC的延長線交于點E,與CB的延長線交于點F.
【輔助線】在CD截取DG=BF,連接AG.
【結(jié)論】
①旋轉(zhuǎn)全等:△ABF=A40G,,理由SAS.
②對稱全等:△EAG三XE4F,理由SAS.
③EF=DE-BF.
?AE平分/DEF.
真題精煉
1如圖,在邊長為4的正方形ABCD中,點E是BC上一點,點F是CD延長線上一點,連接AE,AF,AM平
分NEAF交CD于點M若BE=DF=1,則DM的長度為()
F
H
BEC
A.2B.V5C.V6D.y
2正方形ABCD中,點E在邊BC,CD上運動(不與正方形頂點重合).作射線AE,將射線AE繞點A逆時針
旋轉(zhuǎn)45。,交射線CD于點F.
⑴如圖.點E在邊BC上,BE=DF,則圖中與線段AE相等的線段是
(2)過點E作EGLAF,垂足為G,連接DG,求NGDC的度數(shù).
3在復(fù)習(xí)課上,劉老師先引導(dǎo)學(xué)生解決以下問題:【問題情境】如圖1,在△ABC中,ZBAC=90°,AB=AC,
點D、E在邊BC上,且NDAE=45o,BD=3,CE=4,求DE的長.解:如圖2,將^ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到△ACD',
連結(jié)ED.
由旋轉(zhuǎn)的特征得/BAD=/CAD,/B=/ACD,AD=AD',BD=CD'.VZBAC=90°,ZDAE=45°,.*.ZBAD+ZEA
C=45°.ZBAD=ZCAD',/.NCAD'+NEAC=45°,即/EAD'=45°.;.ZDAE=ZD'AE.^ADAE和A中,AD=
XD,,ZDAE=ZD'AE,AE=AE,.\①.;廄=口舊.又:
ZECD'=ZECA+ZACD'=ZECA+ZB=90°,Z.ffiRtAECD中,②.
VCD'=BD=3,CE=4,
DE=D'E=一③
【問題解決】上述問題情境中,“①”處應(yīng)填:;“②"處應(yīng)填:;“③"處應(yīng)填:.
劉老師進一步談到:圖形的變化強調(diào)從運動變化的觀點來研究,只要我們抓住了變化中的不變量,就能以不變應(yīng)萬
變.
【知識遷移】如圖3,在正方形ABCD中,點E、F分別在邊BC、CD上,滿足△CEF的周長等于正方形AB
CD的周長的一半,連結(jié)AE、AF,分別與對角線BD交于M、N兩點才采究BM、MN、DN的數(shù)量關(guān)系并證明.
【拓展應(yīng)用】如圖4,在矩形ABCD中點E、F分別在邊BC、CD上,目/EAF=/CEF=45。探究BE、EF、DF
的數(shù)量關(guān)系:
【問題再探】如圖5,在4ABC中,NABC=9(T,AB=4,BC=3,點D、E在邊AC上,且NDBE=45。.設(shè)AD=x,CE=y,
求y與x的函數(shù)關(guān)系式.
4⑴操作一:如圖①,已知正方形紙片ABCD,將正方形紙片沿過點A的直線折疊,使點B落在正方形ABCD
的內(nèi)部,點B的對應(yīng)點為點M,折痕為AE,再將紙片沿過點A的直線折疊,使AD與AM重合,折痕為AF,則
Z.EAF=一度.
⑵操作二:如圖②,將正方形紙片沿EF繼續(xù)折疊,點C的對應(yīng)點為點N.我們發(fā)現(xiàn),當點E的位置不同時,
點N的位置也不同.當點E在BC邊的某一位置時,點N恰好落在折痕AE上,則^AEF=一度.
⑶在圖②中,運用以上操作所得結(jié)論,解答下列問題:
①設(shè)AM與NF的交點為點P.求證:△ANP=△FNE-
②若AB=百,則線段AP的長為.
5數(shù)學(xué)實踐活動,是一種非常有效的學(xué)習(xí)方式.
折一折:將正方形紙片ABCD折疊,使邊AB、AD都落在對角線AC上,展開得折痕AE、AF,連接EF,如
圖1.
(1)NE4F=,,寫出圖中兩個等腰三角形:_(不需要添加字母);
轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn):將圖1中的NE4F繞點A旋轉(zhuǎn),使它的兩邊分別交邊BC、CD于點P、Q,連接PQ,如圖2.
(2)線段BP、PQ、DQ之間的數(shù)量關(guān)系為.
(3)連接正方形對角線BD若圖2中的.“4Q的邊AP、AQ分別交對角線BD于點M、點N,如圖3,則名=_.
剪一剪:將圖3中的正方形紙片沿對角線BD剪開,如圖4.
圖4
(4)求證:BM2+DN2=MN2.
6如圖,在正方形ABCD中,點O是對角線BD的中點,點P在線段0D上,連接AP并延長交CD于點E,
過點P作PF14P交BC于點F,連接AF、EF.AF交BD于G,現(xiàn)有以下結(jié)論:①AP=PF;②DE+BF=EF;③PB—P
D=&BF;④SAAEF為定值;⑤S四邊形PEFG=SAAPG,以上結(jié)論正確的有(填入正確的序號即可).
7如圖正方形ABCD中AD=4,且LEAF=45。,EC=1,將△2DE繞點A沿順時針方向旋轉(zhuǎn)90。后與4ABG
重合漣接EF過點B作交AF于點M,則以下結(jié)論DE+BF=EF,②BF=土③4F=,④S^BF=
瑞中正確的是()
AD
A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④
8如圖,正方形ABCD的邊長為a,點E在邊AB上運動(不與點A,B重合),.^DAM=45。,點F在射線AM
上,目力尸=&BE,CF與AD相交于點G,連接EC、EF、EG,則下列結(jié)論:
①/ECF=45。;
②4AEG的周長為(1+y)a;
@BE2+DG2=EG2-,
④AEAF的面積的最大值是ia2;
o
⑤當BE=之a(chǎn)時,G是線段AD的中點.其中正確的結(jié)論是()
M
F
E
B
B.②④⑤C.①③④D.①④⑤
9如圖,在平面直角坐標系中,以坐標原點0(0,0),A(0,4),B(3,0)為頂點的R3AOB,其兩個銳角對應(yīng)的外角的
平分線相交于點P,且點P恰好在反比例函數(shù)y=:的圖象上,則k的值為()
A.36B.48C.49D.64
10如圖,在正方形ABCD中,AB=6,G是BC的中點,將△ABG沿AG對折至△AFG,延長GF交DC于點E,則D
E的長是().
A.1B.1.5C.2D.2.5
11矢巨形ABCD中,AB=2,BC=4,若AE=4/EAF=45。,貝?。軦F的長為.
12如圖1,已知四邊形ABCD是正方形,將△DAEADCF分別沿DE,DF向內(nèi)折疊得到圖2,此時DA與D
C重合(A、C都落在G點),若GF=4,EG=6,,則DG的長為.
13如圖,已知正方形ABCD的邊長為a,E為CD邊上一點(不與端點重合),將△4DE沿AE對折至△AFE,
延長EF交邊BC于點G,連接AG,CF.給出下列判斷:
?^EAG=45。;②若DE=",貝!]AG//CF;
③若E為CD的中點,則4GFC的面積為總a?;④若CF=FG,則.DF=(V2-l)a;
⑤BG-DE+AF-GE=a2.其中正確的是
14如圖正方形中,△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)到△49廠,2夕,4L交對角線于點E,F,若AE=4AE=4,則EF-E
D為_______
15如圖①,E、F是等腰RtAABC的斜邊BC上的兩動點,ZZ.EAF=45°,CD1B(CHCD=BE.
(1)求證:△ABE^AACD.
(2)求證:EF2=BE2+CF2.
⑶如圖②,作AHLBC,垂足為H.設(shè)乙EAH=a/FAH=8不妨設(shè)AB=VX請利用(2)的結(jié)論證明:當a+p
tana+tanj?
=45°時,tan(a+0)=成立.
1-tanatan/?
16在矩形ABCD的CD邊上取一點E,將小BCE沿BE翻折,使點C恰好落在AD邊上點F處.
圖2
⑵如圖2,當AB=5,且AF-FD=10時.求BC的長
⑶如圖3,延長EF,與NABF的角平分線交于點MBM交AD于點N,當NF=AN+尸。時,求”的值.
17如圖1,在正方形ABCD內(nèi)作AEAF=45°?AE交BC于點E,AF交CD于點F,連接EF,過點A作AH
,EF,垂足為H.
D
⑴如圖2,將^ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。得到△AB△ABG.
①求證:△AGE^AAFE.
②若BE=2,DF=3,求AH的長.
⑵如圖3,連接BD交AE于點M,交AF于點N.請?zhí)骄坎⒉孪?線段BM,MN,ND之間有什么數(shù)量關(guān)系?并
說明理由.
18如圖,正方形ABCD的邊長為6,若CE=3逐,且NECF=45。,貝CF的長為()
B.3V5
19如圖,在正方形ABCD內(nèi)作/EAF=45°,連接EF,過點A作AHLEF,垂足為H,將△ADF繞點A順時針旋
轉(zhuǎn)90。得到△ABG若BE=2,DF=3廁AH的長為
20在等邊△4BC的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點M、N,D為&ABC外一點,且乙MDN=60。,LBDC
=1200,BD=CD.探究:當點M、N分別在直線AB、AC上移動時,BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系及△AMN的
周長Q與等邊△ABC的周長L的關(guān)系.
⑴如圖1,當點M、N在邊AB、AC上,且DM=DN時,BM、CN、MN之間的數(shù)量關(guān)系是;此時三=_
⑵如圖2,當點M、N在邊AB、AC上,且當DMgDN時,猜想(1)問的兩個結(jié)論還成立嗎?寫出你的猜想并加以
證明.
(3)如圖3,當點M、N分別在邊AB、CA的延長線上時,若AN=x,!MQ=
21如圖△ABC中,NACB=90。,AC=BC=1,,E、F為線段AB上兩動點,目.乙ECF=45。,過點E、F分別
作BC、AC的垂線相交于點M.以下結(jié)論:①A8=②當點E與點B重合時,MH=|;@AF+BE=EF;④MG-M
H=京,其中正確結(jié)論為()
A.①②③B.①③④C.①②④D.①②③④
22如圖,在△ABC中,AB=AC,/BAC=120。點D、E在邊BC上,且Z.DAE=60。,將4ADE沿AE翻折,點D
的對應(yīng)點是D;連接CD,若BD=4,CE=5,,則DE的長為().
23如圖,點E,F分別為正方形ABCD的邊上一點.AC,BD父于點O.且/EAF=45o,AE,AF分別父對角線BD
于點M,N,則有以下結(jié)論:①/AEB=ZAEF=ZANM;?EF=BE+DF;③△AOM^AADF;@SAAEF=2SAA
MN.正確的是
24正方形ABCD中,且/EAF=45。.下列結(jié)論:①AB2=BN-DM;②AF平分/DFE;③AM-AE=AN-AF;④BE+DF=V2
MN.其中正確的結(jié)論是().
C.①②③D.①②③④
25正方形ABCD中,E是BC邊上的一點,BE=4,EC=8,將正方形邊AB沿AE折疊到AF延長EF交DC于G,
連接AC,如下結(jié)論:①NEAG=45。;②FG=FC;③FC//AG;④SAGFC=14.正確結(jié)論個數(shù)是()
A.lB.2C.3D.4
26如圖1,在四邊形ABCD中,AB=AD,/B+/ADC=180。,點E、F分別在四邊形ABCD的邊BC、CD上,^EAF
=|ABAD,連接EF,試猜想EF、BE、DF之間的數(shù)量關(guān)系.
將△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至△ADG,使AB與AD重合,由NB+乙4DC=180。彳導(dǎo)/FDG=180。,即點F、D、
G三點共線,易證AAFG0,故EF、BE、DF之間的數(shù)量關(guān)系為.
(2)類比引申
如圖2,在圖1的條件下,若點E、F由原來的位置分別變到四邊形ABCD的邊CB、DC延長線上,^EAF=1
NBA。,連接EF,試猜想EF、BE、DF之間的數(shù)量關(guān)系,并給出證明.
(3)聯(lián)想拓展
如圖3,在△ABC中,/BAC=9(F,AB=AC,點D,E均在邊BC上,且NDAE=45。,若BD=1,EC=2,貝!jDE的長為
27旋轉(zhuǎn)變換是解決數(shù)學(xué)問題中一種重要的思想方法,通過旋轉(zhuǎn)變換可以將分散的條件集中到一起,從而方便解
決問題.
已知,AABC中,AB=a,點D、E在邊BC上,且ND2E=1a.
(1)如圖a,當a=60。時,將△4EC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60。到AAFB的位置,連接DF.60°AAFB
②求證:AADE=AADF.
(2)如圖b,當a=90。時,猜想BD、DE、CE的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.
圖b
(3)如圖c,當a=120。,8。=4,=5時,請直接寫出DE的長為一.
1如圖,在邊長為4的正方形ABCD中,點E是BC上一點,點F是CD延長線上一點,連接AE,AP,AM平
分NEAF交CD于點M,若BE=DF=1,則DM的長度為()
A.2B.V5C.y/6
2.【答案】(1)AF
(2)過G點作GM±AD交于M,延長MG交BC于N點,
..NAMG=NDMG=NGNE=90°,
._________p
.四邊形CDMN是矩形,
,zAGM+zMAG=90°,
E&EC
:EG±AF,zEAF=45°,
.-.zAGM+zEGN=90°
?.zAGE=90o,zEAF=45°
."AEG是等腰直角三角形,
.-.AG=EG,
../EG席加AG,
."AMG%GNE(AAS),
.-.AM=GN,
?.AM+MD=GN+MG,
.-.MD=MG,
."MDG為等腰直角三角形,
..NMDG=45°,
..NGDC=45°;
當點E在CD邊上時,如圖,
過點G作GN±DF交于N,延長NG交BA延長線于點M〃?.四邊形ADNM是矩形,
同理,AAMG2AGNE(AAS).
,GN=AM=DN,
."NDG為等腰直角三角形,
.-.zGDN=450,
.?.zGDC=180°-45o=135°,
綜上所述:NGDC的度數(shù)為45°或135°.
【標注】【知識點】正方形與全等綜合
3【問題情境】
如圖L在SBC中/BAC=90°,AB=AC,點D、E在邊BC上,且NDAE=45°,BD=3,CE=4,求DE的長.
解如圖2,將<BD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到3CD,,連結(jié)ED'.
由旋轉(zhuǎn)的特征得NBAD=NCAD'/B=NACD',AD=AD',BD=CD'.
?.zBAC=90°,zDAE=45°,
zBAD+zEAC=45°.
..NBAD=NCAD',
..NCAD'+NEAC=45°,即NEAD'=45°.
..NDAE=ND'AE.
在中,
AD=AD'/DAE=ND'AE,AE=AE,
.①.
DE=D'E.
又?.NECD'=NECA+NACD'=NECA+NB=90。,
..在RhECD'中,②.
?.CD'=BD=3,CE=4,
..DE=D'E=③.
【問題解決】
上述問題情境中,"①"處應(yīng)填;"②"處應(yīng)填;"③"處應(yīng)填:.
劉老師進一步談到:圖形的變化強調(diào)從運動變化的觀點來研究,只要我們抓住了變化中的不變量,就能以不變
應(yīng)萬變.
【知識遷移】
如圖3,在正方形ABCD中,點E、F分別在邊BC、CD上,滿足4EF的周長等于正方形ABCD的周長的一半,
連結(jié)AE、AF,分別與對角線BD交于M、N兩點.探究BM、MN、DN的數(shù)量關(guān)系并證明.
IS3
如圖4,在矩形ABCD中,點E、F分別在邊BC、CD上,且NEAF=NCEF=45。探究BE、EF、DF的數(shù)量關(guān)系:
.(直接寫出結(jié)論,不必證明).
用4
【問題再探】
如圖5,在SBC中/ABC=90°,AB=4,BC=3,點D、E在邊AC上,且NDBE=45°.設(shè)AD=x,CE=y,求y與x的函數(shù)
關(guān)系式.
ms
【答案】【問題解決】①SDE斗AD'E;②EC2+CD2=ED2;③5;【知識遷移】DN2+BM2="陀見解析;【拓
2
展應(yīng)用】2BE+2DF2=EF2;【問題再探】y=
bX-Zo
【解析】
【分析】
(1)【問題解決】根據(jù)題中思路解答即可;
(2)【知識遷移】如圖,將AABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90、得到AADF過點D作DH,BD交邊AF'于點H,連結(jié)NH,
由旋轉(zhuǎn)的特征得AE=AF',BE=DF'/BAE=NDAF'.結(jié)合題意得EF=DF+BE=DF+。尸'=F'F.證明^AE匡AF'F,得
出NEAF=NF'AF根據(jù)正方形性質(zhì)得出NABD=NADB=45°結(jié)合DH_LBD得出NADH=NHDB-NADB=45°.證明AAB
M學(xué)ADH,得出AM=AH;BM=DH.證明AAMNZAAHM得出MN=HN.在RfHND中,根據(jù)勾股定理即可求解;
(3)【拓展應(yīng)用】如圖所示,延長EF交AB延長線于M點,交AD延長線于N點,將^ADF繞著點A順時針
旋轉(zhuǎn)901得至hAGH,連接HM,HE.則AAD匡AAGH.貝!]DF=GH,AG=AD,AF=AH/DAF=NHAG,根據(jù)NEAF=45°,證
明AAEH當AE巳得出EF=HE,過點H作HO±CB交CB于點。過點H作HG±BM交BM于點M廁四邊形OHGB
為矩形彳導(dǎo)出OH=BG,OB=HG,證明ABME,ADNF,ACEF,AAMN是等腰直角三角形,得出GM=DN=DF=HG,NHME=
90°,在RbOHE中,根據(jù)勾股定理即可證明;
(4)【問題再探】如圖,將ABEC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90\得至UBEC,連結(jié)E'D.過點E作EGJ_BC,垂足為點G,過點
E作EG」BC,垂足為G',過點E作E'FIIBA,過點D作DFllBC交AB于點H,E'FXDF交于點F.由旋轉(zhuǎn)的特征得
BE=BE',NCBE=NC'BE',EG=E'G',BG=BG'.根據(jù)NABC=90°,NDBE=45:得出NDBE'=45°,證明AEBD2AE'BD彳導(dǎo)
出DE=DE',根據(jù)勾股定理算出AC,根據(jù)AD=z,CE=y,表示出DE'=5-x-y,證明AAHD-AABC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)
表示出AH=|x,HD=|x,HB=4—,同理可得EG—^y,GC=|y.
EG'=ly,BG'=3-|y,證明四邊形FE'G'H為矩形彳導(dǎo)出
NF=90°,FH=1DF=|x+["£1'=1-善+|y,在RtAE'FD中,根據(jù)勾股定理即可求解;
【詳解】
解:(1)【問題解決】解如圖2,將AABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到AACD',連結(jié)ED'
由旋轉(zhuǎn)的特征得NBAD=NCAD,,NB=NACD',AD=AD',BD=CD'.
?.zBAC=90°,zDAE=45°,
.-.zBAD+zEAC=45°
?.zBAD=zCAD',
"CAD'+NEAC=45°,即NEAD'=45°.
..NDAE=ND'AE.
在ADAE和AD'AE中,AD=AD'/DAE=ND'AE,AE=AE,
.?.①AADE當AD'E.
.■.DE=D'E.
又.?NECD,=NECA+NACD,=NECA+NB=90。,
..在RbECD'中,((2)EC2+CDn=EDn.
■.OD'=BD=3,CE=4,
???DE=D,E=V32+42=53.
(2)【知識遷移】DN2+BM2=MN2-quadquad
證明如圖,將AABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90:得至hADF.
過點D作DH,BD交邊AF于點H,連結(jié)NH.
由旋轉(zhuǎn)的特征得AE=AF',BE=DF'/BAE=NDAF'.
由題意得EF+EC+FC=DC+BC=DF+FC+EC+BE,
,EF=DF+BE=DF+DF'=F'F.
在AAEF和AAF'F中,AE=AF',EF=F'F,AF=AF,
.”AE匡AF'F(SSS).quadquad
..NEAF=NF'AF.
又「BD為正方形ABCD的對角線,
..NABD=NADB=45°.
-.DH±BD,
.-.zADH=zHDB=zADB=45°
在SBM和AADH中,NBAM=NDAH,AB=AD/ABM=NADH,
.-.AABM^AADH(ASA),
,AM=AH,BM=DH.
在AAMN和SHN中,AM=AH/MAN=NHAN,AN=AN,
.“AMN學(xué)AHN(SAS).
.-.MN=HN.
在RbHND中,DN2+DH2=HN2,
DN2+BM2=MN2.
(3)【拓展應(yīng)用】2BE2+2DF2=EF2.
證明:如圖所示,延長EF交AB延長線于M點,交AD延長線于N點
將MDF繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)90*得到MGH,連接HM,HE.
則AADF當AGH.
貝UDF=GH,AG=AD,AF=AH/DAF=NHAG,
?.zEAF=45°,
.-.zHAE=zHAG+zGAE=zDAF+zGAE=45o,
在SEH和3FE中
AH=AF
{ZHAE=ZFAE=45°,
AE=AE
.qAEH*AEF(SAS),
.".EF=HE,
過點H作HO±CB交CB于點O,過點H作HGJ_BM交BM于點M,則四邊形OHGB為矩形.
.-.OH=BG,OB=HG,
?.zCEF=45°,
..NCEF=NCFE=NDFN=NDNF=NBME=NBEM=45°,
."BME,ADNF,ACEF,AAMN是等腰直角三角形,
,CE=CF,BE=BM,DN=DF,AN=AM,
.-.AM-AG=AN-AD,
.-.GM=DN=DF=HG,
..NHMG=45°,
NHME=45°+45°=90°,
在RSOHE中,OE2+OH2=HE2,(OB+BE)2+BG2=EH2,
(GW+BE?+BG2=EH2,
即(GH+BE)2+(BM-GM)2=EH2,
又二EF=HE,DF=GH=GM,BE=BM,
(GH+BE)2+(BE-GH?=EF2,
即2(OF2+BE2)=EF2,
(4)【問題再探】如圖,將ABEC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到ABEC,連結(jié)ED過點E作EG^BC,垂足為點G,過點
E作EG」BC,垂足為G'過點E作E'FllBA,過點D作DFlIBC交AB于點H,E'F、DF交于點F
由旋轉(zhuǎn)的特征得BE=BE'/CBE=NC'BE,,EG=E'G',BG=BG'.
?.zABC=90°,zDBE=45°
.?.zCBE+zDBA=45°,
.?.zC'BE'+zDBA=45°,BP.NDBE'=45。,
在AEBD和AE'BD中,BE=BE'/DBE=NDBE',BD=BD.
.?.△EBD學(xué)E'BD(SAS),
.-.DE=DE',
:zABC=90°,AB=4,BC=3,
???AC=7AB2+BC?=5,
又;AD=x,CE=y,
,DE'=DE=5-x-y,
?.DFllBC,
.?.zADH=zC,zAHD=zABC=90°,
.“AHDSAABC,
AHHDADXrqri.JT4rrn3
ABBCAC555
4
??.HB=AB-AH=4--x
5
同理可得EG=^y,GC=|y.
EG=1y,BG=BG=3—3,
'.E'G'±AB,zABC=90o,
.-.E'G'llBCllFD,
X'.E'FllAB^FHG'=zAHD=gO0,
,四邊形FE'G'H為矩形
???NF=90°,FH=EG=|y,DF=DH+FH=^x+^y,
FE,=HG,=HB-BG,=4-"-(3-|y)=1-善+》
在RbE'FD中,EF2+DF2=ED2.
(i一+C久+(y)=(5一久一曠尸
【點睛】
本題是四邊形的綜合題,考查的是旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)和判定、正方形的性質(zhì)和判定、勾股定理、等
腰直角三角形的性質(zhì)和判定、全等三角形的判定和性質(zhì),相似三角形的判定和性質(zhì),靈活運用旋轉(zhuǎn)變換作圖,掌握
以上知識點是解題的關(guān)鍵.
4實踐與探究.
(1)操作一:如圖①,已知正方形紙片ABCD,將正方形紙片沿過點A的直線折疊,使點B落在正方形ABCD
的內(nèi)部,點B的對應(yīng)點為點M,折痕為AE,再將紙片沿過點A的直線折疊,使AD與AM重合,折痕為AF,則NE
AF=度.
(2)操作二:如圖②,將正方形紙片沿EF繼續(xù)折疊,點C的對應(yīng)點為點N.我們發(fā)現(xiàn),當點B的位置不同時,
點N的位置也不同.當點E在BC邊的某一位置時,點N恰好落在折痕AE上.則NAEF=度.
(3)在圖②中,運用以上操作所得結(jié)論,解答下列問題:
①設(shè)AM與NF的交點為點P.求證:AANP%FNE;
②若4B=舊,則線段AP的長為.
【答案】⑴45
⑵60
(3)①證明見解析.
亞百_2
【解析】(1),.四邊形ABCD是正方形,
..zBAD=90°,
由折疊的性質(zhì)可知,AABE%AME/ADF學(xué)AMF.
..NBAE=NMAE,NDAF=NMAF,
:zBAE+zMAE+zDAF+zMAF=zBAD=90°,
:2zMAE+2zMAF=90°,
.?.zMAE+zMAF=45°,
即NEAF=45°.
(2)由折疊的性質(zhì)可知,
△ABE2AAMEFFCEVAFNE,
,NAEB=NAEM,ZAEM=ZCEF,
.'.zAEB=zAEM=zCEF.
?.zAEB+zAEM+zCEF=180°.
.-.zAEB=zAEM=zCEF=60o.
即NAEF=60°.
(3)①?.四邊形ABCD是正方形,
???NB=NC=90°,
由折疊的性質(zhì)可知,AABE2AAME'FNE2AFCE,
,NAME=NB=90°,NFNE=NC=90°,
NANP=180°-NFNE=90°=/FNE,
:zEAF=45°,
.?.zAFN=zFNE-zEAF=45°,
.■.zAFN=zEAF,
.'.AN=FN,
-??ZAME=NFNE=90°,
???NNAP+ZAEM=90",
NNFE+ZAEM=90°,
,NNAP=NNFE,
在AANP和AFNE中,
NNAP=NNFE
{AN=FN,
NANP=NFNE
.“ANP學(xué)FNE(ASA).
②?.在RbA在中/AEB=60°,AB=V3
D口ABV3.
.?.BE=--------=7=1,
tan^AEB
1.四邊形ABCD是正方形,
AB=BC=V3,
???CE=BC-BE=43-1,
?.zC=90o,zFEC=60o,
.?.zEFC=30°,
???EF=2CE=2V3-2,
???△ANP學(xué)FNE,
???AP=EF=2四一2.
【標注】【知識點】四邊形與折疊問題
5綜合與實踐.
數(shù)學(xué)實踐活動,是一種非常有效的學(xué)習(xí)方式.通過活動可以激發(fā)我們的學(xué)習(xí)興趣,提高動手動腦能力,拓展思維
空間,豐富數(shù)學(xué)體驗.讓我們一起動手來折一折、轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)、剪一剪,體會活動帶給我們的樂趣.
折一折:將正方形紙片ABCD折疊,使邊AB、AD都落在對角線AC上,展開得折痕AE、AF,連接EF,如圖
1.
(l)zEAF=,寫出圖中兩個等腰三角形:(不需要添加字母);
轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn):將圖1中的NEAF繞點A旋轉(zhuǎn),使它的兩邊分別交邊BC、CD于點P、Q,連接PQ,如圖2.
⑵線段BP、PQ、DQ之間的數(shù)量關(guān)系為.
⑶連接正方形對角線BD若圖2中的NPAQ的邊AP、AQ分別交對角線BD于點M、點N,如圖3則/=_.
D1V1
剪一剪:將圖3中的正方形紙片沿對角線BD剪開,如圖4.
£3994
(4)求證:.BM2+DN2=MN2.
【答案】(1)45°;AAEF'CEF
(2)BP+DQ=PQ
⑶V2
⑷證明見解析.
【解析】(1)如圖1中,
??四邊形ABCD是正方形,
..AB=AD=BC=CD/BAD=90°.
.“ABCFADC都是等腰三角形,
:NBAE=NCAE/DAF=NCAF,
.ZEAF=|(zBAC+ND4C)=45。,
.NBAE=NDAF=22.5O,NB=ND=90°,AB=AD,
.“BAE學(xué)DAF(ASA),
..BE=DF,AE=AF,
?:CB=CD,
CE=CF.
.△AEF「CEF都是等腰三角形.
⑵結(jié)論:PQ=BP+DQ.
理曲如圖2中,延長CB到T,使得BT=DQ,
?.AD=AB,zADQ=zABT=90°,DQ=BT,
..△ADQ*ABT(SAS),
.-.AT=AQ,zDAQ=zBAT,
?.ZPAQ=45O,
.-.NPAT=NBAP+NBAT=NBAP+^DAQ=45",
NPAT=ZPAQ=45°,
?.AP=AP,
.“PAT%PAQ(SAS),
.■.PQ=PT,
?.PT=PB+BT=PB+DQ,
,PQ=BP+DQ.
故答案為:PQ=BP+DQ.
(3)如圖3中,
0B3
1.四邊形ABCD是正方形,
.-.zABM=zACQ=zBAC=450,AC=V2AB,
NBAC=NPAQ=45°,
.-.zBAM=zCAQ,
.“CAQSABAM,
絲=絲=/
BMAB
故答案為:V2
(4)如圖4中,將AADN繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。得至以ABR,連接RM,
D
.-zBAD=90°/zMAN=45°/
??.NDAN+NBAM=45°,
?zDAN=/BAR,
NBAM+NBAR=45。,
???ZMAR=NMAN=45°,
.AR=AN,AM=AM,
「.△AMR%AMN(SAS),
,RM=NM,
.ND=NABR=NABD=45°.
NRBM=90°,
RM2=BR2+BM2,
?.DN=BR,MN=RM,
BM2+DN2=MN2.
【標注】【知識點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)
6如圖,在正方形ABCD中,點。是對角線BD的中點,點P在線段OD上,連接AP并延長交CD于點E,
過點P作PF±AP交BC于點F,連接AF、EF,AF交BD于G,現(xiàn)有以下結(jié)論:①AP=PF;②DE+BF=EF;③PB-PD=V2
BF;(?SAAEP為定值;⑤=S-PG以上結(jié)論正確的有(填入正確的序號即可)
【答案】①②③⑤
【解析】???四邊形ABCD是正方形,PF±AP,
.?.zAPF=zABC=zADE=zC=90°,AD=AB,zABD=45°,
@/zABC+zAPF=180°,
,由四邊形內(nèi)角和可得NBAP+NBFP=180°,
,點A、B、F、P四點共圓,
..NAFP=NABD=45°,
?■.MPF是等腰直角三角形,
,AP=PF,故①正確;
②把AAED繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。得到AABH,如圖所示:
.■,DE=BH,ZDAE=ZBAH,ZHAE=90°,AH=AE,
..NHAF=NEAF=45°,
?.AF=AF,
.“AEP學(xué)AHF(SAS),
..HF=EF,
??-HF=BH+BF,
,DE+BF=EF;故②正確;
③連接AC,在BP上截取BM=DP,連接AM,如圖所示:
1?點0是對角線BD的中點,
.-.OB=OD,BD±AC,
.-.OP=OM,AAOB是等腰直角三角形,
AB=y[2A0,
由①可得點A、B、F、P四點共圓,
/.zAPO=zAFB,
??/ABF=NAOP=90。,
A
.,.△AOP^ABFZ
.OP_OA_AP_y[2
"BF~AB~AF-2'
OPJBF,
?.-BP-DP=BP-BM=PM=20P,
PB-PD=&BF,故③正確;
④過點A作AN,EF于點N,如圖所示
由②可得NAFB=NAFN
?.zABF=zANF=90°,AF=AF,
."ABF當ANF(AAS).
.AN=AB,
若AAEF的面積為定值,則EF為定值,
??點P在線段0D上,
■.EF的長不可能為定值,故④錯誤;
⑤由③可得笫=當
.NAFB=NAFN=NAPG,NFAE=NPAG,
.-.△APG-AAFE,
.GP_AP_y[2
''EF~AF~2'
.S"GP2-1
"S“EP_-心(2、)-2,
1
SA4Gp-ASAAEF,
故⑤正確;
綜上所述:以上結(jié)論正確的有①②③⑤;
故答案為①②③⑤.
【標注】【知識點】四點共圓的應(yīng)用
7已知,如圖,在正方形ABCD中,AD=4,E,F分別是CD,BC上的點,且NEAF=45°,EC=1,將&ADE繞點A沿順時針
方向旋轉(zhuǎn)90。后與MBG重合,連接EF,過點B作BMIIAG,交AF于點M,則以下結(jié)論:①DE+BF=EF,②BF=三
@AF=,④SXMBF=急中正確的是().
A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④
【答案】D
【解析】?.AG=AE,zFAE=zFAG=45°,AF=AF.
.△AFE*AFG(SAS),
.".EF=FG,
DE=BG,
..EF=FG=BG+FB=DE+BF,故①正確,
BC=CD=AD=4,EC=1,
..DE=3,設(shè)BF=x,則EF=x+3,CF=4-x,
在Rt△ECF中,(久+3/=(4-x)2+I2,
解得久7
BF=^,AF=J42+GJ=華,故②正確,③錯誤,
:BM//AG,
.△FBMs^FGA,
SMBM_CFB\2
S^FGA一母
SXFBM=急,故④正確?
故選:D.
【標注】【知識點】正方形中的半角模型
8如圖,正方形ABCD的邊長為a,點E在邊AB上運動(不與點A,B重合),ZDAM45。,點F在射線AM
上,目力尸=0BE,CF與AD相交于點G,連接EC、EF、EG,則下列結(jié)論:
①NECF=45。;
②MEG的周長為(1+乎)因
(3)BE2+DG2=EG2;
④AEAF的面積的最大值是"2;
O
⑤當BE=京時,G是線段AD的中點.
其中正確的結(jié)論是()
A.①②③B.②④⑤C.①③④D.①④⑤
【答案】D
【解析】如圖1中,在BC上截取BH=BE,連接EH,
M
.BE=BH,zEBH=90°,
EH=V2FE,
???AF=V2BE,
.-.AF=EH,
.NDAM=NEHB=45°,NBAD=90°.
.?.zFAE=zEHC=135°,
■.BA=BC,BE=BH,.-.AE=HC,
."FAE%EHC(SAS),
.".EF=EC,zAEF=zECH,
ZECH+NCEB=90°,
???ZAEF+NCEB=90",
..NFEC=90°,
"ECF=NEFC=45。,故①正確;
如圖2中,延長AD到H,使得DH=BE,
貝SCBEVACDH(SAS),
..NECB=NDCH,
NECH=NBCD=90°,
NECG=NGCH=45°,
CG=CG,CE=CH,
."GCE%GCH(SAS),
.-.EG=GH,
■.GH=DG+DH,DH=BE,
,EG=BE+DG,故③錯誤;
."AEG的周長=AE+EG+AG=AE+AD+DH
=AE+AD+EB=AB+AD=2a,故②錯誤;
設(shè)BE=x,則AE=a-x,AF=V2x,
■■■SAAEF=;(a-x)久=—;/+久=一;。一;a)2+ga2,
ZZZZZo
???一VO,
2
當a=京時,3EF的面積的最大值為沙,故④正確;
如圖3,延長AD到H,使得DH=BE,
M
同理,EG=GH,
BE=2則AE=1a,
設(shè)AG=y,則DG=a-y,
14
**?EG=GH=ci-y~ct=-u—y,
在Rt^AEG中,AE2+AG2=EG2,
艮(|?)2+y2=(1a-y)2-
解得y=|a.
.?.當BE=京時,G是線段AD的中點,故⑤正確.
綜上,①④⑤正確.
故選:D.
【標注】【知識點】正方形與全等綜合
9如圖,在平面直角坐標系中以坐標原點0(0,0),A(0,4),B(3,0)為頂點的RfAOB,其兩個銳角對應(yīng)的外角的平
分線相交于點P,且點P恰好在反比例函數(shù)y=強勺圖象上,則k的值為().
A.36B.48C.49D.64
【答案】A
【解析】過點P分別作AB、x軸、y軸的垂線,垂足分別為C、D、E,如圖,
.A(0,4),B(3,0),
.-.OA=4,OB=3,
AB=V32+42=5,
?■?AOAB的兩個銳角對應(yīng)的外角的平分線相交于點P,
?.-PE=PC,PD=PC,
;.PE=PC=PD,
設(shè)P(t,t),則PC=t,
S4P4E+S&PAB+S&PBD+SAOAB=S新CPEOD,
|xtx(t-4)+|x5xt+jxtx(t-3)+|x3x4
=txt,
解得t=6,
.?.P(6,6),
把P(6,6)代入y=kz得k=6x6=36.
故選:A.
【標注】【知識點】反比例函數(shù)的系數(shù)k的幾何意義
10如圖,在正方形ABCD中,AB=6,G是BC的中點將3BG沿AG對折至/FG,延長GF交DC于點E,則DE
的長是().
A.lB.1.5C.2D.2.5
【答案】C
【解析】如圖,連接AE,
.■.AB=AD=AF,zD=zAFE=90°,
在RbAFE和RbADE中,
,AE=AE
[AF=AD
.RtAAFE^RtAADE,
.-.EF=DE,
設(shè)DE=FE=x,則EC=6-x.
■.G為BC中點BC=6,
,CG=3,
在RtAECG中,根據(jù)勾股定理,得:(6-久尸+9=(x+3>,
解得x=2.
則DE=2.
【標注】【知識點】翻折問題與勾股定理
11如圖,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,點E、F分別在BC、CD上,若AE=V^NEAF=45°,則AF的長為
【答案】
【解析】取AB的中點M,連接ME,在AD上截取ND=DF,
BE
設(shè)DF=DN=x,
丁四邊形ABCD是矢巨形,
/.z
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