二級結(jié)論：焦點(diǎn)三角形的面積公式（含答案解析）

二級結(jié)論1:焦點(diǎn)三角形的面積公式

【結(jié)論闡述】1.橢圓中焦點(diǎn)三角形面積公式

22

在橢圓=+==1（。>6>0）中，片，耳分別為左、右焦點(diǎn)，尸為橢圓上一點(diǎn)，^PF=e,

ab2

AP耳匕的面積記為其曄，則：①義曄=；因尸2①尸力/；②&曄

°

③5師&=62tan（其中。"廖.

2.雙曲線中焦點(diǎn)三角形面積公式

22

在雙曲線二-白=1（a>0,b>0）中，K，鳥分別為左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線上一點(diǎn),

ab

^PF2=o,△/華鳥的面積記為幾加，貝IJ：①耳耳帆|=力）；

②S,PFiF=^PFx\\\PF2\^e；③.

注意：在求圓錐曲線中焦點(diǎn)三角形面積時，根據(jù)題意選擇適合的公式，注意結(jié)合圓錐曲線的

定義，余弦定理，基本不等式等綜合應(yīng)用.

【應(yīng)用場景】

【典例指引1】

（2022?湖北?天門教育科學(xué)研究院高二期末）

22

1.已知《、鳥是橢圓C:'+?=l的兩個焦點(diǎn)，尸是橢圓上一點(diǎn)，""=60。,貝屋尸￡心

的面積是（）

4L

A.3B.2C.yV3D.V3

【典例指引2】

（2022?安徽亳州一中高二月考）

試卷第1頁，共10頁

22

2.已知直線卜=息（左HO）與雙曲線方=l（a>0,6>0）交于A,8兩點(diǎn)，以為直徑

的圓恰好經(jīng)過雙曲線的右焦點(diǎn)尸，若△必尸的面積為2r,則雙曲線的離心率為（）

A.72B.V3C.2D.V5

【針對訓(xùn)練】

（2022?吉林吉林?高三期末）

3.已知尸是橢圓/=>6>0）上一動點(diǎn)，K,月是橢圓的左、右焦點(diǎn)，當(dāng)NF'PF]=y

時，"一5當(dāng)線段3的中點(diǎn)落到y(tǒng)軸上時，tan/W則點(diǎn)P運(yùn)動過程中，

F12](82

A.B.JP工

-18F12]

C.

2話,)12切

（2022?天津和平?高二期末）

22

4.雙曲線上-匕=1的兩個焦點(diǎn)分別是02，點(diǎn)尸是雙曲線上一點(diǎn)且滿足N單岑=60。，

169

則的面積為（）

A.25>/3B.16下>C.973D.3拒

（2022?江西鷹潭?高二期末）

5.橢圓C]+（=1的焦點(diǎn)為片，月，點(diǎn)尸在橢圓上，若|3|=8,貝U△巴笆的面積為

（）

A.48B.40C.28D.24

（2022?安徽亳州第一中學(xué)高二期末）

221

6.設(shè)號月是橢圓工+匕=1的兩個焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，且cos/耳尸石、.則APG區(qū)的

12243

面積為（）

A.6B.6拒C.8D.8近

（2022?甘肅?永昌縣第一高級中學(xué)高二期末）

f7T

7.橢圓]+/=1的左右焦點(diǎn)為片、用，尸為橢圓上的一點(diǎn)，ZFtPF2=j,則鳥的面

積為（）

試卷第2頁，共10頁

V3

A.1B.V3C.TD.2

（2022?北京第五十七中學(xué)高二月考）

8.已知橢圓C：（+K，用分別為它的左右焦點(diǎn)，A,B分別為它的左右頂點(diǎn),

點(diǎn)尸是橢圓上的一個動點(diǎn)，下列結(jié)論中錯誤的是（）

4

A.離心率eB.△片尸鳥的周長為18

a

C.直線尸/與直線尸B斜率乘積為定值一卷D.若N4產(chǎn)區(qū)=90°,貝心片尸工的面積為8

（2022?黑龍江?大慶中學(xué)高二期末）

22

9.已知片，鳥分別為橢圓C:1^+%=l（a>6>0）的左右焦點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓上存

在一點(diǎn)P，使得2|。尸|=|大閭，設(shè)直的面積為S,若5=（附|-忸￡「則該橢圓的離

心率為（）

A.-B.|C.—D.—

3223

（2022?山西運(yùn)城?高二期末）

22

10.已知點(diǎn)心凡是雙曲線斗-2=1（°>0,6>0）的左、右焦點(diǎn)，以線段為工為直徑的圓與雙

曲線在第一象限的交點(diǎn)為尸，若歸周=3|尸工則（）

A.|尸周與雙曲線的實(shí)軸長相等

B.△期月的面積為:/

C.雙曲線的離心率為M

2

D.直線3x+2y=0是雙曲線的一條漸近線

（2022?內(nèi)蒙古赤峰?高三期末）

22

11.已知雙曲線土-匕=1的兩個焦點(diǎn)為片，F(xiàn)2,尸為雙曲線上一點(diǎn)，PFQg,在加

916

的內(nèi)切圓的圓心為/,則附1=（）

A2734nV34c3734nV34

3322

（2022?廣東?執(zhí)信中學(xué)高三月考）

12.已知雙曲線C的離心率為百，耳鳥是C的兩個焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，|理|=3|尸尸2〔，若

試卷第3頁，共10頁

△尸￡鳥的面積為逝，則雙曲線C的實(shí)軸長為（）

A.IB.2C.3D.4

（2022?廣西玉林?模擬預(yù)測）

2

13.已知雙曲線C:/-匕=1的左，右焦點(diǎn)為片,乙，尸為雙曲線右支上的一點(diǎn)，NP片居=30。，

2

/是人尸耳月的內(nèi)心，則下列結(jié)論錯誤的是（）

A.是直角三角形B.點(diǎn)/的橫坐標(biāo)為1

C.|尸/|=26-2D.的內(nèi)切圓的面積為打

二級結(jié)論2：圓錐曲線的切線問題

【結(jié)論闡述】

1.過圓C：（x-a）2+（y-b）2=R2上一點(diǎn)尸（七,%）的切線方程為（%-。）（尤-。）+（%-b）（y-6）=玄.

22

2.過橢圓「+」=1上一點(diǎn)P（x。,%）的切線方程為岑+鬢=1.

ab'ab"

3.已知點(diǎn)”（x。,%）,拋物線C：w0）和直線/：yoy=p（x+x0）.

（1）當(dāng)點(diǎn)"（x。,％）在拋物線C上時，直線/與拋物線C相切，其中河為切點(diǎn)，/為切線.

（2）當(dāng)點(diǎn)”（%,%）在拋物線C外時，直線/與拋物線C相交，其中兩交點(diǎn)與點(diǎn)M的連線分

別是拋物線的切線，即直線/為切點(diǎn)弦所在的直線.

（3）當(dāng)點(diǎn)在拋物線C內(nèi)時，直線/與拋物線C相離.

【應(yīng)用場景】圓錐曲線的切線問題常用方法有幾何法，代數(shù)法：比如求圓的切線，常用圓心

到直線的距離等于半徑來解決切線問題，也可以聯(lián)立直線與圓的方程根據(jù)A=0來求解；比

如涉及到橢圓的切線問題，也常常聯(lián)立直線與橢圓的方程根據(jù)A=0來求解；對于拋物線的

切線問題，可以聯(lián)立，有時也可以通過求導(dǎo)來求解.也可以運(yùn)用上述結(jié)論快速得出切線方程.

【典例指引1】

14.過點(diǎn)尸（2,2）作拋物線y=2》的切線/,切線/在了軸上的截距為—.

【典例指引2]

（2022?安徽?六安一中高二期末）

22

15.已知橢圓具有如下性質(zhì)：若橢圓的方程為三+1=1（°>6>0）,則橢圓在其上一點(diǎn)

a2b2v'

試卷第4頁，共10頁

2

/（X。,為）處的切線方程為竽+罟=1,試運(yùn)用該性質(zhì)解決以下問題；橢圓￡：］+/=1,

點(diǎn)2為G在第一象限中的任意一點(diǎn)，過3作￡的切線/,/分別與x軸和y軸的正半軸交于

兩點(diǎn)，則AOCZ）面積的最小值為（）

A.1B.V3C.41D.2

【針對訓(xùn)練】

16.已知過圓錐曲線《+狼=1上一點(diǎn)尸（乙,兒）的切線方程為漢■型=1.過橢圓

mnmn

22

］+:=l上的點(diǎn)/（3,-1）作橢圓的切線/,則過A點(diǎn)且與直線/垂直的直線方程為（）

A.%->一3=0B.x+y-2=0

C.2x+3y-3=0D.3x-y-10=0

17.過圓/+/=〃上一定點(diǎn)尸（匕,兒）的圓的切線方程為x°x+”y=/.此結(jié)論可推廣到圓

22

錐曲線上.過橢圓++?=1上的點(diǎn)作橢圓的切線/.則過A點(diǎn)且與直線/垂直的直線

方程為（）

A.%+>一2=0B.x-y-3=0

C.2x+3y-3=0D.31一》-10=0

（2022?新疆?烏蘇市第一中學(xué)高二月考）

22

18.已知點(diǎn)尸（xj）是橢圓］+亍=1上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)p到直線/：y=x+5的最大距離為（）

A.5.+而B.§.一aC.5V2+V26D.5/一而

22

（2022?廣東佛山?模擬預(yù)測）

22

19.過雙曲線。:三-,=1（〃〉0/>0）上一點(diǎn)尸作雙曲線。的切線/,若直線。尸與直線/的

2

斜率均存在，且斜率之積為《，則雙曲線。的離心率為（）

.V29口廊rV35n回

5355

20.若直線>=區(qū)+2與曲線工=獷藐交于不同的兩點(diǎn)，那么上的取值范圍是

（2022?山西臨汾?一模）

21.過點(diǎn)尸作拋物線C:/=2y的兩條切線，切點(diǎn)分別為”,N.若。為APMN的重心,

試卷第5頁，共10頁

則點(diǎn)。的坐標(biāo)為（）

A.（1,1）B.（0,0）C.［1,；］D.（2,2）

（2022?甘肅?金昌市教育科學(xué)研究所高三月考）

22.傾斜角為135。的直線/與拋物線產(chǎn)=8x相切，分別與x軸、了軸交于A、3兩點(diǎn)，過A,

B兩點(diǎn)的最小圓截拋物線必=8x的準(zhǔn)線所得的弦長為（）

A.4B.2C.272D.亞

23.設(shè)拋物線X?=2眇（?>0）,M為直線>=-2。上任意一點(diǎn)，過“引拋物線的切線，切

點(diǎn)分別為A,B,A,B,"的橫坐標(biāo)分別為苞，XB，x“貝I］（）

A.X4+=2丫加B.xA*XB=x'

112

C.D.以上都不對

（2022?河南?高三月考）

24.已知拋物線C:f=2抄（0<p<6）的焦點(diǎn)為尸，P為C上一點(diǎn)，點(diǎn)/（3,0）,5（1,-2）,

設(shè)/ABP取最小值和最大值時對應(yīng)的點(diǎn)分別為耳，P2,且蛇.康=0，則。=（）

A.4B.3C.2D.1

二級結(jié)論3:圓錐曲線的中點(diǎn)弦問題

【結(jié)論闡述】

22

1.在橢圓C：=+5=15>6>0）中（特別提醒此題結(jié)論適用焦點(diǎn)在X軸上橢圓）：

（1）如圖①所示，若直線>=日（左。0）與橢圓。交于4,3兩點(diǎn)，過4,8兩點(diǎn)作橢圓的切

線有////',設(shè)其斜率為%則太心=-"

a

（2）如圖②所示，若直線歹=點(diǎn)（左。0）與橢圓。交于Z,B兩點(diǎn),尸為橢圓上異于4,5的

點(diǎn)，若直線尸4,P3的斜率存在，且分別為左，k2,則勺&=一土.

a

（3）如圖③所示，若直線>=依+6（4N0,%N0）與橢圓。交于4,B兩點(diǎn)，尸為弦N3的中點(diǎn),

設(shè)直線尸。的斜率為E，貝味/=-與.

試卷第6頁，共10頁

圖①圖②圖③

22r2

2.在雙曲線C：二_3=1.>0,6>0）中，類比上述結(jié)論有（特別提醒此題結(jié)論）：（1）上/=」；

aba

7212

（2）kk=—；（3）kk=—.

x2aaQ

3.在拋物線C：/=2px（p>0）中類比1（3）的結(jié)論有仁wO）.

y（）

【應(yīng)用場景】以上關(guān)于橢圓（雙曲線）的結(jié)論適用于焦點(diǎn)在X軸上橢圓（雙曲線）.圓錐曲

線的中點(diǎn)弦問題常用點(diǎn)差法，但是注意使用點(diǎn)差法后要檢驗(yàn)答案是否符合題意；另外也可以

通過聯(lián)立+韋達(dá)定理求解.

【典例指引1】

（2022?內(nèi)蒙古?海拉爾二中高三期末）

22

25.設(shè)橢圓的方程為二+匕=1,斜率為左的直線不經(jīng)過原點(diǎn)。，而且與橢圓相交于N,B

24

兩點(diǎn)，M為線段43的中點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（）

A.直線N3與垂直；

B.若直線方程為y=2x+2,貝！

C.若直線方程為y=x+l,則點(diǎn)”坐標(biāo)為，怖）

D.若點(diǎn)"坐標(biāo)為（1,1）,則直線方程為2x+y-3=0；

【典例指引2】

（2022?安徽?淮北師大附中高二期中）

22

,Vv

26.已知橢圓E:一=1（a>&>0）的右焦點(diǎn)F與拋物線/=12x的焦點(diǎn)重合，過點(diǎn)F的直

ab

線交E于A、B兩點(diǎn)，若的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1,T）,則E的方程為（）

22

B.工+匕=1

3627

22

D.土+J

189

【針對訓(xùn)練】

（2022?江蘇漂陽?高二期末）

27.將=4上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得到曲線C,若直線/與曲

試卷第7頁，共10頁

線。交于4,5兩點(diǎn)，且45中點(diǎn)坐標(biāo)為M（l,f）,那么直線/的方程為（）

A.x+2y-2=0B.x-2y=0C.2x—jv—3=0D.2x+y+2=0

2022?湖南長沙?高三月考）

28.已知機(jī)，n,s,/為正數(shù)，m+n=4,—I——9,其中冽，〃是常數(shù)，且s+,的最小值是

st

o丫22

［，點(diǎn)M（私〃）是曲線上+匕=1的一條弦的中點(diǎn)，則弦N3所在直線方程為（）

9328

A.x-4y+6=0B.4x-y-6=0

C.4x+y-10=0D.x+4y-10=0

（2022?江蘇鹽城?高二期末）

22

29.橢圓三+三=1中以點(diǎn)M（2,l）為中點(diǎn)的弦所在直線斜率為（）

A.--B.1C.—D.--

9233

（2022?江西南昌?高二期末）

225

30.如圖，雙曲線C:三一二=l（q>0,6>0）,是圓M:（x+2）2+（y-l）2=；的一條直

ab2

徑，若雙曲線。過A,5兩點(diǎn)，且離心率為血，則直線的方程為（）

B.4x+y+6=0

C.x+y+5=0D.2x+>+3=0

（2022?四川?石室中學(xué)一模）

22

31.已知雙曲線C：A-4=1的左、右焦點(diǎn)分別為&-c,0）,匕（c,0）,過片的直線/交雙曲

ab

Q

線C的漸近線于4,3兩點(diǎn)，若I8/|=叵同，s△陽B+S△期&=y2（S"筋表示△/片乙的

面積），則雙曲線。的離心率的值為（）

A.6B.—C.V5D.晅或叵

235

試卷第8頁，共10頁

22

32.設(shè)直線y=2x+f"0)與雙曲線-—『ig>0,b>0)兩條漸近線分別交于點(diǎn)A,B,

若點(diǎn)尸(牝0)滿足歸國=|必則該雙曲線的漸近線方程是()

A.y=i3xB.y=+y[?>x

C.y=+)-xD.y=±—x

39

(2022?江蘇?高三月考)

33.已知/,3在拋物線/=4x上，且線段48的中點(diǎn)為M(l,1),則02尸()

A.4B.5

C.V15D.2vH

(2022?重慶巴蜀中學(xué)高二期中)

34.已知拋物線Cj：V=2pMp>0),其焦點(diǎn)廠到準(zhǔn)線的距離為2,過焦點(diǎn)廠且斜率大于0

的直線/交拋物線于4,2兩點(diǎn)，以為直徑的圓G與準(zhǔn)線相切于點(diǎn)0，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，

\OQ\=6則圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程為()

A.(x-3)2+(y-2)2=16B.(x-2)2+(y-3)2=16

C.(無一3『+(y-2)2=8D.(x-2)2+(y-3)2=8

(2022?湖南邵東?高二期末)

22

35.橢圓方程為5+1=1Q>6>0)橢圓內(nèi)有一點(diǎn)(1/)，以這一點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在的直線

ab

方程為x+2y-3=0,則橢圓的離心率為.

(2022?黑龍江?大慶中學(xué)高二期中)

226

36.已知橢圓C:號+方=l(a>6>0)的離心率為奇，直線/與橢圓。交于4,2兩點(diǎn)且線

段的中點(diǎn)為〃(3,2),則直線/的斜率為.

(2022?上海?復(fù)旦附中高二期末)

22

37.過點(diǎn)W(l,1)作斜率為；的直線與雙曲線「:3-5=1相交于4,3兩點(diǎn)，若M是線段AB

2ab

的中點(diǎn)，則雙曲線r的離心率為.

2

38.已知雙曲線X?-乙=1上存在兩點(diǎn)機(jī)N關(guān)于直線k-x+b對稱，且的中點(diǎn)在拋物線

2

V=3x上，則實(shí)數(shù)6的值為.

試卷第9頁，共10頁

（2022?四川省南充高級中學(xué)高三月考）

22

39.已知雙曲線。:三―%=1（。>0,6>0）的右焦點(diǎn)為尸，虛軸的上端點(diǎn)為8,點(diǎn)P,Q為C

上兩點(diǎn)，點(diǎn)M（-2,1）為弦尸。的中點(diǎn)，S.PQ//BF,記雙曲線的離心率為e,則《?=.

試卷第10頁，共10頁

《專題10解析幾何1》參考答案:

1.D

【分析】利用橢圓的定義結(jié)合余弦定理可求得歸用?1尸用的值，再利用三角形的面積公式可

求得結(jié)果.

22

【詳解】由橢圓C:?+g-=l的方程可得/=4,/=3,c=l,則歸凰+歸身=方=4,

因?yàn)?片根=60°,則歸邸2+|尸閭2_2|尸外|尸囚?os60=|FXF\\

即（附|+\PF2\f-3冏卜陶卜爪f,即16-31刊訃|尸局=4,解得陷卜陷|=4,

因此,“七聞明sin60,=：x4=5

故選：D.

2.D

【分析】求出以42為直徑的圓的方程為x2+/=c2,設(shè)尸=加"所＞〃，貝U"—〃=2a,

通過三角形的面積推出辦"=8/,且"+/=M8F=4C2,聯(lián)立三式，即可求解雙曲線的離心

率.

【詳解】???以為直徑的圓恰好經(jīng)過雙曲線的右焦點(diǎn)廠，

以AB為直徑的圓的方程為x2+y2=c2,

則AF±BF,\AB\=2\OF\=2c,

設(shè)|4F|=加，|BF|=n,

貝=|/B1=4/①，

由對稱性和雙曲線的定義知根-〃=2a②，

=］加,〃=2S,OAF=4/③，

m-n=2a

聯(lián)立三式：,加〃=8/,化簡可得,2=5/,

m'+n2=4c2

:.e=4i-

故選：D.

答案第1頁，共24頁

3.A

,...f211

【分析】設(shè)|明=加,|%先由題意求出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為.需+/1.把西+忸^轉(zhuǎn)化

118

為忸可+商［=嬴，由加+〃=8求出124冽〃<16,即可求得.

【詳解】^\PFx\=m,\PF2\=n,

在中，當(dāng)/片尸乙=（時，由橢圓的定義，余弦定理得：

m+n=2a2

<22c兀、2整理得：mn=^―

m+n-2加〃cos§=（2cJ3

由三角形的面積公式得：S^FPF=lmnsin-=^=4V3,解得：b'12.

△g233

因?yàn)榫€段尸片的中點(diǎn)落到y(tǒng)軸上，又。為《心的中點(diǎn)，所以尸耳〃y軸，即尸

由tan4%=；得盟=g，解得：|明吾，所以小4），

代入橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程得：=+。=1.

a24b2

又有/=/—o2=12,解得：/=16,。2=4,所以橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：—+^=1.

1612

所以加+〃=8.

因?yàn)?。一。（加Wa+c,所以24加K6.

1111m+n8

所以而司+而尚=一+—==——.

|必［\rr2\mnmnmn

因?yàn)榧印?加（8—加）=-m2+8加=-（m-4）2+16,

答案第2頁，共24頁

當(dāng)2v冽W6時，124加〃〈16,

刈所以“1|---尸----\團(tuán)+?--|---尸-----r閱=mn￡[2—?一3」。

故選：A.

【點(diǎn)睛】解析幾何中與動點(diǎn)有關(guān)的最值問題一般的求解思路：

①幾何法：利用圖形作出對應(yīng)的線段，利用幾何法求最值；

②代數(shù)法：把待求量的函數(shù)表示出來，利用函數(shù)求最值.

4.C

【分析】設(shè)|尸耳|=機(jī)，|尸周=〃，可得=2。=2,AF\PF]中再利用余弦定理可得皿=36,

由面積公式即可求得答案.

22

【詳解】■■—-^=1,所以。=4,6=3,c=5,

169

??,尸在雙曲線上，設(shè)忸片|=機(jī)，|尸8|=〃，

\m-n\=2a=S①，

由/斗”二60。，在△片程中由余弦定理可得：

寓用2=陷『+/[_2陽|陀|cos60。，

故100=加2+〃2—加〃=(加—句2+加〃②，

由①②可得冽〃=36,

.??直角A取有的面積S"照=尸周sinN為明=(m"-sin600=9G.

故選：C.

5.D

【分析】根據(jù)給定條件結(jié)合橢圓定義求出1尸￡1,再判斷AS石形狀計(jì)算作答.

22

【詳解】橢圓C：工+匕=1的半焦距c=5,長半軸長a=7,由橢圓定義得

4924

\PF2\=2a-\PFi\=6,

222

而|公尸21=10,且|FtF21=|PFt\+\PF21,則有△尸百巴是直角三角形，Sg=j咫H尸刃=24,

所以人尸4鳥的面積為24.

答案第3頁，共24頁

故選：D

6.B

【分析】利用橢圓的幾何性質(zhì)，得到|尸囿+|尸工|=加=4癡，閨圖=2c=48,進(jìn)而利用

煙/月尸尸2=；得出I尸4H尸閭=18,進(jìn)而可求出SgF。

22

【詳解】解：由橢圓上+匕=1的方程可得1=24萬=12,

1224

所以/=/-6?=12,得a=,c=2也

且歸囿+|尸周=為=4?,閨周=2c=4也，

在巴中，由余弦定理可得

cosNFPFJ^|2+l^|2-1^I2="用+|尸的）2-2|尸耳||尸月|一|耳7f

12

2|助||尸2\PF}\\PF2\

_4.2一4c2-21尸尸］||尸尸21_462—2|尸尸］||戶工|=4x12-21s|陷|

=

二2|P^||PF2|2\PFl\\PF2\~2\PFt\\PF2\~'

而cos/單龍=；,所以，|尸國尸閭=18,

又因?yàn)?，COS/4尸?=；,所以sinN原典=半，

所以，S△尸7第=；戶*P工|■sin4尸工=卜18x6&

故選：B

7.C

【分析】由橢圓方程可得|尸團(tuán)+|尸閭=4,結(jié)合余弦定理求得|尸耳卜|尸乙卜，，最后根據(jù)三角

形面積公式求△Pg的面積.

【詳解】:?點(diǎn)P是橢圓1+必=1上的一點(diǎn)，片、鳥是焦點(diǎn)，

附|+叫=4,即（附|+|尸山）2=16①，

JT

:在△尸中/片尸耳=§,

|尸片『+忸居「_2忸片口尸工|cos2=（26『=12②，

①一②得：附|.附|=；邑小=小片|.因卜嗚=；義全曰=￡

答案第4頁，共24頁

故選：c.

8.D

【分析】根據(jù)離心率的定義可判斷A；利用橢圓的定義可判斷B；求出怎/原B可判斷C；

利用勾股定理以及橢圓的定義求出|咫||尸￡|可判斷D.

22

【詳解】由二+匕=1,可得。=5,6=3,.=，解一注=4,

259

、.c4

A,離心率e=—=—,故A正確；

a5

B,4甲線的周長為|尸蜀+歸閶+陽閶=2a+2c=18,故B正確.

C,設(shè)尸（%,%）,卜,k_%%_4=（一*[9,故C正確；

PA'PB~x+-22

05'x0-5X0-25~X0-2525

D,耳尸鳥=90°,二』尸引尸入『=忸巴『=64,

又因?yàn)?m|+|尸叫=2。=10,所以（忸團(tuán)+|"『=100,

即,閥「+忸町+2附歸工|=100,解得附11尸閭=18,

所以“浙=-尸聞忸用=9,故D錯誤.

故選：D

9.D

21

【分析】由2|。尸1=1小可得”名為直角三角形，故S=（|吶-用『=寸吶質(zhì)且

|尸耳『+忸耳『=|甲葉，結(jié)合盧耳|+|尸引=2%聯(lián)立可得02=手，即得解

【詳解】由題意2|。尸|=|耳聞，故巴為直角三角形，

.?.s=（附HP聞）2=小用質(zhì)I，

221

又（阿|卡聞）=（閥|+匹|）-4|吶囪1=5附||尸馬，附|+|尸用=2。

又在片巴為直角三角形，故歸與「+歸《「=歸丹『，

尸聞+|也|）2一2|尸耳陀瑪|=寓閶2,

答案第5頁，共24頁

故選：D.

10.B

【分析】由題意及雙曲線的定義可得產(chǎn)用，I根I的值，進(jìn)而可得A不正確，計(jì)算邑咫生可

判斷B正確，再求出。，。的關(guān)系可得C不正確，求出“，b的關(guān)系，進(jìn)而求出漸近線的方

程，可得D不正確.

【詳解】因?yàn)閨P印=3|P4又由題意及雙曲線的定義可得：|理H冉|=2%

則|尸耳|=“，|尸￡|=3"2°,所以A不正確；

因?yàn)镻在以片名為直徑的圓上，所以小，尸鳥，

113

2

所以S^F2=-\PFi\-\PF2\=--3a-a=-a,所以B正確；

2

在必△Pg中,由勾股定理可得|片匕|=|尸耳「+1PF2『=10/,

即4c2=10],所以離心率《=￡=回，

a2

所以C不正確；

由C的分析可知：4c2=10/,故所以漸近線的方程為二土%=±*八

2aV2

即A/3X±42y=0,所以D不正確；

故選：B.

11.A

【分析】根據(jù)題意得尸=|^|=io,|^|=y＞進(jìn)而在△尸片《中，利用

等面積法得右尸￡耳的內(nèi)切圓的半徑r=2,再設(shè)《尸片工的內(nèi)切圓與邊尸鳥相切于點(diǎn)H,進(jìn)而

在△板中結(jié)合勾股定理求解即可.

答案第6頁，共24頁

22

【詳解】解：因?yàn)殡p曲線土-匕=1的兩個焦點(diǎn)為《，F(xiàn),尸為雙曲線上一點(diǎn)，PFIF,F,

916222

所以尸［5,3，|PF2|=y,閨￡|=10,

因?yàn)殚y|一|*=2。=6,所以附|=6+|*=/，

設(shè)△產(chǎn)￡鳥的內(nèi)切圓的半徑為r,

則凡.=；（M+I*+1耳閶陽叫明，即三廠=10告，解得，=2,

如圖，設(shè)巴的內(nèi)切圓與邊尸鳥相切于點(diǎn)77,貝1J|田|=2,\HF2\=2,

所以忸川=￡,

所以留|=而不再=行耳=榨=亭

故選：A

12.B

【分析】根據(jù)雙曲線的定義，在笆中，運(yùn)用余弦定理，并結(jié)合I郎|=3|P可和AS區(qū)的

面積建立方程，解出方程即可

【詳解】根據(jù)雙曲線的定義，可得：|sH尸眉

又:附|=3|尸周

解得：|理|=3a,|尸閭=a

雙曲線C的離心率為行，則有：c=V3a

在△尸耳石中，由余弦定理，可得：3/芳桃」尸用：忸?用=」

2\PE\PF.\3

答案第7頁，共24頁

貝I有：sinNRPFLq-

△尸片石的面積為近,可得：；|尸片||叫卜也/片/"=收/=也

解得：a=1

故雙曲線C的實(shí)軸長為：2

故選：B

13.D

【分析】由雙曲線的定義得，|尸凰-|尸閶=2,區(qū)詞=26，設(shè)歸聞=x,|尸耳|=龍+2,由余弦

定理可求解x=2,即可判斷出相_L《8,再由等面積法計(jì)算內(nèi)接圓的半徑，即可得點(diǎn)/的

坐標(biāo)和面積，寫出點(diǎn)尸坐標(biāo)，利用距離公式可求解出|巴|.

【詳解】由已知可得，|尸周一|尸閭=2,閨用=26,設(shè)戶閭=x,|尸周=x+2,則

cosR工=Q+2^+：2-xg得苫=2,所以|尸閶=2,|尸耳卜4,即

2x2,3x(x+2)2

忸國耳聞2=|尸耳2,所以耳匕，所以A正確；設(shè)內(nèi)接圓半徑為「，貝!J

，（忸用+|產(chǎn)園+山丹|）7=：|巴訃閨耳I，得'=百_1,所以/的坐標(biāo)為（1,右一1）,面積為

S="-（6-ly=（4-26卜所以B正確，D錯誤；由題意P（道,2）,

|Pl|=7（V3-l）2+（3-V3）2=2（73-1）;所以C正確；

【分析】設(shè)出切線方程，與拋物線聯(lián)立，利用A=0求得次=工，即可得出所求.

2

【詳解】設(shè)切線斜率為左，則切線方程＞-2=左。-2）,

答案第8頁，共24頁

了12一后（無一2）可得?2_2y_4左+4=0

聯(lián)立方程

y=2x

貝!]A=4—4彳(一4肚+4)=0,解得A=1,

即切線方程為廣2=*-2),

取x=o,得y=i.

...切線/在＞軸上的截距為1.

故答案為：1.

15.C

【解析】設(shè)55,%),區(qū)＞0,必＞0),根據(jù)題意，求得過點(diǎn)B的切線/的方程，即可求得C、

。坐標(biāo)，代入面積公式，即可求得AOCD面積S的表達(dá)式，利用基本不等式，即可求得答案.

【詳解】設(shè)3區(qū),％),區(qū)＞0,必＞0),由題意得，過點(diǎn)8的切線/的方程為：當(dāng)+JV=1,

令＞=0,可得。(2,0),令x=0,可得￡＞(0,工)，

再弘

1211

所以△OCZ)面積S=7x—x—=---,

2%%玉%

又點(diǎn)2在橢圓上，所以1+短=1,

所以5='=萬+乂=三人上2匹江=舊

國弘再弘2%再』2ylx,

當(dāng)且僅當(dāng)9=21,即％=1,弘=包時等號成立，

1

2必X152

所以AOCD面積的最小值為7L

故選：C

【點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意，直接寫出過點(diǎn)8的切線方程，進(jìn)而求得面積S的表達(dá)式,

再利用基本不等式求解，考查分析理解，計(jì)算化簡的能力，屬基礎(chǔ)題.

16.B

【解析】根據(jù)題中所給的結(jié)論，求出過幺(3,-1)的切線方程，進(jìn)而可以求出切線的斜率，利

用互相垂直的直線之間斜率的關(guān)系求出過A點(diǎn)且與直線/垂直的直線的斜率，最后求出直線

方程.

【詳解】過橢圓片+乙=1上的點(diǎn)43,-1)的切線/的方程為包+上？1=1,即x-y_4=0,

124124

答案第9頁，共24頁

切線I的斜率為1.與直線/垂直的直線的斜率為-1,過A點(diǎn)且與直線I垂直的直線方程為

y+l=-(x—3),即x+y_2=0.

故選：B

【點(diǎn)睛】本題考查了求過點(diǎn)與已知直線垂直的直線方程，考查了數(shù)學(xué)閱讀能力，屬于基礎(chǔ)題.

17.A

【解析】根據(jù)類比推理，可得直線/的方程，然后根據(jù)垂直關(guān)系，可得所求直線方程.

22

【詳解】過橢圓會+?=1上的點(diǎn)43,-1)的

切線/的方程為行+三=1,

124

即》7-4=0,切線/的斜率為1,

與直線/垂直的直線的斜率為-1,

過A點(diǎn)且與直線/垂直的

直線方程為＞+1=-(》一3),

即x+y-2=0.

故選：A

【點(diǎn)睛】本題考查類比推理以及直線的垂直關(guān)系，屬中檔題.

18.A

【分析】求出橢圓與直線/平行的切線，它們與/的距離一個最大值一個是最小值.

[22

“尸-1

【詳解】設(shè)直線＞=》+加與橢圓相切，由｛94得13X2+18/MX+9〃/_36=0,

y=x+m

AA=(18m)2-4x13(9m2-36)=0,m=±V13,

切線方程為v=和?=、一4^,與/距離較規(guī)遠(yuǎn)的是v=,

..?所求最大距離為d=HEzi=5'+后.

V22

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查橢圓上的點(diǎn)到直線距離的最值，解題方法是轉(zhuǎn)化為平行直線與橢圓相切，

求出兩平行線間的距離即可.

19.C

答案第10頁，共24頁

【分析】設(shè)尸(2。)，則可得切線/為十華人從而可求出直線/的斜率再

由題意可得%?兒=],則得與=2,進(jìn)而可求出雙曲線的離心率

Q%/5a15

【詳解】設(shè)尸(X。,%),由于雙曲線c在點(diǎn)尸(%,%)處的切線方程為浮-巖=1,故切線/的

ab

斜率先="；因?yàn)樽蟆贰?],則孕?為=￡,則與=2,即雙曲線c的離心率

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查考生直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心

素養(yǎng)，解題的關(guān)鍵是求出雙曲線c在點(diǎn)p(%,%)處的切線方程為將-答=1,則有切線/的

ab

斜率左=竺，再結(jié)題意可得答案，屬于中檔題

a%