反比例函數(shù)核心考點(diǎn)分類突破（解析版）

專題18反比例函數(shù)核心考點(diǎn)分類突破(解析版)

第一部分典百州析

考點(diǎn)一分比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)

類型1比較函數(shù)值的大小

典例1(2022春?上蔡縣期中)已知雙曲線丁=1(ZV0),過點(diǎn)(1,yi),(3,?),(-2,”)，則下列結(jié)論

正確的是()

A.yi<y2<y?)B.y3<yi<y2C.丁2〈*<丁1D.y3<y2<y\

思路引領(lǐng)：根據(jù)左的符號(hào)確定反比例函數(shù)圖象所在的象限，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案.

解:Vfc<0,

反比例函數(shù)(%<0)的圖象在第二、四象限，

?反比例函數(shù)的圖象過點(diǎn)(1,a)、(3,工)、(-2,*),

.?.點(diǎn)(1,yi)、(3,*)在第四象限，(-2,”)在第二象限，

.*.yi<y2<0,y3>0,

故選：A.

總結(jié)提升：本題考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用，注意：當(dāng)％<0時(shí)，反比例函數(shù)y=[*<0)

的圖象在第二、四象限，在每個(gè)象限內(nèi)y隨尤的增大而增大.

典例2(2022秋?惠城區(qū)校級(jí)期末)已知點(diǎn)A(3,yi),8(-6,”)，C(-5,”)都在反比例函數(shù)y=1的

圖象上，貝U()

A.yi<y2<y3B.y3<y2<yiC.y3<yi<y2D.y2<yi<y3

思路引領(lǐng)：根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)得出反比例函數(shù)的圖象在第一、三象限，且在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的

增大而減小，再根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)得出即可.

4

解：:反比例函數(shù)y=1中，左=4>0,

???反比例函數(shù)的圖象在第一、三象限，且在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小，

.點(diǎn)A(3,yi),B(-6,”)，C(-5,*)都在反比例函數(shù)y=]的圖象上，

：.B,C在第三象限內(nèi)，A在第一象限內(nèi),

.'.yi>0,y3<y2<0

：.y3<yi<y\,

故選：B.

總結(jié)提升：本題考查了反比例函數(shù)圖象和性質(zhì)，能熟記反比例函數(shù)的性質(zhì)的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵.

①y隨尤的增大而減??；②點(diǎn)（6,-6）一定在函數(shù)的圖象上；

③當(dāng)x>3時(shí)，y>0；④當(dāng)x<2時(shí)，（Z-l）x+6<0.其中正確的個(gè)數(shù)為（）

A.4B.3C.2D.1

思路引領(lǐng)：根據(jù)待定系數(shù)法求得解析式，然后根據(jù)一次函數(shù)的特點(diǎn)進(jìn)行選擇即可.

解：由題意得，當(dāng)x=l時(shí)，y=4,當(dāng)x=0時(shí)，y=6,

解得：好=12,

3=6

函數(shù)解析式為：y=-2x+6,

①；k=-2<0,

隨尤的增大而減小，正確；

②當(dāng)x=6時(shí)，y=-2x6+6=-6,

...點(diǎn)（6,-6）一定在函數(shù)y=fcc+6的圖象上，正確；

③由表格得出當(dāng)x>3時(shí)，y<0,故錯(cuò)誤；

④由表格得出當(dāng)x<2時(shí)，kx+b>x,

（%-1）x+b>0,故錯(cuò)誤；

故選：C.

總結(jié)提升：本題主要考查對(duì)一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式等知識(shí)點(diǎn)

的理解和掌握，能求出一次函數(shù)的解析式是解此題的關(guān)鍵.

類型3由性質(zhì)逆推函數(shù)解析式

典例4（2022?泰州）已知點(diǎn)（-3,和）、（-1,y2）、（1,"）在下列某一函數(shù)圖象上，且"<yi<y2,那么

這個(gè)函數(shù)是（）

A.y—3xB.y=3/C.y=,D.y=一（

思路引領(lǐng)：根據(jù)所學(xué)知識(shí)可判斷每個(gè)選項(xiàng)中對(duì)應(yīng)的函數(shù)的增減性，進(jìn)而判斷”，J1,”之間的關(guān)系，再

判斷即可.

解：A.y=3無，因?yàn)?>0,所以y隨x的增大而增大，所以不符合題意；

B.y=37,當(dāng)x=l和x=-l時(shí)，y相等，即*=",故不符合題意；

C.y=當(dāng)x<0時(shí)，y隨x的增大而減小，%>0時(shí)，y隨x的增大而減小，所以"VyiV",不符合題

忌；

D.y=-*當(dāng)x<0時(shí)，y隨尤的增大而增大，x>0時(shí)，y隨x的增大而增大，所以*符合題

忌；

故選：D.

總結(jié)提升：本題主要考查一次函數(shù)的性質(zhì)，反比例函數(shù)的性質(zhì)及二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)

是解題關(guān)鍵，也可直接代入各個(gè)選項(xiàng)中的函數(shù)解析中，再判斷y的大小.

考點(diǎn)二反比例函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征

類型1求比例系數(shù)k的值

典例5（2022?南通）平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)ACm,6m）,B（3小，2n）,CQ-3m,-2w）是函數(shù)

y=*（#0）圖象上的三點(diǎn).若S”BC=2,則上的值為.

思路引領(lǐng)：連接。4,作無軸于。，BE,無軸于E,由2、C點(diǎn)的坐標(biāo)可知2、C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則

BO=CO,即可求得SAAOB—1,根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義得出SAAOB—S梯形ADEB+SAAOD-SABOE

112

=S梯形AOE8,即可得出］［6〃+2刈?|3加-刑=1,求得機(jī)2=￡由于女=6—,即可求得％=不

解：如圖，連接OA,作軸于。，BELL%軸于E,

?點(diǎn)A（m6m）,B（3m,2"），C（-3m,-2"）是函數(shù)y=］（際0）圖象上的三點(diǎn).

??攵=6m2=6m〃,

??n"z，

?\B(3m,2m),C(-3m,-2m),

B、C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,

?SAABC=2,

S^AOB=1,

e?*S/^AOB=S梯形AOE3+SzkAO￡)-S^BOE=S梯形4OE8,

.1

|6m+2me|3m-m\=l,

/.m2=，

??

?k7=6,xo1，

o

??女一4,

3

故答案為G

總結(jié)提升：本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義,三角形的面積，求得AAOB

的面積為1是解題的關(guān)鍵.

典例6(2022?堇洲區(qū)校級(jí)一模)如圖，點(diǎn)A、2在反比例函數(shù)尸方(x>0)的圖象上，延長(zhǎng)交x軸于C

點(diǎn)，若△AOC的面積是24,且點(diǎn)8是AC的中點(diǎn)，則上的值為()

K

cX

4020

A.—B.16C.8D.—

33

思路引領(lǐng)：先根據(jù)8是AC的中點(diǎn)，表示出ABOC的面積，再利用人的幾何意義表示出△AOH和ABOG

的面積，即可得出AAHC和A8GC的面積，易證△AHCS/\8GC,根據(jù)面積的比等于相似比的平方，列

方程即可求出左的值.

解：連接。8,過點(diǎn)A作軸于點(diǎn)過點(diǎn)8作無軸于點(diǎn)G,如圖所示：

?.,B是AC的中點(diǎn)，

?_1_1_

??S〉BOC~2sMOC=]x24=12，

根據(jù)k的幾何意義，

SxAOH=S2BOG=*匕

1

ASLAHC=SLAOC-S"o”=24-y，

1

SLBGC=S^BOC-5ABOG=12—2

ZAHC=ZBGC=90°,

NACH=/BCG,

：.AAHC^ABGC,

???8是AC的中點(diǎn)，

J相似比為1：2,

工面積的比為1：4,

即SABGCS^AHC=1：4,

i1

（12—訝々）：（24一,上）=1：4,

解得％=16.

故選：B.

總結(jié)提升：本題考查了反比例函數(shù)的幾何意義，運(yùn)用三角形中線的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)是解決本

題的關(guān)鍵.

類型2判斷變化趨勢(shì)

典例7（2022?丹東一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A是雙曲線y=|（尤＞0）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)A

作無軸的垂線，交x軸于點(diǎn)8,點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)過程中AAOB的面積將會(huì)（）

X

A.逐漸增大B,逐漸減小

C.先增大后減小D.不變

思路引領(lǐng)：比例系數(shù)k的幾何意義：在反比例函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)象坐標(biāo)軸作垂線，這一點(diǎn)和垂足以

1

及坐標(biāo)原點(diǎn)所構(gòu)成的三角形的面積是習(xí)用，且保持不變，所以點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)過程中AAOB的面積將會(huì)不變，都

1

據(jù)此解答即可.

解：根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)上的幾何意義，可得

點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)過程中AAOB的面積將會(huì)不變，

1

△408的面積為：-X3=1.5.

2

故選：D.

總結(jié)提升：此題主要考查了反比例函數(shù)系數(shù)％的幾何意義的應(yīng)用，解答此題的關(guān)鍵是要明確：在反比例

函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)象坐標(biāo)軸作垂線，這一點(diǎn)和垂足以及坐標(biāo)原點(diǎn)所構(gòu)成的三角形的面積是衣用，且保

持不變.

類型3求幾何圖形的面積

典例8（2022?如皋市模擬）如圖，點(diǎn)A為函數(shù)（尤＞0）圖象上一點(diǎn)，連接。A,交函數(shù)（尤＞0）

的圖象于點(diǎn)3,點(diǎn)C是尤軸上一點(diǎn)，且AO=AC,則AABC的面積為

思路引領(lǐng)：根據(jù)題意可以分別設(shè)點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)。、42在同一條直線上可以得到4、2的

坐標(biāo)之間的關(guān)系，由AO=AC可知點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是點(diǎn)A橫坐標(biāo)的兩倍，從而可以得到AABC的面積

解：

41

設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a,-）,點(diǎn)2的坐標(biāo)為（6,-）

ab

???點(diǎn)。是x軸上一點(diǎn)，且AO=AC

?,?點(diǎn)。的坐標(biāo)為（2m0）

…」，，，，4

設(shè)過點(diǎn)0、點(diǎn)A的解析式為y=辰，則一=ka

a

4

直線04的解析式為：y=Ax

又??,點(diǎn)3在直線0A上，

14

TA

a2

：.—=4

bz

a

：.-=±2（負(fù)值不合題意，舍去）

b

1411

AS/^ABC=S^AOC-SXOBC=2乂2。*工一2乂2。*萬=4-2=2

故答案為：2

總結(jié)提升：此題主要考查反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.通過一次函數(shù)，三角形面積的計(jì)算，突出考

查的目的.

類型4求點(diǎn)的坐標(biāo)或字母的值

典例9（2022春?寶應(yīng)縣期末）如圖，點(diǎn)A和點(diǎn)E（2,1）是反比例函數(shù)＞=（（尤＞0）圖象上的兩點(diǎn)，點(diǎn)B

在反比例函數(shù)（尤＜0）的圖象上，分別過點(diǎn)A、3作y較的垂線，垂足分別為點(diǎn)C、D,AC=BD,

連接AB交y軸于點(diǎn)F.

（1）求公

（2）設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為。，點(diǎn)產(chǎn)的縱坐標(biāo)為機(jī)，求證：am=-2.

（3）連接CE、DE,當(dāng)/。即=90。時(shí)，求A的坐標(biāo).

思路引領(lǐng)：(1)將點(diǎn)E的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)y=1(尤>0),即可得出答案；

(2)首先表示出A,8的坐標(biāo)，再利用ASA證明AACT四得CF=DF,從而得出P的縱坐標(biāo)；

8,___________2

(3)根據(jù)NCED=90。，得CD=2EF,則一=2722+(1-以尸,由(2)知，一=一相，代入解關(guān)于根的

aa

方程即可.

(1)解：???點(diǎn)E(2,1)是反比例函數(shù)y=?(x>0)圖象上的點(diǎn)，

???左=1x2=2；

(2)證明：??,點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為m

2

???點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為一，

a

9：AC=BD,

9：AC//BD,

：.ZCAF=/DBF,ZACF=NBDF,

?；AC=BD,

/.AACF^ABDF(ASA),

JCF=DF,

?,?2

m=—a,

/.am=~2；

(3)解：VZCED=90°,CF=DF,

:?CD=2EF,

8「------------------------

=2〃2+(1-zn)2,

2

由(2)知，—=—m,

a

-4m=242+(1—771)2,

解得m=l或一I，

當(dāng)m—\時(shí)，a=-2(舍去),

當(dāng)力=一■!時(shí),a=

65

/.A（一，-

53

總結(jié)提升：本題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，全等三角形的判

定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，運(yùn)用方程思想是解題的關(guān)鍵.

典例10（2022春?新吳區(qū)期末）如圖，點(diǎn)A、。分別在函數(shù)＞=一$的圖象上，點(diǎn)2、C在x軸上，若

四邊形A2C。為正方形，點(diǎn)A在第二象限，則A的坐標(biāo)為

思路引領(lǐng)：設(shè)點(diǎn)B（b,0）,點(diǎn)C（a,0）利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征表示A3、BC、CD,再根

據(jù)正方形的性質(zhì)求出b的值即可.

解：設(shè)點(diǎn)3（6,0）,點(diǎn)C（。，0）,

?.?點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=—］的圖象上，

11

*,*點(diǎn)A（A,—萬），即OB=-b,AB=—￡

?..點(diǎn)C在反比例函數(shù)y=1的圖象上，

33

???點(diǎn)0（。，即OC=〃，CD=-,

aa

又A3CO是正方形，

：.AB^BC=CD,

1,3

即nn一工=a-b=一,

ba

Q1

解得a=2，b=-

.?.點(diǎn)A（-1,2）,

故答案為：（—/,2）.

總結(jié)提升：本題考查反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及正方形的性質(zhì)，理解反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐

標(biāo)特征以及正方形的性質(zhì)是正確解答的前提，設(shè)出點(diǎn)3,點(diǎn)C坐標(biāo)，分別表示出正方形的邊長(zhǎng)是解決問

題的關(guān)鍵..

考點(diǎn)3反比例系數(shù)的幾何意義

類型1求反比例系數(shù)

典例11（2021?寶應(yīng)縣一模）如圖，團(tuán)ABC。的頂點(diǎn)A、8在x軸上，頂點(diǎn)。在y軸上，頂點(diǎn)C在第一象限，

反比例函數(shù)尸2（尤＞0）的分支過點(diǎn)C,若團(tuán)ABCD的面積為3,則仁.

思路引領(lǐng)：過C作CE_LA3,通過說明ADOA絲/XCEB,可得矩形。。CE的面積等于平行四邊形ABC。

的面積，設(shè)出點(diǎn)C的坐標(biāo)，用坐標(biāo)表示出線段CE,OE,結(jié)論可求.

解：如圖，過點(diǎn)C作CE_L4B于E,連接。C,

,/團(tuán)的面積為3,

：.AB-CE^3.

'：四邊形ABCD是平行四邊形,

.AD=BC,AD//BC.

：.ZDAO=ZCBA.

VDOXAO,CELAB,

：.ZDOA=ZCEB=90°.

：.ADOA^ACEB(AAS).

S&ODA=S〉CEB.

??S矩形OOEC=S平行四邊形ABC￡)=3?

；?OE?CE=3.

設(shè)C(mb),

???c在第一象限，

/.4z>0,b>0,

/.OE=a,CE=b.

OE*CE=ab=3.

??左=cib—~3.

故答案為：3.

總結(jié)提升：本題主要考查了反比例函數(shù)的系數(shù)k的幾何意義，反比例函數(shù)的圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，

平行四邊形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì).用點(diǎn)的坐標(biāo)表示相應(yīng)線段的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵.

典例12如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過原點(diǎn)的一條直線分別與反比例函數(shù)y=(x<0)和反比例函數(shù)

>=三(x>0)的圖象交于A、B兩點(diǎn)，且08=204則k的值為.

思路引領(lǐng)：過點(diǎn)A作ACLx軸于點(diǎn)C,過點(diǎn)B作軸于點(diǎn)。，則可證出△AOCs/^e。。，根據(jù)相似

三角形的性質(zhì)結(jié)合反比例函數(shù)系數(shù)上的幾何意義即可求出左值，再根據(jù)反比例函數(shù)y=((尤>0)的圖象

在第四象限，可確定左值，此題得解.

解：過點(diǎn)A作ACLx軸于點(diǎn)C,過點(diǎn)B作2。，無軸于點(diǎn)如圖所示.

VAClxtt，8D_Lx軸,

，ZACO=ZBDO=90°.

XVZAOC=ZBOD,

：.△AOCs^BOD,

.S〉BOD(B02日門網(wǎng)

..---------=(-)z=4A,即—=4A,

S^AOC401

***Z=±4.

?..反比例函數(shù)y=((尤＞0)的圖象在第四象限,

:?k=-4.

總結(jié)提升：本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題、相似三角形的判定與性質(zhì)以及反比例函數(shù)系

數(shù)k的幾何意義，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)結(jié)合反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義求出k值是解題的關(guān)鍵.

類型2求幾何圖形的面積

典例13（2022春?雨花區(qū)校級(jí)月考）如圖，正比例函數(shù)y=Ax與函數(shù)y=1的圖象交于A,2兩點(diǎn)，BC//x

軸，AC〃y軸，貝|SAABC=.

思路引領(lǐng)：先設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)反比例函數(shù)正比例函數(shù)的中心對(duì)稱性再確定B點(diǎn)坐標(biāo)，于是可得到C點(diǎn)

坐標(biāo)，然后根據(jù)三角形面積公式進(jìn)行計(jì)算.

44

解：設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（相，—）,則3點(diǎn)坐標(biāo)為1-m,

m血

；點(diǎn)坐標(biāo)為（m,

.cm

o

：.AC=mBC=2m,

ii8

/.AABC的面積=^AC?BC=5*2m*—=8.

乙乙m

故答案為：8.

總結(jié)提升：本題考查了反比例函數(shù)一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)得出A、8、C的坐標(biāo)是解題的

關(guān)鍵.

考點(diǎn)4反比例函數(shù)綜合題

類型1反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合

典例14（2021?武漢模擬）將雙曲線向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的新雙曲

線與直線y=kx-2-k（Z>0）相交于兩點(diǎn)，其中一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為a,另一個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為b,則

-1）（8+2）的值為（）

A.-4B.-3C.4D.9

思路引領(lǐng)：由于一次函數(shù)》=履-2-左過定點(diǎn)尸（1,-2）,P（1,-2）恰好是原點(diǎn)（0,0）向右平移1

個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到的，雙曲線y=|向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移2

個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的新雙曲線與直線>=區(qū)-2-左（左>0）相交于兩點(diǎn)，在平移之前是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的，

表示出這兩點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)中心對(duì)稱兩點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系求出答案.

解：?.?一次函數(shù)y=fcv-2-左1>0）,

當(dāng)x=1時(shí)，y=-2,

...一次函數(shù)的圖象過定點(diǎn)P（1,-2）,

???P（1）-2）恰好是原點(diǎn)（0,0）向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到的，

...將雙曲線向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的新雙曲線與直線y=fcc-2-

k（左>0）相交于兩點(diǎn),

33

???在平移前是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的，平移前，這兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（…,—（―-,6+2）,

(a-1)32)=-3,

故選：B.

總結(jié)提升：本題考查一次函數(shù)、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，理解平移之前，相應(yīng)的兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)

對(duì)稱是解決問題的關(guān)鍵.

典例15(2022春?海安市期中)平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=2尤與雙曲線y=((k>2)相交于A,B兩

點(diǎn)，其中點(diǎn)A在第一象限.設(shè)1)為雙曲線y=[(k>2)上一點(diǎn)，直線AM,分別交y軸于C,

D兩點(diǎn)，則0C-0D的值為.

思路引領(lǐng)：設(shè)A(a,2a),則2(-a,-2a),分別待定系數(shù)法求出AM和的解析式，進(jìn)一步求出C

和。點(diǎn)坐標(biāo)，即可求OC-OD的值.

解：根據(jù)題意，設(shè)A(a,2a),則5(-o,-2a),

VM(m,1),

設(shè)AM的解析式為y=nx+b(?0),

代入4M點(diǎn)坐標(biāo),得｛黑置受

2。一1

n=

解得《a—m

a—2amf

b=

Ka-m

2a—1,a—2am

?9?AM的解析式為y=-------xd-----------

a—ma—m

a-2am

：.C(0,----------),

a-m

a—2am

：.OC=

a—m

設(shè)的解析式為y=5+d(存0),

代入B,M點(diǎn)坐標(biāo)，得｛藍(lán)一2a

l+2a

解得《m+a

a—2am9

d=

m+a

???2M的解析式為產(chǎn)鼎+嚎祟

a-2am

：.D(0,----------),

m+a

?八八a—2.cun

??(JD=-----；--

m+a

?：A,M都在反比例函數(shù)圖象上,

a92a=m*l,

??m~~2〃2,

?c—八八a—2am,a—2am2a2—4a2m八

??OC-OD=-------1----：=o---o-=2,

a—mzn+aaz—mz

故答案為：2.

總結(jié)提升：本題考查了反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)坐標(biāo)特征，熟練掌握待定系數(shù)法求解析式是解題的關(guān)鍵.

類型2反比例與三角形綜合

典例16（2022?宿遷）如圖，點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=|（x>0）的圖象上，以O(shè)A為一邊作等腰直角三角形

OAB,其中/O4B=90。，AO^AB,則線段OB長(zhǎng)的最小值是（）

思路引領(lǐng)：根據(jù)三角形0A8是等腰直角三角形，當(dāng)最小時(shí)，OA最小，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式解

答即可.

解：?.?三角形OAB是等腰直角三角形，

.,.當(dāng)08最小時(shí)，最小，

一2

設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（〃，-）,

7

???(J/>0,

c4

即：a2-|———4K),

-4

/?M-|--y24,

a￡

「(a-72。，

9

兩邊同時(shí)開平方得：a--=0,

/.當(dāng)a=(時(shí)，0A有最小值，

解得。1=應(yīng)，a2=-y[2（舍去）,

點(diǎn)坐標(biāo)為（V2,V2）,

：.OA=2,

,/三角形OAB是等腰直角三角形，0B為斜邊,

OB=V2OA=2V2.

總結(jié)提升：本題主要考查了反比例函數(shù)，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

類型3反比例與四邊形綜合

17.（2021?鼓樓區(qū)校級(jí)模擬）如圖，矩形042c的兩邊落在坐標(biāo)軸上，反比例函數(shù)y=的圖象在第一象限

的分支交于點(diǎn)尸，交BC于點(diǎn)E,直線PE交y軸于點(diǎn)D交x軸于點(diǎn)R連接AC.則下列結(jié)論：

①四邊形ADEC為平行四邊形；②S四邊形ACFP=2A；③若SACEF=1,SAPBE=4,則k=6；④若3Ap=BP,

則4DA=DO.

kk

思路引領(lǐng)：設(shè)點(diǎn)5的坐標(biāo)為（。，a）,得到尸（一，a）,E（b,利用待定系數(shù)法求出直線PE的解析

ab

rjk_kk

式為尸一箕+"a,再求出/（,+6,0）,P（-,a）,從而證出AP=CF,所以四邊形。48c是矩形，

證得四邊形AC尸尸是平行四邊形，所以S四邊形4（7b=。尸?。4=，?。=總故②錯(cuò)誤；由AC〃。品OA////

BC,可證得四邊形ADEC是平行四邊形，故①正確；先由S^CE尸=1,判斷出二=2,再由SMBE=4,

ab

Ikk_

得出一（匕一3）?（。-弋）=4,可求出k=6,判斷出③正確；由3AP=BP,判斷出ab=4k,再求出點(diǎn)。

2a0

坐標(biāo)，即可判斷出④錯(cuò)誤；即可得出結(jié)論.

解：設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6,a）,

?..四邊形ABC。為矩形，

.*.A（0,a）,C（6,0）,

?..點(diǎn)P,E在反比例函數(shù)圖形上，

kk

/.P（一,a）,EQb,—）,

ab

/.直線PE的解析式為k-拉+號(hào)+a,

令y=0,代入得，尤=：+%,

k

.'.F（一+b,0）,

a

/.CF=—+b-b=

CLCL

k

VP（一,〃），

a

..?k

..AP=—,

a

：.AP=CFf

???四邊形043。是矩形，

：.OA//BC,AB//OC,

???四邊形ACFP是平行四邊形，

???5四邊形4。尸產(chǎn)=。？。4=，〃=也故②錯(cuò)誤;

?/四邊形ACFP是平行四邊形，

：.AC//DF,

*：OA////BCf

???四邊形ADEC是平行四邊形，故①正確;

*.*S^CEF=1,

1cfk

-X-X--1

2ab

2

---

ad2,

S^PBE=4,

1kk

，一(。-),(tZ--r)=4,

2ab

???小左-4+*=8,

ab

卜2

???——―2%-6=0,

2

k=-2(舍)或％=6,故③正確,

若3A尸=3尸,

AP1

則而=一,

3

AP1

AB~4’

,:B(Z?,a),

??AB=b,

k

VP(一,a),

a

：.AP=

a

k

._-a____I

??—―,

b4

??ctb^~A-kf

+上+4

??,直線PE的解析式為y=b_

k

(0,—+a),

b

9：A(0,〃)，

kk

??AZ）二5+a—4=B，

k

.?.儀=尊-=7*=丁，=g故④錯(cuò)誤；

DO-k+abk+4k5

b+a

???正確的有①③.

故答案為：①③.

總結(jié)提升：本題是反比例函數(shù)的綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，三角形和平行四邊形的面積，平行四邊

形的判定和性質(zhì)，待定系數(shù)法，判斷出四邊形APRS是平行四邊形是解本題的關(guān)鍵

第二部分專題理優(yōu)別綜

一.選擇題（共7小題）

1.（2020春?江岸區(qū)校級(jí)月考）如圖P為雙曲線y=］上到原點(diǎn)的線段的長(zhǎng)度最短的一個(gè)點(diǎn)，若/APB=45。,

交尤、y軸于A、B點(diǎn),則AAOB的面積為（）

A.2kB.42k

C.kD.與女無關(guān)的一個(gè)確定值

思路引領(lǐng)：由尸為雙曲線y=］上到原點(diǎn)的線段的長(zhǎng)度最短的一個(gè)點(diǎn)，可得點(diǎn)尸在第一象限的角平分線上,

于是OP=6k.通過說明△尸8。，得出比例式，三角形面積可求.

解：連接OP,貝1」。尸=魚上.如圖，

NAPB=45。,

ZAPO+ZBPO=45°.

???o尸為第一象限的角平分線,

：.ZPOy=45°.

：.ZPBO+ZOPB=45°.

：.ZAPO=ZPBO.

9：ZAOP=ZPOB=90°+45°=135°,

.OAOP

"OP~OB'

OP2=OA^OB.

111

/.SA4HOUB"=2nOAXOB=2弓OP2=52X2k=k.

故選：C.

總結(jié)提升：本題主要考查了反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，三角形相

似的判定與性質(zhì)，依據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)表示相應(yīng)線段的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵.

2.（2016?本溪）如圖，點(diǎn)A、C為反比例函數(shù)y=］（xV0）圖象上的點(diǎn)，過點(diǎn)A、C分別作軸，CD±

x軸，垂足分別為8、D,連接。4、AC、OC,線段OC交AB于點(diǎn)E,點(diǎn)E恰好為0c的中點(diǎn)，當(dāng)AAEC

A.4B.6C.-4D.-6

k1/c12/c

思路引領(lǐng)：設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為（相，一），則點(diǎn)E（-m,----）,A（二m,一）,根據(jù)三角形的面積公式可得

m22m2m

出S^AEC=一*=I，由此即可求出左值.

k17cl2k

解：設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為（m,—）,則點(diǎn)七（一m,）,A（一m,一）,

m22m2m

i112kk33

*.*S^AEC=^BD*AE=□（-m-m）?（——----）=一水=亍,

222m2m82

:?k=-4.

故選：C.

總結(jié)提升：本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是設(shè)出點(diǎn)。的坐標(biāo)，利用點(diǎn)。的橫

坐標(biāo)表示出A、5點(diǎn)的坐標(biāo).本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，利用反比例函數(shù)圖象上

點(diǎn)的坐標(biāo)特征表示出點(diǎn)的坐標(biāo)是關(guān)鍵.

3.（2021秋?渭濱區(qū)期末）如圖，反比例函數(shù)y=（的圖象經(jīng)過A（-1,-2）,則以下說法錯(cuò)誤的是（）

A.k=2B.x>Q,y隨x的增大而減小

C.圖象也經(jīng)過點(diǎn)8（2,1）D.當(dāng)尤<-1時(shí)，-2

思路引領(lǐng)：把A（-1,-2）代入反比例函數(shù)的解析式能求出k,把A的坐標(biāo)代入一次函數(shù)的解析式得

出關(guān)于左的方程，求出方程的解即可.

解：把A（-1,-2）代入反比例函數(shù)的解析式得：k=xy=2,故A正確；

,.”=2>0,

...y隨工的增大而減小，

：.x>0,y隨x的增大而減小，故3正確；

?反比例函數(shù)的解析式為y=p

把尤=2代入求得y=l,

圖象也經(jīng)過點(diǎn)8（2,1）,故C正確；

由圖象可知x<-l時(shí)，貝故。錯(cuò)誤；

故選：D.

總結(jié)提升：本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，主要考查反比例函數(shù)的性質(zhì)，題目較好，難度

適中.

4.（2021春?南開區(qū)校級(jí)月考）若點(diǎn)A（xi,-3）,B（尤2,1）,C（冷，3）在反比例函數(shù)y=―1的圖象上,

則％1,XI,%3的大小關(guān)系是（）

A.X1<X2<X3B.X3<X1<X2C.X1<X3<X2D.3Vxi

思路引領(lǐng)：根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)可以判斷出11，X2,%3的大小關(guān)系，本題得以解決.

解：\9k=-9,

...反比例函數(shù)丫=-*的圖象在二四象限，且在每個(gè)象限y隨x是增大而增大，

?.?在第二象限內(nèi)的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)都大于零，在第四象限內(nèi)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)都小于零，

?.?點(diǎn)A（xi,-3）,B（X2,1）,C（X3,3）在反比例函數(shù)y=的圖象上，

/?X2<X3<X1,

故選：D.

總結(jié)提升：本題考查反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用反比例函數(shù)的

性質(zhì)解答.

5.（2017秋?槐蔭區(qū)期末）某一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1,2）,且y隨x的增大而減小，則這個(gè)函數(shù)的表達(dá)

式可能是（）

A.y=2x+4B.y=-2x+4C.y=3x+lD.-y=3x-1

思路引領(lǐng)：設(shè)一次函數(shù)關(guān)系式為y隨尤增大而減小，則左<0；圖象經(jīng)過點(diǎn)（1,2）,可得公b

之間的關(guān)系式.綜合二者取值即可.

解：設(shè)一次函數(shù)關(guān)系式為

?..圖象經(jīng)過點(diǎn)（1,2）,

:.k+b=2；

隨尤增大而減小，

：.k<0.

即左取負(fù)數(shù)，滿足k+b=2的鼠6的取值都可以.

故選：B.

總結(jié)提升：本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式及一次函數(shù)的性質(zhì)，為開放性試題，答案不唯一.只

要滿足條件即可.

6.（2021?北倍區(qū)校級(jí)模擬）如圖，一次函數(shù)y=:加+〃（相加）的圖象與反比例函數(shù)y=-竽的圖象相交于

AD1

A、5兩點(diǎn)，延長(zhǎng)50父反比例函數(shù)圖象的另一支于點(diǎn)C,連接AC交工軸于點(diǎn)。，若大=貝lUABC

AC4

28V332V3

A.8V3C.10V3

思路引領(lǐng)：根據(jù)2、C的對(duì)稱性，只要求得AAOB的面積，即可求得AABC的面積.

解：如圖：作AE_Lx軸于E,CFJ_x軸于RAG_Lx軸于G,

.'.AE//CF,

：.AAEDsACFD,

.AEAD

??=,

CFCD

AD1

t?t——，

AC4

eAEAD1

??CF-CD-3’

設(shè)AE=m貝IJC尸=3”，

4^/34^3

/.A（-----,a）,C（---，-3〃）,

a3a

根據(jù)對(duì)稱性可得點(diǎn)8（-冬g，3a）.

VSAAOB=SABOG+S梯形ABGE-S^AOE=S梯形ABGE,

?C_1/q、,4樂4氏_16V3

??S^AOB=（4+3”）\-5----1------）=—5-9

z3QCLD

.—”_32/3

?c?S/^ABC23AAO5一，

故選：D.

總結(jié)提升：本題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，反比例

函數(shù)的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，表示出點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

7.(2022?臨沐縣二模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將直線y=-3x向上平移3個(gè)單位，與y軸、x軸分別

交于點(diǎn)A、B,以線段A8為斜邊在第一象限內(nèi)作等腰直角三角形ABC.若反比例函數(shù)y=](x>0)的

圖象經(jīng)過點(diǎn)C,則k的值為()

A.2B.3C.4D.6

思路引領(lǐng)：過點(diǎn)C作無軸于點(diǎn)E,作CFLy軸于點(diǎn)R根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可證出AACP也

△BCE(A4S),從而得出S矩形。EC/=S四邊形OBCA=S^AOB+S^ABC,根據(jù)直線AB的表達(dá)式利用一次函數(shù)圖

象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，結(jié)合勾股定理可得出AB的長(zhǎng)度，再根據(jù)二角形的面積結(jié)合反

比例函數(shù)系數(shù)％的幾何意義，即可求出左值，此題得解.

解：過點(diǎn)C作CE_Lx軸于點(diǎn)E,作CfUy軸于點(diǎn)R如圖所示.

?.,將直線＞=-3x向上平移3個(gè)單位可得出直線4B,

直線AB的表達(dá)式為y=-3x+3,

...點(diǎn)A(0,3),點(diǎn)B(1,0),

：.AB=y/OA2+OB2=V10,

AABC為等腰直角三角形，

：.AC^BC=V5,

11

???5矩形?！辏?。尸=52^1。3+5448。=1x1x3+訝xV5xV5=4.

?.?CE_Lr軸，CELy軸，

：.ZECF=90°.

???AABC為等腰直角三角形，

；?NACF+NFCB=/FCB+NBCE=90。,AC=BC,

：.ZACF=ZBCE.

在△ACF和ABCE中，

/-AFC=乙BEC=90°

乙4CF=乙BCE,

AC=BC

：.AACF^ABCE(A4S),

SxACF=S〉BCE,

??S矩形OECF=S四邊形OBC4=SzkAOB+S2VlBC.

?..反比例函數(shù)y=[（x>0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)C,

=

??kS矩形OECF=4,

故選：C.

總結(jié)提升：本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)上的幾何意義、全等三角形的判定與性質(zhì)、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的

坐標(biāo)特征、一次函數(shù)圖象與幾何變換、等腰直角三角形以及三角形的面積，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)

結(jié)合角的計(jì)算，證出AACP絲△BCE（AAS）是解題的關(guān)鍵.

二.填空題（共8小題）

8.（2020?江夏區(qū)模擬）已知一個(gè)正比例函數(shù)的圖象與一個(gè)反比例函數(shù)的圖象的一個(gè)交點(diǎn)為（1,3）,則另一

個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是.

思路引領(lǐng)：反比例函數(shù)的圖象是中心對(duì)稱圖形，則經(jīng)過原點(diǎn)的直線的兩個(gè)交點(diǎn)一定關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

解：???反比例函數(shù)的圖象與經(jīng)過原點(diǎn)的直線的兩個(gè)交點(diǎn)一定關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

...另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)與點(diǎn)（1,3）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

該點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1,-3）.

故答案為：（-1,-3）.

總結(jié)提升：本題主要考查了反比例函數(shù)圖象的中心對(duì)稱性，要求同學(xué)們要熟練掌握關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)

點(diǎn)的坐標(biāo)的橫、縱坐標(biāo)都互為相反數(shù).

9.（2021秋?三明期末）如圖，點(diǎn)A,8為反比例函數(shù)y=[（x>0）圖象上的兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作x軸的垂線，

7

垂足為C,AC與交于點(diǎn)。，OD=』OB.若△OC。的面積為2,則左的值為.

33

思路引領(lǐng)：先設(shè)點(diǎn)。坐標(biāo)為（a,6）,得出點(diǎn)8的坐標(biāo)為（-a,-b）,再根據(jù)△OC。的面積為2,列出關(guān)

系式求得女的值.

解：作班LLx軸于E,

VAC±x軸于C,

：.AC//BE,

.BEOEOB

??CD-OC-OD9

設(shè)點(diǎn)。坐標(biāo)為（。，b）,

2

:0D=勺OB,

33

：.BE=^CD,0E=|OC,

33

???點(diǎn)3的坐標(biāo)為C-a,一b）,

22

?79，

??Z=~rCluy

4

?「△OCO的面積為2,

.1

??~~ab=2,

2

/.ab=4,

.9

??k=~rClb—9.

4

總結(jié)提升：本題主要考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，以及運(yùn)用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，

根據(jù)AC。。的面積為2列出關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.

10.（2020秋?乳山市期末）反比例函數(shù)尸，和y=!在第一象限的圖象如圖所示.點(diǎn)A,B分別在尸|和尸］

的圖象上，AB〃y軸，點(diǎn)C是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則AABC的面積為.

思路引領(lǐng)：連接。4、OB,延長(zhǎng)A8,交無軸于。，如圖，利用三角形面積公式得到SAOAB=SAABC,再根

一21

據(jù)反比例函數(shù)的比例系數(shù)k的幾何意義得到SAOAD=2>SAOBD-即可求得S^OAB—SAOAD-SAOBD—1.

解：連接04、OB,延長(zhǎng)AB,交x軸于。，

軸，

；.AO_Lx軸，OC〃AB,

?*.SLOAB=S^ABC,

1311

[frjSAOAD=ax3—SAOBD=)xl=

??