2025中考數(shù)學(xué)沖刺：圓的證明與計(jì)算解答題練習(xí)（解析版）

2025中考數(shù)學(xué)沖刺：圓的證明與計(jì)算解答題練習(xí)

1.如圖，A8為。。的直徑，C、尸為。。上兩點(diǎn)，且點(diǎn)C為弧8月的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作AF的垂線，交AF

的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,交A3的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D

(1)求證：DE是。。的切線；

3

(2)如果半徑的長(zhǎng)為3,,求AE的長(zhǎng).

解：(1)連接OC,如圖????點(diǎn)。為弧5月的中點(diǎn)，，弧5。二弧CT,???N5AC=N剛C???。4=0。，

：.ZOCA=ZOAC,：.ZOCA=ZFAC,：.OC//AE.\'AE±DE,；?OC工DE,二。七是。。的切線；

QQ3_________

(2)在R3OCZ)中，VtanZ)=—=OC=3,ACD=4,AOZ)=7OC2+CD2=5,：.AD=OD+AO=S.在

RtAAOE中，VsinD=—=—=-,：.AE=—.

ODAD55

點(diǎn)睛：本題考查了切線的判定與性質(zhì)：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；圓的切線垂

直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑.判定切線時(shí)“連圓心和直線與圓的公共點(diǎn)”或“過(guò)圓心作這條直線的垂線”;有切線時(shí)，

常?！坝龅角悬c(diǎn)連圓心得半徑”.

2.如圖，A?C中，AB=AC,。為AC上一點(diǎn)，以8為直徑的。與A8相切于點(diǎn)E,交3c于點(diǎn)廠,

FG1AB,垂足為G.

⑴求證：FG是的切線；

(2)若3G=1,BF=3,求CP的長(zhǎng).

【答案】(1)見(jiàn)解析(2)逑

3

【詳解】(1)如圖，連接。尸,。尸，

OF=OD,

貝UNODF=NOFD,

設(shè)ZODF=/OFD=B,NOFC=a,

OF=OC,

:./OFC=NOCF=c(,

DC為的直徑，

:./DFC=90°,

ADFO+OFC=NDFC=90°,

即a+￡=90。，

AB=AC,

/B=/LACB=oc9

FGVAB,

2

ZGFB=90°-ZB=90°-a=/3,

ZDFB=ZDFC=90°,

ZDFG=90°-ZGFB=90。-/=a,

ZGFO=GFD+DFO=c+/=90°,

OF為。的半徑，

.：FG是，。的切線；

(2)如圖，連接。E,

是.。的切線，則OELAB,又OF，F(xiàn)G,FGLAB,

四邊形GEOR是矩形，

OE=OF,

四邊形GEO尸是正方形，

:.GF=OF=-DC,

2

在RtaGEB中，BG=1,BF=3,

FG=y)BF2-GB2=2V2，

DC=A6,

由(1)可得NBFG=NFDC=Q,

FG1AB,DF±FC,

???sin/=臾=生

BFDC

慧,解得。殍

3

3.如圖，。是ASC的外接圓，AD是。的直徑,E是AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接CD,CE且N￡>C￡=NC4T>.

⑴求證：CE是。。的切線;

3

（2）若COS8=M，AD=10,求ED的長(zhǎng).

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

嗚

【分析】（1）根據(jù)切線的判定，連接OC,證明出0C,尸C即可，利用直徑所得的圓周角為直角可得答案；

33CD

（2）由cos5=:根據(jù)銳角三角函數(shù)的意義和勾股定理可得COSNAOC=Z=E，繼而證明△ECD△E4C,

55AD

再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出答案.

【詳解】（1）證明：連接0C,

/.^ACD=90°,

???ZC4￡>+ZA￡)C=90°,

?.?NDCE=ZCAD,ZADC=ZOCD,

：.ZDCE+ZOCD=90°,

：.ZOCE=90°,

???OC1EC,

；.CE是。的切線；

(2)解：???/B與ZADC所對(duì)的弧都是AC，

4

：.ZB=ZADC,

3

cosB=—,

3CD

：.cosZADC=-=——,

5AD

VAD=10,

：.CD=6f

；?由勾股定理得AC=7102-62=8，

???ZE=ZE,

AECDAE4C,

.ECEDCD3

??商一法一就一"

設(shè)EC-4x,ED-3x,

在RtOCE1中，。石=3x+5,OC=5,后C=4x,

根據(jù)勾股定理可得：。。2+石。2=。石2,

即：52+（4x）2=（3x+5）2,

解得：X=y,

?_o_o3090

??DnEF—3x—3x———.

77

【點(diǎn)睛】本題考查切線的判定和性質(zhì)，圓周角定理，直角三角形的邊角關(guān)系以及相似三角形的判定和性質(zhì),

掌握切線的判定方法，直角三角形的邊角關(guān)系以及相似三角形的性質(zhì)是正確解答的前提.

4.如圖，在ABC中，AB=BC,AB為。的直徑，4?與（。相交于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)。作DEL3c于點(diǎn)E,

CB延長(zhǎng)線交O于點(diǎn)?

⑴求證：DE為］。的切線；

（2）若3E=1,BF=2,求AD的長(zhǎng).

【答案】（1）見(jiàn)解析；

(2)2技

【分析】(1)根據(jù)已知條件證得OD6c即可得到結(jié)論；

(2)如圖，過(guò)點(diǎn)。作于點(diǎn)則NODE=NDEH=NOHE=90°,構(gòu)建矩形。DEH,根據(jù)矩形

的性質(zhì)和勾股定理即可得到結(jié)論.

【詳解】(1)證明：OA=OD,

:.ZBAC=NODA,

AB=BC,

:"BAC=ZACB,

ZODA=ZACB,

:.ODBC.

DEIBC,

:.DE1OD,

0。是.。的半徑，

:.DE是O的切線；

(2)解：如圖，過(guò)點(diǎn)。作于點(diǎn)則NODE=NDEH=NOHE=90°,

OHLBF,BF=2,

:.BH=FH=-BF=\,

2

:.OD=EH=BH+BE=2,

.??^B=2OD=4，OH=yJOB2-BH2=73-

DE=OH=y/3,

，BD=dDE2+BE?=2,

6

AD=A/AB2-BD2=A/42-22=2后■

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，勾股定理，矩形的判定與性質(zhì)，垂徑定理，等腰三角形的性質(zhì).解題的

關(guān)鍵：（1）熟練掌握切線的判定；（2）利用勾股定理和垂徑定理求長(zhǎng)度.

5.如圖，已知是二。的直徑.點(diǎn)P在54的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)。是。上一點(diǎn).連接尸。，過(guò)點(diǎn)8作班垂

交.BE于點(diǎn)、E,S.AB=BE

【答案】（1）見(jiàn)詳解

(2)3

【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)得出OD〃3E,再根據(jù)垂線、平行線的性質(zhì)得出

0D1CD,由切線的判定方法即可得出結(jié)論;

（2）在直角三角形8尸中由銳角三角函數(shù)的定義以及勾股定理列方程求解即可.

【詳解】（1）證明：如圖，連接0。,

AB=BE,

:.ZBAE=ZBEA,

.\ZODA=ZBEA,

：.OD//BE,

BCLCD,

:.OD^CD,

OD是。的半徑，

二笈>是的切線;

（2）解：由（1）可知，OD//BE,

:"B=/POD,

4PD4

在RtPOD中，tan/POD=tanB=—,即---=—,

3OD3

設(shè)PD=4x,則OD=3x,

OP=yJPD2+OD2=5x>

PA=2=5x—3x,

解得x=l,

OD=3x=3,

即半徑為3.

【點(diǎn)睛】本題考查切線的判定，圓周角定理以及解直角三角形，勾股定理，掌握直角三角形的邊角關(guān)系,

圓周角定理以及切線的判定方法是正確解答的關(guān)鍵.

6.如圖，為:。的直徑，C為54延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，C3是」。的切線，。為切點(diǎn)，。尸,也于點(diǎn)石，交CD

于點(diǎn)F.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

(2)3

【分析】（1）連接0。，得到/ODC=90。，結(jié)合NAD3=90。求得NADC=NOD3,然后利用0D=0B得

至*/0DB=/0BD,從而得到NA￡）C=NO3￡>,再利用O尸_LAD得到O/〃3D,從而Z4O尸=NOBD,最后

得證結(jié)果；

（2）根據(jù)三角形的中位線定理得到0E=12,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到砂的長(zhǎng)度.

8

【詳解】(1)證明：如圖，連接OO,則QD=OB,

CO是。的切線，A5是日。的直徑,

ZODC=ZADB=90°,

:.ZADC=ZODBf

.\ZADC=ZOBDf

又，OF1AD,

.\ZOEA=ZADB=90°f

：.OF//BD,

/.ZAOF=ZOBDf

:.ZADC=ZAOF；

(2)解：OF//BD,OA=OB,

.AEAO1

,?----=-----=1,

DEOB

：.AE=DE,

.?.QE是的中位線，

:.OE=-BD=-x24=n,

22

CD4

cos/DCB=——=-,

OC5

設(shè)CD=4x,OC=5x,

/.OD;y/oC2-CD2=3x，

:.OB=3x,

:.CB=OC+OB=^x,

■:OF//BD,

:公COFsMBD,

.OCOF

一正一法’

?*OF

-8x-^4'

:.OF=15,

EF=OF-OE=15-12=3.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線的性質(zhì)、平行線的判定和性質(zhì)、解直角三角形，三角形的中位線定理、相似

三角形的判定和性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

7.如圖，在ABC中，AB^AC,以A8為直徑的「。交邊AC于點(diǎn)。，連接80,過(guò)點(diǎn)C作CE〃AB.

（1）請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作圖：過(guò)點(diǎn)B作。的切線，交CE于點(diǎn)尸；（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡，標(biāo)明

字母）

（2）在（1）的條件下，求證：BD=BF；

⑶在（1）的條件下，CF=2,BF=6,求。。的半徑.

【答案】（1）畫(huà)圖見(jiàn)解析

⑵證明見(jiàn)解析

（3）00的半徑為5.

【分析】（1）根據(jù)尺規(guī)作圖，過(guò)點(diǎn)3作4B的垂線，交CE于點(diǎn)F,即可求解；

（2）根據(jù)題意切線的性質(zhì)以及直徑所對(duì)的圓周角是直角，證明=/班C,根據(jù)平行線的性質(zhì)以及等

腰三角形的性質(zhì)得出58=/3CF,進(jìn)而證明“爪2必,反7（心），即可得證.

（3）由（2）得：BD=BF=6,CD=CF=2,設(shè)AB=AC=2r,再利用勾股定理可得（2-2?+6?=（2rf,

再解方程即可.

【詳解】（1）解：方法不唯一，如圖所示.

(2)VAB=AC,

：.NABC=ZACB.

10

又???CE〃AB,

:.ZABC=/BCF,

：.ZBCF=ZACB.

??,點(diǎn)。在以AB為直徑的圓上，

：.ZADB=9Q°f

???NBDC=90。.

又?；BF為。的切線，

：.ZABF=90°.

?:CE〃AB,

：.ZBFC+ZABF=180°f

：.ZBFC=9Q°f

：.ZBDC=ZBFC.

???在ABCD和△BCF中，

ZBCD=NBCF,

<ZBDC=ZBFC,

BC=BC,

：.BCD竺BCF（AAS）.

：.BD=BF.

（3）由（2）得：BD=BF=6,

VRtBDC^RtBFC,

；.CD=CF=2,

設(shè)AB=AC=2r,

???AD=2r-2,

ZADB=90°,

.,.（2r-2）2+62=（2r）2,

解得：r=5,

???。0的半徑為5.

【點(diǎn)睛】本題考查了作圓的切線，切線的性質(zhì)，直徑所對(duì)的圓周角是直角，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾

股定理的應(yīng)用，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

8.如圖，AB為。的直徑，C為。上一點(diǎn)，AD與過(guò)點(diǎn)。的切線互相垂直，垂足為點(diǎn)。，AO交O于

點(diǎn)、E,連接CE,CB.

D

C

（1）求證：CE=CB；

(2)若AC=6,CE=2,求CD的長(zhǎng).

【答案】（1）見(jiàn)解析

⑵拽

3

【分析】（1）連接0C、0E,根據(jù)切線的性質(zhì)得到OCLCD,根據(jù)平行線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)得

到NZMC=NQ4C,根據(jù)圓周角定理、圓心角、弧、弦之間的關(guān)系定理證明結(jié)論；

（2）根據(jù)勾股定理求出A5,證明根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，代入計(jì)算得到答

案.

【詳解】（1）解：證明：

連接OC、OE,

CZ)是。的切線,

OCLCD,

AD1CD,

:.0C//AD,

:.ZDAC=ZOCA,

OA=OC,

.\ZOAC=ZOCA,

\?DAC?(MC,

12

由圓周角定理得，ZBOC=2ZOAC,ZEOC=2ZDAC,

:.NBOC=NEOC,

AB是：。的直徑,

ZACB=90°,

AB=7AC2+BC2=J(府+2。3,

QZDAC=ZBAC,ZADC=ZACB=90°,

\NDAC^NCAB,

EM即與4

解得，DC=*

【點(diǎn)睛】本題考查的是切線的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、圓周角定理，掌握?qǐng)A的切線垂直于經(jīng)過(guò)切

點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵.

9.如圖，在ABC中，AC=BC,以BC為直徑作《O,交AC于點(diǎn)R過(guò)C點(diǎn)作COJLAC交A8延長(zhǎng)線

于點(diǎn)。，E為CZ＞上一點(diǎn)，且EB=ED.

(2)若A尸=2,tanA=2,求BE的長(zhǎng).

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

⑵？

【分析】(1)利用等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的兩個(gè)銳角互余和圓的切線的判定定理解答即可；

(2)設(shè)。。與。交于點(diǎn)G,連接的，BG,利用圓周角定理，矩形的判定與性質(zhì)和直角三角形的邊角

關(guān)系定理求得所，設(shè)AC=BC=x,則CF=x-2,利用勾股定理列出方程求得1值，再利用相似三角形

的判定與性質(zhì)解答即可得出結(jié)論.

【詳解】⑴證明：AC=BC,

:.NCAB=ZABC,

EB=ED,

,\ZEBD=ZD.

CD.LAC,

/.ZA+ZD=90°,

:.NABC+NEBD=90。,

,NCB￡=180。-(ZABC+NEB0=9O。.

:.OB1BE,

QOB是。的半徑，

，BE為。的切線；

(2)解：設(shè)S與二。交于點(diǎn)G,連接3產(chǎn)，BG,如圖，

NCFB=NCGB=90。,

NACO=90。，

「?四邊形CfBG為矩形.

:.BG=FC.

在RtAFB中,

「BF

AF=2,tanAA=2=----,

AF

:.BF=4.

設(shè)AC=3C=x,貝iJCF=%—2.

QCF2+BF2=BC\

/.(x-2)2+42=x2,

14

解得：x=5,

,FC=3,BC=5.

.BG=3.

NCBE=90°,BG1CE,

JJBG^_BGE.

BGGE

CG-BG，

3EG

4~^~f

:.EG=-

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的切線的判定，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，圓周角定理，矩形的

判定與性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的邊角關(guān)系定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，連接直徑所對(duì)的圓周角

是解決此類問(wèn)題常添加的輔助線.

10.如圖，。是ABC的外接圓，連接Q4交5c于點(diǎn)。.

⑴求證：NQ4C與互余；

(2)若A￡>=6,BD=10,8=8,求。的半徑.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

29

⑵彳

【分析】(1)延長(zhǎng)A。交。于點(diǎn)E,連接CE,如圖所示，由直徑所對(duì)的圓周角是直角，利用互余及圓周

角定理代換即可得證；

40

(2)由題中條件得到一ADBsDCE,利用相似比，代值求解得到DE=/即可確定答案.

【詳解】(1)證明：延長(zhǎng)AO交(。于點(diǎn)E,連接CE,如圖所示:

TAE是O的直徑，

???NACE=90。，

：.ZE+ZOAC=9Q°f

?；ZB=/E,

：.ZOAC+ZB=90°；

(2)解：?:ZB=ZE,ZADB=NEDC,

；?ADBsDCE,

.DBDA

??一,

DEDC

BD-10,CD=8,AD-6,

【點(diǎn)睛】本題考查圓綜合，涉及圓周角定理、互余、相似三角形的判定與性質(zhì)、圓的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌

握?qǐng)A的性質(zhì)及三角形相似的判定與性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

11.如圖，點(diǎn)尸是一。外一點(diǎn)，卓與＜。相切于A點(diǎn)，B,C是上的另外兩點(diǎn)，連接AC,BC,

ZAPB+2ZAC5=180°,

AP

(1)求證：PB是。的切線;

(2)若BC〃24,。的半徑為5,BC=6,求R4的長(zhǎng).

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)15

16

【分析】（1）連接。4,OB,由圓周角定理和已知條件N4PB+N4C?=180。，得出NQ4P+NO8P=180。，求

出NOBP=90。，即可得出結(jié)論；

（2）延長(zhǎng)A0并延長(zhǎng)交BC于。，連接0C,過(guò)P作尸。，8。于。，由垂徑定理得出CD=3。=3,由勾

股定理得出8,AD=9,在RtAPBQ中，設(shè)叢=x,由勾股定理得出方程，解方程即可

【詳解】（1）解：連接OAOB,如圖1所示：

圖1

,/ZAPB+2ZACB=180°,ZAOB=2ZACB,

：.ZAPB+ZAOB=180P,

：./GAP+NOBP=180。，

切。于點(diǎn)A,

PA±OA,

：.ZOAP=90°,

：.NOBP=90°,

是半徑，

PB是；。的切線；

(2)延長(zhǎng)AO并延長(zhǎng)交5c于D,連接OC,過(guò)P作尸。,8c于。，如圖2所示:

圖2

VPA1OA,BC//PA,

：.ADA.BC,

:.CD=BD="=3,四邊形AOQ尸是矩形,

2

:.OD=doc?-CD1=752-32=4，

T1D=Q4+OD=5+4=9,

PAPB是。的切線，

，PA=PB,

在RtzXPBQ中，設(shè)尸8=R4=x,貝|BQ=x_3,

由勾股定理得：（x-3『+92=/,

解得：x=15,

即以的長(zhǎng)為15.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)和判定、垂徑定理、圓周角定理、勾股定理等知識(shí)；熟練掌握切線的判定

與性質(zhì)和垂徑定理，作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

12.如圖，以BC為直徑的半圓。上有一動(dòng)點(diǎn)凡點(diǎn)E為弧B的中點(diǎn)，連接BE、FC相交于點(diǎn)延長(zhǎng)

C尸到A點(diǎn)，使得連接A3、CE.

（1）求證：A8是。。的切線；

（2）若tan/AC8=BM=10.求EC的長(zhǎng).

【答案】（1）見(jiàn)解析

(2)12

【分析】（1）根據(jù)可得再由同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等可得

NEBC=NECM,然后由BC為直徑，可得NEMC+N￡CM=90。，從而得到NABM+/班C=90。，即可求證；

5CEEM§V

（2）根據(jù)tanZACB="—,可設(shè)AB=5x,則5。=12羽AM=5x,再由△CEMs/\BEC,可得-------=----=

1210+EMEC12x

即可求解.

【詳解】（1）證明：???A3=AM,

ZABM=ZAMB=ZEMC,

???點(diǎn)E為弧b的中點(diǎn)，

:./EBC=/ECM,

?13C為直徑，

???ZBEC=90°,

ZEMC+ZECM=90°,

JZABM+ZECM=90°,

18

ZABM+ZEBC=90°,

：.ZABC=90°,

???A3是。。的切線；

5AR

⑵解：VtanZACB=—=——,

12BC

可設(shè)A3=5x,則3c=12x,AM=5x,

：.AC=13x,

：.CM=AC-AM=Sxf

?：/EBC=/ECM,ZBEC=ZCEM=90°,

???△CEMSABEC,

,CEEMCM

,：BM=10.

.EC_EM_8x

**10+EM-EC~12x'

?EM_2EC_2

**EC~3f10+EM~3f

：.EM=~EC,

3

:.EC=n.

【點(diǎn)睛】此題屬于圓的綜合題，涉及了等腰三角形的性質(zhì)、解直角三角形、三角形相似的知識(shí)，綜合性較

強(qiáng)，解答本題需要我們熟練各部分的內(nèi)容，對(duì)學(xué)生的綜合能力要求較高，一定要注意將所學(xué)知識(shí)貫穿起來(lái).

13.如圖，是。。的直徑，N是。。上一點(diǎn)，M是AN的中點(diǎn)，連接AN,BM,交于點(diǎn)D連接MW,

OM,延長(zhǎng)至點(diǎn)C,并使/CAN=2/N.AN與OC交于點(diǎn)、E.

(1)求證：AC是。。的切線；

3,

(2)若。M=10,tanN=—,求。。的半徑.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

吟

【分析】(1)連接AM,先根據(jù)圓周角定理可得NN=/MAN,從而可得NN=NC4M,再根據(jù)圓周角定

理可得NN=N&NAM6=90。，從而可得NB4C=90。，然后根據(jù)圓的切線的判定即可得證；

40

(2)連接AM,先在RtZXADM中，解直角三角形可得AM=可，再在RtABM中，解直角三角形可得

BM=等，然后利用勾股定理可得A3的長(zhǎng)，由此即可得.

【詳解】(1)證明：如圖，連接

M是AN的中點(diǎn)，

:.AM=MN，

：.ZN=ZMAN,

2CAN=2ZN,Z.CAN=ZMAN+Z.CAM,

：.ZN=ZCAM,

由圓周角定理得：ZN=ZB,ZAMB=90°,

ZB=ZCAM,ZB+ZBAM=90°

:.ZCAM+ZBAM^9Q°,即/R4c=90°,

:.AC1AB,

又\AB是。的直徑，

；.AC是t。的切線.

(2)解：如圖，連接AM,

20

c

3

由（1）已得：^AMB=90°,ZN=AMAN,tan,

4

3

/.tanZMAN=-

4

在RtAADM中，tan/MAN=,

AMAM

40

解得

又由（1）已得：/N=/B,

3

「.tan3=tanN=一,

40

在RtABM中,nAM3,

tanB=-----

BM4

解得BM=與，

AB=y]AM2+BM2=—,

9

則O的半徑為T(mén)AB=gx[2=竿

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、圓的切線的判定、解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握?qǐng)A周角定理和圓的

切線的判定是解題關(guān)鍵.

14.如圖，是O的直徑，弦AC=3C,E是08的中點(diǎn)，連接CE并延長(zhǎng)到點(diǎn)F,使EF=CE,連接

4/交(。于點(diǎn)。，連接BD,BF.

(1)求證：直線2尸是。的切線;

⑵若A尸長(zhǎng)為50,求的長(zhǎng).

【答案】(1)見(jiàn)解析;

(2)BD=272

【分析】(1)連接。C、OF,證明四邊形。EBC是平行四邊形，則2尸〃。C,根據(jù)AC=8C,得至0CLA2,

ZABF=ZBOC=9Q°,可證明8尸是。。的切線；

(2)由是。。的直徑得/ADB=NACB=90。，則/CAB=/C8A=45。，可證明EB=OB=OA=；AB,根據(jù)

勾股定理求出A3、的長(zhǎng)，再根據(jù)三角形的面積公式即可求出30的長(zhǎng).

【詳解】(1)證明：如圖，連接。C、OF,

?：EF=CE,0E=BE,

四邊形OEBC是平行四邊形，

J.BF//OC,

"：AC=BC,OA=OB,

：.OCLAB,

ZABF=ZBOC=9Q°,

；08是。。的半徑，且

直線8尸是OO的切線；

(2)如圖，是。。的直徑，

ZADB=ZACB=9Q°,

：.ZCAB=ZCBA=45°,

22

"：OC=OB,

：.ZOCB=ZOBC=45°,

：.ZBFO=ZOCB^45°,

'COF//BC,

：./BOF=/OBC=45。,

：.ZBFO=ZBOF,

：.FB=OB=OA=^AB,

'：FB2+AB2=AF2,且AF=5后,

：.(-j-AB)2+AB2=(572)2,

.\AB=2y/lQ,

：.FB=^AB=麗,

；.。。的半徑為所,

SAABF=[AB?BF=]AF-BD,

；.2質(zhì)x亞=5x81),

:.BD=2血.

【點(diǎn)睛】此題考查圓的切線的判定、圓的弦與弧及圓心角的關(guān)系、圓周角定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)、

勾股定理等知識(shí)，根據(jù)題意正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵.

15.如圖，四邊形A8CD內(nèi)接于。O,A8為。。的直徑，對(duì)角線AC,33交于點(diǎn)E,。。的切線AF交8。

(2)若AF=3,BF=5,求BE的長(zhǎng).

【答案】（1）證明過(guò)程見(jiàn)詳解

⑵:

【分析】(1)先證△AED名△AbO,得至！JND4斤ND4凡DE=DF,根據(jù)圓周角定理可得

ZDBC=ZDAC=ZDAF,再根據(jù)切線的性質(zhì)證明NEU)=NA8D,即可得證；

AFBF

(2)證明48膽s/\AfD,即有——二——，即可求出。尸，結(jié)合。石二。/即可求出BE.

DFAF

【詳解】(1);AB是。。的直徑，

ZADB=90°,

：.ZADF=ZADB=90°,

：.ZF+ZFAD=90°,

*：AE=AF,

：.NAEF=NAFE,

：.AAED^AAFD,

：?NDAE=/DAF,DE=DF,

：.ZDBC=ZDAC=ZDAF,

TA尸是。。的切線，

ZMB=90°,

???ZF+ZABD=90°,

VZF+ZM￡>=90°,

ZFAD=ZABDf

?：/DBC=/FAD,

：./DBC=/ABD,

???5。平分NABC；

(2)VZFAD=ZABD,ZF=ZF,

：.ABFA^AAFD,

.AFBF

**DF-AF?

?；BF=5,AF=3,

即DF=^-=?,

BF5

在(1)中已證得。斤。F,

97

BE=BF-DE-DF=5--x2二一.

55

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理、角平分線的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形

的判定與性質(zhì)等知識(shí)，靈活利用圓周角定理是解答本題的關(guān)鍵.

16.如圖，A5是。的直徑，點(diǎn)。是。上一點(diǎn)(不與點(diǎn)A,3重合)，連接AC,BC.

24

圖I圖2

(1)請(qǐng)?jiān)趫D1中用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作出/ACB的平分線，交于點(diǎn)。(保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法)

(2)如圖2,在(1)的條件下，過(guò)點(diǎn)。作。的切線，分別交C4、C8的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E、F,連接DA、DB,

若AC=6,BC=8,請(qǐng)求出EF的長(zhǎng).

【答案】(1)見(jiàn)解析

【分析】(1)根據(jù)角平分線的畫(huà)法求解即可；

(2)連接OD,過(guò)點(diǎn)C作CMLEb于M,CM交AB于N,證出四邊形OMWD是矩形，得出OD=A?V,

求出CN的長(zhǎng)，證明ACBS.ECF,由相似三角形的性質(zhì)得出笑=生，則可得出答案.

圖1

(2)解：連接OD,過(guò)點(diǎn)C作CM,歷于M,CM交,AB于N,

EF為。切線,

J.ODLEF,

CMLEF,

:.OD//MN

又?.AB//EF,

二四邊形OMWD是矩形,

:.OD=MN.

AB是。的直徑，AC=6,BC=8,

:.ZACB=90°f

:.AB=4AC1+BC1=10

:.OD=MN=5.

sARC=LACBC=LABCN,

?c22

?ACBC6x824

AB105

24.49

:.CM=CN+MN=—+5=—.

AB//EF,

:"CAB=/CEF,/CBA=/F,

/.ACBsECF,

CN和CM分別為△ACS,△ECF的高,

,ABCN

"EF~CM'

24

"EF49'

EF=—

故答案為:

【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、切線的性質(zhì)、圓周角定理、三角形的面積

等知識(shí)，熟記掌握相似三角形的判定與性質(zhì)、切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

17.如圖，48為(O直徑，C為,O上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C的切線與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)。，CA=CD.

(1)連接3C,求證：BC=OB；

(2)E是AB中點(diǎn)，連接CE,BE,若BE=4,求CE的長(zhǎng).

26

【答案】（1）見(jiàn)解析

(2)2+2相

【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的判定，得到△O5C是等邊三角形，進(jìn)而得出結(jié)論;

（2）利用圓周角定理可得出AE=3石，根據(jù)特殊銳角的直角三角形可求出CE.

【詳解】（1）解：如圖，連接0C,

是Q的直徑，

ZACB=90。，

???ZACO+ZOCB=90°

8是一。的切線，

ZOCB+ZZ)CB=90°,

,\ZACO=ZDCB

又CA=CD,OA=OC

AZCAB=ZCDB=ZACO=ZDCBf

/DCB=/CDB,BC=BD

ZACB=90°,ZCAB+ZCBA=90°,

ZCBA=2ZCDB=2ZCAB,

ZCBA=90°x-=60°,

3

OC=OB,

???△06。是正三角形，

BC=OB；

（2）解：連接AE,過(guò)點(diǎn)A作AMLCE,垂足為M,

BD

E是A8中點(diǎn)，

AE=BE=4,ZACE=NBCE=-ZACB=L90°=45°,

22

在RtAAEM中，AE=4,ZAEM=NCBA=60°,

EM=^-AE=2,AM=—4￡=273,

22

在RtACM中，AM=2#,NACM=45。，

CM=AM=2上,

CE=EM+CM=2+243,

答：CE的長(zhǎng)為2+2后.

【點(diǎn)睛】此題考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理、勾股定理以及特殊銳角三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，掌握和理解

圓周角定理、勾股定理以及切線性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵.

18.如圖，以平行四邊形A8CD的一邊A3為直徑的圓交邊BC于點(diǎn)E,交對(duì)角線AC于點(diǎn)RG是邊8上

的一點(diǎn)，連接AG,且BE=DG.

（1）請(qǐng)?jiān)谝韵氯齻€(gè)條件中任選一個(gè)：,證明：直線AG是圓M的切線.

①NAGO=/ACB：②尸是弧AE的中點(diǎn)：③E是BC的中點(diǎn).

⑵在第（1）問(wèn)的條件下，若直徑為4,連接8尸并延長(zhǎng)交AG于點(diǎn)MAN=3,求四邊形ABCD的面積.

【答案】（1）②，證明見(jiàn)解析

28

【分析】此題考查了切線的判定、圓周角定理、菱形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，證明四邊形ABCD是菱形是解

題的關(guān)鍵.

(1)選擇②尸是弧AE的中點(diǎn)，連接AE,所，證明ABFACBF(ASA),得到AB=3C,再證明

ACE均ACG(SAS),得至/AGC=NAEC=90。，AB為直徑，即可得到結(jié)論；

⑵由勾股定理得到BN=>JAB2+AN2=5，由等積法求出AF=空乎=9，則防=」AB°-AF。=學(xué),

BN55

241192

得到AC=2Ab=g,求出5鉆。=54。?3/=石，即可得到答案.

【詳解】(1)解：選擇②，

：.ZABF=ZCBF9

*/A5為直徑，

/.ZAFB=ZAEB=ZBFC=ZAEC=90°,

?:BF=BF,

???方&CB廠(ASA)

：.AB=BC,

,/四邊形A3CD是平行四邊形，

???四邊形A3CD是菱形，ABCD

：.BC=CD,ZBAF=ZACG,

?:BE=DG.

：.CE=CG,

：.ZBAF+ZABF=ZCBF+ZACE=90°,

ZBAF=ZACE,

：.ZACG=ZACE,

XVAC=AC

???ACE之二AOG(SAS),

???ZAGC=ZAEC=90°

■:ABCD

：.ABAG=180°-ZAGC=90°

：.ABLAG

,/AB為直徑,

???直線AG是圓”的切線.

（2）如圖,

由勾股定理得到BN=dAB?+AN?=5，

?=-AFBN=-ABAN

uABN22

ABAN12

AF=

BN5

：,BF=JAB。-AF。=y

?；AB=BC,

24

??.AC=2AF=—

5

."Hx竺1-

■c225525

192c384

???四邊形ABC。的面積為2s=----x2=-----

2525

19.如圖，以口ABCD的邊BC為直徑的。O交對(duì)角線AC于點(diǎn)E,交CD于點(diǎn)F.連結(jié)BF.過(guò)點(diǎn)E作EG±CD

于點(diǎn)G,EG是。。的切線.

（1）求證：oABCD是菱形;

(2)已知EG=2,DG=1.求CF的長(zhǎng).

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2