數學建模-獵狗追兔子問題

１一、問題重述BANOWSE如圖1所示，有一只獵狗在BANOWSE請回答下面的問題：⑴獵狗能追上兔子的最小速度是多少？⑵在獵狗能追上兔子的情況下，獵狗跑過的路程是少？⑶假設獵狗在追趕過程中，當獵狗與兔子之間的距離為30m時，兔子由于害怕導致奔跑速度每秒減半，而狗卻由于興奮奔跑速度每秒增加0.1倍，在這種情況下回答前面兩個問題。二、問題分析與假設在獵狗追趕兔子的時候獵狗一直朝著兔子的方向追趕，所以可以建立平面直角坐標系，通過導數聯(lián)立起獵狗運動位移，速度和兔子的運動狀態(tài)。假設兔子的運動是勻速的。假設獵狗的運動軌跡是一條光滑并且一階導數存在的曲線。獵狗的運動時勻速或者勻變速的。獵狗運動時總是朝向兔子。三、模型的建立及求解3.1符號規(guī)定（x，y）：獵狗或者兔子所在位置的坐標。t：從開始到問題結束經過的時間。a:獵狗奔跑的路程。BABANOWSE3.2模型一的建立與求解獵狗能夠抓到兔子的必要條件：獵狗的運動軌跡在OA要有交點以OA為y軸，以OB為x軸建立坐標系，則由圖有O(0，0)，A(0,150),B(250，0)，兔子的初始位置0點,而獵狗初始位置是B點，t（s）后獵狗到達了C（x，y），而兔子到達了D（0，8t），則有CD的連線是獵狗運動軌跡的一條切線，由導數的幾何意義有：模型三利用matlab試驗，得到代碼如下：a=8;dogxa=[];dogya=[];rabbitxa=[];rabbitya=[];d=1;dogx=250;dogy=0;rabbitx=0;rabbity=0;t=0;dt=0.001;forb=0:100dogx=250;dogy=0;rabbitx=0;rabbity=0;t=0;c=b;a=8;while(sqrt((dogx-rabbitx)^2+(dogy-rabbity)^2)>d&rabbity<150)if(sqrt((dogx-rabbitx)^2+(dogy-rabbity)^2)<=30)b=b*1.1^dt;a=a*0.5^dt;endt=t+dt;dogx=dogx+b*dt*(rabbitx-dogx)/sqrt((dogx-rabbitx)^2+(dogy-rabbity)^2);dogy=dogy+b*dt*(rabbity-dogy)/sqrt((dogx-rabbitx)^2+(dogy-rabbity)^2);rabbitx=rabbitx+0;rabbity=rabbity+a*dt;endif(rabbity<=150)b=c;break;endendfprintf('獵狗的最小速度是：:%2f',b);a=8;b=16;d=1;dogxb=[];dogyb=[];rabbitxb=[];rabbityb=[];dogx=250;dogy=0;rabbitx=0;rabbity=0;t=0;dt=0.001;s=0;while(sqrt((dogx-rabbitx)^2+(dogy-rabbity)^2)>d)t=t+dt;if(sqrt((dogx-rabbitx)^2+(dogy-rabbity)^2)<=30)b=b*1.1^dt;a=a*0.5^dt;enddogx0=dogx;dogy0=dogy;dogx=dogx+b*dt*(rabbitx-dogx)/sqrt((dogx-rabbitx)^2+(dogy-rabbity)^2)dogy=dogy+b*dt*(rabbity-dogy)/sqrt((dogx-rabbitx)^2+(dogy-rabbity)^2)dogxb=[dogxb,dogx];dogyb=[dogyb,dogy];rabbitx=rabbitx+0;rabbity=rabbity+a*dt;rabbitxb=[rabbitxb,rabbitx];rabbityb=[rabbityb,rabbity];s=s+sqrt((dogx0-dogx)^2+(dogy0-dogy)^2);endfprintf('最短路程是：%1f',s);得到獵狗的最小速度是：16m/s獵狗此時的路程是：312.5m四、模型的檢驗使用matlab進行計算機模擬實驗檢驗模型的可行性：問題一的檢驗：h=250;a=8;v=16;dogxb=[];dogyb=[];rabbitxb=[];rabbityb=[];d=0.01;dt=0.1;t=0;dogx=h;dogy=0;rabbitx=0;rabbity=0;while((sqrt(dogx-rabbitx)^2+(dogy-rabbity)^2)>d&&t<=19.3)t=dt+t;dogx=dogx-v*dt*dogx/sqrt(dogx^2+(a*t-dogy)^2);dogy=dogy+v*dt*(a*t-dogy)/sqrt(dogx^2+(a*t-dogy)^2);dogxb=[dogxb,dogx];dogyb=[dogyb,dogy];rabbity=a*t;rabbityb=[rabbityb,rabbity];endrabbitxb=zeros(length(rabbityb));plot(dogxb,dogyb,rabbitxb,rabbityb,'*')問題二的模擬：n=250;a=8;v=16;d=0.1;dt=0.1;t=0;dx=n;dy=0;rx=0;ry=0;while(sqrt((dx-rx)^2+(dy-ry)^2)>d&&t<19.3)plot(dx,dy,rx,ry,'y*')pause(0.00001)holdont=dt+t;dx=dx-v*dt*dx/sqrt(dx^2+(a*t-dy)^2);dy=dy+v*dt*(a*t-dy)/sqrt(dx^2+(a*t-dy)^2);ry=a*t;plot(dx,dy,rx,ry,'y*')end五、模型的評價5.1模型的優(yōu)缺點模型的優(yōu)點。（1)模型的使用范圍比較廣泛，可以類推到其他許多模型中。（2）模型具有很高的使用價值。（3）模型對題目中的問題解決合適，模型使用得當。這里寫模型的缺點。（4）題目中增加了一些理想化的假設，致使模型的波動比較大。（5）不同兔子和獵狗的情況會有差異。5.2模型的改進可使用仿生學原理，建立我們更加準確的模型。六、參考文獻趙書來，MATLAB編程與最優(yōu)化問題，北京：電子工業(yè)出版社，