811條件概率（原卷版）

第8章概率8.1.1條件概率目標導航目標導航課程標準重難點1.結合古典概型，了解條件概率，能計算簡單隨機事件的概率.2.結合古典概型，會利用乘法公式計算概率.重點：計算簡單隨機事件的概率；難點：用乘法公式計算概率.知識精講知識精講知識點01條件概率的理解1.定義：對于任意兩個事件A和B，在已知事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率叫做條件概率．在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率，用符號表示為P(B|A)．把由事件A和B同時發(fā)生所構成的事件，稱為A與B的交(或積)，記作A∩B(或AB)．一般地，我們有條件概率公式P(B|A)＝.2.條件概率的計算1．計算在事件A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率，常有以下兩種方式：(1)利用定義計算先分別計算概率P(A∩B)及P(A)，然后借助于條件概率公式P(B|A)＝求解．(2)已知A發(fā)生，在此條件下B發(fā)生，相當于AB發(fā)生，要求P(B|A)相當于把A看做新的基本事件空間來計算AB發(fā)生的概率，即P(B|A)＝n(AB)n注意：對定義的進一步理解（1）每一個隨機試驗，都是在一定條件下進行的，條件概率則是當試驗結果的一部分信息已經知道，即在原隨機試驗的條件上又加上一定的條件的概率；（2）事件A在“事件B發(fā)生”這個附加條件下發(fā)生的概率與沒有這個附加條件下發(fā)生的概率一般是不同的；（3）當題目涉及“在…前提下”等字眼時，一般為條件概率，如題目中沒有上述字眼，但已知事件的發(fā)生影響了所求事件的概率，也是條件概率．在條件概率的表示中，"|"之后的部分表示條件.3.條件概率的性質?設P(A)>0,則(1)P(B|A)∈[0,1],P(A|A)=1;(2)如果B和C是兩個互斥事件,則P(B∪C|A)=④P(B|A)+P(C|A);(3)設和B互為對立事件,則P(|A)=⑤1P(B|A)【即學即練1】（2022·河南鄭州·高二期末）已知隨機事件A，B的概率分別為P(A),P(A．P(A|C．P(B|【即學即練2】（2022·湖南·長沙市雅禮實驗中學高三開學考試）已知A，B分別為隨機事件A，B的對立事件，P(A)>0，PA．PB．若PA+PB=1C．若A，B獨立，則PD．若A，B互斥，則P能力拓展能力拓展◆考點01條件概率的應用◆類型1定義法的應用【典例1】（2021·全國·高二課時練習）拋擲三枚質地均勻的硬幣一次，在有一枚正面朝上的條件下，另外兩枚也正面朝上的概率是（

）A．18 B．78 C．17【典例2】（2022·福建泉州·）目前，國際上常用身體質量指數BMI=體重單位：kg身高2單位：m2來衡量人體胖瘦程度以及是否健康．某公司對員工的BMI值調查結果顯示，男員工中，肥胖者的占比為3A．3100 B．9200 C．35【典例3】（2022·廣東·饒平縣第二中學高二階段練習）某班有6名班干部，其中4名男生，2名女生.從中選出3人參加學校組織的社會實踐活動，在男生甲被選中的情況下，女生乙也被選中的概率為（）A．35 B．25 C．12◆類型2基本事件總數法【典例4】（2022·黑龍江·哈爾濱市第一二二中學校模擬預測（理））假定生男孩和生女孩是等可能的，某家庭有兩個小孩，如果已經知道這個家庭有女孩，則這個兩個小孩都是女孩的概率是__________.【典例5】（2023·甘肅·模擬預測）在6道題中有3道理綜題和3道文綜題，如果不放回地依次抽取2道題，則“在第1次抽到理綜題的條件下，第2次抽到文綜題”的概率為（

）A．12 B．13 C．25◆類型3與幾何概型的結合【典例6】任意向x軸上(0,1)這一區(qū)間內投擲一個點，問：(1)該點落在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))內的概率是多少？(2)在(1)的條件下，求該點落在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，1))內的概率．【典例7】．（2020·寧夏·銀川三沙源上游學校二模（理））如圖所示，半徑為1的圓O是正方形MNPQ的內切圓，將一顆豆子隨機地扔到正方形MNPQ內，用A表示事件“豆子落在圓O內”，B表示事件“豆子落在扇形OEF（陰影部分）內”，則PBA．π4 B．14 C．π16◆考點02有無放回問題【典例8】一個口袋內裝有2個白球和3個黑球，則先摸出一個白球后放回，再摸出1個白球的概率是()A.eq\f(2,3)B.eqB.q\f(1,4)C.eqC.\f(2,5)D.eqD.q\f(1,5)【典例9】一個口袋內裝有2個白球和2個黑球，那么(1)先摸出1個白球不放回，再摸出1個白球的概率是多少？(2)先摸出1個白球后放回，再摸出1個白球的概率是多少？分層提分分層提分題組A基礎過關練一、單選題1．已知事件A，B，C滿足A，B是互斥事件，且PA∪BC=12，PA．16 B．112 C．142．甲袋中有3個白球和2個紅球，乙袋中有2個白球和4個紅球，丙袋中有4個白球和4個紅球．先隨機取一只袋，再從該袋中先后隨機取2個球，第一次取出的球是紅球的概率（

）A．1019 B．215 C．47903．甲、乙兩個家庭出去游玩，準備分別從北京、上海、重慶和天津4個地點中隨機選擇一個，記事件A：甲和乙選擇的地點不同，事件B：甲和乙恰有一個選擇北京，則P(B∣A．14 B．34 C．234．小明和李華在玩游戲，他們分別從1~9這9個正整數中選出一個數告訴老師，老師經過計算后得知他們選擇的兩個數不相同，且兩數之差為偶數，那么小明選擇的數是偶數的概率是（

）A．38 B．49 C．9165．近年來，準南市全力推進全國文明城市創(chuàng)建工作，構建良好的宜居環(huán)境，城市公園越來越多，某周末，甲、乙兩位市民準備從龍湖公園、八公山森林公園、上密森林公園、山南中央公園4個景點中隨機選擇共中一個景點游玩，記事件M：甲和乙至少一人選擇八公山森林公園，事件N：甲和乙選擇的景點不同，則PNM=A．716 B．78 C．376．小明每天上學途中必須經過2個紅綠燈，經過一段時間觀察發(fā)現如下規(guī)律：在第一個紅綠燈處遇到紅燈的概率是12，連續(xù)兩次遇到紅燈的概率是16，則在第一個紅綠燈處小明遇到紅燈的條件下，第二個紅綠燈處小明也遇到紅燈的概率為（A．23 B．34 C．13二、多選題7．一個袋中有大小?形狀完全相同的3個小球，顏色分別為紅?黃?藍，從袋中先后無放回地取出2個球，記“第一次取到紅球”為事件A，“第二次取到黃球”為事件B，則（

）A．PA=13C．PB∣A=8．設A，B是兩個隨機事件，且0<P(A)<1,0<P(B)<1A．P(A+C．P(AB9．一袋中有3個紅球，4個白球，這些球除顏色外，其他完全相同，現從袋中任取3個球，事件A“這3個球都是紅球”，事件B“這3個球中至少有1個紅球”，事件C“這3個球中至多有1個紅球”，則下列判斷錯誤的是（

）A．事件A發(fā)生的概率為15 B．事件B發(fā)生的概率為C．事件C發(fā)生的概率為335 D．10．已知事件A,B相互獨立，則（A．事件A與事件B不相互獨立 B．PC．事件AB與事件AB互斥 D．在事件B發(fā)生的條件下，事件AB與事件A三、填空題11．某公司在某地區(qū)進行商品A的調查，隨機調查了100位購買商品A的顧客的性別，其中男性顧客18位，已知該地區(qū)商品A的購買率為10%，該地區(qū)女性人口占該地區(qū)總人口的46%，從該地區(qū)中任選一人，若此人是男性，求此人購買商品A的概率______12．設100件產品中有70件一等品，25件二等品，規(guī)定一、二等品為合格品．從中任取1件，已知取得的是合格品的條件下，則它是一等品的概率為_______．13．某個闖關游戲規(guī)定：闖過前一關才能去闖后一關，若某一關沒有通過，則游戲結束.小明闖過第一關的概率為34，連續(xù)闖過前兩關的概率為12，連續(xù)闖過前三關的概率為14.事件A表示小明第一關闖關成功，事件C四、解答題14．甲、乙兩人參加某知識競賽對戰(zhàn)，甲答對每道題的概率均為12，乙答對每道題的概率均為p0<p<1，兩人答每道題都相互獨立.答題規(guī)則：第一輪每人三道必答題，答對得10分，答錯不加分也不扣分；第二輪為一道搶答題，每人搶到的概率都為12，若搶到，答對得10分，對方得0分，答錯得(1)若乙在第一輪答題中，恰好答對兩道必答題的概率為fp，求fp的最大值和此時乙答對每道題的概率(2)以（1）中確定的p0作為p的值，求乙在兩輪對戰(zhàn)后得到25分的概率15．盒中裝有5個同種產品，其中3個一等品，2個二等品，不放回地從中取產品，每次取1個，求；(1)取兩次，兩次都取得一等品的概率；(2)取兩次，第二次取得一等品的概率；(3)取兩次，已知第二次取得一等品的條件下，第一次取得的是二等品的概率．五、雙空題16．從1，2，3，4，5中任取2個不同的數，事件A為“取到的2個數之和為偶數”，事件B為“取到的2個數均為偶數”，則PA為__________，PBA題組B能力提升練一、單選題1．已知A,B為兩個隨機事件，P(A),P(A．充分必要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件2．某車間加工同一型號零件，第一?二臺車床加工的零件分別占總數的40%，60%，各自產品中的次品率分別為6%，5%.記“任取一個零件為第i臺車床加工(i=1,2)”為事件Ai，“任取一個零件是次品”為事件B①P(B)=0.054

②PA2BA．①②④ B．②③④ C．②③ D．①②③④3．2022卡塔爾世界杯比賽場地是在卡塔爾的8座體育館舉辦．將甲、乙、丙、丁4名裁判隨機派往盧賽爾，賈努布，阿圖瑪瑪三座體育館進行執(zhí)法，每座體育館至少派1名裁判，A表示事件“裁判甲派往盧賽爾體有館”；B表示事件“裁判乙派往盧賽爾體育館”；C表示事件“裁判乙派往賈努布體育館”，則（

）A．事件A與B相互獨立 B．事件A與C為互斥事件C．PCA=4．對如下編號為1，2，3，4的格子涂色，有紅，黑，白，灰四種顏色可供選擇，要求相鄰格子不同色，則在1號格子涂灰色的條件下，4號格子也涂灰色的概率是（

）A．13 B．12 C．235．將甲、乙、丙、丁4名志愿者隨機派往①，②，③三個社區(qū)進行核酸信息采集，每個社區(qū)至少派1名志愿者，A表示事件“志愿者甲派往①社區(qū)”；B表示事件“志愿者乙派往①社區(qū)”；C表示事件“志愿者乙派往②社區(qū)”，則（

）A．事件A與B相互獨立B．事件A與C為互斥事件C．PD．P6．近日，各地有序開展新冠疫苗加強針接種工作，某社區(qū)疫苗接種點為了更好的服務市民，決定增派甲、乙、丙、丁4名醫(yī)務工作者參加登記、接種、留觀3項工作，每項工作至少1人參加，若A表示事件：“甲參加登記這項工作”；B事件表示“乙參加登記這項工作”；C事件表示“乙參加接種這項工作”，則下列結論正確的是（

）A．事件A與B相互獨立 B．事件A與C相互獨立C．PC∣A二、多選題7．新型冠狀病毒肺炎（CoronaVirusDisease2019，COVID19），簡稱“新冠肺炎”，世界衛(wèi)生組織命名為“2019冠狀病毒病”，是指2019新型冠狀病毒感染導致的肺炎.用核酸檢測的方法可以診斷是否患有新冠，假設PAB=0.99，PAB=0.999，其中隨機事件AA．每100人必有1人患有新冠B．若PBA=0.99，則事件AC．若某人患有新冠，則其核酸檢測為陽性的概率為0.999D．若某人沒患新冠，則其核酸檢測為陽性的概率為0.0018．從分別寫有1，2，3，4，5，6的六張卡片中隨機抽取一張，放回后再隨機抽取一張，分別記事件A為“抽得的兩張卡片上的數字之和大于8”，事件B為“第一張卡片上的數小于第二張卡片上的數”，則（

）A．PA=5C．PBA=9．將樣本空間Ω視為一個單位正方形，任一事件均可用其中的區(qū)域表示，事件發(fā)生的概率為對應區(qū)域的面積.如圖所示的單位正方形中，區(qū)域I表示事件AB，區(qū)域II表示事件AB，區(qū)域I和Ⅲ表示事件B，則區(qū)域IV的面積為（

ⅠⅡⅢⅣA．PAB B．PA+B C．P10．寒假期間，甲，乙，丙，丁，戊共5位同學被安排到A，B，C，D四個小區(qū)參加社會實踐活動，要求每個小區(qū)至少安排一位同學，且每位同學只能到一個小區(qū)參加實踐活動，則下列結論正確的是（

）A．不同的安排方法共有240種B．甲同學被安排到A小區(qū)的概率是1C．甲乙兩位同學被安排在同一小區(qū)的概率為1D．在甲同學被安排到A小區(qū)的前提下，A小區(qū)有兩位同學的概率是2三、填空題11．冬奧會設有冬季兩項、雪車、冰壺、雪橇，滑冰，滑雪、冰球7個大項，現有甲、乙、丙三名志愿者，設A表示事件為“甲不是雪車項目的志愿者，乙不是雪橇項目的志愿者”，B表示事件為“甲、乙、丙分別是三個不同項目的志愿者”，則PA12．某種電子玩具按下按鈕后，會出現紅球或綠球.已知按鈕第一次按下后，出現紅球與綠球的概率都是12，從按鈕第二次按下起，若前一次出現紅球，則下一次出現紅球、綠球的概率分別為13，23，若前一次出現綠球，則下一次出現紅球、綠球的概率分別為35，25，記第nn≥1,13．甲、乙兩人向同一目標各射擊一次，已知甲命中目標的概率為0.7，乙命中目標的概率為0.6，已知目標至少被命中1次，則乙命中目標的概率為______．四、解答題14．甲、乙、丙、丁進行乒乓球比賽，比賽規(guī)則如下：第一輪：甲和乙進行比賽，同時丙和丁進行比賽，兩個獲勝者進入勝者組，兩個敗者進入敗者組；第二輪：勝者組進行比賽，同時敗者組進行比賽，敗者組中失敗的選手淘汰；第三輪：敗者組的勝者與勝者組的敗者進行比賽，失敗的選手淘汰；第四輪：第三輪中的勝者與第二輪中勝者組的勝者進行決賽，勝者為冠軍．已知甲與乙、丙、丁比賽，甲的勝率分