勾股定理全章題型總結(jié)【4個(gè)知識(shí)點(diǎn)14個(gè)題型】解析版-2024-2025學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)（人教版）

勾股定理全章必考題型總結(jié)【4個(gè)知識(shí)點(diǎn)14個(gè)題型】

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【知識(shí)點(diǎn)1勾股定理】

1.勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.對(duì)任意的直角三角形,如果它的兩條直角邊長(zhǎng)

分別為Q，b,斜邊長(zhǎng)為C,那么一定有小毋干,這種關(guān)系我們稱為勾股定理.

2.數(shù)學(xué)語(yǔ)言：如右圖所示，。是直角三角形，其中較短的直角邊。叫作勾，較長(zhǎng)的直角邊b叫做股，斜

邊C叫做弦.

A

b\\

（股）、（弦）

Ca（勾）方

【題型1勾股定理解三角形】

【例1】如圖，在Rt448C中，N4CB=90°,AC=S,BC=6,CD為邊上的高，則CD的長(zhǎng)為（)

1224

A.2B.5C.-D.-

【分析】根據(jù)勾股定理求出AB的長(zhǎng)，再根據(jù)等面積法求出CD的長(zhǎng)即可.

【解答】解：在RtZUBC中，NACB=9Q°,AC=8,BC=6,

：.AB=7AC2+BC2=V82+62=10,

又CD為AB邊上的高，

11

?'?S^ABC=2AB'8=—AC'BC,

AC-BC6x824

故選：D.

【變式1】如圖，在△48C中、AB=7cm,BC=5cm,AC=4V2cm,則△NBC的面積為（）

A.28cm2B.14cm2C.10V2cm2D.14V2cm2

【分析】過(guò)點(diǎn)C作CDL48于點(diǎn)。，根據(jù)CD2=Nc2-/￡）2=J8c2-8。2得出/。=4,進(jìn)而求得c。，最

后根據(jù)三角形的面積公式，即可求解.

【解答】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)D,

?：CD2=AC2-AD2=BC2-BD2,

2

(4V2)-AD2=52-(7-X￡))2,

解得：/。=4,

CD=7AC2-4￡)2=J(4必2-42=4,

11

/./\ABC的面積為pBxCD=-x7x4=14.

故選：B.

【變式2】如圖，在RtZ\/03和RtZkC。。中，AB=CD=25,。8=7,NC=4.

(1)求。C的長(zhǎng)；

(2)求BD的長(zhǎng).

【分析】(1)在RtZk/OB中，利用勾股定理求出-=24,可得答案；

(2)在RtZXCOD中，利用勾股定理求出。。=15,可得答案.

【解答】解：(1)在Rt/XZOB中，

由勾股定理得，OA=7AB2-0B2=V252-72=24,

：/C=4.

：.OC=OA-AC=24-4=20；

(2)在RtZkCOD中，

由勾股定理得，OD=7CD2—0c2=V252—2定=15,

：.BD=OD-OB=15-7=8.

【變式3】如圖，Rt4/BC中，ZC=90°,/C=VTU+VLBC=V10-V2,求:

(1)RtzMBC的面積；

(2)斜邊的長(zhǎng)；

(3)求邊上的高CD的長(zhǎng).

c

【分析】(1)根據(jù)三角形大面積公式即可得到結(jié)論；

(2)根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論；

(3)根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論.

【解答】解：：NC=90°,/c=VTU+VL5C=Vio-V2,

11

...RtzX/BC的面積=5/08。=]X(V10+V2)(V10-V2)=4；

(2)VZC=90°,^C=V10+V2,5C=V10-V2,

：.AB=7AC2+BC2=J(V10+V2)2+(V10-V2)2=2V6；

11

(3),/

SAABC=^AC'BC=-AB-CD,

AC-BC(V10+V2)(V10-V2)2V6

：

'CD=~AB~=俞=丁

故邊上的高CD的長(zhǎng)為竽.

【知識(shí)點(diǎn)2勾股定理的驗(yàn)證】

勾股定理的驗(yàn)證主要通過(guò)拼圖法完成，這種方法是以數(shù)形轉(zhuǎn)換為指導(dǎo)思想、圖形拼補(bǔ)為手段，各部分面積

之間的關(guān)系為依據(jù)來(lái)實(shí)現(xiàn)的.利用面積相等證明勾股定理是最常見的一種方法，常見的幾種證明方法如下

(1)弦圖證明

外弦圖

221

S正方形EFGH=c=(a-b)+4x—ab

???a2+b2=c2

(2)“總統(tǒng)”法(半弦圖)

c

(a+Z，)(afc)l2222

如圖所示將兩個(gè)直角三角形拼成直角梯形：S#VABCD=-=2x-ab+-c,.-.a+b=c

【題型2勾股定理的驗(yàn)證】

【例1】勾股定理是歷史上第一個(gè)把數(shù)與形聯(lián)系起來(lái)的定理，其證明是論證幾何的發(fā)端，下面四幅圖中能證

明勾股定理的是()

【分析】分別利用每個(gè)圖形面積的兩種不同的計(jì)算方法，再建立等式，再整理即可判斷.

【解答】解：在①選項(xiàng)中，大正方形的面積等于兩個(gè)小正方形的面積與兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積和,

(a+b)2=a2+2ab+b2,

以上公式為完全平方公式，故①不能說(shuō)明勾股定理；

在②選項(xiàng)中，由圖可知三個(gè)三角形的面積的和等于梯形的面積，

1111

.".~ab+~ab+~c2=~(a+b)(a+b),

整理可得02+廬=C2,故②可以證明勾股定理；

在③選項(xiàng)中，大正方形的面積等于四個(gè)三角形的面積加小正方形的面積，

1

4X-ab+c2=(a+b)2,

整理得*+62=02,故③可以證明勾股定理；

在④選項(xiàng)中，整個(gè)圖形的面積等于兩個(gè)三角形的面積加大正方形的面積，也等于兩個(gè)小正方形的面積加

上兩個(gè)直角三角形的面積，

/.c2+2x~ab=a2+b2+2x5a6,

整理得02+62=C2,故④可以證明勾股定理.

...能證明勾股定理的是②③④.

故選：D.

［例2］如圖是用4個(gè)全等的直角三角形與1個(gè)小正方形鑲嵌而成的正方形圖案.已知大正方形面積為49,

小正方形面積為4,若用x,y表示直角三角形的兩直角邊（x>y）,下列四個(gè)說(shuō)法：①/+）?=49；②x

-y—2；③x+y=9；④xy+4=49；其中說(shuō)法正確的是（）

A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、直角三角形面積的計(jì)算公式及勾股定理解答.

【解答】解：①:△/Be為直角三角形，

.?.根據(jù)勾股定理：/+/=/爐=49,

故本選項(xiàng)正確；

②由圖可知，x-y=CE=V4=2,

故本選項(xiàng)正確；

③由2孫+4=49可得2中=45①，

又"+廿=49②，

.?.①+②得，x2+2xy+y2=49+45,

整理得，（x+y）2=94,

x+y=V94豐9,

故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

④由圖可知，四個(gè)直角三角形的面積與小正方形的面積之和為大正方形的面積，

1

列出等式為4x-x肛+4=49,

即2孫+4=49；

故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.

...正確結(jié)論有①②.

【變式2】我國(guó)漢代的數(shù)學(xué)家趙爽用數(shù)形結(jié)合的方法，給出了勾股定理的證明.如圖，從圖1變換到圖2,

B.4x—ab+(b—a)2=c2

1r11r

C.5(a+b)2=2x—ab+—c2

1-11r

D.—(a+b)2=2x(—ah+—c2)

【分析】分別根據(jù)圖1、圖2求出幾何圖形的面積，即可求解.

1、

【解答】解：根據(jù)圖1可得該幾何圖形的面積為：4x-afa+(h-a)2,

根據(jù)圖2可得該幾何圖形的面積為：

1

.*.4x—ab+(b—a)2=c2,

故選：B.

【變式2】下面圖形中可以用來(lái)驗(yàn)證勾股定理的有()

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

【分析】用兩種不同的方法表示出梯形的面積，可以判斷圖1可以驗(yàn)證勾股定理；根據(jù)圖形的總面積等

于一個(gè)大正方形的面積加上兩個(gè)直角三角形的面積，也等于兩個(gè)小正方形的面積加上兩個(gè)直角三角形的

面積，然后整理可以判斷2可以驗(yàn)證勾股定理.

111

【解答】解：圖1梯形=5(a+b)(a+b),S梯形=亍訪+亍訪+c?,

1111

.'.—(a+b)(a+b)=5ab+~ab+—c2,

a2+2ab+b2=ab+ab+c2,

：.a2+b2=c2,故圖1可以驗(yàn)證勾股定理；

1

圖2：圖形的總面積可以表示為：c2+2X—aZ?=c2+a1b,

1

也可以表示為：a?+4+2x亍妨=a2+按+ab,

c2+ab—a2+b2+ab,

.\a2+b2=c2,故圖2可以驗(yàn)證勾股定理；

圖3的條件不充足，不可以驗(yàn)證勾股定理，

綜上，圖1、圖2可以驗(yàn)證勾股定理，共2個(gè)，

故選：C.

【變式3】“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲，如圖所示的“趙爽

弦圖”是由四個(gè)全等直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，設(shè)直角三角形較長(zhǎng)直角邊長(zhǎng)為a,

較短直角邊長(zhǎng)為6,若(。+6)2=22,大正方形的面積為17,則小正方形的邊長(zhǎng)為()

【分析】根據(jù)大正方形的面積和勾股定理推出/+62=13,然后結(jié)合完全平方公式的變形得出(a-6)2=

5,最后由小正方形的面積為跳'2=(a-b)2,即可得出結(jié)論.

【解答】解：如圖所示，由題意，ED=a,AE=b,

?.?大正方形的面積為17,

:.Ab1=n,

'：AD2^AE2+ED2=a2+b2,

：.a2+b2=\1,

:2=22,

Qa-b)2=2(aW)-Ca+b)2=2X17-22=12,

；EF=ED-EF=a-b,

小正方形的邊長(zhǎng)為E尸=2值(負(fù)值舍去)，

故選：D.

【知識(shí)點(diǎn)3勾股定理的逆定理】

1.勾股定理的逆定理

如果三角形的三邊長(zhǎng)心b、C滿足/+"=02,那么這個(gè)三角形是直角三角形，且邊長(zhǎng)C所對(duì)的角為直角.

2.利用勾股定理的逆定理判斷一個(gè)三角形是不是直角三角形

（1）先比較三角形三邊長(zhǎng)的大小，找到最長(zhǎng)邊：

（2）計(jì)算兩條較短邊的平方和與最長(zhǎng)邊的平方；

（3）比較二者是否相等；

（4）若相等，則這個(gè)三角形是直角三角形，且最長(zhǎng)邊所對(duì)的角是直角；若不相等，則這個(gè)三角形不是直角

三角形.

【題型3判斷一個(gè)三角形是直角三角形的條件】

【例1】在下列條件：@ZA+ZB=ZC；②N/-N8=90°；（3）AB；AC：BC=1：3：V10；④

G4C+2C）（AC-BC）=/〃中，能確定△/3C是直角三角形的條件有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理，三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算，逐一判斷即可解答.

【解答】解：①//+/2+NC=180°,

.\2ZC=180

AZC=90°,

...△NBC是直角三角形；

（2）'：ZA-ZJB=90°,

AZA=900+ZB,

...△48C不是直角三角形；

AC：BC=1：3：V10,

.,.設(shè)AB=a,則NC=3a,SC=VlOa,

'：AB2+AC2=a2+（3a）2=10a2,BC1=（V10a）2=10a2,

：.AB2+AC2^BC2,

...△48C是直角三角形；

④：G4C+8C）（4C-BC）=AB2,

.,.AC2-BC2=AB2,

:.AC2=AB2+BC2,

:4BC是直角三角形；

所以，上列條件，能確定△/8C是直角三角形的條件有3個(gè)，

故選：C.

【例2】在如圖所示的網(wǎng)格紙中，有/、2兩個(gè)格點(diǎn)，試取格點(diǎn)C,使得△NBC是直角三角形，則這樣的格

點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（）

【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理解答即可.

【解答】解：如圖所示：

格點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是8,

故選：C.

【變式。若a，b,c為△N8C的三邊，下列條件中：?AB=ZA-ZC；@cr=（6+c）（6-c）；③

NN：/B：/C=3：4：5；④a：b：c=l：V2：W,則能判定△NBC是直角三角形的個(gè)數(shù)有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【分析】利用勾股定理的逆定理，三角形內(nèi)角和定理，進(jìn)行計(jì)算逐一判斷即可解答.

【解答】解：①-NC,

NB+NC=NA,

VZB+ZC+ZA=ISO°,

.?.2/4=180°,

：.ZA=90°,

能判定△NBC是直角三角形；

②：02=（6+c）（A-c）,

a2=￡>2-c2,

a2+c2=b2,

能判定△A8C是直角三角形；

③；//：NB：NC=3：4：5,ZB+ZC+ZA=\S00,

5

.".ZC=180°x———=75°,

3十4+b

；?不能判定AABC是直角三角形；

（4）*.*（2：b：c=1：V^：V^，

設(shè)a=k,b—y[2k,c—Wk,

???〃2+62=啟+（內(nèi)）2=3廬，。2=（例）2=3層，

:.a2+b2=c2,

???能判定AABC是直角三角形；

所以，能判定是直角三角形的個(gè)數(shù)有3個(gè)，

故選：C.

【變式2】下列由三條線段a、b、。構(gòu)成的三角形：①a=2加〃，b=m2-n2,C=m2+n2（加>〃>0）,@a

=2〃+1,b=2n2+2n+l,c=2n2+2n（H>0）,③。=3晨b=4k,c=5k（左>0）,（4）Va：VF：Vc=1：

V3：2,其中能構(gòu)成直角三角形的有（)

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【分析】判斷一組數(shù)能否成為直角三角形的三邊，就是看是否滿足兩較小邊的平方和等于最大邊的平方,

將題目中的各題一一做出判斷即可.

【解答】解:①，;(加2-/2)2+(2%〃)2=ff/4+n4--2m2n2+4m2n2=m4+n4+2m2n2=(m2+?2)2,

...能成為直角三角形的三邊長(zhǎng)；

②：⑵)2+(2n2+2n)2=(2n2+2?+l)2,

...能成為直角三角形的三邊長(zhǎng)；

③(3左)2+(4k)2=(5k)2,

...能成為直角三角形的三邊長(zhǎng)；

(2)'''(VH)2+(VF)2=(Vc)2,

:.而,VF,正能成為直角三角形的三邊長(zhǎng)，

但a,b,c不成直角三角形的

.??中能構(gòu)成直角三角形的有3組，

故選：C.

【變式3】如圖，在5X5的正方形網(wǎng)格中，已知線段a,6和點(diǎn)尸，且線段的端點(diǎn)和點(diǎn)尸都在格點(diǎn)上，在網(wǎng)

格中找一格點(diǎn)0,使線段。，b,尸。恰好能構(gòu)成直角三角形，則滿足條件的格點(diǎn)。有()

【分析】根據(jù)題意畫出符合條件的圖形即可求解.

【解答】解：如圖所示：

則滿足條件的格點(diǎn)。有4個(gè).

故選：c.

【題型4勾股定理的逆定理的應(yīng)用】

【例1】如圖，N4DC=90°,AD=4機(jī),CD=3m,4B=13m,BC=12m.

(1)試判斷以點(diǎn)4,B,C為頂點(diǎn)的三角形的形狀，并說(shuō)明理由；

【分析】(1)根據(jù)勾股定理求出“C長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理的逆定理判斷即可;

(2)分別求出△4C5和△/￡>€?的面積，再相減即可.

【解答】解：(1)以點(diǎn)/,B,C為頂點(diǎn)的三角形的形狀是直角三角形，

VZADC=90°,AD=4m,CD=3m,

：.由勾股定理得：AC=y/AD2+CD2=5m,

BC=12m,

：.AC2+BC2=AB2,

ZACB=90°,

即以點(diǎn)4,B,C為頂點(diǎn)的三角形的形狀是直角三角形；

1111

(2)圖形的面積S=S》CB-SA^x:=5xaCxBC—5x40x00=5x5x12—5x4x3=24(m)

2

【變式1】如圖，在四邊形45c。中，ZA=60°,AB=AD=2,BC=2V5,CD=4.求N4DC的度數(shù).

D

A

BC

【分析】連接2。，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出2。，根據(jù)勾股定理的逆定理判斷NCD8=90°,計(jì)算即

可.

【解答】解：連接AD,

VZA=60°,AB=AD=2,

：.ZADB=60°,BD=2,

:.BD2=4,

在△CD2中，BC2-CD2^(2V5)2-42=4,

：.BC2-CD2^BD2,gpBC2=BD2+CD2,

：.ZCDB=90°,

ZADC=ZADB+ZCDB=150°.

【變式2】如圖，在△48C中，。是2c的中點(diǎn)，DELBC交AB于點(diǎn)、E,S.BE2-AE2^AC2.

(1)求證：ZA=90°；

(2)若/C=3,BD=2.5,求/￡的長(zhǎng).

【分析】(1)連接CE,由線段垂直平分線的性質(zhì)可求得3E=CE,再結(jié)合3E2-E/2=/C2可求得EC?

^EA2+AC2,可證得結(jié)論；

(2)設(shè)EB=EC=x,貝i]NE=4-x,根據(jù)勾股定理列出方程解答即可.

【解答】(1)證明：連接CE,

A

E

BDC

?.?。是3c的中點(diǎn)，DE±BC,

:.EB=EC,

\'BE2-EA2=AC2,

：.EC2-EA2=AC2,

:.EC2=EA2+AC2,

：.ZA=90°.

(2)解：?.?。是BC的中點(diǎn)，BD=2.5,

：.BC=2BD=5,

,：ZA=90°,AC=3,

：.AB=VBC2-AC2=V52-32=4,

,:EB=EC,

:.設(shè)EB=EC=x,則/E=4-x,

在RtZ\E4C中

32+(4-x)2=x2,

25

解得：

xo

7

"AE=8-

【變式3】如圖，在△48C中，AD、/￡分別是高和角平分線.

(1)若/比1C=86°,/C=32°,求/。4E1的度數(shù)；

(2)若48=15,/C=20,40=12,求證：NR4c是直角.

【分析】(1)求出/D/C,NEAC,可得結(jié)論;

（2）利用勾股定理的逆定理證明即可.

【解答】（1）解：平分N/2C,

1

AZEAC--ZBAC=43°,

'：AD±BC,

：.ZDAC=90°-ZC=58°,

AZDAE=ZDAC-ZEAC=58°-43°=15°.

(2)證明：'JADLBC,

：.ZADB=ZADC=90°,

：.BD=y/AB2-AD2=V152-122=9,CD=y/AC2-AD2=V202-122=16,

.?.30=2。+。。=9+16=25,

VAB2+AC2=152+202=625,SC2=625,

：.AB2+AC2^BC2,

：.ZBAC=90°.

【知識(shí)點(diǎn)4勾股數(shù)】

1.定義：像15,8,17這樣，能夠成為直角三角形三條邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù).

2.滿足條件：①三個(gè)數(shù)都是正整數(shù);②兩個(gè)較小整數(shù)的平方和等于最大整數(shù)的平方.

3.勾股數(shù)的整數(shù)倍仍為勾股數(shù)，如3,4,5的2倍6,8,10仍為勾股數(shù).

4.常見形式：①序-1,2","2+1（〃為大于1的整數(shù)）；②4小4/4,4層+1（〃為正整數(shù)）等.

【題型5勾股數(shù)】

【例11下列各組數(shù)據(jù)是勾股數(shù)的有（）

①5,⑵13；

②0.3,0.4,0.5；

③4,7,5；

④1,2,V3.

A.1組B.2組C.3組D.4組

【分析】利用勾股定理的逆定理及勾股數(shù)的定義逐一判斷即可求解.

【解答】解：①:52+122=169=132,

...5、12、13是勾股數(shù);

②因?yàn)楣垂蓴?shù)是正整數(shù)，因此0.3,0.4,0.5不是勾股數(shù)；

（3）V42+52=41#72=49,

；.4,7,5不是勾股數(shù)；

④因?yàn)楣垂蓴?shù)是正整數(shù)，因此1,2,遮不是勾股數(shù)，

.??是勾股數(shù)的有1組，

故選：A.

【例2】在學(xué)習(xí)“勾股數(shù)”的知識(shí)時(shí)，小明發(fā)現(xiàn)了一組有規(guī)律的勾股數(shù)，并將它們記錄在如表格中.則當(dāng)。

=24時(shí)，6+c的值為（）

a68101214…

b815243548.??

c1017263750???

A.162B.200C.242D.288

【分析】根據(jù)表格中數(shù)據(jù)確定。、6、c的關(guān)系，然后再代入。=24求出6、c的值，進(jìn)而可得答案.

【解答】解：根據(jù)表格中數(shù)據(jù)可得：。2+乂=02,并且。=計(jì)2,

則層+方2=（計(jì)2）2,

當(dāng)a=24時(shí)，242+房=（6+2）2,

解得:6=143,

則c=143+2=145,

；.6+c=143+145=288,

故選：D.

【變式1】有下列說(shuō)法：

①：0.6,0.8,1不是勾股數(shù)，；.三邊長(zhǎng)分別為0.6,0.8,1的三角形不是直角三角形；

②..?三邊長(zhǎng)分別為1,2,逐的三角形是直角三角形，2,逐是勾股數(shù)；

③若整數(shù)。，整數(shù)6,整數(shù)c分別是直角三角形的三邊長(zhǎng)，則0.1a,0.16,0.1c必定不是勾股數(shù).

其中錯(cuò)誤的有（）

A.3個(gè)B.2個(gè)C.1個(gè)D.0個(gè)

【分析】根據(jù)勾股數(shù)的定義及勾股定理的知識(shí)分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng).

【解答】解：①雖然0.6,0.8,1不是勾股數(shù)，但是0.62+0.82=12,所以以0.6,0.8,1為邊的三角形是

直角三角形，故①說(shuō)法錯(cuò)誤；

②因勾股數(shù)必須都是整數(shù)，故②說(shuō)法錯(cuò)誤；

③若整數(shù)整數(shù)6,整數(shù)c分別是直角三角形的三邊長(zhǎng)，則0.1a,0.16,0.1c有可能是勾股數(shù)，故③

說(shuō)法錯(cuò)誤.

故選：A.

【變式2】當(dāng)直角三角形的三邊長(zhǎng)都是正整數(shù)時(shí)，我們稱這三個(gè)正整數(shù)為勾股數(shù).

(1)若a,6為一個(gè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)，c為斜邊長(zhǎng)，a,b,c為勾股數(shù)，且a="+7,c="+8,

"為正整數(shù)，求6的值(用含〃的式子表示)，并直接寫出符合題意的最小的6值.

(2)當(dāng)〃是大于1的整數(shù)時(shí)，判斷2小"2一1,小+1是否是勾股數(shù)，并說(shuō)明理由.

【分析】(1)根據(jù)勾股數(shù)的定義得到(〃+7)2+扶=(?+8)2,結(jié)合〃，6都為正整數(shù)，求出最小6值即

可；

(2)分別表示出2小/-1,”2+1的平方，得到(2?)2+("2-1)2=(?2+1)2即可做出判斷.

【解答】解：(1)a,6,。為勾股數(shù)，c為斜邊長(zhǎng)，

：.a2+b2=c2,

a=n+7,。=〃+8,

...(n+7)2+b2=(77+8)2,

.'.b2—2n+15,b—72Tl+15,

b都為正整數(shù),

當(dāng)〃=5時(shí)，b=-2x5+15=5,

最小的6值為5；

(2)'/(2??)2=4〃2,(?2-1)2=n4-2/J2+1,(;?2+1)2=?4+2?2+1,

(2")2+(?2-1)2=(“2+])2,

：.2n,/-I,/+1是勾股數(shù).

【變式3】以3,4,5為邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形，稱3,4,5為勾股數(shù)組，記為(3,4,5),類似地,

還可得到下列勾股數(shù)組：(8,6,10),(15,8,17),(24,10,26)等.

(1)根據(jù)上述四組勾股數(shù)的規(guī)律，寫出第六組勾股數(shù)；

(2)用含〃(〃22且"為整數(shù))的數(shù)學(xué)等式描述上述勾股數(shù)組的規(guī)律，并證明.

【分析】(1)根據(jù)給出的四組數(shù)以及勾股數(shù)的定義即可得出答案；

(2)根據(jù)給出的四組數(shù)以及勾股數(shù)的定義即可得出答案.

【解答】解:(1)上述四組勾股數(shù)組的規(guī)律是：32+42=52,62+82=102,82+152=172,102+242=262,

即(層-1)2+(2即2=(〃2+1)2,

所以第六組勾股數(shù)為14,48,50.

(2)勾股數(shù)為“2-1,2n,-I,證明如下：

(.2-1)2+(2n)2=n4+2n2+l=(?2+1)2.

【題型6勾股定理與方程思想】

【例1】如圖，在RtZ\4BC中，ZC=90°.在邊3c上有一點(diǎn)P,連接/P,且若NC=2,CB=

5,求PN的長(zhǎng).

【分析】設(shè)P/=x=P8,則CP=5-x,在Rt^NPC中，利用勾股定理列式計(jì)算即可求解.

【解答】解：設(shè)P4=x=PB,可得：CP=5-x,

:根據(jù)勾股定理可得：AC2+CP2^PA2,

：.22+(5-x)2=x2,

29

%=10,

29

：.PA的長(zhǎng)為而.

【變式1】如圖，等腰三角形ABC中CDLAB,且CD=4"/,BD=3cm.

(1)求的長(zhǎng)；

(2)求△NBC的面積.

A

D/\

BC

【分析】(1)^AD=xcm,AB=AC=(x+3)cm,在RtZ\4DC中，由勾股定理列出方程，解方程即可;

(2)根據(jù)三角形的面積公式列式計(jì)算即可.

【解答】解：(1)設(shè)加，貝(x+3)cm,

：CDLAB,

：.ZCDA=90°,

在RtZXZCZ)中，根據(jù)題意得：X2+42=(X+3)2,

7

解得：x=7，

6

7

答：AD的長(zhǎng)為Rm；

6

725

(2)由(1)可知，AB=AC=T+3=—(cm)，

oo

*：CDLAB,

112525

:?S&ABC=^AB9CD=^X—X4=—(cm2),

25c

答：△/5C的面積為可。加2.

【變式2】如圖，在中，ZC=90°,4C=8,BC=6,。為4c上一點(diǎn)，若是N48C的角平

分線，求線段4。的長(zhǎng).

【分析】過(guò)點(diǎn)。作于點(diǎn)比易得4c2+叱2=10,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出

通過(guò)證明RtZXBCQ之Rt△班。(HL)，得出5C=5￡=6,則/E=45-5E=4,設(shè)則。。=Z)E=

8-x,在RtZ\4D￡中，DE1+AE1=AD1,據(jù)此列出方程求解即可.

【解答】解：過(guò)點(diǎn)。作。于點(diǎn)￡,

VZC=90°,4C=8,BC=6f

：.AB='AC?+BC2=10,

???AD是NZBC的角平分線，DELAB,ZC=90°，

：.CD=DE,

在RtABCD和RtA^D中,

(CD=DE

IBD=BD9

：.Rt/\BCD^RtABED(HL),

:?BC=BE=6,

:?AE=AB-BE=10-6=4,

設(shè)AD=x,則CD=DE=8-x,

在RtZXZDE中，DE2+AE2=AD2.

即(8-x)2+42=x2,

解得：x=5,

/.AD=5.

【變式3】如圖，在等腰△ZBC中，AB=AC=10,BC=12,4。為的中線，尸￡垂直平分4C交4。

于點(diǎn)G,則AG=.

【分析】如圖，連接CG.利用勾股定理求出/。，再證明/G=GC,設(shè)NG=GC=x,利用勾股定理構(gòu)

建方程求解.

【解答】解：如圖，連接CG.

C.ADLBC,BD=CD=6,

：.AD=7AB2-BD2=4102—62=8,

垂直平分線段NC,

：.AG=GC,

設(shè)/G=GC=x,則有/=(8-x)2+62,

25

Ax=不

25

.\AG=-.

4

25

故答案為：v

q

【題型7勾股定理與分類討論思想】

【例1】已知△ABC中，//=45°,AB=4V2,BC=5,則NC=.

【分析】過(guò)點(diǎn)3作分高線在三角形的內(nèi)部和外部?jī)煞N情況，討論求解即可.

【解答】解：過(guò)點(diǎn)8作2。L/C,

①當(dāng)5。在三角形內(nèi)部時(shí)：

為等腰直角三角形，

.,.AB-y[2AD=y/2BD—4V2,

：.AD=BD=4,

：.CD=y/BC2-BD2=3,

：.AC=AD+CD=7;

②當(dāng)在三角形外部時(shí)：

同法可得：AC=AD-CZ)=1；

故答案為：1或7.

【變式1】在Rt448C中，N4CB=9Q°,NC=8,3c=6,點(diǎn)。為射線2C上一點(diǎn)，當(dāng)是以AD為

腰的等腰三角形時(shí)，CD的長(zhǎng)為

【分析】先由勾股定理求出/2=10,當(dāng)48=20=10時(shí)，可直接計(jì)算出CD的長(zhǎng)；當(dāng)4D=AD時(shí)，設(shè)

AD=BD=x,則CD=x-6,由勾股定理求出無(wú)，即可得出答案.

【解答】解：在RtZi/BC中，由勾股定理得：AB=y/AC2+BC2=V82+62=10,

如圖1,當(dāng)NB=5O=10時(shí)，

圖1

則CD=BD-BC=10-6=4；

如圖2,當(dāng)時(shí)，

圖2

設(shè)AD=BD=x,則CD=x-6,

在Rt△/CD中，AD2=CD2+AC2,

即x2=(x-6)2+82,

,25

解得：x=—,

257

.".CD-——6

7

綜上所述，CD的長(zhǎng)為4或石，

7

故答案為：4或1

【變式2】在△4BC中，/5=15,/C=13,2c上的高4D長(zhǎng)為12,則△/8C的面積為.

【分析】根據(jù)題意，分類討論，第一種情況，銳角三角形，則邊8c上的高在三角形內(nèi)部；第二種

情況，鈍角三角形，則邊8c上的高ND在三角形外部；圖形結(jié)合分析，即可求解.

【解答】解：①如圖所示，43=15,AC=13,ADLBC,AD=12,

A

BDC

在RtZ\ABD中，BD=VXB2-AD2=V152-122=9,

在RtA^CZ）中，CD=y/AC2-AD^="32—422=5,

BC=BD+CD=9+5=14,

11

:-S^ABC=58c?40=萬(wàn)x14x12=84；

②如圖所示，

在RtA^Cn中，CD=H4c2—4。2=7132-122=5,

：.BC=BD-CD=9-5=4,

11

:?S&ABC-2BC,^40=-X4X12=24；

綜上所述，△/8C的面積為84或24,

故答案為：84或24.

【變式3】在等邊△/2C中，點(diǎn)。在2c的延長(zhǎng)線上，BC=6,CD=2,點(diǎn)E在直線NC上，連接

BE.當(dāng)BE=AD時(shí)，AE的長(zhǎng)為.

【分析】分別過(guò)點(diǎn)a8作/尸，3C,BGLAC,垂足分別為尸，G,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理

求出2E,分兩種情況畫圖解答即可.

【解答】解：在等邊△NBC中，AC=BC=6,

分別過(guò)點(diǎn)4,2作4FL8C,BGLAC,垂足分別為RG,

:.BF=CF=AG=CG=3,

：.AF=BG=V3CG=3V3,

,:CD=2,

：.FD=CF+CD=5,

:.BE=AD=7AF2+FD2=V27+25=V52,

因?yàn)辄c(diǎn)E在直線/C上，分兩種情況畫圖：

在RtABGE中，根據(jù)勾股定理得：GE=Vfif2-BG^=V52-27=V25=5,

：.AE=AG+GE=3+5=8；

綜上所述：/￡的長(zhǎng)為8或2.

故答案為：8或2.

【題型8勾股定理與全等】

【例1】如圖，在△NBC中，ZABC=90°,ZA=30°,CD平分/4CB,8E_LCD交NC于點(diǎn)E,若BE=

A.V3B.3C.2V3D.3V3

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和求出N4C5的度數(shù)，根據(jù)CD平分N/C8,可以得到N3CD和NECD的度數(shù),

再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定以及性質(zhì)，得到2C的長(zhǎng)，最后根據(jù)勾股定理即可得到CD

的長(zhǎng).

【解答］解：\'ZABC=90°,ZA=30°,

ZACB=60°,

平分N/CB,

ZACD=ZBCD=30°,

■:BELCD,CD平分NACB,

：.ZCOB=ZCOE=90°,ZBCO=ZECO=30°,

在△C2。和△CEO中，

(Z.BCO=(ECO

\C0=CO,

l乙BOC=乙EOC

:.ACBO沿"EO(ASA),

：.BO=CO,

?：BE=3,

：.BO=CO=1.5,

VZBCO=30°,ZCOB=90°,

:?BC=2OB=3,

ZCBD=90°,NDCB=30°,

：.CD=2BD,

設(shè)則CZ)=2x,

由勾股定理得：BD2+BC2^CD2,

X2+32=（2X）2,

解得x=或x=—g（不合題意，舍去），

：.2x=2W，

即CD的長(zhǎng)為2小

【例2】在Rt^4BC中，N/=90°,N/2C的角平分線交/C于點(diǎn)E,點(diǎn)。為2C中點(diǎn)，連接DE,ABED

【分析】先導(dǎo)角證得CD=C￡,再根據(jù)。是8c中點(diǎn)構(gòu)造倍長(zhǎng)中線全等，延長(zhǎng)ED到點(diǎn)R使DF=DE=

2V2,易證△CDEgAB。尸（S4V）,再利用等腰+45°構(gòu)造等腰直角三角形，過(guò)8作8GJ_D尸于點(diǎn)G,

求出BE和BD,進(jìn)而得到CB和CE,最后利用勾股定理在RtZ\48E中和RtA^5C中分別表示出AB,

建立方程求解即可.

【解答】解：設(shè)N/2E=a,則NC2E=a,

VZBAC=90°,

AZACB=90°-2a,

VZBED=45°,

ZCDE=ZCBE+ZBED=450+a,

在△?)￡1中，NDEC=180°-ZCDE-ZACB=45°+a,

:.CD=CE,

延長(zhǎng)ED到點(diǎn)尸，使DF=DE=2五,

?。為8c中點(diǎn)，

：.BD=CD,

在△CDE和△50尸中,

CD=BD

乙CDE=乙BDF,

DE=DF

：./\CDE^/\BDF(&4S),

：.BF=CE=CD=BD,

1-

過(guò)2作3GLDF于點(diǎn)G,則DG=FG=~DF=V2,

：.EG=DE+DG=3V2,

VZBDE=45°,

ABGE為等腰直角三角形，

.'.BE=V^GE=6,

在RtZXBGD中，BD=7BG2+爾=2瓜

:.CB=2BD=45CE=BD=2店,

設(shè)/E=無(wú)，則/。=2乃+》,

在RtAABE中，AB2=BE2-AE2^36-/,

在RtZX/BC中，/82=8。2-/。2=80-(2A/5+X)2

.,.36-X2=80-(2V5+X)2

解得》=等

即AE=等

【變式1】如圖，四邊形/BCD中，點(diǎn)￡是對(duì)角線NC上一點(diǎn)，連接BE,若/BAD=NCED=6Q°,

AB=BD,DE：EC=2：3,NC=6,BE=^^-,BELAC,則△BEC的面積=

A

【分析】在4C上截取4F=D￡,連接5R利用三角形的外角性質(zhì)求得NA4b=N40E,證明也

1

￡\ADE(SAS),推出班^=Z￡,NBFE=60：得到FE=,8F,利用勾股定理以及直角三角形的性質(zhì)可

12V333018

求得BE=---,再由/C=6,DE：EC=2：3,求得CE=qX了=了，據(jù)此求解即可.

【解答】解：在4c上截取4尸=?！?連接

A

VZBAD=60°,AB=BD,

???△48。是等邊三角形，

:?AB=AD,

VZBAD=ZCED=60°,

:.ZBAF+ZCAD=ZADE+ZCAD=60°,

:.ZBAF=NADE,

???△BAF沼LADE(SAS),

：.BF=AE,/BFA=NAED=1800-ZCED=U0o,

AZBFE=6Q°,ZFBE=30°,

1

：.FE=-BFf

12V3

?BE—,

7

：.BF2=BE2+FE2,即(2FE)2=(i^l)+FE2,

解得FE=—,

???/C=6,

30

：.AF+CE=6-FE=—,

■:DE：EC=2：3,BPAF：EC=2：3,

33018

：.CE=-X—

111812A/3108A/3^

.?.△5EC的面積=5CEXBE=5X二x

乙//749

108V3

故答案為:

49

【變式2】如圖，在四邊形48C。中，AD=CD,ZADC=120°,ZCBA=60°,BC=4,45=10,貝J對(duì)

角線的長(zhǎng)是,

【分析】延長(zhǎng)助到點(diǎn)區(qū)使得4￡=C8,連接OE,證明△成：1)也△￡//),得到BD=ED,過(guò)點(diǎn)。作。方

LAB,垂足為R得NADE=120°,ZDBE=ZDEB=30°,運(yùn)用勾股定理可求出對(duì)角線的長(zhǎng).

【解答】解：延長(zhǎng)A4到點(diǎn)￡,使得4E=CB,連接。E,

??,四邊形的內(nèi)角和為360。，

,NBCD+/CBA+NBAD+/CDA=360°,

ZCBA=60°,Z