安徽省A10聯(lián)盟2025屆高三下學(xué)期原創(chuàng)奪冠卷（三） 數(shù)學(xué)試題（含解析）

安徽省A10聯(lián)盟2025屆高三下學(xué)期原創(chuàng)奪冠卷（三）數(shù)學(xué)試題一、單選題1．的虛部為（

）A． B． C． D．2．集合，，則（

）A． B． C． D．3．已知拋物線恰好經(jīng)過(guò)圓的圓心，則的準(zhǔn)線方程為（

）A． B． C． D．4．某校高三學(xué)生的模考數(shù)學(xué)成績(jī)服從正態(tài)分布，按照、、、的比例將考試成績(jī)劃分為優(yōu)秀、良好、合格和基本合格四個(gè)等級(jí)．若某同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)榉郑瑒t他的等級(jí)是（

）附：，，.A．優(yōu)秀 B．良好 C．合格 D．基本合格5．已知，則（

）A． B． C． D．6．在三棱錐的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)中取個(gè)不共面的點(diǎn)，不同的取法共有（

）A．種 B．種 C．種 D．種7．在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示．已知這兩個(gè)函數(shù)圖象恰有一個(gè)公共點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）

A．函數(shù)的最大值為 B．函數(shù)的最小值為C．函數(shù)的最大值為 D．函數(shù)的最小值為8．已知四面體的頂點(diǎn)均在半徑為的同一球面上，且，則該四面體體積的最大值為（）A． B．3 C．4 D．二、多選題9．已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，前項(xiàng)和為，且是以1為公差的等差數(shù)列，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．10．設(shè)甲袋有3個(gè)紅球、2個(gè)白球和5個(gè)黑球，乙袋有3個(gè)紅球、3個(gè)白球和4個(gè)黑球，先從甲袋中隨機(jī)取出一球放入乙袋，以，和分別表示由甲袋取出的球是紅球、白球和黑球的事件；再?gòu)囊掖须S機(jī)取出一球，以表示由乙袋取出的球是紅球的事件，則（

）A． B． C． D．與相互獨(dú)立11．已知橢圓的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別是，，過(guò)點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，則（

）A．若的中點(diǎn)在軸上，則B．C．若，則橢圓的離心率的取值范圍是D．若的最小值為，則橢圓的離心率為三、填空題12．在平面直角坐標(biāo)系中，已知、，，若，則實(shí)數(shù)的值為．13．已知，且，，則．14．已知點(diǎn)不在函數(shù)的圖象上，且過(guò)點(diǎn)有三條直線與的圖象相切，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．四、解答題15．如圖，在三棱錐中，平面，，，，．（1）在線段上找一點(diǎn)，使平面平面，求的長(zhǎng)；（2）若為的中點(diǎn)，求平面與平面夾角的余弦值．16．在中，、、分別為內(nèi)角、、的對(duì)邊，且．（1）求；（2）若，，求面積的最大值．17．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的零點(diǎn)；（2）若在上單調(diào)遞減，求的取值范圍；（3）若，存在兩個(gè)極值點(diǎn)、，證明：．18．已知雙曲線過(guò)點(diǎn)，漸近線方程為．（1）求的方程；（2）已知點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作動(dòng)直線與雙曲線右支交于不同的兩點(diǎn)、，點(diǎn)在線段上（不含端點(diǎn)）．①若為的中點(diǎn)，的面積為，求直線的斜率；②直線、、分別與軸交于點(diǎn)、、，若為的中點(diǎn)，證明：點(diǎn)恒在定直線上．19．深圳是一個(gè)沿海城市，擁有大梅沙等多樣的海濱景點(diǎn)，每年夏天都有大量游客來(lái)游玩.為了合理配置旅游資源，文旅部門(mén)對(duì)來(lái)大梅沙游玩的游客進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，據(jù)統(tǒng)計(jì)，其中的人選擇只游覽海濱棧道，另外的人選擇既游覽海濱棧道又到海濱公園游玩.每位游客若選擇只游覽海濱棧道，則記1分；若選擇既游覽海濱棧道又到海濱公園游玩，則記2分.假設(shè)游客之間的旅游選擇意愿相互獨(dú)立，視頻率為概率.（1）從游客中隨機(jī)抽取2人，記這2人的合計(jì)得分為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）從游客中隨機(jī)抽取個(gè)人，記這個(gè)人的合計(jì)得分恰為分的概率為，求；（3）從游客中隨機(jī)抽取若干人，記這些人的合計(jì)得分恰為分的概率為，隨著抽取人數(shù)的無(wú)限增加，是否趨近于某個(gè)常數(shù)？若是，求出這個(gè)常數(shù)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

參考答案1．【答案】B【詳解】因?yàn)?，所以的虛部?故選B.2．【答案】A【詳解】因?yàn)椋?，?故選A.3．【答案】C【詳解】圓的圓心為，將圓心的坐標(biāo)代入拋物線的方程得，解得，故拋物線的方程為，標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，所以，，故拋物線的準(zhǔn)線方程為.故選C.4．【答案】B【詳解】由題意可知，，所以，，因?yàn)?，所以，根?jù)比例成績(jī)大于分為優(yōu)秀，因?yàn)?，根?jù)比例成績(jī)?cè)诘街g的為良好，，根據(jù)比例成績(jī)?cè)诘街g的為合格，，根據(jù)比例成績(jī)小于分為基本合格，因?yàn)樾埖臄?shù)學(xué)成績(jī)?yōu)榉?，則他的等級(jí)是良好.故選B.5．【答案】C【詳解】如圖，角的終邊與單位圓圓交于點(diǎn)，單位圓與軸正半軸交于點(diǎn)，過(guò)作軸，交角的終邊于點(diǎn)，則，，則，扇形的面積為，，由三者的大小關(guān)系可知，，即，因，則，即.故選C6．【答案】D【詳解】如下圖，共有個(gè)點(diǎn)任選個(gè)有種，每個(gè)側(cè)面的個(gè)點(diǎn)都共面，任選個(gè)有種，共個(gè)面，則有種共面情況，如、、分別構(gòu)成一個(gè)平面，有種，如、、、、、分別構(gòu)成一個(gè)平面，有種，綜上，在三棱錐的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)取個(gè)不共面的點(diǎn)，不同的取法共有種.故選D.7．【答案】C【詳解】AB選項(xiàng)，由題意可知，兩個(gè)函數(shù)圖象都在軸上方，任何一個(gè)為導(dǎo)函數(shù)，則另外一個(gè)函數(shù)應(yīng)該單調(diào)遞增，判斷可知，虛線部分為，實(shí)線部分為，故恒成立，故在上單調(diào)遞增，則AB顯然錯(cuò)誤；對(duì)于CD，，由圖象可知時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在處取得極大值，也為最大值，且，C正確，D錯(cuò)誤．故選C8．【答案】C【詳解】因?yàn)?，四面體外接球的半徑為，設(shè)球心為，設(shè)為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則球心到的中點(diǎn)的距離，球心到的中點(diǎn)的距離；

所以，，所以，又，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)與垂直，且均與垂直時(shí)取等號(hào)．故選C．9．【答案】ABC【詳解】由條件可知，，得①，數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列，所以，即，即，即②，綜合①②可知，，，，所以ABC正確，D錯(cuò)誤.故選ABC10．【答案】AC【詳解】，選項(xiàng)A正確.，故選項(xiàng)C正確。計(jì)算：，選項(xiàng)B錯(cuò)誤.又，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選AC.11．【答案】ABD【詳解】對(duì)于A：設(shè)的中點(diǎn)為，坐標(biāo)原點(diǎn)為，由中位線易知，若的中點(diǎn)在軸上，則與軸垂直，所以與軸垂直，即為通徑長(zhǎng)的一半，所以，A正確；對(duì)于B：設(shè)，，，，，，又，所以，所以，B正確，對(duì)于C，若，則，即可得，所以C錯(cuò)誤；由過(guò)焦點(diǎn)的弦中垂直于軸的弦最短，則的最小值為，則有，即，解得，所以，故D正確．故選ABD12．【答案】【詳解】因?yàn)?、，，由于，則，解得.13．【答案】/【詳解】由題可知，所以，所以，因?yàn)?，所以，又，所以，故，所以，兩邊平方后得，故，?4．【答案】【詳解】點(diǎn)不在函數(shù)的圖象上，則，即，設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與的圖象相切于，則切線的斜率，整理可得，則問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為有三個(gè)零點(diǎn)，且，令，可得或，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，即當(dāng)時(shí)，有極大值，當(dāng)時(shí)，有極小值，要使有三個(gè)零點(diǎn)，則，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.15．【答案】（1）（2）【詳解】（1）取中點(diǎn)為，連接，因?yàn)?，所以，又平面，平面，，因?yàn)槠矫?，平面，，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面，此時(shí).（2）取中點(diǎn)為，連接，在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作的平行線為軸，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則,,,,，所以，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，，所以平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，則，，所以平面的一個(gè)法向量為，所以，因此，平面與平面夾角的余弦值為.16．【答案】（1）（2）【詳解】（1）由及正弦定理得，化簡(jiǎn)可得，即，由余弦定理可得，因?yàn)椋?（2）因?yàn)?，則，即，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立，故，即面積的最大值為.17．【答案】（1）（2）（3）證明見(jiàn)解析【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，該函數(shù)的定義域?yàn)椋瑢?duì)任意的恒成立，此時(shí)，函數(shù)在上為減函數(shù)，又因?yàn)?，故?dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)為.（2）因?yàn)椋衷趨^(qū)間上單調(diào)遞減，所以在上恒成立，即在上恒成立，所以在上恒成立，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，所以，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.（3）由（2）知：、滿足，則，不妨設(shè)，則，所以，則證，即證，即證，也即證成立，設(shè)函數(shù)，則，所以在單調(diào)遞減，又，所以當(dāng)時(shí)，，故，即．18．【答案】（1）（2）（i）；（ii）證明見(jiàn)解析【詳解】（1）由題意，得，則①，將點(diǎn)代入雙曲線方程，得②，聯(lián)立①②解得，故的方程為.（2）若直線的斜率不存在，則直線與雙曲線右支只有一個(gè)交點(diǎn)，不符合題意，故直線的斜率存在.設(shè)直線的方程為，與聯(lián)立得.設(shè)、，由題意，得，解得.（i）因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以.由，得.又，解得，所以直線的斜率為.（ii）設(shè)直線的方程為，令，得.同理可得，，，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，即.又因?yàn)辄c(diǎn)、、都在直線上，所以，整理，得，代入韋達(dá)定理，得，所以.因?yàn)?，所以點(diǎn)恒在定直線上.19．【答案】（1）分布列見(jiàn)解析，（2）（3）是，【詳解】（1）依題意，隨機(jī)變量的可能取值為，則，，所以的分布列如下表所示：234數(shù)學(xué)期望為.（2）由這人的合計(jì)得分為分，得其中只有1人既游覽海濱