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文檔簡(jiǎn)介
安徽省A10聯(lián)盟2025屆高三下學(xué)期原創(chuàng)奪冠卷(三)數(shù)學(xué)試題一、單選題1.的虛部為(
)A. B. C. D.2.集合,,則(
)A. B. C. D.3.已知拋物線恰好經(jīng)過(guò)圓的圓心,則的準(zhǔn)線方程為(
)A. B. C. D.4.某校高三學(xué)生的模考數(shù)學(xué)成績(jī)服從正態(tài)分布,按照、、、的比例將考試成績(jī)劃分為優(yōu)秀、良好、合格和基本合格四個(gè)等級(jí).若某同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)榉郑瑒t他的等級(jí)是(
)附:,,.A.優(yōu)秀 B.良好 C.合格 D.基本合格5.已知,則(
)A. B. C. D.6.在三棱錐的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)中取個(gè)不共面的點(diǎn),不同的取法共有(
)A.種 B.種 C.種 D.種7.在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi),函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示.已知這兩個(gè)函數(shù)圖象恰有一個(gè)公共點(diǎn),則下列說(shuō)法正確的是(
)
A.函數(shù)的最大值為 B.函數(shù)的最小值為C.函數(shù)的最大值為 D.函數(shù)的最小值為8.已知四面體的頂點(diǎn)均在半徑為的同一球面上,且,則該四面體體積的最大值為()A. B.3 C.4 D.二、多選題9.已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為,公差為,前項(xiàng)和為,且是以1為公差的等差數(shù)列,則下列結(jié)論正確的是(
)A. B. C. D.10.設(shè)甲袋有3個(gè)紅球、2個(gè)白球和5個(gè)黑球,乙袋有3個(gè)紅球、3個(gè)白球和4個(gè)黑球,先從甲袋中隨機(jī)取出一球放入乙袋,以,和分別表示由甲袋取出的球是紅球、白球和黑球的事件;再?gòu)囊掖须S機(jī)取出一球,以表示由乙袋取出的球是紅球的事件,則(
)A. B. C. D.與相互獨(dú)立11.已知橢圓的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別是,,過(guò)點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn),則(
)A.若的中點(diǎn)在軸上,則B.C.若,則橢圓的離心率的取值范圍是D.若的最小值為,則橢圓的離心率為三、填空題12.在平面直角坐標(biāo)系中,已知、,,若,則實(shí)數(shù)的值為.13.已知,且,,則.14.已知點(diǎn)不在函數(shù)的圖象上,且過(guò)點(diǎn)有三條直線與的圖象相切,則實(shí)數(shù)的取值范圍為.四、解答題15.如圖,在三棱錐中,平面,,,,.(1)在線段上找一點(diǎn),使平面平面,求的長(zhǎng);(2)若為的中點(diǎn),求平面與平面夾角的余弦值.16.在中,、、分別為內(nèi)角、、的對(duì)邊,且.(1)求;(2)若,,求面積的最大值.17.已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的零點(diǎn);(2)若在上單調(diào)遞減,求的取值范圍;(3)若,存在兩個(gè)極值點(diǎn)、,證明:.18.已知雙曲線過(guò)點(diǎn),漸近線方程為.(1)求的方程;(2)已知點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作動(dòng)直線與雙曲線右支交于不同的兩點(diǎn)、,點(diǎn)在線段上(不含端點(diǎn)).①若為的中點(diǎn),的面積為,求直線的斜率;②直線、、分別與軸交于點(diǎn)、、,若為的中點(diǎn),證明:點(diǎn)恒在定直線上.19.深圳是一個(gè)沿海城市,擁有大梅沙等多樣的海濱景點(diǎn),每年夏天都有大量游客來(lái)游玩.為了合理配置旅游資源,文旅部門(mén)對(duì)來(lái)大梅沙游玩的游客進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查,據(jù)統(tǒng)計(jì),其中的人選擇只游覽海濱棧道,另外的人選擇既游覽海濱棧道又到海濱公園游玩.每位游客若選擇只游覽海濱棧道,則記1分;若選擇既游覽海濱棧道又到海濱公園游玩,則記2分.假設(shè)游客之間的旅游選擇意愿相互獨(dú)立,視頻率為概率.(1)從游客中隨機(jī)抽取2人,記這2人的合計(jì)得分為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望;(2)從游客中隨機(jī)抽取個(gè)人,記這個(gè)人的合計(jì)得分恰為分的概率為,求;(3)從游客中隨機(jī)抽取若干人,記這些人的合計(jì)得分恰為分的概率為,隨著抽取人數(shù)的無(wú)限增加,是否趨近于某個(gè)常數(shù)?若是,求出這個(gè)常數(shù);若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.
參考答案1.【答案】B【詳解】因?yàn)?,所以的虛部?故選B.2.【答案】A【詳解】因?yàn)椋?,?故選A.3.【答案】C【詳解】圓的圓心為,將圓心的坐標(biāo)代入拋物線的方程得,解得,故拋物線的方程為,標(biāo)準(zhǔn)方程為,則,所以,,故拋物線的準(zhǔn)線方程為.故選C.4.【答案】B【詳解】由題意可知,,所以,,因?yàn)?,所以,根?jù)比例成績(jī)大于分為優(yōu)秀,因?yàn)?,根?jù)比例成績(jī)?cè)诘街g的為良好,,根據(jù)比例成績(jī)?cè)诘街g的為合格,,根據(jù)比例成績(jī)小于分為基本合格,因?yàn)樾埖臄?shù)學(xué)成績(jī)?yōu)榉?,則他的等級(jí)是良好.故選B.5.【答案】C【詳解】如圖,角的終邊與單位圓圓交于點(diǎn),單位圓與軸正半軸交于點(diǎn),過(guò)作軸,交角的終邊于點(diǎn),則,,則,扇形的面積為,,由三者的大小關(guān)系可知,,即,因,則,即.故選C6.【答案】D【詳解】如下圖,共有個(gè)點(diǎn)任選個(gè)有種,每個(gè)側(cè)面的個(gè)點(diǎn)都共面,任選個(gè)有種,共個(gè)面,則有種共面情況,如、、分別構(gòu)成一個(gè)平面,有種,如、、、、、分別構(gòu)成一個(gè)平面,有種,綜上,在三棱錐的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)取個(gè)不共面的點(diǎn),不同的取法共有種.故選D.7.【答案】C【詳解】AB選項(xiàng),由題意可知,兩個(gè)函數(shù)圖象都在軸上方,任何一個(gè)為導(dǎo)函數(shù),則另外一個(gè)函數(shù)應(yīng)該單調(diào)遞增,判斷可知,虛線部分為,實(shí)線部分為,故恒成立,故在上單調(diào)遞增,則AB顯然錯(cuò)誤;對(duì)于CD,,由圖象可知時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以函數(shù)在處取得極大值,也為最大值,且,C正確,D錯(cuò)誤.故選C8.【答案】C【詳解】因?yàn)?,四面體外接球的半徑為,設(shè)球心為,設(shè)為的中點(diǎn),為的中點(diǎn),則球心到的中點(diǎn)的距離,球心到的中點(diǎn)的距離;
所以,,所以,又,,所以,當(dāng)且僅當(dāng)與垂直,且均與垂直時(shí)取等號(hào).故選C.9.【答案】ABC【詳解】由條件可知,,得①,數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列,所以,即,即,即②,綜合①②可知,,,,所以ABC正確,D錯(cuò)誤.故選ABC10.【答案】AC【詳解】,選項(xiàng)A正確.,故選項(xiàng)C正確。計(jì)算:,選項(xiàng)B錯(cuò)誤.又,選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選AC.11.【答案】ABD【詳解】對(duì)于A:設(shè)的中點(diǎn)為,坐標(biāo)原點(diǎn)為,由中位線易知,若的中點(diǎn)在軸上,則與軸垂直,所以與軸垂直,即為通徑長(zhǎng)的一半,所以,A正確;對(duì)于B:設(shè),,,,,,又,所以,所以,B正確,對(duì)于C,若,則,即可得,所以C錯(cuò)誤;由過(guò)焦點(diǎn)的弦中垂直于軸的弦最短,則的最小值為,則有,即,解得,所以,故D正確.故選ABD12.【答案】【詳解】因?yàn)?、,,由于,則,解得.13.【答案】/【詳解】由題可知,所以,所以,因?yàn)?,所以,又,所以,故,所以,兩邊平方后得,故,?4.【答案】【詳解】點(diǎn)不在函數(shù)的圖象上,則,即,設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與的圖象相切于,則切線的斜率,整理可得,則問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為有三個(gè)零點(diǎn),且,令,可得或,當(dāng)時(shí),,則在上單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),,則在上單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),,則在上單調(diào)遞增,即當(dāng)時(shí),有極大值,當(dāng)時(shí),有極小值,要使有三個(gè)零點(diǎn),則,即,解得,所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.15.【答案】(1)(2)【詳解】(1)取中點(diǎn)為,連接,因?yàn)?,所以,又平面,平面,,因?yàn)槠矫?,平面,,所以平面,因?yàn)槠矫?,所以平面平面,此時(shí).(2)取中點(diǎn)為,連接,在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作的平行線為軸,以為坐標(biāo)原點(diǎn),、所在直線分別為、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,所以,,,,設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則,令,則,,所以平面的一個(gè)法向量為,設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則,取,則,,所以平面的一個(gè)法向量為,所以,因此,平面與平面夾角的余弦值為.16.【答案】(1)(2)【詳解】(1)由及正弦定理得,化簡(jiǎn)可得,即,由余弦定理可得,因?yàn)椋?(2)因?yàn)?,則,即,所以,即,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),即當(dāng),時(shí),等號(hào)成立,故,即面積的最大值為.17.【答案】(1)(2)(3)證明見(jiàn)解析【詳解】(1)當(dāng)時(shí),,該函數(shù)的定義域?yàn)椋瑢?duì)任意的恒成立,此時(shí),函數(shù)在上為減函數(shù),又因?yàn)?,故?dāng)時(shí),函數(shù)的零點(diǎn)為.(2)因?yàn)椋衷趨^(qū)間上單調(diào)遞減,所以在上恒成立,即在上恒成立,所以在上恒成立,設(shè),則,當(dāng)時(shí),,所以在單調(diào)遞增,所以,所以,即實(shí)數(shù)的取值范圍是.(3)由(2)知:、滿足,則,不妨設(shè),則,所以,則證,即證,即證,也即證成立,設(shè)函數(shù),則,所以在單調(diào)遞減,又,所以當(dāng)時(shí),,故,即.18.【答案】(1)(2)(i);(ii)證明見(jiàn)解析【詳解】(1)由題意,得,則①,將點(diǎn)代入雙曲線方程,得②,聯(lián)立①②解得,故的方程為.(2)若直線的斜率不存在,則直線與雙曲線右支只有一個(gè)交點(diǎn),不符合題意,故直線的斜率存在.設(shè)直線的方程為,與聯(lián)立得.設(shè)、,由題意,得,解得.(i)因?yàn)闉橹悬c(diǎn),所以.由,得.又,解得,所以直線的斜率為.(ii)設(shè)直線的方程為,令,得.同理可得,,,因?yàn)闉橹悬c(diǎn),所以,即.又因?yàn)辄c(diǎn)、、都在直線上,所以,整理,得,代入韋達(dá)定理,得,所以.因?yàn)?,所以點(diǎn)恒在定直線上.19.【答案】(1)分布列見(jiàn)解析,(2)(3)是,【詳解】(1)依題意,隨機(jī)變量的可能取值為,則,,所以的分布列如下表所示:234數(shù)學(xué)期望為.(2)由這人的合計(jì)得分為分,得其中只有1人既游覽海濱
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