河北省張家口市2025屆高三下學(xué)期第三次模擬考試 數(shù)學(xué)試題（含解析）VIP

河北省張家口市2025屆高三下學(xué)期第三次模擬考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若集合，，則（

）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．某同學(xué)記錄了自己升入高三以來8次的數(shù)學(xué)考試成績，分別為125，117，129，132，115，119，126，130，則該同學(xué)這8次的數(shù)學(xué)考試成績的第40百分位數(shù)為（

）A．119 B．122 C．125 D．1324．在中，，，則（

）A．2 B． C． D．5．若的展開式中的系數(shù)為240，則（

）A．4 B．5 C．6 D．86．已知直線為圓在處的切線，若直線經(jīng)過橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)，則該橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．7．已知，則（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，，且，都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知，，且，若，則（

）A． B．的最小值為C．的最小值為 D．的取值范圍為10．在三棱錐中，，，為等邊三角形，側(cè)面底面，為棱的中點(diǎn)，，，三棱錐的體積為，則（

）A．若，則B．若，則三棱錐的外接球的表面積為C．若平面，則四棱錐的體積為D．若，與平面所成角相等，則11．已知函數(shù)，，則（

）A．當(dāng)時(shí)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)B．當(dāng)時(shí)，，C．若，則D．若函數(shù)在處取得極值，且，使，則三、填空題12．已知曲線在處的切線與軸垂直，則實(shí)數(shù)的值為.13．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則.14．已知為拋物線的焦點(diǎn)，過上一點(diǎn)作的準(zhǔn)線的垂線，垂足為，若，則.四、解答題15．為大力弘揚(yáng)中華民族尊老、敬老、愛老的傳統(tǒng)美德，某醫(yī)院從，兩個(gè)科室的志愿者中隨機(jī)抽調(diào)4人為某社區(qū)養(yǎng)老院的老人進(jìn)行“免費(fèi)健康體檢”活動(dòng)，已知，兩個(gè)科室中的志愿者分布如下：

類別科室志愿者醫(yī)生護(hù)士A科室23B科室33（1）求抽到的4人中，恰好有2名醫(yī)生，且這2名醫(yī)生恰好來自同一科室的概率；（2）設(shè)為選出的4人中醫(yī)生的人數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.16．已知雙曲線的一條漸近線方程為，為個(gè)焦點(diǎn).（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若傾斜角為的直線經(jīng)過與的右支交于不同的兩點(diǎn)，，的面積為（為坐標(biāo)原點(diǎn)），，求的值.17．在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知.（1）求；（2）若的外接圓面積為，且，，求的長.18．如圖，在正三棱柱中，，，且，滿足，，過，，三點(diǎn)的平面與棱交于點(diǎn)，若.（1）求的值；（2）求異面直線與所成角的余弦值；（3）求平面與平面夾角的正切值.19．已知函數(shù).（1）求證：.（2）若，，為的最大值，（i）求的極小值；（ii）設(shè)，，求證：.

參考答案1．【答案】A【詳解】，，所以，故選A2．【答案】D【詳解】，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，它位于第四象限.故選D.3．【答案】C【詳解】從小到大排序：115,117,119,125,126,129,130,132，，所以第40百分位數(shù)為第四個(gè)數(shù)，即125.故選C4．【答案】C【詳解】依題意，.故選C.5．【答案】C【詳解】的展開式通項(xiàng)為.令得展開式中的系數(shù)為，即，對(duì)于A，時(shí)，，不滿足方程；對(duì)于B，時(shí)，，不滿足方程；對(duì)于C，時(shí)，，滿足方程；對(duì)于B，時(shí)，，不滿足方程.故選C6．【答案】A【詳解】設(shè)切線斜率為，由圓的性質(zhì)可知：，解得：，可得切線方程：，由可得：，令，可得，由題意可知：，所以，所以，故選A7．【答案】D【詳解】因?yàn)?，則.故選D8．【答案】B【詳解】，，且，都有即，記，則由單調(diào)性的定義知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則需滿足：在上單調(diào)遞增①，在上單調(diào)遞增②，且③，對(duì)于①，要使在上單調(diào)遞增，則在上恒成立，即在上恒成立，所以，因?yàn)?，所以，解得；?duì)于②，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增時(shí)，；對(duì)于③，，所以；所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選B9．【答案】BCD【詳解】A.由條件可知，，，則，故A錯(cuò)誤；B.由題意可知，，則，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，則的最小值為，故B正確；C.，當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，則的最小值為，故C正確；D.，當(dāng)，均單調(diào)遞增，且時(shí)，，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴當(dāng)時(shí)取得最大值5，且時(shí)，，所以的取值范圍為，故D正確.故選BCD.10．【答案】AC【詳解】設(shè)，由可得，取的中點(diǎn)，連接，由為等邊三角形可得，又側(cè)面底面，側(cè)面底面，面，所以由面面垂直的性質(zhì)定理可得面，由，所以三棱錐體積.對(duì)于A，若，即，即，故A正確；對(duì)于B，若，由A可得，則，設(shè)三棱錐外接球的球心為，半徑為，，則，解得，所以，所以三棱錐的外接球的表面積為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若平面，平面平面，平面，所以，又為棱的中點(diǎn)，所以為的中點(diǎn)，則，由三角形相似可得，且到平面的距離不變，所以，所以四棱錐的體積為，故C正確；對(duì)于D，以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由題意得為與平面所成的角，且，，所以，由，，可得，所以，平面的法向量為，因?yàn)?，與平面所成角相等，所以，化簡可得，解得無解，故D錯(cuò)誤.故選AC11．【答案】AC【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，，易得當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)或時(shí)，，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，所以極大值，極小值，又，，所以函數(shù)在，，各有一個(gè)零點(diǎn)，所以函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，，易得當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；又，，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，則的圖象關(guān)于成中心對(duì)稱，又的定義域?yàn)?，所以，即，即，整理可得，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，由題有，即，由，得，令，則，又，所以，得到，整理得到，又，代入化簡得到，又，，所以，得到，即，即，故D錯(cuò)誤.故選AC.12．【答案】/0.5【詳解】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，，因?yàn)榍€在處的切線與軸垂直，所以，解得.13．【答案】【詳解】由可得，若，則與矛盾，所以，則.14．【答案】【詳解】由題意為拋物線的焦點(diǎn)，過上一點(diǎn)作的準(zhǔn)線的垂線，垂足為，且，所以，所以，所以，設(shè)準(zhǔn)線與縱軸交于點(diǎn)，根據(jù)拋物線定義可知，所以，因?yàn)?，所以，在中，，所以?5．【答案】（1）（2）分布列見解析，【詳解】（1）由已知，恰好有2名醫(yī)生的情況包含這2名醫(yī)生都來自A科室和都來自B科室，有種情況，從11人中抽4人有種情況，所以所求的概率為.（2）隨機(jī)變量的所有可能取值為、、、、，，，，，，所以隨機(jī)變量的分布列為所以.16．【答案】（1）（2）12【詳解】（1）由可得，即，又，即，且，聯(lián)立可得，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由題意可得當(dāng)時(shí)，，顯然不合題意，所以，設(shè)直線方程為，，聯(lián)立，消去可得，因?yàn)橹本€經(jīng)過與的右支交于不同的兩點(diǎn)，，所以，，，即兩邊取平方后化簡可得，進(jìn)一步化簡可得，因?yàn)橹本€經(jīng)過與的右支交于不同的兩點(diǎn)，所以，解得，又，原點(diǎn)到直線的距離，所以.17．【答案】（1）（2）【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以，所以，由正弦定理可知，即，又由余弦定理可知，又，則；（2）由的外接圓面積為，得外接圓半徑為1，由正弦定理得，由余弦定理及得，，化簡得，解得（負(fù)根舍去），從而，因?yàn)?，所以，，所以，故的長是.18．【答案】（1）（2）（3）【詳解】（1）取中點(diǎn)為，連接，因?yàn)闉檎切?，所以，又因?yàn)檎庵?，平面平面，平面平面，平面，所以平面，以為坐?biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，由，可得，所以，因?yàn)椋詾橹悬c(diǎn)，則，又，設(shè)，則，即，解得，所以，設(shè)，則，因?yàn)樗狞c(diǎn)共面，所以存在實(shí)數(shù)，使得，即，即，解得，則，所以，即.（2）由（1）可知，，設(shè)異面直線與所成角為，則.（3）平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?，則，令，則，所以，設(shè)平面與平面的夾角為，則，且，所以.19．【答案】（1）證明見解析；（2）（i）0；（ii）證明見解析.【詳解】（1）令，定義域?yàn)?，則，因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞減，故的最大值