甘肅省白銀市靖遠縣多校2025屆高三下學(xué)期5月沖刺聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析）VIP

2025年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)沖刺卷本試卷共150分考試時間120分鐘注意事項：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算化簡即可.【詳解】.故選：C.2.若，則（）A B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡結(jié)合二倍角公式轉(zhuǎn)換即可得所求.【詳解】.故選：A.3.已知集合，集合，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)集合中的元素確定集合的關(guān)系，結(jié)合集合的運算性質(zhì)，逐項判斷即可得答案.【詳解】因為集合，集合，所以，則，故A，B，D項錯誤，C項正確.故選：C.4.已知向量，且與夾角為，則實數(shù)的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由平面向量夾角的坐標(biāo)運算公式計算即得.【詳解】由，解得或（因，故舍去）故選：D.5.若，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】將已知等式配方可得式子的最值即可的值，結(jié)合對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)逐項判斷即可.【詳解】，等號成立，.故選：D.6.如圖，在長方體中，，則異面直線和夾角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運算求解異面直線所成角得余弦值即可.【詳解】以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，故異面直線和夾角的余弦值為.故選：B.7.暑假期間，甲?乙?丙?丁四名大學(xué)生到某科研單位的第一?二?三這三個科室實習(xí)，每個科室至少有一人實習(xí)，且每人只到一個科室實習(xí).在甲在第一科室實習(xí)的條件下，甲與乙不在同一科室實習(xí)的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)條件概率的公式和性質(zhì)計算即可.【詳解】記事件為“甲在第一科室實習(xí)”，事件為“甲與乙不在同一科室實習(xí)”，樣本點的總數(shù)為，，事件同時發(fā)生的情況種數(shù)為，∴，..故選：C.8.如圖，拋物線的焦點為，過點且斜率為1的直線交拋物線于兩點，線段的中點為，其垂直平分線交軸于點軸于點，則四邊形的面積等于（）A.12 B.8 C.6 D.7【答案】D【解析】【分析】根據(jù)拋物線焦點坐標(biāo)即可確定直線的方程，設(shè)，根據(jù)直線斜率的坐標(biāo)關(guān)系可得，所以，作軸于點，確定的值，從而可得四邊形的面積.【詳解】拋物線的焦點，則直線的方程為，因為四邊形為梯形，且，設(shè)，則，所以，所以，作軸于點，則，因為直線的斜率為1，所以為等腰直角三角形，故，所以，所以四邊形的面積為.故選：D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知一組樣本點組成一個樣本，得到的經(jīng)驗回歸方程為，且其平均數(shù)為.若增加兩個樣本點和，得到新樣本的經(jīng)驗回歸方程為，則下列結(jié)論正確的有（）A.B.增加兩個樣本點后的平均數(shù)為1.2C.D.在新的經(jīng)驗回歸方程中，當(dāng)時，的估計值為4.2【答案】ABD【解析】【分析】利用經(jīng)驗回歸方程，結(jié)合樣本中心點求出參數(shù)，進而進行數(shù)據(jù)估計.【詳解】對于A，由過點，得，解得，A正確；對于B，增加兩個樣本點后的平均數(shù)為，B正確；對于C，增加兩個樣本點后的平均數(shù)為，則，解得，C錯誤；對于D，新的經(jīng)驗回歸方程為，當(dāng)時，，D正確.故選：ABD10.如圖所示，將橢圓繞著坐標(biāo)原點旋轉(zhuǎn)一定角度，得到“斜橢圓”的方程為，則橢圓的（）A.長半軸長為 B.短半軸長為C.焦距為4 D.離心率為【答案】AD【解析】【分析】結(jié)合不等式及軌跡方程求得，根據(jù)橢圓長軸短軸的集合意義求得的值，從而得橢圓的焦距與離心率，逐項判斷即可得答案.【詳解】，，解得.該“斜橢圓”的長半軸長為橢圓上的點到原點的距離的最大值，短半軸長為橢圓上的點到原點的距離的最小值，橢圓的焦距為，橢圓的離心率A，D項正確，B，C項錯誤.故選：AD.11.已知函數(shù)，且，則下列結(jié)論正確的有（）A.不一定有極值B.當(dāng)時，C.當(dāng)時，的極小值為0D.當(dāng)時，在區(qū)間上的最小值為【答案】ACD【解析】【分析】舉例說明當(dāng)時，得根據(jù)三次函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)的極值，即可判斷A；當(dāng)時，利用作差法判斷得符號，即可判斷B；當(dāng)時，求導(dǎo)函數(shù)確定函數(shù)的極值點，從而得極值，即可判斷C；當(dāng)時，判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性得最值即可判斷D.【詳解】當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)無極值，故A項正確；當(dāng)時，，且a2b>0,b?3a>0，則a2當(dāng)時，，且，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在處取得極小值故C項正確；當(dāng)時，同上分析知在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，當(dāng)時，在區(qū)間上有最小值，故D項正確.故選：ACD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若函數(shù)的最小正周期是，則__________.【答案】3【解析】【分析】根據(jù)正切型函數(shù)的周期性求解的值即可.【詳解】因為函數(shù)的最小正周期是，所以，則.故答案：3.13.已知數(shù)列滿足，若，則__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系式可得，結(jié)合累加法可得，從而可得所求.【詳解】，，將這個式子的左右兩邊分別相加可得，，.故答案為：.14.已知正四棱錐的高為3，側(cè)面與底面所成的角為，球與該正四棱錐的四個側(cè)面及底面都相切，依次在該正四棱錐內(nèi)放入球，使得球與該正四棱錐的四個側(cè)面均相切，且球與外切，則球的體積為__________，球的表面積為__________.【答案】①.②.【解析】【分析】在四棱錐中，點為底面正方形的中心，則有底面，記球的半徑為，設(shè)四棱錐的高為為球與四棱錐的切點，根據(jù)側(cè)面與底面所成角確定線段關(guān)系即可得，從而得球的體積；結(jié)合等比數(shù)列的定義可得，從而可得球的表面積.【詳解】如圖，在四棱錐中，點為底面正方形的中心，則底面，令為的中點，連接，記球的半徑為，設(shè)四棱錐的高為為球與四棱錐的切點，，側(cè)面與底面所成的角為，球的體積為.設(shè)，由于，即，，兩式相減可得，即，，球的表面積為.故答案為：；.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解題的關(guān)鍵點是找出可得.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.在如圖所示的多面體中，平面，且是的中點.（1）求證：平面平面.（2）求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理證明平面結(jié)合面面垂直的判定定理即可證得結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運算求解平面與平面的法向量，由面面夾角的余弦值的坐標(biāo)運算求解即可.【小問1詳解】是的中點，.平面，平面平面，平面平面，平面平面平面平面.【小問2詳解】以為原點，分別以所在直線為軸，過點且豎直向上的直線為軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則，則，設(shè)平面的法向量為，則取，解得.設(shè)平面的法向量為，則取，解得.記平面與平面夾角為，∴cos平面與平面夾角的余弦值為.16.已知的內(nèi)角的對邊分別為，且.（1）求的值.（2）已知.（i）求的值；（ii）求的面積.【答案】（1）（2）（i）2；（ii）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知等式結(jié)合三角恒等變換化簡求得的值，從而得的值；（2）（i）由正弦定理化簡可得的關(guān)系，再根據(jù)余弦定理可得的值；（ii）根據(jù)三角形面積公式即可得結(jié)論.【小問1詳解】，，，，..【小問2詳解】（i）∴由正弦定理得，由（1）知，∴由余弦定理得，解得.（ii）的面積為.17.已知雙曲線的漸近線方程為，且其焦距為.（1）求雙曲線的方程；（2）若直線與雙曲線交于不同的兩點，且在由點與構(gòu)成的三角形中，，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)雙曲線的漸近線方程與的關(guān)系即可得雙曲線的方程；（2）根據(jù)直線與雙曲線交點坐標(biāo)關(guān)系，結(jié)合三角形幾何性質(zhì)以及可得的關(guān)系，從而可得實數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】漸近線方程為.又，雙曲線的方程為.【小問2詳解】直線與雙曲線交于不同的兩點，由，得，，且，，且.設(shè)，則，，線段的中點坐標(biāo)為，線段的垂直平分線的方程為，即，又在由點與構(gòu)成三角形中，，點不在直線上，而是在線段的垂直平分線上，，又，且，解得，或，實數(shù)的取值范圍是.18.已知函數(shù)，且曲線在點處的切線方程為.（1）求實數(shù)的值.（2）當(dāng)時，證明：當(dāng)時，.（3）當(dāng)時，若存在，使得成立，證明：.【答案】（1）（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求導(dǎo)函數(shù)，由切線斜率可得的值，從而得實數(shù)的值；（2）求導(dǎo)函數(shù)，從而得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可證得結(jié)論；（3）結(jié)合函數(shù)在時的單調(diào)性將等式轉(zhuǎn)換為不等式，則，設(shè)，求導(dǎo)確定單調(diào)性即可證得結(jié)論.【小問1詳解】.曲線在點處的切線方程為.【小問2詳解】當(dāng)時，，在上恒成立，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，.【小問3詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時，存在成立，，得.由（2）可知，當(dāng)時，單調(diào)遞增，，即，，設(shè)，則，當(dāng)時，，則，，，.19.若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為項數(shù)列.集合是由所有的項數(shù)列構(gòu)成的，現(xiàn)從集合中任意取出兩個數(shù)列，記隨機變量.（1）求集合中元素的個數(shù)；（2）求概率的值；（3）若的期望，求的最小值.【答案】（1）個元素（2）（3）32【解析】【分析】（1）根據(jù)數(shù)列中1的個數(shù)可得集合中元素的個數(shù)為即可得到答案；（2）當(dāng)時，數(shù)列中有項取值不同，有項取值相同，將問題轉(zhuǎn)化為組合問題，所有的情況會重復(fù)1次，再結(jié)合古典概型的概率公式可求得結(jié)果；（3）由（2）得到分布列，結(jié)合求和，得