因式分解解分式方程三角形中的計算特殊四邊形中的計算一元二次方程函數(shù)與幾何綜合填空題-2025年中考數(shù)學(xué)沖刺搶分押題秘籍（廣州專用）VIP

PAGE1猜押03廣東廣州卷中考數(shù)學(xué)11-16題（填空題）猜押考點1年廣州真題考情分析押題依據(jù)難度因式分解2022年廣東省卷第12題2022年考因式分解，2023年考分式方程，2024年考不等式解集代數(shù)運算題占比高，2024年第12題結(jié)合物理電阻公式，體現(xiàn)跨學(xué)科命題易解分式方程2023年廣東省卷第12題2022年考因式分解，2023年考分式方程，2024年考不等式解集代數(shù)運算題占比高，2024年第12題結(jié)合物理電阻公式，體現(xiàn)跨學(xué)科命題易三角形中的計算2024年廣東廣州卷第13題2022年考勾股定理，2023年考三角函數(shù)，2024年考菱形面積，2025年可能考查特殊三角形性質(zhì)。幾何計算注重實際應(yīng)用，2024年第7題以潛水艇"掉深"為背景，凸顯物理與數(shù)學(xué)的結(jié)合易特殊四邊形中的計算2024年廣東廣州卷第14題2024年第14題考查了新定義型解一元二次方程考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系。中一元二次方程2024年廣東廣州卷第15題2024年第14題考查了新定義型解一元二次方程考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系。中函數(shù)與幾何綜合2024年廣東廣州卷第16題2022年考二次函數(shù)頂點，2023年考幾何動點，2024年考反比例函數(shù)面積，2025年可能考查函數(shù)與幾何的交點問題。填空題壓軸題注重思維深度，2024年第16題考查方程思想，強調(diào)邏輯推理難題型一因式分解1．（2025·廣東廣州·一模）分解因式：．【答案】【知識點】綜合提公因式和公式法分解因式【分析】本題考查的知識點是綜合提公因式和公式法分解因式，解題關(guān)鍵是熟練掌握因式分解的方法．直接提取公因式，再利用平方差公式分解因式得出答案．【詳解】解：原式．故答案為：．2．（2025·廣東梅州·二模）在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解：．【答案】【知識點】綜合提公因式和公式法分解因式【分析】本題考查因式分解，掌握因式分解的方法是解題關(guān)鍵；先提取公因式，再運用公式法因式分解.【詳解】解：故答案為：．3．（2025·廣東河源·一模）因式分解：．【答案】【知識點】提公因式法分解因式【分析】本題考查了因式分解提公因式法，先確定公因式，然后提取即可．熟練掌握公因式的確定方法是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，故答案為：．4．（2025·廣東東莞·模擬預(yù)測）因式分解：．【答案】【知識點】完全平方公式分解因式【分析】本題考查了因式分解，運用完全平方公式進(jìn)行因式分解，即可作答．【詳解】解：，故答案為：5．（2025·廣東清遠(yuǎn)·一模）分解因式：．【答案】【知識點】提公因式法分解因式【分析】本題考查了提公因式法分解因式，熟練掌握分解因式的方法是關(guān)鍵．按照提公因式法分解法進(jìn)行分解因式即可．【詳解】解：故答案為：．6．（2025·廣東江門·一模）因式分解：．【答案】【知識點】綜合提公因式和公式法分解因式【分析】本題考查了提公因式法與公式法分解因式，關(guān)鍵是變形；式子變形后提取公因式，再把另一個因式用平方差公式分解即可．【詳解】解：原式；故答案為：．7．（2025·山東聊城·一模）分解因式：．【答案】【知識點】綜合提公因式和公式法分解因式【分析】本題考查了因式分解，熟練運用提公因式法和公式法分解因式是解答本題的關(guān)鍵．先提出公因式，再根據(jù)完全平方公式分解即可．【詳解】解：，故答案為：．8．（2025·廣東梅州·一模）因式分解：．【答案】【知識點】十字相乘法【分析】本題考查因式分解，利用十字相乘法分解因式即可．【詳解】解：，故答案為：．9．（2025·湖南永州·一模）因式分解：．【答案】【知識點】綜合提公因式和公式法分解因式【分析】本題主要考查了分解因式，先提取公因式y(tǒng)，再利用平方差公式分解因式即可．【詳解】解：，故答案為：．10．（2025·廣東江門·一模）已知實數(shù)，滿足，則的值為．【答案】72【知識點】已知式子的值，求代數(shù)式的值、提公因式法分解因式【分析】本題考查了求代數(shù)式的值．將變形為，整體代入計算即可得出答案．【詳解】解：，，故答案為：．題型二解分式方程11．（2025·廣東廣州·一模）方程的解為．【答案】【知識點】解分式方程（化為一元一次）【分析】本題考查解分式方程，先去分母化為整式方程，進(jìn)而解整式方程即可求得方程的解．熟練掌握分式的解法步驟是解答的關(guān)鍵，注意結(jié)果要檢驗．【詳解】解：去分母，得，去括號，得，移項、合并同類項，得，化系數(shù)為1，得，經(jīng)檢驗，是原分式方程的解，故答案為：．12．（2025·廣東河源·一模）方程的解為．【答案】5【知識點】解分式方程（化為一元一次）【分析】本題主要考查了解分式方程，把分式方程化成整式方程，解方程求出，再代入進(jìn)行檢驗即可．解題關(guān)鍵是熟練掌握解分式方程的一般步驟．【詳解】解：，，解得，檢驗：當(dāng)時，，原方程的解為：，故答案為：5．13．（2025·河南周口·一模）分式方程的解為．【答案】【知識點】解分式方程（化為一元一次）【分析】本題考查解分式方程，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，求解后，進(jìn)行檢驗即可．【詳解】解：，，解得：，經(jīng)檢驗是原方程的解；故答案為：．14．（2025·河南漯河·模擬預(yù)測）分式方程的解是．【答案】【知識點】解分式方程（化為一元一次）【分析】本題考查了解分式方程，熟練掌握解分式方程的步驟是解題的關(guān)鍵．先將分式方程化為整式方程，再解一元一次方程，最后檢驗即可．【詳解】解：方程兩邊同乘，得，解得，經(jīng)檢驗，是原分式方程的解，故答案為：．15．（2025·北京·模擬預(yù)測）方程的解為．【答案】【知識點】解分式方程（化為一元一次）【分析】此題考查了解分式方程，分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解．【詳解】解：，方程兩邊同時乘得：，解得：，經(jīng)檢驗，時，，分式方程的解為，故答案為：．16．（2025·山東濟南·一模）代數(shù)式和代數(shù)式的值相等，則．【答案】1【知識點】解分式方程（化為一元一次）【分析】本題主要考查了代數(shù)式值相等問題，熟練掌握相等關(guān)系，列出方程，解方程，分式方程檢驗，是解決本題的關(guān)鍵．通過題目中的等量關(guān)系列方程，解方程，檢驗，即可．【詳解】解：由題可得：，去分母得，，解得，，檢驗：當(dāng)時，，∴是所列方程的根，故答案為：1．17．（2025·湖南永州·二模）分式方程的解為．【答案】【知識點】解分式方程（化為一元一次）【分析】本題主要考查分式方程的解法，熟練掌握分式方程的解法是解題的關(guān)鍵；因此此題可根據(jù)分式方程解法進(jìn)行求解．【詳解】解：解得：，經(jīng)檢驗：是原方程的解；故答案為．18．（2025·北京石景山·一模）方程的解為．【答案】【知識點】解分式方程（化為一元一次）【分析】本題考查了解分式方程，根據(jù)解分式方程的方法，先把原分式方程轉(zhuǎn)變?yōu)檎椒匠?，解整式方程求出x的值，然后檢驗即可．掌握解分式方程的方法是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：方程兩邊同時乘，得，去括號，得，解得：，檢驗：把代入，∴分式方程的解為．故答案為：．19．（2025·北京平谷·一模）方程的解為．【答案】【知識點】解分式方程（化為一元一次）【分析】此題考查了解分式方程．去分母化為整式方程，解整式方程并檢驗即可．【詳解】解：，去分母得到，，解得，經(jīng)檢驗，是分式方程的解，故答案為：．20．（2025·山東東營·一模）若關(guān)于x的分式方程有增根，則m的值是．【答案】3【知識點】根據(jù)分式方程解的情況求值【分析】本題考查分式方程的增根問題，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，根據(jù)方程有增根，得到，求出的值，再代入到整式方程中，求出m的值即可．【詳解】解：，去分母，得：，∵方程有增根，∴，∴，∴，∴；故答案為：3題型三三角形中的計算21．（2025·廣東廣州·一模）如圖，在中，，是的角平分線，于點E，，，則的面積是．【答案】15【知識點】角平分線的性質(zhì)定理【分析】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出，再根據(jù)三角形面積公式計算即可．【詳解】解：∵是的角平分線，，∴，∴，故答案為：15．22．（2024·廣東廣州·一模）如圖，中，E是邊上的中點，點D、F分別在上，且，，若，，則的長為．【答案】3【知識點】與三角形中位線有關(guān)的求解問題、斜邊的中線等于斜邊的一半【分析】本題考查的是三角形中位線定理、直角三角形的性質(zhì)，掌握三角形的中位線性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．先證明點是的中點，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可以得到的長，然后利用三角形的中位線求出長，進(jìn)而求解即可．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴，∴∴,∴點是的中點，，D，E分別是，邊上的中點，，，故答案為：3．23．（2024·廣東廣州·二模）如圖所示，在等腰中，延長邊到點D，延長邊到點E，連接，恰有．則．【答案】/100度【知識點】全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）、等邊三角形的判定和性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用、利用平行四邊形性質(zhì)和判定證明【分析】過點D作，且使，連接、，則四邊形時平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，再利用判定，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，從而可推出為等邊三角形，設(shè)，則，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可分別表示出，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)不難求得的度數(shù)．【詳解】解：過點D作，且使，連接、，則四邊形是平行四邊形，，，，，，，在和中，，，，，為等邊三角形，設(shè)，則，，，，，，，，即，故答案為：．【點睛】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．24．（2024·廣東廣州·二模）如圖，D為斜邊上的中點，E為的中點，若，，則．【答案】3【知識點】用勾股定理解三角形、與三角形中位線有關(guān)的求解問題【分析】此題考查了勾股定理和三角形中位線，根據(jù)勾股定理求出，再由三角形中位線定理求出即可．【詳解】解：∵中是斜邊，，，∴，∵D為斜邊上的中點，E為的中點，∴是的中位線，∴，故答案為：325．（2024·廣東廣州·一模）如圖所示的衣架可以近似看成一個等腰，其中，，，則高為．（參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】10.2【知識點】其他問題（解直角三角形的應(yīng)用）、三線合一【分析】本題主要考查了解直角三角形、等腰三角形的性質(zhì)等知識，熟練掌握三角形函數(shù)的應(yīng)用是解題關(guān)鍵．首先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，然后利用三角形函數(shù)計算的長度即可．【詳解】解：∵，，為邊上的高，∴，∵，∴在中，可有，∴．故答案為：10.2．26．（2024·廣東廣州·三模）如圖，中，，，點P為邊上一點，則線段長的范圍是．【答案】【知識點】三線合一、解直角三角形的相關(guān)計算、用勾股定理解三角形【分析】本題主要考查解直角三角形、勾股定理和等腰三角形的性質(zhì)，過點A作交于點D，則有，，求得和，過點B作交于點E，利用余弦求得，利用勾股定理求得,結(jié)合線段長最短為點B到的距離，最長為即可得到答案．【詳解】解：過點A作交于點D，如圖，∵，，∴，，，∴，，過點B作交于點E，則，解得，在中，∵線段長最短為點B到的距離，最長為，∴，故答案為：．27．（2024·廣東廣州·二模）中，，，點D是邊的中點，把點D繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到點E，連接，則線段的最小值是________．【答案】/【知識點】用勾股定理解三角形、圓周角定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)、根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解【分析】本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)，圓的性質(zhì)，圓周角定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系求最值，作出輔助線，構(gòu)造三角形證明全等，利用三角形三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵．取中點，逆時針旋轉(zhuǎn)到，連接，為三角形的中位線，根據(jù)中位線性質(zhì)可得，利用旋轉(zhuǎn)可得和都為等邊三角形，由此可證，得到，在中，，即，將看成固定點，點的軌跡是半徑為，以為圓心的圓，在的運動過程中，當(dāng)共線時，取得最小值，而，故點在以為直徑，為圓心的圓上，根據(jù)圓周角定理，，利用勾股定理可求，由此可求得線段的最小值．【詳解】解：取中點，逆時針旋轉(zhuǎn)到，連接，如圖所示，

點，分別為中點，，旋轉(zhuǎn)到，逆時針旋轉(zhuǎn)到，，，，和都為等邊三角形，，，，又，，，，在中，，即，若將看成固定點，點的軌跡是半徑為，以為圓心的圓，在的運動過程中，當(dāng)共線時，取得最小值，如下圖所示，

都為等邊三角形，，點在以為直徑，為圓心的圓上，根據(jù)圓周角定理，，，此時，．故答案為：．28．（2024·廣東廣州·一模）如圖，為等邊三角形，點D為外的一點，，，，則的面積為．【答案】【知識點】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解、解直角三角形的相關(guān)計算、等邊三角形的判定和性質(zhì)、用勾股定理解三角形【分析】將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，得出是等邊三角形，根據(jù)得出，進(jìn)而勾股定理求得，即可求解．【詳解】解：如圖所示，∵為等邊三角形，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，則∴，∴是等邊三角形，∵∴∴，過點作于點∵∴∵，∴在中，∴解得：（負(fù)值舍去）∴故答案為：．29．（2024·廣東廣州·一模）如圖，在中，，，，點為邊上一動點（點D與點A、B不重合），過點D作，連接．

（1）外接圓的直徑的最小值是；（2）內(nèi)切圓的半徑的最大值是．【答案】//0.2【知識點】三角形內(nèi)切圓與外接圓綜合、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合、解直角三角形的相關(guān)計算【分析】本題考查了直角三角形的外接圓和內(nèi)切圓綜合題，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，掌握直角三角形外接圓直徑為斜邊長，內(nèi)切圓半徑等于兩條直角邊的和與斜邊的差的一半是解題關(guān)鍵．（1）當(dāng)時，作為外接圓的直徑最小，由勾股定理可得，設(shè)，則，根據(jù)列方程，求出的值，進(jìn)而得到的長即可求解；（2）令，，,內(nèi)切圓半徑為，則，由相似三角形可得，，即最小時，r最大，作C關(guān)于的對稱點，過作交于點D，連接，此時最小，即最小，最小值為，進(jìn)而即可求解【詳解】解：（1）為直角三角形，外接圓直徑為斜邊的長，當(dāng)時，作為外接圓的直徑最小，如圖，，，，，，設(shè)，則，，解得：，，故答案為：

（2）令，，,內(nèi)切圓半徑為，則，，，，，，，即，∴，，即最小時，r最大，作C關(guān)于的對稱點，過作交于點D，連接，此時最小，即最小，最小值為，∵，，，∴，∴，∵，∴故答案為：30．（2025·廣東廣州·一模）如圖，在中，，，點是平面內(nèi)一點，且．過點作于點．①若，則的長為；②當(dāng)線段繞點在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)時，線段長度的最大值為．【答案】34【知識點】切線的性質(zhì)定理、根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解、等腰三角形的性質(zhì)和判定、圓周角定理【分析】（1）由勾股定理可求解；（2）根據(jù)題意識別出點是在以為直徑的圓上運動，點是在以為圓心，以1為半徑的圓上運動，所以當(dāng)與圓相切于點，且在△外部時，最大，最大，由勾股定理可求解．【詳解】解：①，，故答案為：3；②，，點是在以為直徑的圓上運動，，且是繞點旋轉(zhuǎn)，點是在以為圓心，以1為半徑的圓上運動，如圖，當(dāng)與圓相切于點，且在外部時，最大，最大，由題意可得：，四邊形為圓的內(nèi)接四邊形，，，，，，，，，，故答案為：4．【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、圓周角定理、切線的性質(zhì)、勾股定理等，解題的關(guān)鍵是識別出隱圓模型，作出合適的輔助線．題型四特殊四邊形中的計算31．（2025·廣東廣州·一模）如圖，在矩形ABCD中，若，則線段的長為．【答案】【知識點】根據(jù)矩形的性質(zhì)求線段長、用勾股定理解三角形【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，，，根據(jù)勾股定理得到，由，得，根據(jù)勾股定理得到．本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，故答案為：．32．（2025·廣東廣州·一模）如圖，在菱形中，，點、分別在邊、上，，將沿折疊，點落在延長線上的點處，則的大小是．【答案】/度【知識點】利用菱形的性質(zhì)求線段長、折疊問題、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用、全等三角形綜合問題【分析】本題考查了菱形性質(zhì)，全等三角形性質(zhì)和判定，折疊的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握相關(guān)性質(zhì)．根據(jù)菱形性質(zhì)，證明，結(jié)合全等三角形性質(zhì)和判定，折疊的性質(zhì)推出，再利用三角形內(nèi)角和定理求解，即可解題．【詳解】解：四邊形是菱形，，，，，，由折疊的性質(zhì)可知，，，，故答案為：．33．（2025·廣東廣州·一模）如圖，在正方形紙片中，，在正方形中剪下一個扇形和一個圓形，點E在上，若以剪下的扇形為側(cè)面，剪下的圓形為底面，恰好可以圍成一個圓錐，則紙片剩下部分（陰影部分）的面積為．（結(jié)果保留π）【答案】【知識點】求扇形面積、求圓錐底面半徑、根據(jù)正方形的性質(zhì)求角度、求其他不規(guī)則圖形的面積【分析】本題考查了圓錐的計算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．也考查了正方形的性質(zhì)和扇形的面積公式．先根據(jù)正方形的性質(zhì)和扇形面積公式求出扇形的面積，再設(shè)圍成圓錐的底面圓的半徑為r，根據(jù)扇形的弧長等于底面圓的周長即可求出r，再用正方形的面積減去扇形的面積和圓的面積即可．【詳解】解：∵正方形，∴，∴扇形的面積為，設(shè)圍成圓錐的底面圓的半徑為r，則，解得：，∴紙片剩下部分（陰影部分）的面積為．故答案為：．34．（2024·廣東廣州·二模）如圖，在菱形中，，將菱形折疊，使點A恰好落在對角線上的點G處（不與B，D重合），折痕為，若，則點E到的距離為．【答案】【知識點】折疊問題、解直角三角形的相關(guān)計算、勾股定理與折疊問題、利用菱形的性質(zhì)求線段長【分析】本題考查的是翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、勾股定理、解直角三角形，掌握翻轉(zhuǎn)變換是一種對稱變換，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．作于H，，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，根據(jù)菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定定理得到為等邊三角形，得到，設(shè)，則，在中，，，則，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程即可．【詳解】解：作于H，由折疊的性質(zhì)可知，，由題意得，，四邊形是菱形，∴，，∴為等邊三角形，∴，設(shè)，則，在中，，，∴在中，，即，解得，，∴，故答案為：35．（2025·廣東廣州·一模）如圖，在矩形中，，，是邊的中點，是射線上的動點，將沿所在直線折疊得到，連接，則的最小值是．【答案】4【知識點】勾股定理與折疊問題、矩形與折疊問題、兩點之間線段最短【分析】連接，由四邊形是矩形得，而，，所以，求得，由折疊得，因為，所以，求得的最小值是4，于是得到問題的答案．【詳解】解：連接，∵四邊形是矩形，，，是邊的中點，∴，，∴，∵將沿所在直線折疊得到，∴，∵，∴，∴，∴的最小值是4，故答案為：4．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)、勾股定理，兩點之間線段最短等知識，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．36．（2025·廣東廣州·一模）如圖，矩形中，，點在上，，點在線段邊上運動（不與、重合），線段繞著點順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接．（1）當(dāng)時，則；（2）在運動的過程中，的最小值為．【答案】【知識點】根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求線段長、解直角三角形的相關(guān)計算、用勾股定理解三角形、根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解【分析】（1）旋轉(zhuǎn)得到，勾股定理結(jié)合銳角三角形函數(shù)得到，進(jìn)而推出，勾股定理求出的長即可；（2）過點作線段，使且，證明，得到，進(jìn)而得到點在垂直于的直線上，作交于點，則即為的最小值，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：（1）線段繞著點順時針旋轉(zhuǎn)得到，，在矩形中，，∴，∴，，，，即，在中，；故答案為：．（2）過點作線段，使且，，∵，，∴點在垂直于的直線上，如圖，作交于點，則即為的最小值，作交于點．則：四邊形是矩形，，，∴，在中．，，；故的最小值為．故答案為：．【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識點，確定點的軌跡，是解題的關(guān)鍵．37．（2025·廣東廣州·模擬預(yù)測）如圖，在矩形中，，，點是邊上的中點，點是邊上的一動點連接，將沿折疊，若點的對應(yīng)點，連接，則的最小值為．當(dāng)為直角三角形時，的長為．【答案】8或5【知識點】用勾股定理解三角形、矩形與折疊問題、等腰三角形的性質(zhì)和判定【分析】本題考查翻折的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)等知識，根據(jù)題意畫出圖形并分情況討論是解題關(guān)鍵．連接，則，當(dāng)在上時，取最小值，即可求解；分情況討論：當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，再分別利用勾股定理和翻折的性質(zhì)可得答案；【詳解】解：連接，在矩形中，，，∴，，∵點是邊上的中點，∴，∴，∵翻折，∴，∴∵，∴當(dāng)在上時，取最小值，最小值為；∵為直角三角形，當(dāng)時，∵點N是邊上的中點，，∴，∵，∴點B的對應(yīng)點不能落在所在直線上，∴，不存在此類情況；當(dāng)時，如圖所示，由折疊性質(zhì)可得，，∴；當(dāng)時，如圖所示∵，∴、N、C三點共線，設(shè)，則，∴，解得：，綜上所述的長為或5．故答案為：8；或5．38．（2024·廣東廣州·二模）如圖，在矩形中，，，點M在直線上，連接，

（1）當(dāng)，則（2）當(dāng)最大時，【答案】3【知識點】根據(jù)矩形的性質(zhì)求線段長、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合、三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用、用勾股定理解三角形【分析】①根據(jù)矩形的性質(zhì)和勾股定理即可求解；②作，過點A作于點E，則連接，取中點O，連接，，先證明，繼而，因此，故的最大值轉(zhuǎn)化為的最大值，由，知點E在以點O為圓心，為半徑的圓上運動，由，故當(dāng)三點共線時，取得最大值為18，故．【詳解】解：①∵，，∴，∵四邊形是矩形，∴，，∴由勾股定理得：，，∴，故答案為：；②作，過點A作于點E，則連接，取中點O，連接，，

∵四邊形是矩形，∴，∵點O為中點，∴，∴由勾股定理得，∵，∴∵四邊形是矩形，∴，∴，∴，∴，∴∵∴∴，∴，∴，∴的最大值轉(zhuǎn)化為的最大值，∵，∴點E在以點O為圓心，為半徑的圓上運動，∵，∴當(dāng)三點共線時，取得最大值為18，∴．故答案為：3．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，構(gòu)造相似三角形是解決本題的關(guān)鍵．39．（2024·廣東廣州·二模）如圖，在矩形中，，，垂足為．（1）若，則；（2）若，點、分別在，上，則的最小值為．【答案】【知識點】相似三角形的判定與性質(zhì)綜合、用勾股定理解三角形、根據(jù)矩形的性質(zhì)求線段長【分析】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，軸對稱的應(yīng)用．（1）由勾股定理可求的長，由面積法可求的長；（2）在中，利用三角形相似可求得、的長，設(shè)點關(guān)于的對稱點，連接，可證明為等邊三角形，當(dāng)時，則最小，所以當(dāng)時最小，從而可求得的最小值等于的長．【詳解】解：（1），，，，，，故答案為：；（2）如圖，如圖，設(shè)點關(guān)于的對稱點為，連接，，設(shè)，則，四邊形為矩形，，，，，，，即，，在中，由勾股定理可得，即，解得，，，如圖，設(shè)點關(guān)于的對稱點為，連接，，則，，是等邊三角形，，當(dāng)、、三點在一條線上時，最小，又垂線段最短可知當(dāng)時，最小，，故答案為：．40．（2025·廣東廣州·模擬預(yù)測）如圖，現(xiàn)有正方形紙片，點E，F(xiàn)分別在邊上，沿垂直于的直線折疊得到折痕，點B，C分別落在正方形所在平面內(nèi)的點，處，然后還原．（1）若點N在邊上，且，則（用含α的式子表示）；（2）再沿垂直于的直線折疊得到折痕，點G，H分別在邊上，點D落在正方形所在平面內(nèi)的點處，然后還原．若點在線段上，且四邊形是正方形，，，與的交點為P，則的長為．【答案】/【知識點】根據(jù)正方形的性質(zhì)證明、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合、折疊問題【分析】①連接，根據(jù)正方形的性質(zhì)每個內(nèi)角為直角以及折疊帶來的折痕與對稱點連線段垂直的性質(zhì)，再結(jié)合平行線的性質(zhì)即可求解；②記與交于點K，可證：，則，，由勾股定理可求，由折疊的性質(zhì)得到：，，，，，則，，由，得，繼而可證明，由等腰三角形的性質(zhì)得到，故．【詳解】解：①連接，由題意得，，∵，∴，∴，∵四邊形是正方形，∴，∴，，∴，，∴∴，故答案為：；②記與交于點K，如圖：∵四邊形是正方形，四邊形是正方形，∴，，，∴，∴，∴，同理可證：，∴，，在中，由勾股定理得，由題意得：，，，，，∴，∴，∴，∴，∴，即，∵，∴，∴，∴，∴，由題意得，而，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握知識點，正確添加輔助線是解決本題的關(guān)鍵．題型五一元二次方程41．（2025·廣東廣州·一模）如果關(guān)于的方程的一個根為，則另一根為．【答案】【知識點】一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系【分析】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，掌握是解題的關(guān)鍵．根據(jù)求解，即可解題．【詳解】解：關(guān)于的方程的一個根為，又，另一根為，故答案為：．42．（2025·廣東廣州·一模）若是關(guān)于的方程的解，則的值為．【答案】2024【知識點】由一元二次方程的解求參數(shù)【分析】此題考查了一元二次方程的解，解答本題的關(guān)鍵要明確：方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．把代入方程求出的值，代入計算即可求出值．【詳解】解：把代入方程得：，即，，故答案為：2024．43．（2025·廣東深圳·二模）是方程的根，則式子的值為．【答案】2027【知識點】已知式子的值，求代數(shù)式的值、由一元二次方程的解求參數(shù)【分析】本題主要考查了一元二次方程的解的定義，代數(shù)式求值，一元二次方程的解是使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，據(jù)此可得，再根據(jù)計算求解即可．【詳解】解：∵是方程的根，∴，∴，∴，故答案為：．44．（2025·廣東江門·一模）設(shè)是方程的一個實數(shù)根，則的值為．【答案】2025【知識點】由一元二次方程的解求參數(shù)【分析】本題主要考查一元二次方程的解及代數(shù)式的值，熟練掌握一元二次方程的解及代數(shù)式的值是解題的關(guān)鍵；由題意易得，進(jìn)而問題可求解．【詳解】解：由題意得：，∴；故答案為2025．45．（2025·廣東東莞·模擬預(yù)測）若m，n為一元二次方程的兩個根，則．【答案】1【知識點】已知式子的值，求代數(shù)式的值、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系【分析】本題主要考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系及求代數(shù)式的值，熟練掌握若，是一元二次方程的兩個實數(shù)根，則，是解題的關(guān)鍵．利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可得，，再代入，即可求解．【詳解】解：∵是一元二次方程的兩根，∴，，∴．故答案為：1．46．（2025·廣東惠州·一模）已知關(guān)于的兩個實數(shù)根，滿足兩根之和等于4，兩根之積等于，求的值．【答案】8【知識點】一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系【分析】本題主要考查一元二次方程根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，兩根之和，兩根之積，是解題的關(guān)鍵．根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得到，求出，代入計算即可得解．【詳解】解：設(shè)為方程的兩個實數(shù)根，則，即，∴，故答案為：．47．（2025·廣東廣州·模擬預(yù)測）點既在反比例函數(shù)的圖象上，又在一次函數(shù)的圖象上，則以為根的一元二次方程為．【答案】（答案不唯一）【知識點】一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題【分析】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象上的點的坐標(biāo)特征．將P點代入反比例函數(shù)解析式中，可得出m、n的乘積；將P點坐標(biāo)代入一次函數(shù)的解析式中，可得出m、n的和；根據(jù)韋達(dá)定理即可求出以為根的一元二次方程．【詳解】解：點在反比例函數(shù)的圖象上，，；點在一次函數(shù)的圖象上，，，以為根的一元二次方程可以為：．故答案為：（答案不唯一）．48．（2024·廣東深圳·三模）對于字母m、n，定義新運算，若方程的解為a、b，則的值為．【答案】6【知識點】一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系【分析】本題考查一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系．判斷出，，再根據(jù)新定義計算即可．【詳解】解：方程的解為、，，，∴．故答案為：6．49．（2025·廣東廣州·模擬預(yù)測）定義新運算：，例如：，．若，則x的值為．【答案】或19/19或【知識點】新定義下的實數(shù)運算、解一元一次方程（一）——合并同類項與移項、解一元二次方程——直接開平方法【分析】本題考查了解一元二次方程、解一元一次方程、新定義運算等知識，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找到等量關(guān)系式．根據(jù)新定義運算法則，分別兩種情況，列出方程求解即可．【詳解】解：當(dāng)時，，∴，當(dāng)時，，解得（舍去）或．綜上所述，x的值為或19．故答案為：或19．50．（2025·廣東深圳·二模）如圖，是一條射線，，一只螞蟻由點以的速度向點爬行，同時另一只螞蟻由點以的速度沿方向爬行，則經(jīng)過后，兩只螞蟻與點組成的三角形的面積為．【答案】10或15或30【知識點】動態(tài)幾何問題(一元二次方程的應(yīng)用)【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，培養(yǎng)了學(xué)生的抽象思維能力，使學(xué)生學(xué)會用運動的觀點來觀察事物，解題的關(guān)鍵是分兩種情況進(jìn)行討論．分兩種情況進(jìn)行討論：（1）當(dāng)?shù)谝恢晃浵佋谏线\動時，列方程進(jìn)行求解即可；（2）當(dāng)螞蟻在上運動，根據(jù)三角形的面積公式即可列方程求解．【詳解】解：設(shè)后兩只螞蟻與點組成的三角形面積為有兩種情況：（1）如圖1，當(dāng)?shù)谝恢晃浵佋谏线\動時，由題意得，整理得，解得，．（2）如圖2，當(dāng)?shù)谝恢晃浵佋谏线\動時，由題意得，整理得，解得，（舍去）．綜上所述，在后，兩只螞蟻與點組成的三角形的面積均為．題型六函數(shù)與幾何綜合51．（2025·廣東·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點的坐標(biāo)為，軸于點，已知雙曲線與分別交于兩點，連接．若，則點的坐標(biāo)為．【答案】【知識點】根據(jù)圖形面積求比例系數(shù)（解析式）、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題【分析】本題考查反比例函數(shù)k的幾何意義，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，根據(jù)點A的坐標(biāo)，求出，結(jié)合，得到，即可求出，再求出直線的解析式為，設(shè)，代入，求出m的值即可．【詳解】解：∵點A的坐標(biāo)為，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，設(shè)直線的解析式為，則，∴，∴直線的解析式為，設(shè)，代入，得：，即，解得或（舍去），∴，故答案為：．52．（2025·廣東茂名·一模）把一塊含角的三角板按如圖方式擺放在平面直角坐標(biāo)系中，其中角的頂點在軸上，斜邊與軸的夾角，若，當(dāng)點，同時落在反比例函數(shù)圖象上時，則的值為．【答案】【知識點】反比例函數(shù)與幾何綜合、解直角三角形的相關(guān)計算【分析】本題考查反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解直角三角形，數(shù)形結(jié)合，求出反比例函數(shù)圖像上點的坐標(biāo)是解決問題的關(guān)鍵．過點作軸于點，過點作軸于點，解直角三角形求出、、、，設(shè)，則，利用反比例函數(shù)圖像與性質(zhì)列方程求解得到，進(jìn)而得到，即可得到答案．【詳解】解：如圖，過點作軸于點，過點作軸于點，在中，，，，，，，，，，，設(shè)，則，，解得：，，，故答案為：．53．（2025·廣東·模擬預(yù)測）如圖，在中，軸，兩點在反比例函數(shù)的圖象上，延長交軸于點將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，使點落在軸上的點處，點的對應(yīng)點為，則點的坐標(biāo)是．【答案】/【知識點】反比例函數(shù)與幾何綜合、根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合、解直角三角形的相關(guān)計算【分析】設(shè)，先求出，作軸于軸于，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，，證明，在中，求出，，證明求出，進(jìn)而可求出點E的坐標(biāo)．【詳解】解：∵軸，，∴設(shè)，∵，∴，∵點B在的圖象上，∴，解得，∴．作軸于軸于，如圖．繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，，∵軸，，∴，，，三點共線，∵，，在中，，，，，，，即，，，點坐標(biāo)為．故答案為：．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)與幾何綜合，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解直角三角形，相似三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．54．（2025·河北秦皇島·一模）如圖．已知點，將反比例函數(shù)的圖象向左平移m個單位長度，若使平移后的反比例函數(shù)圖象和線段有交點，則m的取值范圍是．【答案】【知識點】由平移方式確定點的坐標(biāo)、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的其他綜合應(yīng)用【分析】本題考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，正確找出兩個臨界位置是解題關(guān)鍵．先把問題轉(zhuǎn)化為將線段向右平移個單位長度后，與反比例函數(shù)的圖象有交點，再求出點平移后的坐標(biāo)為，點平移后的坐標(biāo)為，將這個兩個點的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式，由此即可得．【詳解】解：將反比例函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，使平移后的函數(shù)圖象和線段有交點，相當(dāng)于將線段向右平移個單位長度后，與反比例函數(shù)的圖象有交點，∵，∴點平移后的坐標(biāo)為，點平移后的坐標(biāo)為，由題意，有以下兩個臨界位置：①當(dāng)反比例函數(shù)的圖象恰好經(jīng)過點時，則，解得；②當(dāng)反比例函數(shù)的圖象恰好經(jīng)過點時，則，解得；所以要使平移后的函數(shù)圖象和線段有交點，則，故答案為：．55．（2025·浙江·二模）如圖，已知直線經(jīng)過點，點關(guān)于軸的對稱點在反比例函數(shù)的圖象上．若，則的取值范圍為．【答案】或【知識點】一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題、求反比例函數(shù)解析式、反比例函數(shù)與幾何綜合【分析】本題主要考查一次函數(shù)，反比例函數(shù)，圖象法求不等式解集，掌握圖像法解不等式解集是關(guān)鍵．根據(jù)題意得到一次函數(shù)，反比例函數(shù)解析式，再根據(jù)題意得到一次函數(shù)與反比例函數(shù)交點，結(jié)合圖象法求不等式解集即可．【詳解】解：∵經(jīng)過點，∴，∴，∴點關(guān)于軸的對稱點，∵在反比例函數(shù)的圖象上，∴，∴，即，∴化為，令，∴反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點的計算如下，，整理得，，解得，，如圖所示，∴或．56．（2025·陜西榆林·三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點P在反比例函數(shù)（k為常數(shù)，且，）的圖象上，軸于點B，點C在x軸負(fù)半軸上，且，連接、，若的面積為3，則k的值為．【答案】4【知識點】反比例函數(shù)與幾何綜合、根據(jù)圖形面積求比例系數(shù)（解析式）【分析】考查了反比例函數(shù)與幾何圖形的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是利用線段的長度表示出關(guān)鍵點的坐標(biāo)．設(shè)點P的坐標(biāo)并表示相關(guān)線段長度，根據(jù)三角形面積公式求出的值，根據(jù)反比例函數(shù)性質(zhì)求出k的值即可；【詳解】設(shè)，∵軸于點，∴，．∵，∴，∴．∵的面積為，∴．即，化簡得，．∵點在反比例函數(shù)的圖象上，∴∴．故答案為：4．57．（2025·安徽阜陽·一模）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相