安徽省皖北縣2023−2024學(xué)年高一下冊(cè)期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷附解析VIP

/安徽省皖北縣2023?2024學(xué)年高一下冊(cè)期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．集合滿足，，，則集合中的元素個(gè)數(shù)為（

）A．3 B．4 C．5 D．62．復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知向量，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．如圖，一個(gè)水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖是直角梯形，且，，則該平面圖形的高為（

）A． B．2 C． D．5．某幼兒園一名小朋友過(guò)生日，幼兒園老師為該小朋友準(zhǔn)備了5個(gè)一樣的盒子，其中4個(gè)盒中各裝有一個(gè)變形金剛玩具，另外1個(gè)盒中裝有一套積木玩具．這名小朋友要從這5個(gè)盒中選出2個(gè)盒子作為生日禮物，則恰好取到1個(gè)變形金剛玩具和1套積木玩具的概率為（

）A． B． C． D．6．函數(shù)fx=sinωx+π3A．23π,76πC．23π,76π7．在正四棱臺(tái)中，，點(diǎn)為底面的中心，則異面直線與所成的角為（

）A． B． C． D．8．已知中，，且為的外心．若在上的投影向量為，且，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．在學(xué)校組織的《愛我中華》主題演講比賽中，有10位評(píng)委對(duì)每位選手進(jìn)行評(píng)分（評(píng)分互不相同），將選手的得分去掉一個(gè)最低評(píng)分和一個(gè)最高評(píng)分，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．剩下評(píng)分的平均值變大B．剩下評(píng)分的極差變小C．剩下評(píng)分的方差變小D．剩下評(píng)分的中位數(shù)變大10．已知圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為1和3，母線長(zhǎng)為，則（

）A．圓臺(tái)的母線與底面所成的角為B．圓臺(tái)的側(cè)面積為C．圓臺(tái)的體積為D．若圓臺(tái)的兩個(gè)底面的圓周在同一個(gè)球的球面上，則該球的表面積為11．東漢末年的數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”，根據(jù)面積關(guān)系給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”．如圖1，它由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形．我們通過(guò)類比得到圖2，它是由三個(gè)全等的鈍角三角形與一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)大等邊三角形．對(duì)于圖2．下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）

A．這三個(gè)全等的鈍角三角形可能是等腰三角形B．若，則C．若，則D．若是的中點(diǎn)，則的面積是面積的5倍三、填空題（本大題共3小題）12．某大學(xué)共有本科生5000人，其中一、二、三、四年級(jí)的人數(shù)比為，要用分層抽樣的方法從所有本科生中抽取一個(gè)容量為300的樣本，則應(yīng)抽取三年級(jí)的學(xué)生人數(shù)為．13．在正方體中，分別是的中點(diǎn)，，則過(guò)點(diǎn)的平面截該正方體所得的截面周長(zhǎng)為．14．人臉識(shí)別就是利用計(jì)算機(jī)分析人臉視頻或者圖像，并從中提取出有效的識(shí)別信息，最終判別人臉對(duì)象的身份．在人臉識(shí)別中為了檢測(cè)樣本之間的相似度主要應(yīng)用距離的測(cè)試，常用的測(cè)量距離的方式有曼哈頓距離和余弦距離．已知二維空間兩個(gè)點(diǎn)、，則其曼哈頓距離為，余弦相似度為，余弦距離為．已知，、、、，若，，則．四、解答題（本大題共5小題）15．某廠引進(jìn)一種生產(chǎn)新能源汽車關(guān)鍵部件的設(shè)備，為了解該設(shè)備生產(chǎn)的關(guān)鍵部件的某項(xiàng)指標(biāo)的情況，隨機(jī)抽取了100件關(guān)鍵部件的該項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)，按分組，并繪制出如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求的值；(2)估計(jì)樣本中指標(biāo)數(shù)據(jù)的分位數(shù)．16．已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.(1)求；(2)若，求的周長(zhǎng).17．某校為了培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)，組織了數(shù)學(xué)建模知識(shí)競(jìng)賽，共有兩道題目，答對(duì)每道題目得10分，答錯(cuò)或不答得0分．甲答對(duì)每道題的概率為，乙答對(duì)每道題的概率為，且甲、乙答對(duì)與否互不影響，各題答題結(jié)果互不影響．已知第一題至少一人答對(duì)的概率為．(1)求的值；(2)求甲、乙得分之和為30分的概率．18．如圖，在四棱錐中，為邊上的中點(diǎn)，為邊上的中點(diǎn)，平面平面，．

(1)求證：平面；(2)求證：平面；(3)若直線與底面所成角的余弦值為，求二面角的正切值．19．已知函數(shù)滿足，且，當(dāng)時(shí)，．函數(shù)．(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)當(dāng)時(shí)，求的解析式；(3)設(shè)，是否存在實(shí)數(shù)，使不等式在時(shí)恒成立？若存在，求實(shí)數(shù)的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

答案1．【正確答案】B【分析】根據(jù)題意，結(jié)合集合的交集、并集的概念及運(yùn)算，即可求解.【詳解】由集合滿足,因?yàn)椋傻?，又因?yàn)椋傻?，因?yàn)?，所以，即集合中的元素個(gè)數(shù)為4．故選B.2．【正確答案】D【詳解】，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，位于第四象限．故選：D3．【正確答案】A【分析】由向量垂直的坐標(biāo)表示求得值，結(jié)合充分必要條件的判定方法得答案．【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，充分性成立；，，解得或，必要性不成立；“”是“”的充分不必要條件．故選A．4．【正確答案】C【分析】由題意計(jì)算可得，還原圖形后可得原圖形中各邊長(zhǎng)，即可得其高.【詳解】在直角梯形中，，，則，直角梯形對(duì)應(yīng)的原平面圖形為如圖中直角梯形，則有，所以該平面圖形的高為.故選C.5．【正確答案】B【分析】根據(jù)題意，由列舉法得到所有情況，再由古典概型的概率計(jì)算公式即可得到結(jié)果．【詳解】設(shè)裝有變形金剛玩具的盒子分別為，裝積木玩具的盒子為，則從這5個(gè)盒子中選出2個(gè)盒子的不同選法為：，，共10種不同方法，恰好選到1個(gè)變形金剛玩具和1套積木玩具的不同選法有，共4種不同方法，故所求概率，故A，C，D錯(cuò)誤．故選B．6．【正確答案】C【分析】利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)列出關(guān)于ω的不等式，求解即可．【詳解】由x∈0,1，設(shè)t=ωx+π3由圖可知直線x=ω+π3在線段AB之間，不含點(diǎn)所以π＜ω+π3?故選：C.7．【正確答案】C【分析】由棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征可得，則或其補(bǔ)角為異面直線與所成的角，利用正棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)求解即可．【詳解】如圖所示，連接，則，連接，因?yàn)?，所以．易知四邊形為平行四邊形，則，且，所以或其補(bǔ)角為異面直線與所成的角，同理知，又，所以為等邊三角形，所以，故選C．

8．【正確答案】A【分析】根據(jù)題意B，O，C三點(diǎn)共線．因?yàn)闉榈耐庑?，即有，所以為直角三角形，利用向量得投影結(jié)合圖形即可得解.【詳解】因?yàn)椋瑒t，所以，即B，O，C三點(diǎn)共線．因?yàn)闉榈耐庑?，即有，所以為直角三角形，因此，為斜邊的中點(diǎn)．因?yàn)?，所以為銳角．如圖，過(guò)點(diǎn)作，垂足為．因?yàn)樵谏系耐队跋蛄繛?，所以，所以在上的投影向量為．又因?yàn)椋裕驗(yàn)?，所以，故的取值范圍為．故選A．9．【正確答案】BC【分析】去掉一個(gè)最低評(píng)分和一個(gè)最高評(píng)分平均分變換未知，根據(jù)極差概念知極差變小，根據(jù)方差意義知方差也變小，根據(jù)中位數(shù)概念知中位數(shù)未變．【詳解】對(duì)A，去掉一個(gè)最低評(píng)分和一個(gè)最高分后剩下評(píng)分的平均值有可能變小、不變或變大，A錯(cuò)誤；對(duì)B，剩下評(píng)分的極差一定會(huì)變小，B正確；對(duì)C，剩下評(píng)分的波動(dòng)性變小，則方差變小，C正確；對(duì)D，剩下評(píng)分的中位數(shù)不變，D錯(cuò)誤．故選BC．10．【正確答案】ABD【分析】選項(xiàng)A，先求出圓臺(tái)的高，進(jìn)而求出圓臺(tái)的母線與底面所成的角即可；選項(xiàng)B，由圓臺(tái)的側(cè)面積公式求解即可；選項(xiàng)C，由圓臺(tái)的體積公式求解即可；選項(xiàng)D，設(shè)球心到下底面的距離為，由勾股定理得，求解即可.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)閳A臺(tái)的上、下底面半徑分別為1和3，母線為，所以圓臺(tái)的高為：，根據(jù)線面角定義求出母線與底面所成角，A正確；對(duì)于B，由圓臺(tái)的側(cè)面積公式，求得圓臺(tái)的側(cè)面積為：，B正確；對(duì)于C，由圓臺(tái)的體積公式，求得圓臺(tái)體積為：，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由題意可知球心在下底面下方，設(shè)球心到下底面的距離為，由勾股定理得，解得，則該球的半徑為，所以該球的表面積為，D正確．故選ABD.11．【正確答案】ACD【分析】對(duì)于A選項(xiàng)：由，即可判斷A；對(duì)于B選項(xiàng)：在中，利用正弦定理求得，進(jìn)而可判斷B；對(duì)于C選項(xiàng)：在中，設(shè)，利用余弦定理即可求得，進(jìn)而可判斷C；對(duì)于D選項(xiàng)：利用三角形的面積公式，可得，進(jìn)而可判斷D．【詳解】對(duì)于A，根據(jù)題意，題圖2是由三個(gè)全等的鈍角三角形與一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)大等邊三角形，故，所以這三個(gè)全等的鈍角三角形不可能是等腰三角形，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，在中，，所以，而，所以，由正弦定理得，解得，又因?yàn)?，所以，故B正確；對(duì)于C，不妨設(shè)，在中，由余弦定理得，即，解得，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若是的中點(diǎn)，，所以，故D錯(cuò)誤．故選ACD．【關(guān)鍵點(diǎn)撥】關(guān)鍵是利用正弦定理、余弦定理、三角形面積公式進(jìn)行分析，由此即可順利得解.12．【正確答案】60【分析】先算出抽取比例，然后再算出抽取的人數(shù)．【詳解】由題意知，要用分層抽樣的方法從該系所有本科生中抽取一個(gè)容量為300的樣本，則應(yīng)抽三年級(jí)的學(xué)生人數(shù)為：（人）．故60．13．【正確答案】【分析】過(guò)且過(guò)的平面與面的交線平行于即為，由此能求出過(guò)點(diǎn)的平面截該正方體所得的截面的周長(zhǎng)．【詳解】正方體中，分別是棱的中點(diǎn)，．平面平面，平面，由正方體的棱長(zhǎng)為4，截面是以為腰，為上底，為下底的等腰梯形，故周長(zhǎng)為．故答案為.14．【正確答案】【分析】利用定義得到，進(jìn)而得到，同理可得，，從而利用余弦和角公式得到，故，得到，利用二倍角公式求出，從而求出.【詳解】因?yàn)?，，所以，因?yàn)椋裕驗(yàn)?，所以，因?yàn)?，則，所以．因?yàn)?，，所以．又因?yàn)?，，所以，所以．故【方法總結(jié)】新定義問(wèn)題的方法和技巧：（1）可通過(guò)舉例子的方式，將抽象的定義轉(zhuǎn)化為具體的簡(jiǎn)單的應(yīng)用，從而加深對(duì)信息的理解；（2）可用自己的語(yǔ)言轉(zhuǎn)述新信息所表達(dá)的內(nèi)容，如果能清晰描述，那么說(shuō)明對(duì)此信息理解的較為透徹；（3）發(fā)現(xiàn)新信息與所學(xué)知識(shí)的聯(lián)系，并從描述中體會(huì)信息的本質(zhì)特征與規(guī)律；（4）如果新信息是課本知識(shí)的推廣，則要關(guān)注此信息與課本中概念的不同之處，以及什么情況下可以使用書上的概念.15．【正確答案】(1)(2)27.5．【分析】（1）頻率分布直方圖中，所有矩形的面積和為1，列出關(guān)于的方程，求解即可．（2）根據(jù)百分位數(shù)的概念求解即可．【詳解】（1）由圖可知，，解得．（2）由頻率分布直方圖可知，數(shù)據(jù)小于25的指標(biāo)數(shù)據(jù)所占比例為，數(shù)據(jù)小于30的指標(biāo)數(shù)據(jù)所占比例為，所以分位數(shù)一定在內(nèi)，由，所以估計(jì)樣本中指標(biāo)數(shù)據(jù)的分位數(shù)為27.5．16．【正確答案】(1)；(2).【分析】（1）利用正弦定理邊化角，再利用和角的正弦求解即得.（2）利用正弦定理角化邊，再利用余弦定理求解即得.【詳解】（1）在中，由及正弦定理，得，即，則，而，因此，而，所以.（2）由及正弦定理得，而，則，由余弦定理得，則，解得，所以的周長(zhǎng)是.17．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)條件，列出關(guān)于的方程，求解即可；（2）根據(jù)條件，分為甲答對(duì)1題，乙答對(duì)2題；甲對(duì)2題，乙對(duì)1題兩種情況進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）設(shè)“甲答對(duì)第一題”，“乙答對(duì)第一題”，則，因?yàn)榕c相互獨(dú)立，所以與相互獨(dú)立．由于事件“第一題至少一人答對(duì)”的對(duì)立事件是“第一題甲、乙都答錯(cuò)”，根據(jù)對(duì)立事件的性質(zhì)，得第一題至少一人答對(duì)的概率為，由題意可知，，解得．（2）設(shè)表示甲答對(duì)1道題目，表示甲答對(duì)2道題目；表示乙答對(duì)1道題目，表示乙答對(duì)2道題目，則；，設(shè)表示甲、乙得分之和為30分的事件，則，因?yàn)榧住⒁掖饘?duì)與否互不影響，各題答題結(jié)果互不影響，所以與相互獨(dú)立，與相互獨(dú)立，且與互斥，則．18．【正確答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【分析】（1）法一：連接，由為的中位線，得，由線面平行的判定得證；法二：設(shè)中點(diǎn)為中點(diǎn)為，連接，由三角形的中位線得證四邊形為平行四邊形，則，由線面平行的判定定理得證；（2）由題意，推導(dǎo)出，由此可證明平面；（3）由平面，得直線與底面所成的角為，得，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，過(guò)點(diǎn)作的垂線交于，連接，由線面垂直的判定定理以及性質(zhì)定理得是二面角的平面角，求解．【詳解】（1）證明：法一：連接，

在中，因?yàn)闉閷?duì)應(yīng)邊上的中點(diǎn)，所以為中位線，，又平面平面，平面；法二：設(shè)中點(diǎn)為中點(diǎn)為，連接，

在中，因?yàn)闉閷?duì)應(yīng)邊上的中點(diǎn)，所以為中位線，且，同理，在中，且，且，四邊形為平行四邊形，，又平面平面，平面；（2）在四邊形中，，所以都為等腰直角三角形，即，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以直線平面，又平面，所以，又平面，所以平面．（3）直線與底面所成角的余弦值為，且平面，直線與底面所成的角為，又，則，在中，，，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，過(guò)點(diǎn)作的垂線交于，連接，

由（1）知，，且平面，則平面，平面，，平面，平面，平面，，又，則是二面角的平面角，，，設(shè)二面角的平面角為，則二面角的正切值為．【關(guān)鍵點(diǎn)撥】第三問(wèn)的關(guān)鍵是得到是二面角的平面角，再結(jié)合解三角形知識(shí)即可順利得解.19．【正確答案】(1)(2)(3)不存在，理由見解析【分析】（1）賦值法得到，由求得（2）當(dāng)時(shí)，，故，根據(jù)求出解析式；（3）求出的定義域?yàn)椋鶕?jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性得到?在?

?上單調(diào)遞減，構(gòu)造，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理得到使得，故需要滿足，先由定義域得到，分和、兩種情況，兩種情況下求出最小值，分析得到均不合題意，則這樣的實(shí)數(shù)不存在.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，故，因?yàn)闀r(shí)，，所以，因?yàn)?，所以，解得．?）當(dāng)時(shí)，，則，又，故，所以當(dāng)時(shí)，．（3）由，即，所以的定義域?yàn)椋舸嬖跐M足題意的，首先有在時(shí)恒成立，即在時(shí)恒成立，首先有，其次令，關(guān)于的二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，當(dāng)，即時(shí)，還要保證，解得，當(dāng)時(shí)，只需，解得，所以在時(shí)恒成立當(dāng)且僅當(dāng)．因?yàn)椋忠驗(yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，此時(shí)的值域是的子集．當(dāng)時(shí)，在上先增后減，在或處取得最小值，且，，，其中為對(duì)勾函數(shù)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，，故的值域是的子集，綜上，的值域是的子集．故只需考慮在的情況即可，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性得到在上單調(diào)遞減，又時(shí)，圖象的對(duì)