安徽省蕪湖市2024-2025學年高一下冊5月測試數學試卷附解析VIP

/安徽省蕪湖市2024-2025學年高一下冊5月測試數學試卷一、單選題1．已知復數，則（

）A． B．2 C． D．2．已知，，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．3．設m、n是兩條不同的直線，α是一個平面，則下列命題正確的是A．若m//α，n?α，則m//n B．若m//α，n//α，則m//nC．若m⊥n，n?α，則m⊥α D．若m⊥α，m//n，則n⊥α4．如圖是正四面體的平面展開圖，分別為的中點，在這個正四面體中，以下四個說法中錯誤的是（

）A．與平行 B．與為異面直線C．與成60°角 D．與垂直5．在三棱錐A-BCD中，AD=BC，且AD與BC所成的角為60°，若E，F分別是AB，CD的中點，則直線EF與所成的角為（）A．30° B．60° C．90° D．30°或60°6．在中，，，若滿足上述條件的有且僅有一個，則邊長的取值范圍是（）A． B． C． D．7．已知在中，為所在平面內的動點，且，則的最大值為（）A．5 B．6 C．7 D．88．如圖，正四面體的棱長為2，點E在四面體外側，且是以E為直角頂點的等腰直角三角形．現以為軸，點E繞旋轉一周，當三棱錐的體積最小時，直線與平面所成角的正弦值的平方為（

）

A． B． C． D．二、多選題9．下列命題正確的有（

）A．如果一條直線上有兩個點在一個平面內，那么這條直線一定在這個平面內B．過直線外一點，只能作一個平面與這條直線平行C．如果一條直線與平面內的無數條直線平行，則該直線與平面平行D．如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線10．如圖，為圓錐底面圓的直徑，點是圓上異于、的動點，，則下列結論正確的是（）A．圓錐的側面積為B．三棱錐體積的最大值為C．的取值范圍是D．若，為線段上的動點，則的最小值為11．如圖，在山腳測得山頂的仰角，沿傾斜角為的斜坡向上走米到，在處測得山頂的仰角為，則下列選項正確的是（

）A． B．C． D．三、填空題12．與平面向量反向共線的單位向量的坐標為.13．已知復數滿足，其中為虛數單位，則的最小值為.14．在底面邊長為1且高為的正六棱錐內部放一個正方體，使其能在該正六棱錐內任意轉動，則正方體棱長的最大值為．四、解答題15．設為實數，若向量．（1）若與垂直，求的值；（2）當為何值時，三點共線．16．如圖，直三棱柱中，，、分別為、的中點．（1）求證：；（2）若，三棱錐的體積為，求直線與平面所成角大小．17．如圖，已知在四棱錐中，平面，四邊形為直角梯形.，，，，點是棱上靠近端的三等分點，點是棱上點.（1）證明：平面；（2）求異面直線與夾角的余弦值.18．已知銳角中，分別是角的對邊，且.（1）求；（2）記的面積為S，求的取值范圍．19．離散曲率是刻畫空間彎曲性的重要指標．設P為多面體M的一個頂點，定義多面體M在點P處的離散曲率為，其中為多面體M的所有與點P相鄰的頂點，且平面，平面，…，平面和平面為多面體M的所有以P為公共點的面．已知三棱錐如圖所示．（1）求三棱錐在各個頂點處的離散曲率的和；（2）若平面ABC，，，三棱錐在頂點C處的離散曲率為，求點A到平面PBC的距離；（3）在（2）的前提下，又知點Q在棱PB上，直線CQ與平面ABC所成角的余弦值為，求BQ的長度．

答案1．【正確答案】B【詳解】，則，所以.故選B.2．【正確答案】A【詳解】由題意，在上的投影向量為.故選A3．【正確答案】D【詳解】每個命題分別判斷，可通過舉例說明命題為假，如果為真說明理由即可．【詳解】中，還可能有異面，A錯；B中相交、平行、異面都有可能，B錯；C中僅僅垂直于平面中的一條直線，與斜交也都有可能，C錯；，則垂直于內所有直線，而，則也垂直于內所有直線，，正確．故選D．4．【正確答案】A【詳解】還原成正四面體，如圖，由異面直線判定定理：易知與為異面直線，A錯，與為異面直線，B對，易知：，又，所以與成角，C對，因為正四面體對棱垂直，所以，所以，D對，故選A5．【正確答案】B【詳解】因為E，F，G分別是AB，AC，BD的中點，所以，由于AD與BC是異面直線，根據異面直線所成角的定義可知，為異面直線AD與所成角，因為AD與BC所成的角為60°，所以直線EF與所成的角為60°.故選B.6．【正確答案】C【詳解】在中利用正弦定理得，則，若有且僅有一個，則或，或，則邊長的取值范圍是.故選C7．【正確答案】B【詳解】依題意，如圖建立平面直角坐標系，則，，，因為，所以在以為圓心，為半徑的圓上運動，設，，則，，可得，其中，，因為，則，可得，所以的最大值為6.故選B8．【正確答案】D【詳解】在正四面體中，取中點F，連接，則，取中點M，連接，則，是以E為直角頂點的等腰直角三角形，正四面體的棱長為2，則，且，

點E繞AD旋轉一周，形成的圖形為以M為圓心，以為半徑的圓，設該圓與的交點為，當三棱錐的體積最小時，即E點到底面的距離最小，即此時E點即位于處，因為正四面體的棱長為2，則，又中點為M，則，則，設點在底面上的射影為H，則，又，中點為F，故，故，由于點在底面上的射影為H，故即為直線與平面BCD所成角，故，故選D.9．【正確答案】AD【詳解】由基本事實2可知，如果一條直線上有兩個點在一個平面內，那么這條直線一定在這個平面內，故A正確；因為過直線外一點可以作一條直線與已知直線平行，所以經過這條直線且不經過已知直線的平面都與已知直線平行，即過直線外一點，可以作無數個平面與這條直線平行，故B錯誤；一條直線平行于平面內的無數條直線，該直線與平面平行或直線在平面內，故C錯誤.由基本事實3知，如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么他們有且只有一條過該點的公共直線，故D正確；故選AD.10．【正確答案】BD【詳解】在中，，則圓錐的母線長，半徑.對于選項A：圓錐的側面積為，故選項A錯誤；對于選項B：由圓的幾何性質可知，由勾股定理可得，由基本不等式可得，可得，即，當且僅當時，等號成立，則三棱錐體積為：，即三棱錐體積的最大值為，故選項B正確；對于選項C：因為，故，當點與點重合時，；當點與點重合時，，又因為點與、不重合，則，又，可得，故選項C錯誤；對于選項D：因為，，，由可得.又，所以為等邊三角形，則.將以為軸旋轉到與共面，得到，則為等邊三角形，.如圖，當、、三點共線時，取最小值.因為，，所以，，故選項D正確.故選BD.11．【正確答案】BCD【詳解】由題意可得，，，，，，對于A選項，，，所以，，在中，由正弦定理得，故，A錯；對于B選項，，在中，由正弦定理可得，故，在中，，B對；對于C選項，在中，，C對；對于D選項，在中，，D對.故選BCD.12．【正確答案】【詳解】平面向量反向共線的單位向量的坐標為.13．【正確答案】/【詳解】設（），已知，根據復數模的計算公式，可得，兩邊同時平方得.這表示復平面內以原點為圓心，為半徑的圓.將代入，可得.根據復數模的計算公式，，它表示復平面內點到點的距離.點到圓心的距離為.因為圓的半徑為，所以點到圓上的點的距離的最小值為點到圓心的距離減去圓的半徑，即.所以的最小值為.14．【正確答案】【詳解】由于正六棱錐的底面邊長為1，高為，則側棱長為2，正六棱錐的底面積，側面面積，正六棱錐的體積，設正六棱錐的內切球的半徑為，則，解得，設正方體的棱長為，要使正方體能在該正六棱錐內任意轉動，則正方體的外接球直徑不超過正六棱錐的內切球直徑，而正方體的外接球直徑為其體對角線，則，，正方體的棱長的最大值為．15．【正確答案】（1）（2）或【詳解】（1）由題意可得：，若與垂直，則，解得.（2）由題意可得：，，若三點共線，則，可得，解得或．16．【正確答案】（1）見詳解（2）【詳解】（1）取的中點為，連接、，在直三棱柱中，，，故四邊形為平行四邊形，所以，，因為、分別為、的中點，所以，，故四邊形為平行四邊形，所以，因為平面，所以平面，因為平面，所以，因為、分別為、的中點，所以，因為，則，故，因為，，，、平面，故平面，因為平面，所以.（2）因為，為的中點，所以，因為平面，平面，所以，因為，、平面，故平面，因為，，則，所以，因為平面，平面，則，因為，，所以四邊形為矩形，設，則，所以，解得，因為平面，所以直線與平面所成角為，在中，，，所以，因為，故，因此直線與平面所成角為.17．【正確答案】（1）見詳解（2）【詳解】（1）在四棱錐中，連接，連接，在梯形中，由，得，由點是棱上靠近端的三等分點，得，則，而平面，平面，所以平面.（2）在上取點，使，連接，則，即，因此是異面直線與所成的角或其補角，，由平面，平面，得，，，在中，，由余弦定理得，在等腰中，，所以異面直線與夾角的余弦值是.18．【正確答案】（1）（2）【詳解】（1）在中，由及正弦定理，得，整理得，而，則，兩邊平方得，而，解得，所以.（2）由（1）及已知得，由余弦定理得，則，由銳角，得，整理得，而，函數在上單調遞增，則，，令，函數在上單調遞減，在上單調遞增，因此，即，所以的取值范圍為.19．【正確答