北京市2024-2025學(xué)年高三下冊3月月考數(shù)學(xué)試卷VIP

/北京市2024-2025學(xué)年高三下冊3月月考數(shù)學(xué)試卷提示：答案請一律填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效.在答題卡上，選擇題用2B鉛筆作答，其他試題用黑色簽字筆作答.一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.1.設(shè)全集為，集合，，則（）A. B. C. D.【正確答案】B分析】解不等式得出，再進(jìn)行并集運(yùn)算.【詳解】或，，即，，即.故選：B2.設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，則()A. B. C. D.【正確答案】D分析】先求出復(fù)數(shù)，然后化簡即可【詳解】由題意可得，所以，故選：D3.已知，則（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】取特殊值代入驗(yàn)證可得AB錯(cuò)誤，對的符號(hào)進(jìn)行分類討論可判斷C正確，再由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可得D錯(cuò)誤.【詳解】根據(jù)題意不妨取，代入檢驗(yàn)可得不成立，即A錯(cuò)誤；此時(shí)，可得B錯(cuò)誤；對于C，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，即；當(dāng)時(shí)，此時(shí)，即；當(dāng)時(shí)，顯然；綜上可知當(dāng)時(shí)，成立，即C正確；對于D，因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，因此時(shí)，，可知D錯(cuò)誤.故選：C4.已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為，則圓錐的體積為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】設(shè)圓柱的底面半徑為，根據(jù)圓錐和圓柱的側(cè)面積相等可得半徑的方程，求出解后可求圓錐的體積.【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為，則圓錐的母線長為，而它們的側(cè)面積相等，所以即，故，故圓錐的體積為.故選：B.5.正項(xiàng)等比數(shù)列中，是其前項(xiàng)和，若，則（）A.63 B.56 C.52 D.42【正確答案】D【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式基本量運(yùn)算求出通項(xiàng)，再應(yīng)用等比數(shù)列求和即可.【詳解】正項(xiàng)等比數(shù)列中，是其前項(xiàng)和，若，則，所以或，因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)?，所以，則.故選：D.6.在中，，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】利用正弦定理的邊角變換與余弦定理即可得解.【詳解】因?yàn)椋杂烧叶ɡ淼?，即，則，故，又，所以.故選：B.7.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，則“是上的增函數(shù)”是“任意，無零點(diǎn)”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】A【分析】由是上的增函數(shù)得，即無零點(diǎn)，滿足充分性；反之若對任意，，滿足無零點(diǎn)，但不滿足是上的增函數(shù)，不滿足必要性，即可判斷.【詳解】若是上的增函數(shù)，則對任意，顯然，故，即無零點(diǎn)，滿足充分性；反之，若對任意，，即，滿足無零點(diǎn)，但是上的減函數(shù)，不滿足必要性，故“是上的增函數(shù)”是“任意，無零點(diǎn)”的充分而不必要條件.故選：A.8.已知點(diǎn)在圓上，點(diǎn)的坐標(biāo)為為原點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】設(shè)，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系可得結(jié)果.【詳解】設(shè)，因點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，則，設(shè)，即，依題意，求t的范圍即求直線與圓有公共點(diǎn)時(shí)在y軸上截距的范圍，即圓心到的距離，解得，所以的取值范圍為，故選：D.9.近年來，人們越來越注意到家用冰箱使用的氟化物的釋放對大氣臭氧層的破壞作用.科學(xué)研究表明，臭氧含量與時(shí)間（單位：年）的關(guān)系為，其中是臭氧的初始含量，為常數(shù).經(jīng)過測算，如果不對氟化物的使用和釋放進(jìn)行控制，經(jīng)過280年將有一半的臭氧消失.如果繼續(xù)不對氟化物的使用和釋放進(jìn)行控制，再經(jīng)過年，臭氧含量只剩下初始含量的20%，約為（）（參考數(shù)據(jù)：，）A.280 B.300 C.360 D.640【正確答案】C【分析】根據(jù)題意建立等式，然后化簡求解即可.【詳解】由題可知，，即，兩式相比得解得故選：C10.數(shù)列滿足，，給出下列四個(gè)結(jié)論：①不存在，使得，，成等差數(shù)列；②存在，使得，，成等比數(shù)列；③存在常數(shù)，使得對任意，都有，，成等差數(shù)列；④存在正整數(shù)，且，使得.其中所有正確結(jié)論的是（）A.①② B.①④ C.③④ D.②③【正確答案】C【分析】求出前四項(xiàng)可判斷①；若存在使得，，成等比數(shù)列，得出相鄰兩項(xiàng)關(guān)系可判斷②；由求出可判斷③；由題意寫出數(shù)列的前17項(xiàng)可判斷④.【詳解】對于①，，，，顯然，成等差數(shù)列，故①錯(cuò)誤；對于②，若存在，使得，，成等比數(shù)列，則，又，得，即，解得，由，，得，且為整數(shù)，所以，這與相鄰兩項(xiàng)為整數(shù)矛盾，故②錯(cuò)誤；對于③，因?yàn)?，，所以，所以，則成等差數(shù)列，故存在常數(shù)，使得對任意，都有，，成等差數(shù)列，故③正確；對于④，由題意知數(shù)列中的項(xiàng)：，可得，故④正確.故選：C.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題關(guān)鍵點(diǎn)是對的理解與運(yùn)用.二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.11.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_____________.【正確答案】【分析】根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程可直接得出焦點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】由可得焦點(diǎn)在軸上，且，可得；所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故12.設(shè)，若，則_____.【正確答案】【分析】令，求出的值，寫出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，令即可求解.【詳解】令，則，所以，則，的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為，其中，令，則，所以.故13.已知函數(shù)，其中，若函數(shù)恒成立，則常數(shù)的一個(gè)取值為___________.【正確答案】1；答案不唯一；只要常數(shù)的取值不等于即可【分析】由三角函數(shù)的值域可知，當(dāng)且僅當(dāng)和同時(shí)取到時(shí)，等號(hào)成立；再根據(jù)正弦函數(shù)在（）取得最大值，聯(lián)立即可得到.【詳解】若函數(shù)，即存在使得和同時(shí)取到1，所以，即，所以，解得當(dāng)時(shí)，；因?yàn)?，所以，其中，則當(dāng)（）時(shí)，.故1；答案不唯一；只要常數(shù)的取值不等于即可.14.已知分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)（點(diǎn)A在第一象限），延長交于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為_________．【正確答案】【分析】由雙曲線的對稱性得，從而得為等邊三角形，，然后由離心率定義結(jié)合三角形中正切函數(shù)定義計(jì)算．【詳解】由題意關(guān)于原點(diǎn)對稱，又也關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以為等邊三角形，則，則，由雙曲線的定義，得，所以，則．故．15.已知正方體的邊長為2，且為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在正方形的邊界及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，且滿足與底面所成的角為，給出下列四個(gè)結(jié)論：①存在點(diǎn)使得；②點(diǎn)的軌跡長度為；③三棱錐的體積的最小值為；④線段長度最小值為．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是__________【正確答案】①②③【分析】利用線面垂直的性質(zhì)判斷①，確定點(diǎn)的軌跡后利用圓的周長公式判斷②，找到點(diǎn)面距離，結(jié)合軌跡圖形判斷③，合理轉(zhuǎn)化，利用勾股定理判斷④即可.【詳解】對于①，當(dāng)在中點(diǎn)上時(shí)，如圖，連接，，因?yàn)檎襟w，所以面，，所以，由中位線定理得，而，面，所以面，所以，故①正確，對于②，所以與底面所成的角為，故，而面，所以，因?yàn)闉槔獾闹悬c(diǎn)，所以，所以點(diǎn)的軌跡半徑為1的個(gè)圓，故長度為，故②正確，對于③，如圖，連接，由正方體性質(zhì)得，面，所以，由勾股定理得，所以四邊形是平行四邊形，而，所以四邊形是矩形，所以，設(shè)中點(diǎn)為，如圖，作，而面，面，所以，因?yàn)?，面，所以面，而正好在的軌跡上，所以當(dāng)運(yùn)動(dòng)到時(shí)，到面距離最短，此時(shí)可以得到是中位線，由勾股定理得，所以，所以體積的最小值為，故③正確，對于④，若最小，則最小，連接，，如圖，當(dāng)共線時(shí)取得最小值，由勾股定理得，此時(shí)，由勾股定理得，故④錯(cuò)誤.故①②③關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查立體幾何，解題關(guān)鍵是先找到點(diǎn)面距離所在的線段，然后結(jié)合軌跡確定動(dòng)點(diǎn)的位置，得到所要求的點(diǎn)面距離，進(jìn)而得到體積即可．三、解答題：本大題共6小題，共85分.16.在中，．（1）求A的大??；（2）若，從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得存在，求最長邊上高線的長．條件①：；條件②：的面積為；條件③：．注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【正確答案】（1）；（2）答案見解析，最長邊上高線長.【分析】（1）利用二倍角的余弦公式，化簡求值；（2）若選擇條件①，方法一，根據(jù)正弦定理和余弦定理求三邊，判斷最長邊，再根據(jù)幾何關(guān)系求高，方法二，根據(jù)邊長和角，根據(jù)大角對大邊，直接判斷最長邊，再求高；若選擇條件②，根據(jù)面積求，再根據(jù)余弦定理求邊長，再求最長邊的高；如選擇條件③，根據(jù)正弦定理，判斷是否存在.【小問1詳解】因?yàn)?，所以所以，所以，因?yàn)?，所以舍所以，則；【小問2詳解】選擇①因?yàn)椋烧叶ɡ泶?，得法一：由余弦定理代入得所以所以或（舍），所以邊最長，邊上的高線法二：因?yàn)?，所以，所以，所以，所以為最長邊邊上的高線選擇②因?yàn)樗砸?，由余弦定理所以所以或所以最長邊上的高線，若選擇③，，根據(jù)正弦定理，，則，不成立，此時(shí)不存在.17.如圖，在直三棱柱中，點(diǎn)E、F在側(cè)棱、上，且，，點(diǎn)D、G在側(cè)棱、上，且，.（1）證明：點(diǎn)G在平面內(nèi)；（2）若，，，求二面角的余弦值.【正確答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）連接，，證得且，得到四邊形為平行四邊形，進(jìn)而得到，再證得，得到故四邊形為梯形，即可得到D、E、F、G四點(diǎn)共面，即可得到結(jié)論；（2）以為x軸，為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面和平面平面的一個(gè)法向量，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.【詳解】（1）連接，，因?yàn)辄c(diǎn)E、F在側(cè)棱、上，且，，又且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)辄c(diǎn)D、G在側(cè)棱、上，且，，所以，且，所以且，故四邊形為梯形.即D、E、F、G四點(diǎn)共面，所以點(diǎn)G在平面內(nèi).（2）由題意知、、兩兩垂直，以為x軸，為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由，，得，，，(1，0，0)，設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?，，所以，取，則，所以.又由是平面的一個(gè)法向量，所以，即二面角的余弦值為.本題考查了平面的基本性質(zhì)證明，以及空間角的求解問題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力，解答中熟記線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理，通過嚴(yán)密推理是線面位置關(guān)系判定的關(guān)鍵，同時(shí)對于立體幾何中角的計(jì)算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.18.某學(xué)校在寒假期間安排了“垃圾分類知識(shí)普及實(shí)踐活動(dòng)”.為了解學(xué)生的學(xué)習(xí)成果，該校從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了50名學(xué)生作為樣本進(jìn)行測試，記錄他們的成績，測試卷滿分100分，將數(shù)據(jù)分成6組：，，，，，，并整理得到如下頻率分布直方圖：（1）若全校學(xué)生參加同樣的測試，試估計(jì)全校學(xué)生的平均成績（每組成績用中間值代替）；（2）在樣本中，從其成績在80分及以上的學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，用表示其成績在中的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（3）在（2）抽取的3人中，用表示其成績在的人數(shù)，試判斷方差與的大小.（直接寫結(jié)果）【正確答案】（1）；（2）分布列見解析，；（3）.【分析】（1）利用直方圖的性質(zhì)及平均數(shù)的計(jì)算方法即得；（2）由題可知服從超幾何分布，即求；（3）由超幾何分布即得.【小問1詳解】由直方圖可得第二組的頻率為，∴全校學(xué)生的平均成績?yōu)椋骸拘?詳解】由題可知成績在80分及以上的學(xué)生共有人，其中中的人數(shù)為5，所以可取0,1,2,3，則，，，，故的分布列為：0123P；【小問3詳解】.19.已知橢圓過點(diǎn)，長軸長為.（1）求橢圓的方程及其焦距；（2）直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，直線分別與直線交于點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)且，求證：直線過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo).【正確答案】（1），焦距為（2）證明見解析，定點(diǎn)為.【分析】（1）根據(jù)橢圓過點(diǎn)及列方程組求解；（2）設(shè)，，，，聯(lián)立直線和橢圓方程得到韋達(dá)定理，再求出點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)已知得到+=0，再把韋達(dá)定理代入化簡即得證.【小問1詳解】由題得，所以橢圓的方程為，焦距為.【小問2詳解】如圖，直線與橢圓方程聯(lián)立，化簡得，，即.設(shè),，,，則，．直線的方程為，則，直線的方程為，則，因?yàn)?，所?=0，所以，所以，把韋達(dá)定理代入整理得或，當(dāng)時(shí)，直線方程為，過定點(diǎn)，即點(diǎn)，不符合題意，所以舍去.當(dāng)時(shí)，直線方程為，過定點(diǎn).所以直線經(jīng)過定點(diǎn).20.已知函數(shù)，其中.（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處切線方程；（2）求的單調(diào)區(qū)間；（3）若區(qū)間，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【正確答案】（1）（2）答案見解析（3）【分析】（1）借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算可得切線斜率，再結(jié)合切點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算即可得；（2）分及，結(jié)合定義域分類討論，求導(dǎo)后因式分解，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)計(jì)算即可得；（3）利用函數(shù)定義域，結(jié)合所給條件，可得，從而可分及，借助第二問中所得單調(diào)性去計(jì)算函數(shù)在上的最小值，解出即可得.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，則，，則，故曲線在點(diǎn)處切線方程為；【小問2詳解】，①若，則定義域?yàn)?，有恒成立，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即在、上單調(diào)遞增，在、上單調(diào)遞減；②若，則定義域?yàn)?，有恒成立，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即在、上單調(diào)遞減，在、上單調(diào)遞增；綜上所述：當(dāng)時(shí)，在、上單調(diào)遞增，在、上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)在、上單調(diào)遞減，在、上單調(diào)遞增；【小問3詳解】由，故，有定義域?yàn)?，故，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，若，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，有，解得或（舍去），即；若，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，只需，即，由，故，，故無解；故實(shí)數(shù)的取值范圍為.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：最后一問關(guān)鍵點(diǎn)在于利用函數(shù)定義域，結(jié)合所給條件，得到，從而可借助第二問中所得單調(diào)性去計(jì)算函數(shù)在上的最小值.21.已知A為有限個(gè)實(shí)數(shù)構(gòu)成的非空集合，設(shè)，，記集合和其元素個(gè)數(shù)分別為，.設(shè).例如當(dāng)時(shí)，，，，所以.（1）若，求的值；（2）設(shè)A是由3個(gè)正實(shí)數(shù)組成的集合且，；，證明：為定值；（3）若是一個(gè)各項(xiàng)互不相同的無窮遞增正整數(shù)列，對任意，設(shè)，.已知，，且對任意，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【正確答案】（1）（2）證明見解析（3）【分析】（1）根據(jù)題中的定義，列舉出，即可；（2）先列舉，，，中可能元素，根據(jù)集合的互異性判斷元素個(gè)數(shù)差即可；（3