福建省三明市2023−2024學(xué)年高一下冊(cè)期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷附解析VIP

/福建省三明市2023?2024學(xué)年高一下冊(cè)期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知復(fù)數(shù)，則（

）A．的實(shí)部為 B．的虛部為C． D．2．某校高一、高二、高三年級(jí)的學(xué)生人數(shù)之比為，現(xiàn)用分層隨機(jī)抽樣的方法從該校三個(gè)年級(jí)的學(xué)生中抽取一個(gè)容量為96的樣本，如果樣本按比例分配，則從高三年級(jí)抽取的學(xué)生人數(shù)為（

）A．32 B．40 C．64 D．723．如圖，是水平放置的,如圖為在斜二測畫法下的直觀圖.若，則的面積為（

）A．2 B． C． D．4．從裝有3個(gè)黃球和4個(gè)藍(lán)球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球，下列事件中與事件“至少有一個(gè)黃球”互為對(duì)立的是（

）A．都是藍(lán)球 B．都是黃球 C．恰有一個(gè)藍(lán)球 D．至少有一個(gè)藍(lán)球5．已知m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β，直線l滿足l⊥m，l⊥n，則（

）A．α∥β且∥α B．α⊥β且⊥βC．α與β相交，且交線垂直于 D．α與β相交，且交線平行于6．福建省清流縣書法家劉建煌老先生曾為三明綠道“怡亭”題字：四面風(fēng)光長入畫，一亭綠意最怡人.“怡亭”的頂部可近似看作一個(gè)正四棱錐，已知過側(cè)棱且垂直于底面的截面是邊長為的等腰直角三角形，則該正四棱錐的側(cè)面積約為（

）A． B． C． D．7．如圖，在直三棱柱中，，，點(diǎn)是線段上靠近的三等分點(diǎn)，則直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．8．某地區(qū)的公共衛(wèi)生部門為了調(diào)查本地區(qū)的中學(xué)生吸煙情況，對(duì)隨機(jī)抽出的500名學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查，調(diào)查中使用了兩個(gè)問題，問題1：你的生日公歷月份是不是偶數(shù)?問題2：你是否經(jīng)常吸煙？調(diào)查者設(shè)計(jì)了一個(gè)裝有大小、形狀和質(zhì)量完全一樣的50個(gè)白球和50個(gè)紅球的袋子，每個(gè)被調(diào)查者隨機(jī)從袋子中摸取1個(gè)球，再放回摸出白球就如實(shí)回答問題1，摸出紅球就如實(shí)回答問題2.回答“是”的學(xué)生往盒子里放一個(gè)石頭，回答“否”的學(xué)生什么也不做.經(jīng)統(tǒng)計(jì)，盒子中有140個(gè)石頭，由此估計(jì)這個(gè)地區(qū)經(jīng)常吸煙的中學(xué)生所占百分比為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列說法中正確的是（

）A．已知向量，若，則B．已知非零向量，“”是“”的充要條件C．若是直線上不同的三點(diǎn)，點(diǎn)在直線外，，那么D．已知非零向量，“”是“夾角為銳角”的必要不充分條件10．如圖，在棱長為4的正方體中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）

A．直線與為異面直線 B．平面C．三棱錐外接球的體積為 D．二面角的余弦值為11．如圖，在中，已知，邊上的中點(diǎn)為邊上的中點(diǎn)為，相交于點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）

A．B．的內(nèi)切圓的半徑為C．與夾角的余弦值為D．過點(diǎn)作直線交線段和于點(diǎn)，則的取值范圍是三、填空題（本大題共3小題）12．已知，且與互相垂直.則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)為.13．從長度為1，3，6，9，10的線段中任取一條，能與長度分別為7和8的兩條線段構(gòu)成銳角三角形的概率為.14．某校高一年段成立了兩個(gè)數(shù)學(xué)培優(yōu)班，班10人，班30人，經(jīng)過一段時(shí)間的強(qiáng)化訓(xùn)練后進(jìn)行了一次測試，在該測試中，班的平均成績?yōu)?35分，方差為105，班的平均成績?yōu)?15分，方差為225.則在這次測試中兩個(gè)培優(yōu)班全體學(xué)生方差為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知向量.(1)若，求；(2)若為單位向量，對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，求向量的夾角的取值范圍.16．5月22日第14屆中美旅游高層對(duì)話開幕，中國文化和旅游部為推動(dòng)文化志愿服務(wù)工作規(guī)范化，在所有報(bào)名參加中國文化推廣的人員中面試選拔出“中國文化志愿者”，通過使用注冊(cè)服務(wù)證對(duì)“中國文化志愿者”進(jìn)行組織管理.現(xiàn)隨機(jī)抽取128名報(bào)名者的面試成績，并分成五組，第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.已知第三、四、五組的頻率之和為0.7，第一組和第五組的頻率相同.

(1)求和的值；(2)估計(jì)本次面試成績平均分（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；(3)根據(jù)要求，本次“中國文化志愿者”面試選拔錄取率為，請(qǐng)估算被錄取至少需要多少分.17．在中，角的對(duì)邊分別為，且向量.(1)求角；(2)若的面積為，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，求的長.18．目前羽毛球混雙世界排名第一，第三，第四分別是中國的“雅思組合，韓國的肉丁組合”，中國的“鳳凰組合.據(jù)統(tǒng)計(jì)，每場比賽雅思組合戰(zhàn)勝肉丁組合的概率為，“鳳凰組合”戰(zhàn)勝肉丁組合的概率為，同一賽事的每場比賽結(jié)果互不影響.已知三個(gè)組合參加單循環(huán)賽（參加比賽的組合均能相遇一次），“雅思組合，“鳳凰組合”同時(shí)戰(zhàn)勝“肉丁組合”的概率為，有一個(gè)組合戰(zhàn)勝“肉丁組合”的概率為.(1)求和的值；(2)三個(gè)組合參加雙循環(huán)賽（參加比賽的組合均能相遇兩次），求雅思組合比“鳳凰組合戰(zhàn)勝肉丁組合的次數(shù)多的概率.19．閱讀數(shù)學(xué)材料：“設(shè)為多面體的一個(gè)頂點(diǎn)，定義多面體在點(diǎn)處的離散曲率為，其中為多面體的所有與點(diǎn)相鄰的頂點(diǎn)，且平面，平面，…，平面和平面為多面體的所有以為公共點(diǎn)的面.”已知在直四棱柱中，底面為菱形..（角的運(yùn)算均采用弧度制）(1)若，求四棱柱在頂點(diǎn)處的離散曲率；(2)若四棱柱在頂點(diǎn)處的離散曲率為，求與平面的夾角的正弦值；(3)截取四面體，若該四面體在點(diǎn)處的離散曲率為與平面交于點(diǎn)，證明.

答案1．【正確答案】C【分析】先進(jìn)行化簡，后根據(jù)實(shí)部虛部概念，模長公式，共軛復(fù)數(shù)概念解題即可.【詳解】,則的實(shí)部為，虛部為，，.故選C．2．【正確答案】B【分析】根據(jù)分層抽樣的定義結(jié)合題意求解即可.【詳解】由題意得從高三年級(jí)抽取的學(xué)生人數(shù)為.故選B.3．【正確答案】B【分析】根據(jù)斜二測畫法作圖規(guī)則，將直觀圖還原為，即可求解.【詳解】由題意，在斜二測畫法下的直觀圖中,則在平面直角坐標(biāo)系下，,所以的面積為.故選B.4．【正確答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用對(duì)立事件的意義判斷即可.【詳解】事件“至少有一個(gè)黃球”的對(duì)立事件是“沒有黃球”，即“都是藍(lán)球”，所以與事件“至少有一個(gè)黃球”互為對(duì)立的是“都是藍(lán)球”.故選A.5．【正確答案】D【詳解】試題分析：由平面，直線滿足，且，所以，又平面，，所以，由直線為異面直線，且平面平面，則與相交，否則，若則推出，與異面矛盾，所以相交，且交線平行于.故選D．6．【正確答案】D【分析】由題意畫出示意圖，求出底邊正方形的邊長，得出正四棱錐的側(cè)面是四個(gè)全等的等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形的面積即可求解.【詳解】如圖，正四棱錐，截面為等腰直角三角形，因?yàn)?，所以，又因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，設(shè)邊長為，由勾股定理得，，解得，，所以正四棱錐的側(cè)面是四個(gè)全等的等邊三角形，所以.故選D.

7．【正確答案】C【分析】根據(jù)題意，可以用正方體模型補(bǔ)形解題，通過平移找出線線所成的角度借助余弦定理解題即可.【詳解】根據(jù)題意，可以補(bǔ)充成一個(gè)棱長為3的正方體.如圖所示，取的三等分點(diǎn),連接，根據(jù)正方體性質(zhì)，知道.則為直線與所成角或補(bǔ)角.連接，.根據(jù)正方體性質(zhì)，知道．在中，由余弦定理，,則直線與所成角的余弦值為.故選C．8．【正確答案】A【分析】由題意可知摸到白球和紅球的概率都為，12個(gè)月其中月份為偶數(shù)的概率為，由此可估計(jì)出回答問題1為是的人數(shù)，從而可求出回答問題2為是的人數(shù)，從而可求出答案.【詳解】因?yàn)橐粋€(gè)裝有大小、形狀和質(zhì)量完全一樣的50個(gè)白球和50個(gè)紅球的袋子，從隨機(jī)從袋子中摸取1個(gè)球，所以摸到白球和紅球的概率都為，所以這500個(gè)人中回答問題1的人數(shù)約為，回答問題2的人數(shù)約為，因?yàn)?2個(gè)月其中月份為偶數(shù)的有6個(gè)，所以月份為偶數(shù)的概率為，所以問題1回答為是的人數(shù)約為人，所以問題2回答為是的人數(shù)約為人，所以這個(gè)地區(qū)經(jīng)常吸煙的中學(xué)生所占百分比為.故選A.9．【正確答案】BD【分析】對(duì)于A，舉例判斷，對(duì)于B，由由數(shù)量積的定義分析判斷，對(duì)于C，將用表示，然后由三點(diǎn)共線可求出，對(duì)于D，由數(shù)量積的定義結(jié)合充分條件和必要條件的定義分析判斷.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，滿足，而與不一定平行，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，而當(dāng)時(shí)，，因?yàn)闉榉橇阆蛄?，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以“”是“”的充要條件，所以B正確，對(duì)于C，由，得，所以，若，則，則在直線上，不合題意，所以，所以，因?yàn)槭侵本€上不同的三點(diǎn)，點(diǎn)在直線外，所以，即，得，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D，為非零向量，若夾角為銳角，則，而當(dāng)時(shí)，則，所以，因?yàn)?，所以或?yàn)殇J角，所以“”是“夾角為銳角”的必要不充分條件，所以D正確.故選BD.10．【正確答案】BCD【分析】根據(jù)異面直線的定義可以判斷A，線面平行的判斷定理可以判斷B，構(gòu)造長方體，求出外接球半徑，從而可判斷C，作出所求二面角的平面角，結(jié)合余弦定理即可求解，從而可以判斷D.【詳解】對(duì)于A，在正方體中，，所以四點(diǎn)共面，所以直線與不是異面直線，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，連接，交于點(diǎn)O，在正方體中，易知點(diǎn)O為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以，又，所以，故B正確；

對(duì)于C，在正方體中，分別在上取中點(diǎn)，并依次連接，易知四棱柱為長方體，三棱錐的外接球就是長方體的外接球，且外接球的直徑為長方體體對(duì)角線的長，又長方體體對(duì)角線長度為：，所以外接球的半徑為3，所以三棱錐的外接球的體積為，故C正確；

對(duì)于D，連接，交于點(diǎn)O，在正方體中，易知點(diǎn)O為的中點(diǎn)，連接EO，F(xiàn)O，因?yàn)槎际堑妊切?，所以，所以為二面角的平面角，又，所以由余弦定理可得?故D正確，故選BCD.11．【正確答案】ACD【分析】對(duì)于A，利用余弦定理求解即可；對(duì)于B，運(yùn)用等面積法可解；對(duì)于C，建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量夾角的坐標(biāo)求法處理即可；對(duì)于D，設(shè)出線段的比例關(guān)系，用向量共線的條件合理轉(zhuǎn)化，消去變量求范圍即可.【詳解】對(duì)于A，在中，且，，由余弦定理得，解得，(負(fù)根舍去)，則A正確；對(duì)于B，設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為，則，即，即，解得，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，如圖所示，

以為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，易知，，設(shè)，由兩點(diǎn)間距離公式得，，解得，，(負(fù)根舍去)，故，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，，故，，設(shè)與的夾角為，故，故C正確；對(duì)于D，易知由于邊上的中點(diǎn)為，邊上的中點(diǎn)為，而是兩條中線的交點(diǎn)，故是的重心，所以，設(shè)，，，由于在直線上，所以，即，而，所以，，故得，，所以，，故得，則，由于，則，則D正確，故選ACD.【關(guān)鍵點(diǎn)撥】本題D選項(xiàng)解題關(guān)鍵是將已知向量合理轉(zhuǎn)化，然后表示出的關(guān)系，將面積比表示為一元函數(shù)，求出范圍，進(jìn)而求出數(shù)量積的范圍即可，12．【正確答案】【分析】根據(jù)給定條件，求出，再利用投影向量的意義求解即得.【詳解】由，與互相垂直，得，則，所以向量在向量上的投影向量為.故13．【正確答案】/0.6【分析】取到線段為1時(shí)，，無法構(gòu)成三角形，其他情況利用最大角的余弦值判斷出三角形的形狀，得到概率.【詳解】當(dāng)取到線段為1時(shí)，，無法構(gòu)成三角形，當(dāng)取到線段為3時(shí)，最大角的余弦值為，此時(shí)三角形為鈍角三角形，當(dāng)取到線段為6時(shí)，最大角的余弦值為，此時(shí)三角形為銳角三角形，當(dāng)取到線段為9時(shí)，最大角的余弦值為，此時(shí)三角形為銳角三角形，當(dāng)取到線段為10時(shí)，最大角的余弦值為，此時(shí)三角形為銳角三角形，故能與長度分別為7和8的兩條線段構(gòu)成銳角三角形的概率為.故/0.6.14．【正確答案】270【分析】求出全體學(xué)生的平均數(shù)，利用方程公式計(jì)算可得答案.【詳解】全體學(xué)生的平均數(shù)為，則在這次測試中兩個(gè)培優(yōu)班全體學(xué)生方差為.故答案為.15．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）運(yùn)用向量加減，數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算即可；（2）運(yùn)用模長公式兩邊平方，結(jié)合數(shù)量積轉(zhuǎn)化為對(duì)任意的實(shí)數(shù)恒成立，再用二次函數(shù)中根的判別式來解決恒成立問題，轉(zhuǎn)化為．最后借助余弦函數(shù)的性質(zhì)得到角度范圍即可.【詳解】（1）因?yàn)樗?，，；?）是單位向量，設(shè)的夾角為，由得：，所以，即，即對(duì)任意的實(shí)數(shù)恒成立，則，解得：，又因?yàn)椋瘮?shù)在上單調(diào)遞減，因此．所以向量的夾角的取值范圍是.16．【正確答案】(1)，(2)(3)84分【分析】（1）第三、四、五組頻率之和為0.7，求，根據(jù)總頻率之和為1，求出b；（2）運(yùn)用中點(diǎn)值代表該組數(shù)據(jù)，運(yùn)用平均值求法求出即可；（3）找出頻率0.93對(duì)應(yīng)分?jǐn)?shù)，或者93%分位數(shù)即可.【詳解】（1）由題圖可知組距為10，因?yàn)榈谌?、四、五組頻率之和為0.7，所以，所以，所以，解得.（2）面試成績平均數(shù)估計(jì)為.（3）因?yàn)榍叭M頻率之和為，前四組頻率之和為，所以頻率0.93對(duì)應(yīng)分?jǐn)?shù)落在區(qū)間內(nèi)，那么，解得，所以面試選拔錄取率為，至少需要84分.17．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）由，可得，再利用正弦定理統(tǒng)一成邊的形式，然后利用余弦定理可求得結(jié)果；（2）解法一：由結(jié)合輔助角公式化簡可求出，則可得為等腰三角形，再由三角形的面積可求出，在中利用余弦定理可求得結(jié)果；解法二：同解法一求出，然后利用余弦定理求出，再利用極化恒等式可求得結(jié)果；解法三：同解法一求出，同解法二求出，然后利用平行四邊形對(duì)角線的平方和是鄰邊平方和的兩倍求解.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，由正弦定理得，由余弦定理得因?yàn)?，所?（2）解法一：因?yàn)椋?，則即，又，所以，則，所以.故.所以，所以.在中，由余弦定理可得，即.解法二：因?yàn)?，所以，則即，又，所以，則，所以.故.所以，所以.由余弦定理得：，所以，又由極化恒等式得：所以，所以解法三：因?yàn)?，所以，則即又，所以，則，所以.故.所以，所以.由余弦定理得：，所以由平行四邊形對(duì)角線的平方和是鄰邊平方和的兩倍得所以所以.

【關(guān)鍵點(diǎn)撥】第（1）的關(guān)鍵是由，可得，再利用正弦定理統(tǒng)一成邊的形式，最后結(jié)合余弦定理求得結(jié)果；（2）解法一：由結(jié)合輔助角公式化簡可求出，則可得為等腰三角形，再由三角形的面積可求出，在中利用余弦定理可求得結(jié)果；解法二：同解法一求出，然后利用余弦定理求出，再利用極化恒等式可求得最后結(jié)果；解法三：同解法一求出，同解法二求出，然后利用平行四邊形對(duì)角線的平方和是鄰邊平方和的兩倍的關(guān)系求解.18．【正確答案】(1)(2)【分析】(1)由事件的相互獨(dú)立性及互斥事件的概率公式列方程組求解；(2)根據(jù)獨(dú)立事件乘法公式及互斥事件的求和公式結(jié)合條件即得．【詳解】（1）設(shè)事件“雅思組合、鳳凰組合均戰(zhàn)勝肉丁組合”，“雅思組合與鳳凰組合只有一個(gè)組合戰(zhàn)勝肉丁組合”，由于每場比賽結(jié)果互不影響，所以，，由題意可得，即，解得或，因?yàn)?，所?/p>