甘肅省天水市2024~2025學(xué)年 高一下冊(cè)第三階段測試（5月月考）數(shù)學(xué)試卷附解析

/甘肅省天水市2024_2025學(xué)年高一下冊(cè)第三階段測試（5月月考）數(shù)學(xué)試卷一、單選題1．如圖，點(diǎn)分別是正四面體棱上的點(diǎn)，設(shè)，直線與直線所成的角為，則（

）A．當(dāng)時(shí)，隨著的增大而增大B．當(dāng)時(shí)，隨著的增大而減小C．當(dāng)時(shí)，隨著的增大而減小D．當(dāng)時(shí)，隨著的增大而增大2．已知向量與的夾角為，且，向量滿足，且，記向量在向量與方向上的投影分別為x?y.現(xiàn)有兩個(gè)結(jié)論：①若，則；②的最大值為.則正確的判斷是（

）A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立3．已知平面向量，，滿足，，，.當(dāng)時(shí)，（

）A． B． C． D．4．的周長為18，若，則的內(nèi)切圓半徑的最大值為（

）A．1 B． C．2 D．45．若，則下列說法正確的是（

）A．的最小正周期是B．的對(duì)稱軸方程為（）C．存在實(shí)數(shù)a，使得對(duì)任意的，都存在、且，滿足（，2）D．若函數(shù)，（是實(shí)常數(shù)），有奇數(shù)個(gè)零點(diǎn)，，…，，（），則6．已知共面向量滿足且.若對(duì)每一個(gè)確定的向量，記的最小值為，則當(dāng)變化時(shí),的最大值為()A． B． C．8 D．7．奔馳定理：已知是內(nèi)的一點(diǎn)，，，的面積分別為，，，則．“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”若是銳角內(nèi)的一點(diǎn)，，，是的三個(gè)內(nèi)角，且點(diǎn)滿足，則必有（

）A．B．C．D．8．已知正三棱錐的底面是邊長為6的正三角形，其外接球球的表面積為，且點(diǎn)到平面的距離小于球的半徑，為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．二、多選題9．歐拉對(duì)函數(shù)的發(fā)展做出了巨大貢獻(xiàn)，除特殊符號(hào)、概念名稱的界定外，歐拉還基于初等函數(shù)研究了抽象函數(shù)的性質(zhì)，下面對(duì)于定義在R上的函數(shù)，滿足，有，則下面判斷一定正確的是（

）A．是的一個(gè)周期 B．是奇函數(shù)C．是偶函數(shù) D．10．已知△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)應(yīng)邊分別為a，b，c，且，c=2．則下列結(jié)論正確（

）A．△ABC面積的最大值為 B．的最大值為C． D．的取值范圍為11．勒洛FranzReuleaux（1829～1905），德國機(jī)械工程專家，機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)的創(chuàng)始人.他所著的《理論運(yùn)動(dòng)學(xué)》對(duì)機(jī)械元件的運(yùn)動(dòng)過程進(jìn)行了系統(tǒng)的分析，成為機(jī)械工程方面的名著.勒洛四面體是一個(gè)非常神奇的“四面體”，它能在兩個(gè)平行平面間自由轉(zhuǎn)動(dòng)，并且始終保持與兩平面都接觸，因此它能像球一樣來回滾動(dòng).勒洛四面體是以正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)為球心，以正四面體的棱長為半徑的四個(gè)球的相交部分圍成的幾何體.如圖所示，設(shè)正四面體的棱長為2，則下列說法正確的是（

）A．勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑為B．勒洛四面體被平面截得的截面面積是C．勒洛四面體表面上交線的長度為D．勒洛四面體表面上任意兩點(diǎn)間的距離可能大于2三、填空題12．三棱錐中，頂點(diǎn)P在平面ABC的射影為O，滿足，A點(diǎn)在側(cè)面PBC上的射影H是的垂心，，此三棱錐體積的最大值是.13．已知的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，其中，，，則能覆蓋的正方形的最小邊長為．14．若平面有不共線的五點(diǎn)A，B，C，D，O，記，，，，滿足.，，則的最小值為．四、解答題15．三角形的布洛卡點(diǎn)是法國數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育學(xué)家克洛爾于1816年首次發(fā)現(xiàn)，但他的發(fā)現(xiàn)并未被當(dāng)時(shí)的人們所注意．1875年，布洛卡點(diǎn)被一個(gè)數(shù)學(xué)愛好者布洛卡重新發(fā)現(xiàn)，并用他的名字命名．當(dāng)內(nèi)一點(diǎn)滿足條件時(shí)，則稱點(diǎn)為的布洛卡點(diǎn)，角為布洛卡角．如圖，在中，角所對(duì)邊長分別為，點(diǎn)為的布洛卡點(diǎn)，其布洛卡角為．（1）若．求證：①（為的面積）；②為等邊三角形．（2）若，求證：．16．在直三棱柱中，，，，點(diǎn)是平面上的動(dòng)點(diǎn)．（1）若點(diǎn)在線段上（不包括端點(diǎn)），設(shè)為異面直線與所成角，求的取值范圍；（2）若點(diǎn)在線段上，求的最小值；（3）若點(diǎn)在線段上，作平行交于點(diǎn)，是上一點(diǎn)，滿足．設(shè)，記三棱錐的體積為．我們知道，函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)．據(jù)此，判斷函數(shù)在定義域內(nèi)是否存在，使得函數(shù)在上的圖象是中心對(duì)稱圖形，若存在，求及對(duì)稱中心；若不存在，說明理由．17．已知兩個(gè)函數(shù)，，，若對(duì)任意的，存在唯一的，使得成立，則稱為的“友好函數(shù)”.(1)判斷函數(shù)，是否為，的“友好函數(shù)”，并說明理由；(2)若函數(shù)，是，的“友好函數(shù)”，求的最小值；(3)已知函數(shù)，，，，若是的“友好函數(shù)”，且也是的“友好函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的值及的最大值.18．對(duì)于平面向量（且），記，若存在，使得，則稱是的“k向量”．(1)設(shè)，若是的“向量”，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若，則是否存在“1向量”？若存在，求出“1向量”；若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)已知均為的“向量”，其中．設(shè)平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)列滿足（與原點(diǎn)O重合），且與關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，與關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱．求的取值范圍．19．如圖，在正四棱錐中，所有棱長均為，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)是底面內(nèi)任意一點(diǎn)，點(diǎn)到側(cè)面的距離分別為．（1）證明：平面平面；（2）求；（3）記與側(cè)面所成的角分別為，證明：．

答案1．【正確答案】D【詳解】當(dāng)時(shí)，如下圖作交于點(diǎn)，所以直線與直線所成的角即為直線與直線所成的角，即，設(shè)正四面體的棱長為3，則，可求得，所以在中，有，令，則，時(shí)，有正有負(fù)，函數(shù)有增有減，所以故A與B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，如下圖作交于點(diǎn)，所以直線與直線所成的角即為直線與直線所成的角，即.同樣設(shè)正四面體的棱長為3，則，可求得，,在中，有，所以，即，所以在中，有，令，則，所以在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，即增大，減小，即減小，從而增大，故D正確，C錯(cuò)誤.故選D.2．【正確答案】C【詳解】由，解得：，當(dāng)時(shí)，，由得：，即，由得：，因?yàn)椋僭O(shè)，則可求出，，代入中，等號(hào)不成立，故①錯(cuò)誤；設(shè)，，，因?yàn)椋上蛄抗簿€定理可知，點(diǎn)C在線段AB上，如圖，設(shè)，則，因?yàn)椋?，即，故在方向的投影等于在方向的投影相等，故點(diǎn)C滿足，又，，所以，其中，而要想保證最大，只需最小，由余弦定理可得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以最小值為，所以最大值為，故的最大值為，②正確.故選C3．【正確答案】A【詳解】解析：作，，，由題意，設(shè)直線與直線交于點(diǎn)，∵，∴點(diǎn)在線段上（不含端點(diǎn)）又，結(jié)合等和線性質(zhì)，可知作于，于，有，記①當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，，由，得，可解得，進(jìn)而有此時(shí)，，（注：點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，在線段上，符合題意）可得，所以②當(dāng)點(diǎn)在線段的反向延長線上時(shí)，同①方法可推得點(diǎn)與點(diǎn)重合，矛盾綜上，.故選A4．【正確答案】B【詳解】由題意得，因?yàn)椋?，即，即，故，又，分子分母同除以可得，，如下圖，的內(nèi)切圓圓心為，且圓與相切于點(diǎn)，與相切于點(diǎn)，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，，顯然，，故，即，，整理可得，，將代入中得，，因?yàn)椋?，所以，故，解得，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的內(nèi)切圓半徑的最大值為.故選B5．【正確答案】B【分析】對(duì)于A選項(xiàng)，平方后利用輔助角公式化簡得到，得到為函數(shù)的周期，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，利用整體法求解函數(shù)的對(duì)稱軸方程，所以B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，首先求出，，畫出上的的函數(shù)圖象，問題等價(jià)于有兩個(gè)解，數(shù)形結(jié)合得到，無解，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，的根轉(zhuǎn)化為與交點(diǎn)橫坐標(biāo)，畫出圖象，結(jié)合對(duì)稱性求解.【詳解】，.因?yàn)椋?對(duì)于A項(xiàng)，因?yàn)椋詾榈闹芷?，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，的對(duì)稱軸方程為.所以（）.即（）.所以B正確.對(duì)于C項(xiàng)，，有，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，（，2），等價(jià)于有兩個(gè)解，當(dāng)時(shí)，，顯然無解，不妨設(shè)，畫出在的的圖象，如圖所示：.或，無解，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，的根為與交點(diǎn)橫坐標(biāo).因?yàn)橛衅鏀?shù)個(gè)交點(diǎn)，，且，，，，，，，，，所以D錯(cuò)誤.故選B.【思路導(dǎo)引】本題為較復(fù)雜的函數(shù)零點(diǎn)問題，通常轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的交點(diǎn)問題，數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解.6．【正確答案】C【詳解】如圖，固定向量，則向量分別在以(4,0)為圓心，r為半徑的圓上的直徑兩端運(yùn)動(dòng)，其中易知點(diǎn)B的坐標(biāo)因?yàn)樗設(shè)B=BC，即整理可得，所以而的最小值為，即將，當(dāng)時(shí)取最大值，此時(shí)故的最大值為8故選C7．【正確答案】C【詳解】如圖，因?yàn)?，所以，同理，，所以為的垂心。因?yàn)樗倪呅蔚膶?duì)角互補(bǔ)，所以，．同理，，，．，．又．由奔馳定理得.故選C．8．【正確答案】A【詳解】利用外接球的表面積求出外接球半徑為，再根據(jù)勾股定理求出點(diǎn)到平面的距離，找到異面直線與所成的角，然后在三角形中利用余弦定理進(jìn)行分析求解，即可得到答案.【詳解】因?yàn)橥饨忧虻谋砻娣e為，設(shè)外接球半徑為，則，則，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，的中心為，則，由勾股定理得，解得：或（舍去）取的中點(diǎn)，則由中位線性質(zhì)知，，所以異面直線與所成的角為或其補(bǔ)角，在中，勾股定理知，即，，又，，，故所以異面直線與所成角的余弦值為故選A9．【正確答案】ABD【詳解】令，得，令，得，故為奇函數(shù)，所以選項(xiàng)B正確，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；令，得令，得所以選項(xiàng)A正確；令，得所以令，得因?yàn)椋?，故選項(xiàng)D正確.故選ABD10．【正確答案】AB【詳解】由余弦定理得：，解得：，由基本不等式得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，故，A正確；，其中由正弦定理得：，所以，因?yàn)?，所以，故最大值為，的最大值為，B正確；，故C錯(cuò)誤；，因?yàn)?，所以，所以，D錯(cuò)誤.故選AB11．【正確答案】ABD【詳解】A選項(xiàng)，先求解出正四面體的外接球，如圖所示：取的中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則為等邊的中心，外接球球心為，連接，則為外接球半徑，設(shè)，由正四面體的棱長為2，則，，，，，由勾股定理得：，即，解得：，此時(shí)我們?cè)俅瓮暾某槿〔糠掷章逅拿骟w，如圖所示：圖中取正四面體中心為，連接交平面于點(diǎn)，交于點(diǎn)，其中與共面，其中即為正四面體外接球半徑，設(shè)勒洛四面體內(nèi)切球半徑為，則，故A正確；B選項(xiàng)，勒洛四面體截面面積的最大值為經(jīng)過正四面體某三個(gè)頂點(diǎn)的截面，如圖所示：面積為，B正確；C選項(xiàng)，由對(duì)稱性可知：勒洛四面體表面上交線所在圓的圓心為的中點(diǎn)，故，又，由余弦定理得：，故，且半徑為，故交線的長度等于，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，將正四面體對(duì)棱所在的弧中點(diǎn)連接，此時(shí)連線長度最大，如圖所示：連接，交于中點(diǎn)，交于中點(diǎn)，連接，則，則由C選項(xiàng)的分析知：，所以，故勒洛四面體表面上兩點(diǎn)間的距離可能大于2，D正確.故選ABD12．【正確答案】36【詳解】由P在平面ABC的射影為O，且，所以O(shè)是的重心，連接并延長交于，連接并延長交于，則分別是、中點(diǎn)，由面，面，則，又H是的垂心，則，而，面，所以面，由面，故，由面，面，則，又，面，則面，由面，所以，而面，則，又，，面，所以面，面，則，而面，則，又，面，則面，由面，則，即，根據(jù)，，分別為、中點(diǎn)，故為等邊三角形，設(shè)邊長為，則，故，又，所以，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以三棱錐體積的最大值是36.13．【正確答案】【詳解】由題意，且，在中，由正弦定理可得，，，由面積相等且可得在邊上的高最大，且，因?yàn)?，所以?dāng)正方形的邊長為時(shí)可以覆蓋，如圖1.當(dāng)有一個(gè)頂點(diǎn)與正方形頂點(diǎn)重合時(shí)，因?yàn)檫吷系母咦畲螅援?dāng)點(diǎn)與正方形頂點(diǎn)重合時(shí)，正方形邊長小于等于點(diǎn)（或）與正方形頂點(diǎn)重合時(shí)的正方形邊長.如圖2，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，利用和差公式展開整理可得，所以，所以，正方形邊長.綜上，能覆蓋的正方形的最小邊長為.14．【正確答案】/【詳解】由,可得，且，即.作，如圖所示，則，，均為正三角形，且，

由，得，化簡可得，，所以在直線上.由圖象可知，，所以，可得點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓E上，所以.如圖過E作MN垂線垂足為C，交圓E于D點(diǎn)，則顯然，此時(shí)的最小值為.15．【正確答案】（1）①證明見解析；②證明見解析（2）證明見解析【詳解】（1）①若，則，所以，在中，分別由余弦定理得：，，，三式相加整理得，即，所以；②由余弦定理可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)取等號(hào)，有，所以，所以，所以，即當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)且僅當(dāng)為等邊三角形時(shí)取等號(hào)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)為等邊三角形時(shí)取等號(hào)，又由①知，所以為等邊三角形；（2）由（1）得，所以，所以，又由余弦定理可得，所以，所以，所以，由正弦定理可得．16．【正確答案】（1）；（2）5；（3）存在，對(duì)稱中心為，．【詳解】（1）在直三棱柱中，，作交于，連接，則為異面直線與所成角或其補(bǔ)角，設(shè)，，由，得，則，，，在中，，由，得，則，，所以與所成角余弦值的取值范圍為．（2）由，，，得，，將平面翻折使得與平面在同一平面上，且使矩形與在兩側(cè)，過作于，交于，則，對(duì)任意點(diǎn)，過作于，連接，，則，當(dāng)且僅當(dāng)與重合時(shí)取等號(hào)，顯然，設(shè)，，，從而，，在中，，即，化簡得，解得，即，所以的最小值為5．（3），對(duì)稱中心為．由，得，，平面，，，整理得（），令，設(shè)其圖象對(duì)稱中心為，則為奇函數(shù)，則為奇函數(shù)，，解得，所以對(duì)稱中心為，由對(duì)稱性可得．17．【正確答案】(1)不是，理由見詳解；(2)；(3)，的最大值為1.【詳解】（1），不是，的“友好函數(shù)”，理由如下：取，因?yàn)?，所以不存在，使得，所以，不是，的“友好函?shù)”；（2）由題意，對(duì)任意，存在唯一使成立，即，所以函數(shù)的值域是函數(shù)值域的子集.因?yàn)椋?，所以，其值域?yàn)?，而在上單調(diào)遞增，故值域?yàn)?，從而，即，所以；?）當(dāng)是的“友好函數(shù)”時(shí)，由題意，對(duì)任意的，存在唯一的，使成立，即，則的值域是值域的子集.當(dāng)是的“友好函數(shù)”時(shí)，由題意，對(duì)任意的，存在唯一的使成立，即，則的值域是值域的子集.所以的值域與值域相同（且值域中的數(shù)值一一對(duì)應(yīng)）.當(dāng)是的“友好函數(shù)”時(shí)，因?yàn)?，若存在使得，則不存在，使得，所以當(dāng)時(shí)，，所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，①當(dāng)時(shí)，，不符合要求；②當(dāng)時(shí)，，，因?yàn)?，所以，不符合要求；③?dāng)時(shí)，，，若，則在上單調(diào)遞減，從而在上單調(diào)遞增，故，從而時(shí)，，因?yàn)榈闹涤蚺c值域相同，所以，即，所以，又在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，的最大值為1.若，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時(shí)值域與值域中的數(shù)值不可能一一對(duì)應(yīng)，不符合要求.綜