2025年中考數(shù)學(xué)答題技巧與模板構(gòu)建：專題04函數(shù)的圖象與性質(zhì)解答題模型構(gòu)建(3大函數(shù)5大模型)(原卷版)

專題04函數(shù)的圖象與性質(zhì)

題型解讀｜模型構(gòu)建｜通關(guān)試練

模型01一次函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用

函數(shù)字母取值圖象經(jīng)過的象限函數(shù)性質(zhì)

k>0，b>0一、二、三

y=kx+by隨x的增大而增

(k≠0)大

k>0，b<0一、三、四

k<0，b>0一、二、四

y=kx+by隨x的增大而減

(k≠0)小

k<0，b<0二、三、四

一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)當(dāng)b=0時(shí)為正比例函數(shù)，正比例函數(shù)是一次函數(shù)是一次函數(shù)的特殊形式，k>0時(shí)，圖

象過一三象限，k<0時(shí)圖象過二四象限.

顯然，第（2）種方法更簡單快捷．

模型02反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)

一、反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)

k

反比例函數(shù)yk0的圖象是由兩個(gè)分支組成的曲線，

x

1

k

雙曲線y(k0)

x

k＞0k＜0

圖象

位于第一、三象限位于第二、四象限

自變量xx＜0

的取值范圍

增減性在其每一象限內(nèi)，y隨x的增大而減小在其每一象限內(nèi)，y隨x的增大而增大

中心對(duì)稱性反比例函數(shù)圖象是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心為原點(diǎn)

軸對(duì)稱性反比例函數(shù)圖象是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸為直線yx

模型03二次函數(shù)的圖象性質(zhì)應(yīng)用

二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，主要總結(jié)兩種?？嫉男问?，一般式和頂點(diǎn)式；

1．二次函數(shù)的圖象為拋物線，圖象注意以下幾點(diǎn)：開口方向，對(duì)稱軸，頂點(diǎn)．

2．二次函數(shù)一般式y(tǒng)ax2bxc(a0的性質(zhì)：

b4acb2

配方：二次函數(shù)yax2bxca(x)2

2a4a

a的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸增減性

b

x時(shí)，y隨x的增大而增大；

2a

b4acb2bb

a0向上（，）xx時(shí)，y隨x的增大而減??；

2a4a2a2a

b4acb2

x時(shí)，y有最小值．

2a4a

b

x時(shí)，y隨x的增大而減??；

2a

b4acb2bb

a0向下（，）xx時(shí)，y隨x的增大而增大；

2a4a2a2a

b4acb2

x時(shí)，y有最大值．

2a4a

2

4．二次函數(shù)頂點(diǎn)式y(tǒng)a(xh)k(a0)的性質(zhì)：

a的開口頂點(diǎn)

對(duì)稱軸增減性

符號(hào)方向坐標(biāo)

2

xh時(shí)，y隨x的增大而增大；xh時(shí)，y隨x的

a0向上（h，k）x=h

增大而減??；xh時(shí)，y有最小值k．

xh時(shí)，y隨x的增大而減??；xh時(shí)，y隨x的

a0向下（h，k）x=h

增大而增大；xh時(shí)，y有最大值k．

模型01一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

考｜向｜預(yù)｜測

一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的題型中圖象與性質(zhì)在解答題中考查的較多，一次函數(shù)的應(yīng)用主要是函數(shù)的圖

象的綜合性應(yīng)用，一次函數(shù)與方程、不等式結(jié)合去考，還會(huì)與三角形、四邊形綜合，涉及全等三角形、

等腰三角形、特殊的四邊形等.在解題時(shí)需要同學(xué)們對(duì)一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)真正理解.所考題型難度中

等，相對(duì)較容易得分.

答｜題｜技｜巧

解答此類問題的關(guān)鍵是掌握一次函數(shù)y=kx+b的主要性質(zhì)：

k＞0，y隨x的增大而增大，函數(shù)從左到右上升，函數(shù)必過第一、三象限；k＜0，y隨x的增大而減小，函

數(shù)從左到右下降，函數(shù)必過第二、四象限．

由于y=kx+b與y軸交于（0，b），當(dāng)b＞0時(shí)，（0，b）在y軸的正半軸上，直線與y軸交于正半軸；當(dāng)b

＜0時(shí)，（0，b）在y軸的負(fù)半軸，直線與y軸交于負(fù)半軸．

’

（2023·遼寧大連·中考真題）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與直線相交于點(diǎn)A．為

線段上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），過點(diǎn)P作軸交??直?線于點(diǎn)?D=，?與??的重疊面?積?,為0S，

S關(guān)于??t的函數(shù)圖象如圖2所示．??⊥???△???△???

3

(1)的長為___________；的面積為___________；

(2)?求?S關(guān)于t的函數(shù)解析式，△并?直??接寫出自變量t的取值范圍．

1．（24-25九年級(jí)下·江蘇宿遷·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線分別交x軸，y軸于點(diǎn)

，點(diǎn)C在x軸的負(fù)半軸上，且．?=??+4

??2??=??

(1)求直線的表達(dá)式；

(2)若點(diǎn)M?是?直線上的一點(diǎn)，連接，使得，求出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(3)若點(diǎn)，在??軸上是否存在點(diǎn)Q??，使?△???=2?，△?若??存在請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說

明理由．?0,2?∠???=∠???

2．（2025·河北邯鄲·一模）如圖，直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象分別與x，y軸交于A，

1

B兩點(diǎn)，正比例函數(shù)的圖象與交于點(diǎn)??．??=?2?+7?1

?2?1??,4

(1)求的值及的解析式；

(2)求??2的值；

(3)一?次△函??數(shù)???△???的圖象為，且不能圍成三角形，直接寫出的值．

3．（24-25九?年=級(jí)?上?+·吉1林四平·期末?3）如圖?1,，?2點(diǎn),?3，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、?，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)

不與點(diǎn)重合），點(diǎn)在軸正半軸上，四邊形??是矩形，且4,0．0,8設(shè)?（??），矩形

?與?重合部分的?面積?為．根據(jù)上述條件，?回??答?下列問題：??=2????=??>0????

△????

4

(1)當(dāng)矩形的頂點(diǎn)在直線上時(shí)，；

(2)當(dāng)?時(shí)??，?的值為?；???=

(3)求?出=與4的函?數(shù)關(guān)系式．

4．（24-?25九?年級(jí)下·安徽安慶·開學(xué)考試）如圖，在四邊形中，，，，，

是線段上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與、重合），，?交??直?線?于?點(diǎn)∥??．∠?=90°??=2??=6

????????⊥???????

(1)設(shè)，，求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出的取值范圍；

(2)請(qǐng)?你?探=索?在點(diǎn)??運(yùn)=動(dòng)?的過?程中?，四邊形能否構(gòu)成矩形?？如果能，求出的長；如果不能，請(qǐng)說明理

由．???????

5．（23-24九年級(jí)下·重慶·階段練習(xí)）如圖，在中，，，，是中點(diǎn)，

°

動(dòng)點(diǎn)以每秒1個(gè)單位長度的速度從點(diǎn)出發(fā)，沿Rt折△線???∠?方??向=運(yùn)9動(dòng)0．設(shè)?運(yùn)?=動(dòng)8時(shí)間?為?=秒6，點(diǎn)?到?直?線

的距離?與點(diǎn)到點(diǎn)的距離之和記為．??→?→?????

???1

(1)請(qǐng)直接寫出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并注明自變量的取值范圍；

(2)在給定的平面?1直角?坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，并?寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)；

(3)結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出的圖象與函?1數(shù)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)的取值范圍．

12

模?型02反比例?=函?數(shù)+與?一次函數(shù)綜合問題?

考｜向｜預(yù)｜測

反比例函數(shù)與一次函數(shù)問題在中考中經(jīng)常出現(xiàn)，難度不大，常考的有根據(jù)反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象交點(diǎn)

構(gòu)造產(chǎn)生的幾何圖形或線段的數(shù)量關(guān)系，求圖形面積或反比例函數(shù)系數(shù)k的值，根據(jù)交點(diǎn)結(jié)合函數(shù)圖象比

較函數(shù)值大小

答｜題｜技｜巧

5

1.反比例函數(shù)與一次函數(shù)求交點(diǎn)坐標(biāo)：聯(lián)立反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的解析式進(jìn)行求解，特別地，反比

例函數(shù)與正比例函數(shù)圖象的兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；

2.求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式：待定系數(shù)法，把所給的點(diǎn)的坐標(biāo)代入，聯(lián)立方程、方程組

3.結(jié)合圖象比較函數(shù)值的大小

4.求相關(guān)圖形的面積問題

（2025·貴州·一模）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于，

?

兩點(diǎn)．?=??+??=??>0?1,5??,?

(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；

(2)點(diǎn)為第一象限內(nèi)反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)C，交一次函數(shù)圖象于點(diǎn)D，若

?

??，,?請(qǐng)直接寫出n的取值范圍．??⊥?

??≤??

1．（24-25九年級(jí)下·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖，反比例函數(shù)的圖像與一次函數(shù)的圖像交于

?

兩點(diǎn)．?=??=??+?

?2,5,??,1

(1)求反比例函數(shù)的關(guān)系式與的值；

(2)根據(jù)圖像直接寫出不等式?時(shí)的取值范圍．

?

2．（2025·河南周口·一模）如?圖?，+一?次?函?數(shù)>0?與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，點(diǎn)B在

?

x軸正半軸上．?=3??=??>0?1,?

(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式．

(2)請(qǐng)?jiān)诘膬?nèi)部作出滿足下列條件的點(diǎn)P（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）

點(diǎn)P∠到???兩邊的距離相等；．

①(3)在第（2∠）??問?的條件下，直接寫出②點(diǎn)?P?的∥?坐?標(biāo)．

6

3．（2025·河南·一模）如圖，反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，一次函數(shù)的圖象與

?

反比例函數(shù)的圖象交于A，D兩點(diǎn)，與y?軸=交?于?點(diǎn)>0，與x軸交?于2點(diǎn),3C．?=??+?

?0,4

(1)求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的表達(dá)式．

(2)現(xiàn)有一個(gè)直角三角板，讓它的直角頂點(diǎn)P在反比例函數(shù)圖象上的A，D兩點(diǎn)之間滑動(dòng)（不與點(diǎn)A，D重合），

兩直角邊始終分別平行于x軸、y軸，且與線段交于M，N兩點(diǎn)，試判斷點(diǎn)P在滑動(dòng)過程中，與

是否總相似，并說明理由．??△???△???

4．（2025·河南商丘·一模）如圖，反比例函數(shù)的圖象與經(jīng)過原點(diǎn)的直線交于，B兩

6

點(diǎn)．?=???=??+???,2

(1)填空：，，點(diǎn)B的坐標(biāo)為____．

(2)直接寫?出=不等式?=的解集．

6

(3)以為邊在上?方?作>等??邊+三?角形，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

????????

模型03反比例函數(shù)與幾何問題

考｜向｜預(yù)｜測

反比例函數(shù)與幾何綜合問題在中考的綜合性比較大，涉及的內(nèi)容會(huì)比較多，反比例函數(shù)中的K值和三角形、

平行四邊形、特殊的平行四邊形的綜合是考查的重點(diǎn)，也是高頻考點(diǎn)、必考點(diǎn).從題型角度看，以解答題為

主，需要理解加以靈活應(yīng)用！

答｜題｜技｜巧

反比例函數(shù)的k值及面積問題

7

如圖，已知反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象交于，兩點(diǎn)，直線分別與軸、

?

軸交于點(diǎn)，．?=??=??+??2,4??,?1???

?(1)____?__，?______，______．

(2)?若=?=是軸的正半?=軸上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線，分別與一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象交于

點(diǎn)，??,，0設(shè)?≠2的長?為，求與之間的函數(shù)關(guān)系?式．?

(3)?在第?二象限?內(nèi)?是否存在?點(diǎn)?，使?得是等腰直角三角形，且點(diǎn)不是直角頂點(diǎn)？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)

的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理?由．△?????

1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形，點(diǎn)A、B在y軸的正半軸上，邊與分別與反

比例函數(shù)的圖象相交于?E?、?F?,兩??點(diǎn)=．且8點(diǎn)E的坐標(biāo)為，點(diǎn)F的坐標(biāo)?為???．點(diǎn)

?

P在反比例?=函數(shù)?(?>0,?>0)的圖象上（點(diǎn)P不與點(diǎn)E、F重合），其橫坐2標(biāo),?為n．?+3,1

?

?=?(?>0)

(1)求k的值；

8

(2)連接、、、，當(dāng)與的面積和為矩形面積的一半時(shí)，直接寫出n的取值范圍；

(3)連接??、??，當(dāng)????的面△積??是?該矩△形??面?積的一半時(shí)，求點(diǎn)??P??的坐標(biāo)．

2．如圖?，?一次??函數(shù)△PEC的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為．以

?

點(diǎn)為圓心，長為半徑作弧，分別交y軸正半軸、x軸正半軸于點(diǎn)G，H．在扇形中作正方形，

?=???=??3,?

使點(diǎn)C在圓弧上，點(diǎn)D在上，點(diǎn)E，F(xiàn)在上．同樣，在第四象限的扇形內(nèi)作正方形，使點(diǎn)P

??????????

在圓弧上，點(diǎn)N在上，點(diǎn)M，Q在

????????

??

上．

?(1?)求a，k的值；

(2)判斷點(diǎn)B是否在圓弧上，并說明理由；

(3)直接寫出圖中陰影部分的面積之和

3．如圖，已知反比例函數(shù)（，k是常數(shù)）的圖像經(jīng)過點(diǎn)，在雙曲線上有一動(dòng)點(diǎn)，作

?

軸，垂足為M，?=?軸，?>垂0足為N，與的交點(diǎn)為C?．1,4??,?

?(1?)若⊥?時(shí)，求證：??⊥?；????

(2)若?=?是反比例函△數(shù)?上??任∽意△一?點(diǎn)??，（1）中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說明理由．

(3)若??,?與的相似比為，在x軸上找一個(gè)點(diǎn)P，使得

是等腰△三??角?形，△并??求?出點(diǎn)P的坐標(biāo)3．:1△???

4．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，為原點(diǎn)，點(diǎn)、分別在軸、軸的正半軸上．的兩條外角平分線交

于點(diǎn)，在反比例函數(shù)的?圖象上．的?延?長線交軸?于點(diǎn)?，的延長線交△?軸?于?點(diǎn)，連接．

9

???=???????????

(1)求的度數(shù)及點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)∠?的面積是否?存在最大值？若存在，求出最大面積；若不存在，請(qǐng)說明理由．

△???

9

5．如圖，直線與x軸交于C點(diǎn)，與y軸交于B點(diǎn)，在直線上取點(diǎn)，過點(diǎn)A作反比例函數(shù)

的?圖=象2．?+2?2,?

?

?=??>0

(1)求a的值及反比例函數(shù)的表達(dá)式；

(2)點(diǎn)P為反比例函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，若，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

?

(3)在x軸存在點(diǎn)Q，使?得=??>0，請(qǐng)求出點(diǎn)Q?△的??坐?=標(biāo)2．?△???

∠???=∠???

模型04二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

考｜向｜預(yù)｜測

二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是中考的常見的內(nèi)容，涉及到的內(nèi)容主要是二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的圖象、

二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的平移、與一元二次方程和不等式相結(jié)合。二次函數(shù)與方程、幾何知識(shí)的綜合

應(yīng)用將函數(shù)知識(shí)與方程、幾何知識(shí)有機(jī)地結(jié)合在一起．這類試題一般難度較大．解這類問題關(guān)鍵是善于將

函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題，善于利用幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)、定理和二次函數(shù)的知識(shí)，并注意挖掘題目中的

一些隱含條件．

答｜題｜技｜巧

1.二次函數(shù)解析式的三種形式

（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0）．

（2）頂點(diǎn)式：y=a（x–h）2+k（a，h，k為常數(shù)，a≠0），頂點(diǎn)坐標(biāo)是（h，k）．

（3）交點(diǎn)式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，a≠0．

2.二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）與一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）之間的關(guān)系

（1）b2–4ac>0方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；

（2）b2–4a?c=0方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，拋物線與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)；

（3）b2–4ac<0?方程沒有實(shí)數(shù)根，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)．

?

（2025·廣東揭陽·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的頂點(diǎn)為A．

2

????:?=??+??

10

(1)如圖1，若A點(diǎn)橫坐標(biāo)為1，點(diǎn)在拋物線M上，求t的值；

(2)如圖2，若，直線(2,?)，求b變化時(shí)點(diǎn)A到直線l的距離最小值；

3

(3)若?，=當(dāng)1?:?時(shí)=3?+1，求a的取值范圍．

?2

?=2?20<?<1?=??+??>0

1．（2025·河北邯鄲·一模）如圖，已知點(diǎn)，拋物線（h為常數(shù)）與

2

y軸的交點(diǎn)為C．?0,0,??9,0,?4,2?:?=????+2

(1)l經(jīng)過點(diǎn)B，求它的解析式，并寫出此時(shí)l的對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)設(shè)點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為，求的最大值，此時(shí)l上有兩點(diǎn)，其中，比較與

的大??；?????1,?1,?2,?2?1>?2≥0?1?2

(3)當(dāng)線段被l只分為兩部分，且這兩部分的比是時(shí)，求h的值．

2．（2024·江??蘇揚(yáng)州·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系2:7中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線（其中

2

，、為常數(shù)）與軸分別交于點(diǎn)、兩點(diǎn)，點(diǎn)在點(diǎn)???的左側(cè)?，與軸交于點(diǎn)，且拋?物=線??經(jīng)+過?點(diǎn)?+2，?≠、

0?，?．??????????3

?(1)若?點(diǎn)?的3坐標(biāo)為，，，

①_?______，點(diǎn)?1的坐0標(biāo)為?__+__?_=_；3

②?點(diǎn)=是線段上方?拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，若，直接寫出點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

_____?__；?????????=2???

(2)若，求證：．

2

3．（2?0=25?·河3?北·模擬預(yù)測3）?如+圖20，?已=知0二次函數(shù)．

2

?=??+2???4?+8

11

(1)求證：無論a為任何實(shí)數(shù)，二次函數(shù)的圖象與x軸總有兩個(gè)交點(diǎn)；

(2)當(dāng)時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而減小，求a的取值范圍；

(3)以?二≥次2函數(shù)圖象的頂點(diǎn)A為一個(gè)頂點(diǎn)作該二次函數(shù)圖象的內(nèi)接正三角形（M，

2

N兩點(diǎn)在二次函?數(shù)=?的?圖+象2上?）?，?請(qǐng)4?問+：8的面積是與a無關(guān)的定值嗎？若是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；?若?不?是，

請(qǐng)說明理由．△???

4．（2025·河北·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有一個(gè)封閉的形框，其中點(diǎn)，，

，，，，拋物線；與軸?交于點(diǎn)???，???．?(1,2)?(3,2)

2

?(3,4)?(2,4)?(2,3)?(1,3)??=??+??+????

(1)當(dāng)拋物線G的頂點(diǎn)為點(diǎn)C時(shí)，求b，c的值；

(2)若拋物線G的頂點(diǎn)總在L形框內(nèi)或邊上，求長的取值范圍；

(3)若拋物線G僅經(jīng)過點(diǎn)F，A，B中的兩個(gè)點(diǎn)，?直?接寫出所有符合條件的c的值．

模型05二次函數(shù)的對(duì)稱性與最值問題

考｜向｜預(yù)｜測

二次函數(shù)的性質(zhì)在中考一般一壓軸題的形式出現(xiàn)，?？嫉念}型特征有：在二次函數(shù)解析式中含有未知參數(shù)

的背景下，通過判斷對(duì)稱軸與所給自變量區(qū)間的位置關(guān)系，討論二次函數(shù)的增減性、最值問題

近幾年的考法主要是：

（1）在含參取值范圍內(nèi)，已知最值或最大最小值的關(guān)系，求參數(shù)的值或取值范圍

（2）已知自變量取值范圍，求拋物線中最值或已知最值范圍求參數(shù)的取值范圍

答｜題｜技｜巧

12

區(qū)間內(nèi)二次函數(shù)的最值問題

（2024·山東德州·中考真題）已知拋物線，為實(shí)數(shù)．

2

(1)如果該拋物線經(jīng)過點(diǎn)，求此拋物線?的=頂?點(diǎn)?坐4?標(biāo)?．+2?+1?

(2)如果當(dāng)4,3時(shí)，的最大值為4，求的值．

(3)點(diǎn)2?，點(diǎn)?3≤?≤，2如?果+該1拋物線?與線段（不含端?點(diǎn)）恰有一個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍．

?0,0?1,0???

1．（2024·江蘇南京·模擬預(yù)測）已知二次函數(shù)（m為常數(shù)）

2

(1)下列結(jié)論：①當(dāng)時(shí)，該函數(shù)的圖像開?=口向??上；?②6?該?+函4數(shù)的圖像的對(duì)稱軸是直線；③該函

數(shù)的圖像一定經(jīng)過?>，0兩點(diǎn)其中，正確結(jié)論的序號(hào)是___________．?=?3

(2)若點(diǎn)，0,4，6,4在該函數(shù)圖像上，當(dāng)時(shí)，結(jié)合圖像，直接寫出的取值范圍．

2．（24-2?5九?1年,?級(jí)下?·北3京,?海淀?·開4,學(xué)?考試）在平面直角坐標(biāo)?系??<0中，已知拋物線?過點(diǎn)，

2

，，（點(diǎn)C，D不重合）．????=??2??+1?1,?1

?(1)3比,?較2和?2?的?大3小,?，3并?說明?+理1由,?；4

(2)將拋物?2線?在3A，B之間的部分（含A，B）所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最小值記為，并將拋物線在C，D之間的

部分（含C，D）所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最小值記為，若，求a的取?值1范圍．

3．（24-25九年級(jí)上·北京通州·期末）在平面直角?坐2標(biāo)系?1=中?，2二次函數(shù)的圖象經(jīng)

2

過點(diǎn)．????=??+??+??>0

(1)求此2,二?次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸；

(2)若二次函數(shù)的圖象上存在兩點(diǎn)，，其中，

2

，且?=??+，?求?+m?的?取>值0范圍．??1,?1??2,?2??1<?1<??+2<

?4．2（<2?02+4·4浙江·模?1擬=預(yù)?測2）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)二次函數(shù)．

2

(1)若a為整數(shù)，二次函數(shù)圖象過點(diǎn)（其中n是正整數(shù)），?求=拋?物?線?的?對(duì)+稱1軸?．?≠0

?,0

13

(2)若，為拋物線上兩個(gè)不同的點(diǎn)．

①當(dāng)??1,?1?時(shí)?，2,?2，求a的值．

②若對(duì)?1于+?2=4，?1都=有?2，求a的取值范圍．

5．（2024·浙?1江>臺(tái)?2州≥·二2模）已?知1，>關(guān)?2于x的二次函數(shù)．

2

(1)若函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)，求拋物?1線=的2對(duì)?稱?軸4?；??3

2

(2)若點(diǎn)?1=2??4???3均在拋物?線4,?3上，則pq（填“”，“”或“”）.

2

(3)記???2,?,??+，3當(dāng),?時(shí)?1，=2??始4?終??成3立，求t的取值范>圍．<=

2

?2=4?+2??1?2≤?≤2?2>?1

一、解答題

1．（2023·浙江杭州·中考真題）在直角坐標(biāo)系中，已知，設(shè)函數(shù)與函數(shù)的

?1

圖象交于點(diǎn)和點(diǎn)．已知點(diǎn)的橫坐標(biāo)是2，點(diǎn)的縱?坐1?標(biāo)2是≠0．?1=??2=?2??2+5

?????4

(1)求的值．

(2)過?點(diǎn)1,?作2軸的垂線，過點(diǎn)作軸的垂線，在第二象限交于點(diǎn)；過點(diǎn)作軸的垂線，過點(diǎn)作軸的垂線，

在第四象?限?交于點(diǎn)．求證：?直線?經(jīng)過原點(diǎn)．?????

2．（2023·浙江溫州?·中考真題）如圖??，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)A的直線交y

5

軸于點(diǎn)．?2,??=2??2

?0,3

(1)求m的值和直線的函數(shù)表達(dá)式．

3．（2023·遼寧大連·?中?考真題）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與直線相交于點(diǎn)A．

為線段上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），過點(diǎn)P作軸交??直?線于點(diǎn)?D=，?與??的重疊面?積?,0為

S，S關(guān)?于?t的函數(shù)圖象如圖2所示．??⊥???△???△???

14

(1)的長為___________；的面積為___________；

(2)?求?S關(guān)于t的函數(shù)解析式，△并?直??接寫出自變量t的取值范圍．

4．（2023·四川資陽·中考真題）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)

的圖象交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．直線經(jīng)過點(diǎn)與軸交于點(diǎn)，連結(jié)4．

?=??+?(?≠0)?=??

?(?2,?)????=4?????

(1)求k、b的值；

(2)求的面積；

(3)直△接寫??出?一個(gè)一次函數(shù)的表達(dá)式，使它的圖象經(jīng)過點(diǎn)C且y隨x的增大而增大．

5．（2024·山東淄博·中考真題）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于，

?2

兩點(diǎn)，與，軸分別相交于點(diǎn)，．且?=?1?+．2?=???,4

?????tan∠???=2

(1)分別求這兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式；

(2)以點(diǎn)為圓心，線段的長為半徑作弧與軸正半軸相交于點(diǎn)，連接，．求的面積；

?????????△???

15

(3)根據(jù)函數(shù)的圖象直接寫出關(guān)于的不等式的解集．

?2

1

6．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如?圖，在平面?直?+角2坐>標(biāo)?系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，二次函數(shù)

42

的圖像與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），頂點(diǎn)為C．?=?9(??1)+4

(1)求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)一個(gè)二次函數(shù)的圖像經(jīng)過B、C、三點(diǎn)，其中，該函數(shù)圖像與x軸交于另一點(diǎn)D，點(diǎn)D在線

段上（與點(diǎn)O、B不重合）．?(?,4)?≠1

①?若?D點(diǎn)的坐標(biāo)為，則_________；

②求t的取值范圍：(3,0)?=

③求的最大值．

7．（2?02?4·?云??南·中考真題）已知拋物線的對(duì)稱軸是直線．設(shè)是拋物線

232

與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，記．?=?+???1?=2??=?+???1

5

??33

(1)?求的值；?=109

(2)比?較與的大?。?/p>

13

8．（202?3·北京2·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，，是拋物線

2

上任意兩點(diǎn)，設(shè)拋物線的對(duì)稱軸為．?????1,?1??2,?2?=??+??+??>0

(1)若對(duì)于，有?，=求?的值；

(2)若對(duì)于?1=1?2，=2?1=?，2都有?，求的取值范圍．

9．（2024·山0<東?威1海<·1中考1真<題?2）<已2知拋物線?1<?2?與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，

2

且．?=?+??+??<0?1,0?2,0

(1)?若1拋<物?2線與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，且．試判斷下列每

2

組數(shù)據(jù)的大小?1（=填?寫+?、?+或?+）1：?<0?3,0?4,0?3<?4

________<=；>________；________．

①(2)若?1+?2，?3+?，4求②b的?1取?值?3范圍；?2??4③?2+?3?1+?4

(3)當(dāng)?1=12<時(shí)?，2<3最大值與最小值的差為，求b的值．

29

10．（020≤23?·江≤蘇1·中考?真=題?）+已?知?二+次??函<數(shù)0（為常數(shù)16）．

2

(1)該函數(shù)圖像與軸交于、兩點(diǎn)，若點(diǎn)?坐=標(biāo)?為+???，3?

①則的值是___?______，?點(diǎn)?的坐標(biāo)是__?_______；3,0

②當(dāng)?時(shí)，借助圖像?，求自變量的取值范圍；

0<?<5?

16

(2)對(duì)于一切實(shí)數(shù)，若函數(shù)值總成立，求的取值范圍（用含的式子表示）；

(3)當(dāng)時(shí)?（其中、?為>實(shí)?數(shù)，）?，自變量的取值范?圍是，求和的值以及的取

值范圍?．<?<????<??1<?<2???

1．（2025·河南安陽·一模）如圖，正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)．

1?

?1=2??2=??>0??,2

(1)求反比例函數(shù)的解析式；

(2)將直線向上平移3個(gè)單位后，與y軸交于點(diǎn)B，與的圖象交于點(diǎn)C，求的長．

?

2．（2025·?陜?西咸陽·一模）如圖，這是一個(gè)“數(shù)值轉(zhuǎn)換機(jī)”．?2當(dāng)=輸?入?>的0值時(shí)，通過不同的取值??會(huì)得到對(duì)應(yīng)的

的值，表格中給出了幾組的值以及對(duì)應(yīng)的的值．???

??

?

…

?4

…

2

…

6

…

?

…

?3

…

17

0

…

0

…

根據(jù)以上信息，解答下列問題：

(1)當(dāng)時(shí)，求與之間的關(guān)系式．

(2)當(dāng)?<4時(shí)，求?輸?入的的值．

(3)若?輸=出?1的值為正數(shù)，則?輸入的的取值范圍是________．

3．（2025·?浙江寧波·一模）在平面直?角坐標(biāo)系中，直線交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，點(diǎn)C的

坐標(biāo)為，，?=?2?+4

10

(1)求直線的函數(shù)表達(dá)式．

(2)點(diǎn)D是?x?軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接、，當(dāng)?shù)拿娣e是面積的時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．

3

(3)點(diǎn)E坐標(biāo)為連接，??點(diǎn)P?為?直線△?上??一點(diǎn)，若△???，求2點(diǎn)P坐標(biāo)．

4．（24-25九年級(jí)0,下?·2重,慶·開?學(xué)?考試）如圖1，??在平行四邊形∠???=中4，5°，，．點(diǎn)

為邊的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿折線方向運(yùn)?動(dòng)??，?速度為∠?每??秒=23個(gè)0°單位??長=度4，到?達(dá)?=點(diǎn)6時(shí)停?

止運(yùn)動(dòng)??，連接，?．設(shè)點(diǎn)?的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為?→秒，?→記?為．?

???????△????

(1)請(qǐng)直接寫出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并注明自變量的取值范圍；

(2)在給定的平面?直角?坐標(biāo)系中，畫出這個(gè)函數(shù)的圖象?，并寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)；

(3)一次函數(shù)與的圖象有且僅有2個(gè)交點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出常數(shù)的取值范圍．

3

1

5．（2023·浙?江寧=波2?·模+擬?預(yù)?測）在直角坐標(biāo)系中，直線l與x軸、y軸分?別交于點(diǎn)A、B，與雙曲線，且

?

點(diǎn)D的坐標(biāo)為．?=?

1,6

18

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為3，求點(diǎn)C的坐標(biāo)和的值．

??

(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)C在第三象限時(shí)，過點(diǎn)C作x軸的?垂?線，垂足為，過點(diǎn)D作y軸的垂線，垂足為F，連結(jié)

，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)和