【課件】一元一次方程的應(yīng)用+課件+-2025-2026學(xué)年北師大版數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)

5.3一元一次方程的應(yīng)用第1課時(shí)如圖，用一塊橡皮泥先捏出一個(gè)“瘦高”的圓柱，然后再讓這個(gè)“瘦高”的圓柱“變矮”，變成一個(gè)“矮胖”的圓柱，請(qǐng)思考下列幾個(gè)問(wèn)題：(1)在你操作的過(guò)程中，圓柱由“高”變“矮”，圓柱的底面直徑是否變化了?還有哪些量改變了?(2)在這個(gè)變化過(guò)程中，什么量沒(méi)有變化呢?某飲料公司有一種底面直徑和高分別為6.6cm，12cm的圓柱形易拉罐飲料。經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研決定對(duì)該產(chǎn)品外包裝進(jìn)行改造，計(jì)劃將它的底面直徑減少為6cm。那么在容積不變的前提下，易拉罐的高度將變?yōu)槎嗌倮迕?(1)這個(gè)問(wèn)題中包含哪些量?它們之間有怎樣的等量關(guān)系?(1)這個(gè)問(wèn)題中包含哪些量?它們之間有怎樣的等量關(guān)系?圓柱形易拉罐的直徑、高，改造后的直徑、高，易拉罐的容積.

(2)設(shè)新包裝的高度為xcm，你能借助下面的表格梳理問(wèn)題中的信息嗎?3.3312x130.68π9πx(3)根據(jù)等量關(guān)系，你能列出怎樣的方程?列方程時(shí)，關(guān)鍵是找出問(wèn)題中的等量關(guān)系。設(shè)新包裝的高度為xcm。根據(jù)等量關(guān)系，列出方程：____________________________。解這個(gè)方程，得

x＝________。因此，易拉罐的高度變?yōu)開(kāi)______cm。

14.5214.52例1用一根長(zhǎng)為10m的鐵絲圍成一個(gè)長(zhǎng)方形。(1)如果該長(zhǎng)方形的長(zhǎng)比寬多1.4m，那么此時(shí)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬各為多少米?(2)如果該長(zhǎng)方形的長(zhǎng)比寬多0.8m，那么此時(shí)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬各為多少米?此時(shí)的長(zhǎng)方形與(1)中的長(zhǎng)方形相比，面積有什么變化?分析：本題涉及哪些量?它們之間有怎樣的等量關(guān)系?(3)如果該長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬相等，即圍成一個(gè)正方形，那么此時(shí)正方形的邊長(zhǎng)是多少米?正方形的面積與(2)中長(zhǎng)方形的面積相比又有什么變化?(1)如果該長(zhǎng)方形的長(zhǎng)比寬多1.4m，那么此時(shí)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬各為多少米?解：設(shè)此時(shí)長(zhǎng)方形的寬為xm，則它的長(zhǎng)為(x＋1.4)m。根據(jù)題意，得2(x＋1.4)＋2x＝10。解這個(gè)方程，得x＝1.8。1.8＋1.4＝3.2.此時(shí)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為3.2m，寬為1.8m。(2)如果該長(zhǎng)方形的長(zhǎng)比寬多0.8m，那么此時(shí)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬各為多少米?此時(shí)的長(zhǎng)方形與(1)中的長(zhǎng)方形相比，面積有什么變化?解：設(shè)此時(shí)長(zhǎng)方形的寬為xm，則它的長(zhǎng)為(x＋0.8)m。根據(jù)題意，得2(x＋0.8)＋2x＝10。解這個(gè)方程，得x＝2.1。2.1＋0.8＝2.9。此時(shí)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為2.9m，寬為2.4m，面積為2.9×2.1＝6.09(m2)，(1)中長(zhǎng)方形的面積為3.2×1.8＝5.76(m2)。此時(shí)長(zhǎng)方形的面積比(1)中長(zhǎng)方形的面積增大6.09－5.76＝0.33(m2)。(3)如果該長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬相等，即圍成一個(gè)正方形，那么此時(shí)正方形的邊長(zhǎng)是多少米?正方形的面積與(2)中長(zhǎng)方形的面積相比又有什么變化?解：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為xm。根據(jù)題意，得4x＝10。解這個(gè)方程，得x＝2.5。正方形的邊長(zhǎng)為2.5m，面積為2.5×2.5＝6.25(m2)，比(2)中長(zhǎng)方形的面積增大6.25－6.09＝0.16(m2)。思考·交流在上面的問(wèn)題中，所列方程的兩邊分別表示什么量?列方程的思路是什么?與同伴進(jìn)行交流。方程的左邊是長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)，右邊是鐵絲長(zhǎng)，解題思路是長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)等于鐵絲長(zhǎng).1.一個(gè)梯形的下底比上底多6cm，高是8cm，面積為88cm，求這個(gè)梯形的上底和下底的長(zhǎng)度。

利用一元一次方程解決一般幾何圖形問(wèn)題一般幾何圖形問(wèn)題的大致類(lèi)別解決方案等體積變形以體積為不變量，用不同方式表示出體積，據(jù)此等量關(guān)系列方程求解等面積變形以面積為不變量，用不同方式表示出面積，據(jù)此等量關(guān)系列方程求解等周長(zhǎng)變形以周長(zhǎng)為不變量，用不同方式表示出周長(zhǎng)，據(jù)此等量關(guān)系列方程求解第2課時(shí)古代數(shù)學(xué)問(wèn)題把一些書(shū)分給幾名學(xué)生，如果每人分3本，那么多出8本；如果每人分5本，那么還少2本.共有多少本書(shū)？

共有多少名學(xué)生？《九章算術(shù)》“盈不足”章第一題：今有共買(mǎi)物，人出八，盈三；人出七，不足四。問(wèn)：人數(shù)、物價(jià)各幾何?題目大意：幾個(gè)人合伙買(mǎi)東西，若每人出8錢(qián)，則會(huì)多出3錢(qián)；若每人出7錢(qián)，則還少4錢(qián)。合伙人數(shù)、物品的價(jià)格分別是多少?(1)問(wèn)題中有哪些已知量和未知量?它們之間有怎樣的等量關(guān)系?已知量：每人出的錢(qián)數(shù)，總錢(qián)數(shù)與物品價(jià)格的差；未知量：合伙人數(shù)、物品價(jià)格.等量關(guān)系：每人出的錢(qián)數(shù)×人數(shù)－多出的錢(qián)數(shù)

＝每人出的錢(qián)數(shù)×人數(shù)＋少出的錢(qián)數(shù)(2)設(shè)人數(shù)為x，其他未知量能用含x的代數(shù)式表示嗎?請(qǐng)完成下表。8x8x－3x7x7x＋4(3)根據(jù)等量關(guān)系，你能列出怎樣的方程?利用表格分析數(shù)量關(guān)系是一種有效方法。設(shè)人數(shù)為x。根據(jù)等量關(guān)系，列出方程：____________。解這個(gè)方程，得x＝_______。因此，人數(shù)為_(kāi)______，物價(jià)為_(kāi)________錢(qián)。8x－3＝7x＋47753如果設(shè)物價(jià)為y

錢(qián)，你能列出怎樣的方程?與同伴進(jìn)行交流。

例2《九章算術(shù)》“盈不足”章第五題：今有共買(mǎi)金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百。問(wèn)：人數(shù)、金價(jià)各幾何?題目大意：幾個(gè)人合伙買(mǎi)金，每人出400錢(qián)，會(huì)多出3400錢(qián)；每人出300錢(qián)，會(huì)多出100錢(qián)。合伙人數(shù)、金價(jià)各是多少?分析：設(shè)人數(shù)為

x你能把下表補(bǔ)充完整嗎?400x400x－3400x300x300x－100問(wèn)題中的等量關(guān)系是怎樣的？每人出的較多錢(qián)數(shù)×人數(shù)－多出的錢(qián)數(shù)＝每人出的較少錢(qián)數(shù)×人數(shù)－多出的錢(qián)數(shù).解：設(shè)合伙人數(shù)為x，則金價(jià)可表示為(400x－3400)錢(qián)，還可表示為(300x－100)錢(qián)，根據(jù)等量關(guān)系，列出方程：400x－3400＝300x－100.解這個(gè)方程，得

x＝33。300×33－100＝9800。因此，人數(shù)為33，金價(jià)為9800錢(qián)。方程的兩邊就是金價(jià)的兩種不同的表達(dá)式。思考·交流(1)對(duì)于例2，如果設(shè)金價(jià)為y錢(qián)，能列出怎樣的方程?有關(guān)量每人出400錢(qián)每人出300錢(qián)金價(jià)y出錢(qián)總數(shù)人數(shù)y＋3400

yy＋100

設(shè)金價(jià)為y錢(qián)，則人數(shù)可表示為_(kāi)_______________根據(jù)等量關(guān)系，列出方程：____________________

(2)對(duì)于例2，《九章算術(shù)》給出了一種算法：人數(shù)＝兩次剩余錢(qián)數(shù)之差÷兩次每人所出錢(qián)數(shù)之差；物價(jià)＝每人出的錢(qián)數(shù)×人數(shù)－剩余錢(qián)數(shù)。你能理解這種解法嗎?與方程的求解過(guò)程相比，有什么不同?與同伴進(jìn)行交流。第二次出錢(qián)總數(shù)－物價(jià)＝第二次剩余錢(qián)數(shù)第一次出錢(qián)總數(shù)－物價(jià)＝第一次剩余錢(qián)數(shù)

①②①和②兩邊分別相減得到兩次出錢(qián)總數(shù)之差＝兩次剩余錢(qián)數(shù)之差所以人數(shù)＝兩次剩余錢(qián)數(shù)之差÷兩次每人所出錢(qián)數(shù)之差.兩次出錢(qián)總數(shù)之差＝兩次每人所出錢(qián)數(shù)之差×人數(shù)，1.隔墻聽(tīng)得客分銀，不知人數(shù)不知銀，七兩分之多四兩，九兩分之少半斤。問(wèn)：人、銀各幾何?(選自《算法統(tǒng)宗》)題目大意：幾個(gè)人分銀子，若每人分7兩，則剩余4兩；若每人分9兩，則差8兩。有多少個(gè)人?有多少兩銀子?解：設(shè)有x

個(gè)人.由題意，得7x＋4＝9x－8.解這個(gè)方程，得x＝6.7×6＋4＝46(兩).因此，有6個(gè)人，46兩銀子.古代數(shù)學(xué)問(wèn)題數(shù)學(xué)問(wèn)題(一元一次方程)表格分析尋找等量關(guān)系第3課時(shí)小明每天早上要到距家1000m的學(xué)校上學(xué)。一天，小明以80m/min的速度出發(fā)，出發(fā)后5min，小明的爸爸發(fā)現(xiàn)小明忘了帶語(yǔ)文書(shū)。于是，爸爸立即以180m/min的速度沿同一條路去追小明，并且在途中追上了他。爸爸追上小明用了多長(zhǎng)時(shí)間?追上小明時(shí)，距離學(xué)校還有多遠(yuǎn)?(1)問(wèn)題中有哪些已知量和未知量?已知量：小明家與學(xué)校的距離、小明的速度、爸爸的速度、小明先出發(fā)的時(shí)間；未知量：爸爸追小明所用的時(shí)間、爸爸追小明期間小明所走的路程、爸爸追小明的路程.(2)想象一下追及的過(guò)程，你能用一個(gè)圖直觀表示問(wèn)題中各個(gè)量之間的關(guān)系嗎?小明先出發(fā)的路程＋爸爸追小明期間小明所走的路程＝爸爸追小明的路程小明先出發(fā)的路程爸爸追小明的路程爸爸追小明期間小明走的路程(3)你是怎樣列出方程的?與同伴進(jìn)行交流。設(shè)爸爸追上小明用了xmin。當(dāng)爸爸追上小明時(shí)，兩人所行路程相等，如圖5-3所示。根據(jù)等量關(guān)系，可列出方程：______________________________。解這個(gè)方程，得x＝___________。因此，爸爸追上小明用了_______min，此時(shí)距離學(xué)校還有__________m。根據(jù)相等量的兩種不同表達(dá)式就可以建立等量關(guān)系，列出方程了。80x＋80×5＝180x44280小明和小華兩人在400m的環(huán)形跑道上練習(xí)長(zhǎng)跑，小明每分鐘跑260m，小華每分鐘跑300m，兩人起跑時(shí)站在跑道同一位置。(1)如果小明起跑后1min小華才開(kāi)始跑，那么小華用多長(zhǎng)時(shí)間能追上小明?(2)如果小明起跑后1min小華開(kāi)始反向跑，那么小華起跑后多長(zhǎng)時(shí)間兩人首次相遇?例3分析：本題涉及哪些量?你能畫(huà)圖說(shuō)明小明和小華跑步的情形嗎?在問(wèn)題(1)和(2)中，兩人所走的路程分別有什么關(guān)系?(1)如果小明起跑后1min小華才開(kāi)始跑，那么小華用多長(zhǎng)時(shí)間能追上小明?解：設(shè)小華用xmin追上小明，根據(jù)等量關(guān)系，可列出方程：260＋260x＝300x。解這個(gè)方程，得x＝6.5.因此，小華用6.5min追上小明。(2)如果小明起跑后1min小華開(kāi)始反向跑，那么小華起跑后多長(zhǎng)時(shí)間兩人首次相遇?解：設(shè)小華起跑后xmin兩人首次相遇，根據(jù)等量關(guān)系，可列出方程：260x＋300x＝400－260。解這個(gè)方程，得x＝0.25.因此，小華起跑后0.25min兩人首次相遇。思考·交流用一元一次方程解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟是什么?與同伴進(jìn)行交流。用一元一次方程解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟如圖5-4所示：回顧·反思回顧本節(jié)一元一次方程應(yīng)用的學(xué)習(xí)，對(duì)于如何尋找等量關(guān)系列方程，你積累了哪些經(jīng)驗(yàn)?1.今有木，不知長(zhǎng)短，引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺。問(wèn)：幾何?(選自《孫子算經(jīng)》)題目大意：有一根木材，不知道它的長(zhǎng)度，用一根繩子來(lái)量，繩子長(zhǎng)出4尺5寸；將這根繩子對(duì)折來(lái)量，繩子差1尺。這根木材有多長(zhǎng)?解：設(shè)這根木材的長(zhǎng)為x尺.x＋4.5＝2(x－1).解這個(gè)方程，得x＝6.5.因此，這根木材長(zhǎng)6尺5寸.閱讀·思考有人曾經(jīng)做過(guò)一個(gè)很有趣的實(shí)驗(yàn)：100名飛行員在草坪上整齊地排列，把他們的眼睛都蒙起來(lái)，然后叫他們一直向前走。起初，他們走得還比較直；接著一些人漸漸向右偏轉(zhuǎn)，另一些人向左偏轉(zhuǎn)，逐漸轉(zhuǎn)起圈來(lái)，最后他們又踏上了自己已走過(guò)的路徑。實(shí)際上，很久以前人們就已經(jīng)注意到：在荒漠中沒(méi)有攜帶指南針的旅行家，也不太能走成直線方向，而是繞著圓圈打轉(zhuǎn)，接連多次回到他的出發(fā)點(diǎn)。“瞎轉(zhuǎn)圈”的道理上面的現(xiàn)象看起來(lái)仿佛有點(diǎn)神秘，其實(shí)道理并不復(fù)雜。人走路的時(shí)候，只有兩腿肌肉工作得完全相同，他才可以不需要用眼睛就能走成直線。但實(shí)際上絕大多數(shù)人的雙腿肌肉發(fā)育得并不相同。舉例來(lái)說(shuō)，一位步行者左腿比右腿邁的步子大，除非用眼睛來(lái)幫助修正走路的方向，否則他就要向右邊斜過(guò)去，直至走成兩個(gè)同心圓(如圖5-5)。

解決行程問(wèn)題的基本步驟問(wèn)題的已知條件畫(huà)出線段圖找出等量關(guān)系列方程并求解回答同向追及問(wèn)題同地不同時(shí)：甲路程＝乙路程同時(shí)不同地：甲路程＋路程差＝乙路程相向相遇問(wèn)題甲路程＋乙路程＝總路程習(xí)題5.3〉〉數(shù)學(xué)理解1.兩個(gè)圓柱體容器如圖所示，它們的底面直徑分別為4cm和8cm，高分別為39cm和10cm。先在右側(cè)容器中倒?jié)M水，然后將其倒入左側(cè)容器中。倒完以后，左側(cè)容器中的水面離容器口有多少厘米?小剛是這樣做的：設(shè)倒完以后，左側(cè)容器中的水面離容器口有xcm。列方程π×22×(39－x)＝π×42×10。解得x＝－1。請(qǐng)你對(duì)他的結(jié)果作出合理的解釋。解：說(shuō)明左側(cè)容器的容積小于右側(cè)容器的容積，即π×22×39＜π×42×10，將右側(cè)容器中倒?jié)M水，往左側(cè)容器中倒時(shí)，將會(huì)有水溢出.(答案不唯一)2.試聯(lián)系生活實(shí)際編寫(xiě)一道可以用一元一次方程解決的應(yīng)用問(wèn)題。略〉〉問(wèn)題解決3.現(xiàn)有兩塊試驗(yàn)田，第一塊試驗(yàn)田的面積比第二塊試驗(yàn)田面積的3倍還多100m2，這兩塊試驗(yàn)田的面積共2900m2，兩塊試驗(yàn)田的面積分別是多少?解：設(shè)第二塊試驗(yàn)田的面積為xm2，則第一塊試驗(yàn)田的面積為(3x＋100)m2.由題意，得x＋3x＋100＝2900.解這個(gè)方程，得x＝700.則3×700＋100＝2200(m2).因此，第一塊試驗(yàn)田的面積為2200m2，第二塊試驗(yàn)田的面積為700m2.4.如圖，小強(qiáng)將一個(gè)正方形紙片剪去一個(gè)寬為4cm的長(zhǎng)條后，再?gòu)氖Ｏ碌拈L(zhǎng)方形紙片上剪去一個(gè)寬為5cm的長(zhǎng)條。如果兩次剪下的長(zhǎng)條面積正好相等，那么每一個(gè)長(zhǎng)條的面積為多少?解：設(shè)正方形紙片的邊長(zhǎng)為xcm.由題意，得4x＝5(x－4).解這個(gè)方程得x＝20.4×20＝80(cm2).因此，每一個(gè)長(zhǎng)條的面積為80cm2.5.如圖，某種卷筒紙的外直徑為14cm，內(nèi)直徑為6cm，每層紙的厚度為0.02cm。假如把這筒紙全部拉開(kāi)那么這筒紙的總長(zhǎng)度大約是多少米(π取3.14)?

6.某物流中轉(zhuǎn)站為提高工作效率，配置了快遞自動(dòng)化智能分揀設(shè)備，現(xiàn)對(duì)一批中轉(zhuǎn)貨物進(jìn)行分揀。若每