2021學年上海實驗學校高一(下)期中數(shù)學試題及答案VIP

2020-2021學年上海市實驗學校高一（下）期中數(shù)學試卷一、填空題（本大題滿分40分，共有10題，只要求直接填寫結(jié)果，每題填對得4分，否則一律得零分）14分）終邊在x軸上的角的全體用集合表示是24分）若扇形的弧長和半徑都為2，則此扇形的面積為34分）已知角的終邊位于函數(shù)y＝﹣3x的圖象上，則cos2的值為44可以寫成2sin（x）的形式，其中0≤＜π，則＝．．．．54分）在△中，已知＝4b5，＝6，則角A的正弦值為64分）已知tanθ＝sin2θ+secθ的值為．．74yAωxφ＞0ω0φ≤π2842．既存在最大值Mm+m的94△＝90AC6BC8D為E在上，分別連接BDAE，交點為F，若∠BFE＝°，則CE＝．．4分）若∈[π，]，則函數(shù)的值域為．二、選擇題（本大題滿分16分，共有4題，每題都給出四個結(jié)論，其中有且只有一個結(jié)論是正確的，必須把正確結(jié)論的代號寫在題后的圓括號內(nèi)，選對得44分）如果，那么sin﹣sinβ的值恒等于（）A．B．C．D．4分）sin2x2sinx的一個充要條件是（）Asinx0Bcosx0Csinx1Dcos＝14分）函數(shù)ysin|x（）第1頁（共15頁）A．是奇函數(shù)，也是周期函數(shù)．是奇函數(shù)，不是周期函數(shù)．是偶函數(shù)，也是周期函數(shù)D．是偶函數(shù)，不是周期函數(shù)4x（ωφω＞0，π]上有且僅有4個零點，則下列的值中滿足條件的是（（[0，）A．B．C．D．三、解答題（本大題滿分44分，共有4題，解答下列各題必須寫出必要的步驟）1510分）已知角的頂點與原點O重合，始邊與x軸的非負半軸重合，它的終邊過點P求sinα的值；若角βsin+10分）求函數(shù)cos的值．的定義域、值域及單調(diào)增區(qū)間．12分）某體育館擬用運動場的邊角地建一個矩形的健身室，如圖所示，是一塊邊長為100m的正方形地皮，扇形是運動場的一部分，其半徑是80m．矩形AGHM就是擬建的健身室，其中G、M分別在和上，H在上．設(shè)矩形的面積為S，∠HCFθ，1S表示為的函數(shù)；2）求健身室面積的最大值，并指出此時的點H在的何處？22212分）在△中，acb+．1）求角B的大小；第2頁（共15頁）2A+cosC的最大值；3＝4，求△面積的最大值與周長的范圍．四、附加題10分）設(shè)x≥≥z≥10ax和任意θ∈[0，]x+3+2sinθcos）+yz＝，求乘積xsinycosz的最大值和最小值．2θθ2xasincos）≥．第3頁（共15頁）2020-2021學年上海市實驗學校高一（下）期中數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、填空題（本大題滿分40分，共有10題，只要求直接填寫結(jié)果，每題填對得4分，否則一律得零分）14分）終邊在x軸上的角的全體用集合表示是{θ|θkπkZ}．【分析】分別寫出終邊落在x軸正半軸、負半軸上的角的集合，然后得到終邊在x軸上的角的集合表示．【解答】解：終邊落在x軸正半軸上的角的集合為{|θ2kπkZ}，終邊落在x軸負半軸上的角的集合為{|θπ+2kπ＝（k+1）πkZ}，所以終邊在x軸上的角的全體用集合表示是{θθ＝π，kZ}．故答案為：{θθ＝π，kZ}．【點評】本題考查了軸線角的定義，側(cè)重對基礎(chǔ)知識的理解和應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．24分）若扇形的弧長和半徑都為2，則此扇形的面積為2．【分析】根據(jù)扇形的面積＝×弧長×半徑求出即可．【解答】解：∵扇形的弧長和半徑都為2，S扇形＝lr＝×222，故答案為：2．【點評】此題考查了扇形面積的計算，主要考查了扇形面積的求算方法．面積公式有兩1）利用圓心角和半徑：s＝；2）利用弧長和半徑：s＝lr．針對具體的題型選擇合適的方法．34分）已知角的終邊位于函數(shù)y＝﹣3x的圖象上，則cos2的值為﹣．【分析】設(shè)點的坐標為（，﹣3ar＝利用倍角公式即可得解．a(chǎn)|，分類討論，即可求sin，的值，【解答】解：設(shè)點的坐標為（a，﹣3r＝a，＞0sin＜0sin＝cos＝，cos2＝sin；．，α，cos2＝sin第4頁（共15頁）綜上，cos2α的值為﹣故答案為：﹣．．【點評】本題考查任意角的三角函數(shù)的定義，考查學生的計算能力，考查分類討論的數(shù)學思想，正確運用定義是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．44分）可以寫成x0φ2π＝．【分析】利用三角函數(shù)的輔助角公式進行化簡求解即可．【解答】解：sinx﹣cos＝2（sin﹣0φ2，∴cos＝，sinx，＝，故答案為：【點評】是基礎(chǔ)題．54分）在△中，已知＝4b5，＝6，則角A的正弦值為．【分析】由已知利用余弦定理求得cos，再由同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求sin．【解答】解：在△中，由a4b＝，c6，得cos＝sinA＝，．故答案為：．【點評】本題考查三角形的解法，考查余弦定理及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．64分）已知tanθ＝sin2θ+secθ的值為．【分析】由已知利用二倍角公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可求解．【解答】解：因為tanθ2，sin2θ＝，并且secθ1+tanθ＝1+45，sin2θ+secθ＝．第5頁（共15頁）故答案為：．【點評】本題主要考查了二倍角公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．74yAωxφ＞0ω0φ≤π22y2sin2x+）．由函數(shù)的最值求出Aω，由特殊點的坐標求出解析式．【解答】解：由題意可得＝，?＝﹣，求得ω＝．再根據(jù)2sin2?因為|π，+2得2?φ2k+kZ：2kπ+kZ，可得＝∴函數(shù)的解析式為：y2sin（2+故答案為：y2sin（2+，【點評】本題主要考查由函數(shù)y＝sin（ωxφ）的部分圖象求解析式，由函數(shù)的最值求出，由周期求出ω，由特殊點的坐標求出的值，屬于基礎(chǔ)題．84既存在最大值Mm+m的4．【分析】直接利用函數(shù)的關(guān)系式的變換，函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】，由于函數(shù)g（故可知（x）關(guān)于（，2）對稱，根據(jù)對稱性質(zhì)可得為奇函數(shù)，，第6頁（共15頁）即Mm＝4．故答案為：4．【點評】本題考查的知識要點：函數(shù)的關(guān)系式的變換，函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學生的運算能力和數(shù)學思維能力，屬于基礎(chǔ)題．94△＝90AC6BC8D為E在上，分別連接BDAE，交點為F，若∠BFE＝°，則CE＝．【分析】先得到+β45°，再利用兩角和的正切公式得到，最后表tan，tan代入求出即可．【解答】解：如圖，設(shè)CEx，∠CBD＝，∠CAE＝，根據(jù)題意可得∠CDB＝°﹣＝°β，整理可得α＝°，tan（+）＝1，所以在△，Rt△，將，，所以．故答案為：．【點評】本題考查解三角形的應(yīng)用，找到角之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．4分）若∈[π，]，則函數(shù)的值域為．【分析】直接利用萬能公式，不等式的性質(zhì)，基本不等式的應(yīng)用求出函數(shù)的最大值，進第7頁（共15頁）一步利用奇函數(shù)的對稱性求出函數(shù)的最小值，最后確定函數(shù)的值域．【解答】是奇函數(shù)，則求出最大值即可知最小值．令則，，當，時，＞0，，所以函數(shù)的值域為．【點評】本題考查的知識要點：萬能公式，不等式的性質(zhì)，基本不等式的應(yīng)用，主要考查學生的運算能力和數(shù)學思維能力，屬于中檔題．二、選擇題（本大題滿分16分，共有4題，每題都給出四個結(jié)論，其中有且只有一個結(jié)論是正確的，必須把正確結(jié)論的代號寫在題后的圓括號內(nèi)，選對得44分）如果，那么sin﹣sinβ的值恒等于（B．C．）A．D．【分析】由和差化積的公式，即可得解．【解答】解：sinsinβ＝2cos故選：C．sin2?cossincos．【點評】本題考查三角恒等變換公式的應(yīng)用，熟練掌握和差化積的公式是解題的關(guān)鍵，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．4分）sin2x2sinx的一個充要條件是（Asinx0Bcosx0）Csinx1Dcos＝1第8頁（共15頁）【分析】利用二倍角公式，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．【解答】解：∵sin2x2sinx，∴2sin?cosx2sinx，2sinx1﹣x）＝0，∴sinx0或cos＝1，當cos＝1時，sin＝0，sin2x2sinx的一個充要條件為sinx0，故選：A．【點評】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，二倍角公式的應(yīng)用是解決本題的關(guān)4分）函數(shù)ysin|x（）A．是奇函數(shù)，也是周期函數(shù)．是奇函數(shù)，不是周期函數(shù)．是偶函數(shù)，也是周期函數(shù)D．是偶函數(shù)，不是周期函數(shù)【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性與周期性進行判斷即可．【解答】解：＝sin||是偶函數(shù)，圖象不具備周期性．故選：D．【點評】本題主要考查函數(shù)的奇偶性與周期性的判斷，是基礎(chǔ)題．4x（ωφω＞0，（[0，π]上有且僅有4個零點，則下列的值中滿足條件的是（A．B．C．）D．【分析】利用換元思想轉(zhuǎn)化為y＝sint在[2πω+]上有44π≤πωφ5，進而根據(jù)的取值范圍得到的取值范圍即可．ωx+φ≤πωy＝sint在[πωφ]4個零點，4π2πω＜5，所以2﹣ω＜﹣，又，所以2﹣≤ω＜﹣≤＜，滿足的只有A，故選：A．【點評】本題考查函數(shù)零點與三角函數(shù)之間的關(guān)系，涉及換元思想，屬于中檔題．三、解答題（本大題滿分44分，共有4題，解答下列各題必須寫出必要的步驟）第9頁（共15頁）1510分）已知角的頂點與原點O重合，始邊與x軸的非負半軸重合，它的終邊過點P求sinα的值；若角βsin+cos的值．【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義進行求解即可．利用兩角和差的三角公式進行轉(zhuǎn)化求解即可．【解答】解：由角的終邊過點sinα，由角的終邊過點cos由sinαβ得cosαβ）＝±β＝（β）﹣得cosβcos+）cos+sin（）sinα，cos或cos＝，．．【點評】本題主要考查三角函數(shù)值的計算，利用三角函數(shù)的定義以及兩角和差的三角公式進行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．10分）求函數(shù)的定義域、值域及單調(diào)增區(qū)間．【分析】根據(jù)函數(shù)成立的條件，以及輔助角公式進行化簡，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)進行求解即可．【解答】解：由得，得∈．即函數(shù)的定義域為已知函數(shù)可化為y＝sinx﹣cosx＝．sin（x﹣），∈．此時，，．．所以函數(shù)的值域為．第10頁（共15頁）由2π﹣x∈≤﹣≤kπ+，kZkπ﹣≤x2kπ+kZ，．2k+≤≤2π+kZ，單調(diào)增區(qū)間為：．【點評】本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用輔助角公式進行化簡是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題．12分）某體育館擬用運動場的邊角地建一個矩形的健身室，如圖所示，是一塊邊長為100m的正方形地皮，扇形是運動場的一部分，其半徑是80m．矩形AGHM就是擬建的健身室，其中G、M分別在和上，H在上．設(shè)矩形的面積為S，∠HCFθ，1S表示為的函數(shù)；2）求健身室面積的最大值，并指出此時的點H在的何處？【分析】1）延長GH交于，求出HGHM，然后求解面積的表達式即可．（2）設(shè)，則，化簡函數(shù)的解析式，通過二次函數(shù)的性質(zhì)，求解最值即可．【解答】1）延長GH交于，∵HPCD，∴HP80sinθCP80cosθ，HG＝100﹣80sinθ，HM100﹣80cosθ，整理得：2，第11頁（共15頁）∴當＝1時，S2000，此時，，∴，H在的端點E或F處時，健身室面積最大，最大面積為2000平方米．【點評】本題考查函數(shù)的實際應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力，是中檔題．22212分）在△中，acb+．1）求角B的大小；2A+cosC的最大值；3＝4，求△面積的最大值與周長的范圍．【分析】1）由已知利用余弦定理求解角B的大小；2）由（1）可得AC＝cos+cosC化為含有角A的三角函數(shù)求最值；2223a+c＝b+ac及b4ac面積的最大值，再由已知利用基本不等式求+c的范圍，結(jié)合三角形兩邊之和大于第三邊可求周長的范圍．【解答】1）由余弦定理及題設(shè)得，cos＝＝＝，又＜＜π，∴＝；2）由（1+＝cos+cosC＝cos+cos（cos﹣cosA+sinA第12頁（共15頁）＝cosA+0A＜3）由題意知，sin＝（﹣，∴當＝cos+cosC取得最大值1；22ac﹣ac16，由基本不等式得16≥（﹣ac．a(chǎn)c≤＝82+a＝＝2時取等號．S△＝acsin≤×（2+）×a＝＝2時，△的最大值為4（+1ac﹣＝，得（c）﹣（2+）ac16．4（+122由均值不等式∴≥知≤a+），當且僅當＝c時取等號，≤ac），∴（+）≤（2+則+≤4，當且僅當a＝＝2時，取等號．又acb＝，∴ab+＞2，8abc≤4（+18，4+4]．訓練了利用基本不等式求最值，是中檔題．四、附加題10分）設(shè)x≥≥z≥由xyzx+yz＝+yz＝，求乘積xsinycosz的最大值和最小值．xx表示出yzcosxsiny﹣z0，及余弦函數(shù)為減函數(shù)，利用特殊角的三角函數(shù)值化簡，求出所求式子的最小值；同理將所求式子前兩項結(jié)合，利用積化和差公式化簡，再利用誘導(dǎo)公式變形，根據(jù)sinx﹣）0cosz0，及余弦函數(shù)為減函數(shù)，即可求出所求式子的最大值．【解答】解：∵xy≥z≥x++z＝，∴≤x≤﹣×＝，+z＝x，第13頁（共15頁）∵≤x≤，yz，xsinyz）≥，xsincoszx×[sinyz）+sin（yz]x×[cosx+sin（﹣z）]＝cosx+xsin（yz）≥cosx＝2＝，當yz＝，＝時，cossinyz取得最