【數(shù)學(xué) 北京版】2025年普通高等學(xué)校招生選擇性考試（原卷版）

第頁2025年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（北京卷）數(shù)學(xué)本試卷共12頁，150分.考試時長120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.第一部分（選擇題

共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1.已知集合，則（）A. B. C. D.2.已知復(fù)數(shù)z滿足，則（）A. B. C.4 D.83.雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.4.為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的（）A.橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉肀叮v坐標(biāo)不變） B.橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標(biāo)不變）C.縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮M坐標(biāo)不變） D.縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（橫坐標(biāo)不變）5.已知是公差不為零的等差數(shù)列，，若成等比數(shù)列，則（）A. B. C.16 D.186.已知，則（）A. B.C. D.7.已知函數(shù)的定義域?yàn)镈，則“的值域?yàn)椤笔恰皩θ我?，存在，使得”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件8.設(shè)函數(shù)，若恒成立，且在上存在零點(diǎn)，則的最小值為（）A8 B.6 C.4 D.39.一定條件下，某人工智能大語言模型訓(xùn)練N個單位數(shù)據(jù)量所需要的時間（單位：h），其中k為常數(shù)．在此條件下，已知訓(xùn)練數(shù)據(jù)量N從個單位增加到個單位時，訓(xùn)練時間增加20h；當(dāng)訓(xùn)練數(shù)據(jù)量N從個單位增加到個單位時，訓(xùn)練時間增加（）A.2h B.4h C.20h D.40h10.在平面直角坐標(biāo)系中，，.設(shè)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.第二部分（非選擇題

共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.已知拋物線的頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為3，則________．12.已知，則________；________．13.已知，且，.寫出滿足條件的一組的值________，_________．14.某科技興趣小組用3D打印機(jī)制作的一個零件可以抽象為如圖所示的多面體，其中ABCDEF是一個平面多邊形，平面平面ABC，平面平面ABC，，.若，則該多面體的體積為________．15.關(guān)于定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，給出下列四個結(jié)論：①存在在上單調(diào)遞增的函數(shù)使得恒成立；②存在在上單調(diào)遞減的函數(shù)使得恒成立；③使得恒成立的函數(shù)存在且有無窮多個；④使得恒成立的函數(shù)存在且有無窮多個．其中正確結(jié)論序號是________．三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.在中，．（1）求c的值；（2）再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使得存在，求BC邊上的高．條件①：；條件②：；條件③：的面積為．17.如圖，在四棱錐中，與均為等腰直角三角形，，E為BC的中點(diǎn)．（1）若分別為的中點(diǎn)，求證：平面PAB；（2）若平面ABCD，，求直線AB與平面PCD所成角的正弦值．18.某次考試中，只有一道單項(xiàng)選擇題考查了某個知識點(diǎn)，甲、乙兩校的高一年級學(xué)生都參加了這次考試.為了解學(xué)生對該知識點(diǎn)的掌握情況，隨機(jī)抽查了甲、乙兩校高一年級各100名學(xué)生該題的答題數(shù)據(jù)，其中甲校學(xué)生選擇正確的人數(shù)為80，乙校學(xué)生選擇正確的人數(shù)為75.假設(shè)學(xué)生之間答題相互獨(dú)立，用頻率估計概率.（1）估計甲校高一年級學(xué)生該題選擇正確的概率（2）從甲、乙兩校高一年級學(xué)生中各隨機(jī)抽取1名，設(shè)X為這2名學(xué)生中該題選擇正確的人數(shù)，估計的概率及X的數(shù)學(xué)期望；（3）假設(shè)：如果沒有掌握該知識點(diǎn)，學(xué)生就從題目給出的四個選項(xiàng)中隨機(jī)選擇一個作為答案；如果掌握該知識點(diǎn)，甲校學(xué)生選擇正確的概率為，乙校學(xué)生選擇正確的概率為.設(shè)甲、乙兩校高一年級學(xué)生掌握該知識點(diǎn)的概率估計值分別為，，判斷與的大?。ńY(jié)論不要求證明）.19.已知橢圓的離心率為，橢圓E上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為4.（1）求橢圓E的方程；（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓E上，直線與直線，分別交于點(diǎn)A，B．設(shè)與的面積分別為，比較與的大?。?0.已知函數(shù)的定義域是，導(dǎo)函數(shù)，設(shè)是曲線在點(diǎn)處的切線．（1）求最大值；（2）當(dāng)時，證明：除切點(diǎn)A外，曲線在直線的上方；（3）設(shè)過點(diǎn)A的直線與直線垂直，，與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是，，若，求的取值范圍．21.已知集合，從M中選取n個不同的元素組成一個序列：，其中稱為該序列的第i項(xiàng)，若該序列的相鄰項(xiàng)滿足：或，則稱該序列