第13講 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（思維導(dǎo)圖+4知識點+4考點+過關(guān)檢測）（解析版）-2025新高二數(shù)學(xué)暑假提升講義（精講精練）

第13講圓的標(biāo)準(zhǔn)方程模塊一思維導(dǎo)圖串知識模塊二基礎(chǔ)知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測1．會用定義推導(dǎo)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征；2．能根據(jù)所給條件求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；3．掌握點與圓的位置關(guān)系并能解決相關(guān)問題.知識點1圓的定義平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的集合叫做圓．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙的圓心的坐標(biāo)為，半徑為，為圓上任意一點，⊙就是集合．定義中，定點指的是圓心，定長指的是圓的半徑．知識點2圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：我們把稱為圓心為，半徑長為的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【注意】（1）所謂標(biāo)準(zhǔn)方程，是指方程的形式．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程體現(xiàn)了圓的集合性質(zhì)，突出了圓的幾何意義：圓心位置和半徑．（2）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的右端，當(dāng)方程右端小于或等于0時，對應(yīng)方程不是圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．2、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程（1）建系設(shè)點：建立坐標(biāo)系時，原點在圓心是特殊情況，就一般情況來說，因為是定點，設(shè)，半徑為，且設(shè)圓上任意一點的坐標(biāo)為．（2）寫點集：根據(jù)定義，圓就是集合．（3）列方程：由兩點間的距離公式得．（4）化簡方程：將上式兩邊平方得．3、幾種特殊位置的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程條件方程的標(biāo)準(zhǔn)形式圓心在原點圓過原點圓心在軸圓心在軸圓心在軸上且過原點圓心在軸上且過原點圓與軸相切圓與軸相切圓與兩坐標(biāo)軸都相切知識點3點與圓的位置關(guān)系1、幾何法：點，圓心，圓的半徑，設(shè)與點間的距離，點在圓外；點在圓內(nèi)；點在圓上．2、代數(shù)法：將點直接代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行判斷，即若點在圓外，則；若點在圓內(nèi)，則；若點在圓上，則．知識點4圓上的點到定點的最大、最小距離設(shè)圓心到定點的距離為，圓的半徑為，圓上的動點為點．（1）若點在圓外時，，；（2）若點在圓上時，，；（2）若點在圓內(nèi)時，，．綜上：，．考點一：求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例1．（23-24高二上·安徽馬鞍山·月考）已知圓的圓心在，半徑為5，則它的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因為圓心為，半徑為5，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故選：C【變式1-1】（23-24高二上·山西太原·期末）已知圓的一條直徑的兩個端點坐標(biāo)分別為，，則圓的方程是.【答案】【解析】根據(jù)題意，，即圓心坐標(biāo)為；則圓的半徑，故所求圓的方程為：.故答案為：.【變式1-2】（22-23高二上·廣東東莞·期中）求經(jīng)過點且圓心在直線上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【答案】【解析】若經(jīng)過點，，則圓心在直線上，又在直線l：上，令，則，故圓心坐標(biāo)為，半徑為，故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：.【變式1-3】（23-24高二下·云南玉溪·期中）過三點的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.【答案】【解析】設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，得，得，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.故答案為：考點二：點與圓的位置關(guān)系例2.（23-24高二上·安徽亳州·月考）（多選）已知，兩點，以線段為直徑的圓為圓P，則（

）A．在圓P上 B．在圓P內(nèi)C．在圓P內(nèi) D．在圓P外【答案】AC【解析】以線段為直徑的圓的圓心坐標(biāo)為，半徑，易知，，，，所以點在圓P上，點N在圓P外，點Q在圓P內(nèi)．故選：AC．【變式2-1】（23-24高二上·江蘇·專題練習(xí)）已知點，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則點P（

）A．在圓內(nèi) B．在圓上 C．在圓外 D．與a的取值有關(guān)【答案】C【解析】∵，∴點P在圓外.故選：C．【變式2-2】（23-24高二上·重慶·期中）若點在圓外，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可知：圓的圓心，半徑，若點在圓外，則，解得或，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：C.【變式2-3】（23-24高二上·廣西·期末）已知兩直線與的交點在圓的內(nèi)部，則實數(shù)k的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，得，則兩直線與的交點為，依題意得，解得.故選：B.考點三：與圓有關(guān)的最值問題例3.（23-24高二上·湖北·期中）已知半徑為2的圓經(jīng)過點，則其圓心到原點的距離的最大值為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】D【解析】設(shè)圓心到原點的距離為，則，故選：D【變式3-1】（23-24高二上·浙江湖州·月考）若實數(shù)滿足，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為表示圓心為，半徑為的圓，則表示圓上的點到點的距離的平方，所以的最大值為.故選：D【變式3-2】（23-24高二上·上?！て谀┮阎獮閳A上一點，為圓上一點，則點到點的距離的最大值為.【答案】【解析】圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，所以，當(dāng)且僅當(dāng)共線，且在中間時取等號，所以點到點的距離的最大值為.【變式3-3】（23-24高二上·天津武清·月考）已知圓:，點，.設(shè)是圓上的動點，令，則的最小值為．【答案】【解析】由已知，，設(shè)，，，所以，因為，所以當(dāng)取得最小值時，取得最小值，由的最小值為，所以的最小值為.故答案為：.考點四：與圓有關(guān)的對稱問題例4.（23-24高二上·河南周口·期末）若曲線上相異兩點P、Q關(guān)于直線對稱，則k的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】若曲線上相異兩點P、Q關(guān)于直線對稱，則圓心在直線上，故代入解得，故選：D．【變式4-1】（23-24高二上·云南昆明·月考）已知圓關(guān)于直線（，）對稱，則的最小值為（

）A． B．9 C．4 D．8【答案】B【解析】圓的圓心為，依題意，點在直線上，因此，即，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取“=”，所以的最小值為9.故選：B.【變式4-2】（23-24高二上·河北·期中）已知圓：與圓：關(guān)于直線對稱，則的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意得，，則的中點的坐標(biāo)為，直線的斜率.由圓與圓關(guān)于對稱，得的斜率.因為的中點在上，所以，即.故選：C.【變式4-3】（23-24高二上·四川成都·期末）圓關(guān)于直線對稱后的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因為圓，所以圓的圓心為，半徑為，設(shè)點關(guān)于直線對稱的點為，所以，解得：，所以所求圓的圓心為，半徑為,故所求圓的方程為：.故選：A.一、單選題1．（23-24高二上·廣東湛江·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，圓心為，半徑為2的圓的方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意可得方程為.故選：C.2．（23-24高二上·河南開封·期末）已知圓經(jīng)過點，且圓心在直線上，則圓的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由圓經(jīng)過點和，可知圓心在直線上，又圓心在直線上，所以的坐標(biāo)為，半徑，所以圓的面積為．故選：D．3．（23-24高二上·安徽黃山·期末）圓與圓N關(guān)于直線對稱，則圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】圓的圓心為，半徑為，關(guān)于直線的對稱點是，所以圓的圓心是，半徑是，所以圓的方程為.故選：D4．（23-24高二上·廣東惠州·期中）點與圓的位置關(guān)系為（

）A．點在圓外 B．點在圓內(nèi) C．點在圓上 D．與m的值無關(guān)【答案】A【解析】，在圓外，故選：A.5．（2023高二上·全國·專題練習(xí)）點在圓的內(nèi)部，則a的取值范圍是（

）A． B．C．或 D．

【答案】A【解析】點在圓的內(nèi)部，所以，化簡得，解得，故選:A6．（23-24高二上·浙江溫州·期中）已知半徑為2的圓經(jīng)過點，則其圓心到原點的距離最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】由題意知半徑為2的圓經(jīng)過點，設(shè)該圓圓心為P，故該圓的圓心的軌跡為以為圓心，2為半徑的圓，當(dāng)坐標(biāo)原點、圓心P以及點三點共線且圓心P在坐標(biāo)原點和之間時，圓心到原點的距離最小，最小值為，故選：C二、多選題7．（23-24高二上·四川宜賓·期末）已知圓經(jīng)過點、，為直角三角形，則圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】設(shè)圓心，由題意可知，，即，解得，因為為直角三角形，則為直角三角形，則，即，解得，則圓的半徑為，圓心為，因此，圓的方程為或，故選：BC.8．（23-24高二上·重慶九龍坡·月考）若有一組圓：，下列命題正確的是（

）A．所有圓的半徑均為2B．所有的圓的圓心恒在直線上C．當(dāng)時，點在圓上D．經(jīng)過點的圓有且只有一個【答案】AB【解析】選項A:，，故選項正確；選項B:根據(jù)可得，圓心為，在，故選項正確；選項C:當(dāng)時，，代入不滿足方程，故選項錯誤；選項D:代入得：即有兩個解，故選項錯誤；故選：AB.三、填空題9．（23-24高二上·貴州畢節(jié)·期末）與圓有相同圓心，且過點的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.【答案】【解析】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則圓心，因為圓過點半徑，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：.10．（22-23高二下·四川涼山·月考）若圓和圓關(guān)于直線對稱，則直線的方程是【答案】【解析】圓的圓心為，圓的圓心為，則線段的中點為，因為圓和圓關(guān)于直線對稱，所以，所以直線的方程是，即，故答案為：11．（23-24高二上·全國·專題練習(xí)）已知滿足，則的取值范圍是.【答案】【解析】表示圓上的動點與原點的距離的平方，因為圓的圓心，半徑，則，因為，所以，則，即，所以的取值范圍為.故答案為：.四、解答題12．（23-24高二上·福建福州·期末）已知關(guān)于直線對稱，點，都在上.(1)求線段垂直平分線的方程；(2)求的標(biāo)準(zhǔn)方程【答案】(1)；(2)【解析】（1）因為點，，所以線段的中點為因為直線的斜率為，所以垂直平分線的斜率不存在.所以垂直平分線的方程為；（2）解法一：因為關(guān)于直線對稱，則可設(shè)的方程為，又因為點，在上，所以，解得，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為.解法二：因為直線與直線的交點為圓心，由，解得