1.3全稱量詞與存在量詞說(shuō)課稿

§3全稱量詞與存在量詞

3.1全稱量詞與全稱命題3.2存在量詞與特稱命題3.3全稱命題與特稱命題的否認(rèn)1.理解全稱命題和特稱命題．2.能鑒定全稱命題和特稱命題的真假．3.理解全稱命題、特稱命題的否認(rèn)之間的關(guān)系．4.能對(duì)的地對(duì)含有一種量詞的命題進(jìn)行否認(rèn).1.對(duì)全稱命題和特稱命題的理解．(重點(diǎn))2.對(duì)不含量詞的全稱命題和特稱命題真假的判斷．(易混點(diǎn))3.對(duì)全稱命題和特稱命題的否認(rèn)的理解．(重點(diǎn))4.寫(xiě)出全稱命題和特稱命題的否認(rèn)．(易混點(diǎn))[提示]充足2．命題有四種形式，否命題相對(duì)于原命題來(lái)說(shuō)否認(rèn)的什么？[提示]既否認(rèn)條件又否認(rèn)結(jié)論．全稱命題與特稱命題全稱命題特稱命題量詞在一些命題的條件中，“所有”“每一個(gè)”“任何一個(gè)”“任意一個(gè)”“一切”等都是在指定范圍內(nèi)，表示

的含義，這樣的詞叫作全稱量詞在一些命題中，“有些”“至少有一個(gè)”“有一個(gè)”“存在”等都有表示

的含義，這樣的詞叫作存在量詞命題含有全稱量詞的命題含有存在量詞的命題形式對(duì)M中任意一個(gè)x，有p(x)成立，可簡(jiǎn)記為任意的x∈M，p(x)存在x0∈M，p(x0)，即在M中存在一個(gè)元素x0，使p(x0)成立．否定存在x0∈M，p(x0)不成立．

的否定是

.任意的x∈M，非p(x)．

的否定是

.整體或全部個(gè)別或一部分全稱命題特稱命題特稱命題全稱命題1．下列命題中是全稱命題并且是真命題的是()A．每個(gè)二次函數(shù)的圖象都開(kāi)口向上B．對(duì)任意非正數(shù)c，若a≤b＋c，則a≤bC．存在一條直線與兩個(gè)相交平面都垂直D．存在一種實(shí)數(shù)x0使不等式x02－3x0＋6<0成立答案：B2．命題“有的函數(shù)沒(méi)有解析式”的否認(rèn)是()A．有的函數(shù)有解析式B．任何函數(shù)都沒(méi)有解析式C．任何函數(shù)都有解析式D．多數(shù)函數(shù)有解析式解析：原命題是特稱命題，它的否認(rèn)應(yīng)是全稱命題．答案：C3．下列語(yǔ)句：①有一種實(shí)數(shù)a不能取對(duì)數(shù)；②全部不等式的解集A，都有A?R；③有的向量方向不定；④自然數(shù)的平方是正數(shù)．其中全稱命題有________(填序號(hào))，特稱命題有__________(填序號(hào))．解析：由于①③含有存在量詞，因此①③為特稱命題；由于“自然數(shù)的平方是正數(shù)”的實(shí)質(zhì)是“任意一種自然數(shù)的平方都是正數(shù)”．②含有全稱量詞，故②④均為全稱命題．答案：②④①③4．指出下列命題中，哪些是全稱命題，哪些是特稱命題，并判斷真假：(1)當(dāng)a＞1時(shí)，則對(duì)任意x，曲線y＝ax與曲線y＝logax有交點(diǎn)．(2)被5整除的整數(shù)的末位數(shù)字都是0.(3)有的四邊形沒(méi)有外接圓．解析：(1)、(2)是全稱命題，(3)是特稱命題，對(duì)(1)當(dāng)a＞1時(shí)，y＝ax與y＝logax都是增函數(shù)且兩函數(shù)是互為反函數(shù)；圖象有關(guān)直線y＝x對(duì)稱故沒(méi)有交點(diǎn)．因此(1)是假命題．對(duì)于(2)∵末位數(shù)字是5的整數(shù)也能被5整除．∴(2)是假命題．對(duì)于(3)∵只有對(duì)角互補(bǔ)的四邊形才有外接圓，∴(3)是真命題.判斷下列語(yǔ)句是全稱命題，還是特稱命題．(1)凸多邊形的外角和等于360°；(2)有的向量方向不定；(3)對(duì)任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1；(4)矩形的對(duì)角線不相等；(5)若一種四邊形是菱形，則這個(gè)四邊形的對(duì)角線互相垂直．首先擬定命題中含有的量詞，再判斷命題的形式．[解題過(guò)程]

序號(hào)結(jié)論理由(1)全稱命題可以改為所有的凸多邊形的外角和等于360°(2)特稱命題含有存在量詞“有的”(3)全稱命題含有全稱量詞“任意”(4)全稱命題可以改為所有矩形的對(duì)角線不相等(5)全稱命題若一個(gè)四邊形是菱形，也就是所有的菱形1.判斷下列語(yǔ)句與否是全稱命題或存在性命題：①有一種實(shí)數(shù)a，a不能取對(duì)數(shù)；②全部不等式的解集A，都有A?R；③三角函數(shù)都是周期函數(shù)嗎？④有的向量方向不擬定；⑤自然數(shù)的平方是正數(shù)．解析：∵①④含有存在量詞，∴命題①④為存在性命題；又∵“自然數(shù)的平方是正數(shù)”的實(shí)質(zhì)是“任意一種自然數(shù)的平方都是正數(shù)”，∴②⑤均含有全稱量詞，故為全稱命題．③不是命題．總而言之：①④為存在性命題，②⑤為全稱命題，③不是命題．判斷下列命題的真假：(1)p：全部的單位向量都相等；(2)p：任一等比數(shù)列{an}的公比q≠0；(3)p：存在x0∈R，x02＋2x0＋3≤0；(4)p：存在等差數(shù)列{an}，其前n項(xiàng)和Sn＝n2＋2n－1.2.判斷下列命題的真假．(1)全部的素?cái)?shù)都是奇數(shù)；(2)有一種實(shí)數(shù)，使x2＋2x＋3＝0；(3)有些整數(shù)只有兩個(gè)正因數(shù)；(4)全部奇數(shù)都能被3整除．解析：(1)2是素?cái)?shù)，但不是奇數(shù)，因此，全稱命題“全部素?cái)?shù)都是奇數(shù)”是假命題．(2)對(duì)于任意x，x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，因此，使x2＋2x＋3＝0的實(shí)數(shù)x不存在，因此特稱命題“有一種實(shí)數(shù)，使x2＋2x＋3＝0”是假命題．(3)由于存在整數(shù)3只有兩個(gè)正因數(shù)1和3，因此特稱命題“有些整數(shù)只有兩個(gè)正因數(shù)”是真命題．(4)由于存在奇數(shù)1不能被3整數(shù)，因此全稱命題“全部奇數(shù)都能被3整除”是假命題．(2011·遼寧卷)已知命題p：?n∈N,2n＞1000，則?p為()A．?n∈N,2n≤1000 B．?n∈N,2n＞1000C．?n∈N,2n≤1000 D．?n∈N,2n＜1000解析：由于特稱命題的否認(rèn)是全稱命題，因而?p為?n∈N,2n≤1000.答案：A寫(xiě)出下列命題的否認(rèn)，并判斷其真假．(1)p：任意的x∈R，都有|x|＝x；(2)p：任意的x∈R，x3>x2；(3)p：最少有一種二次函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)；(4)p：存在一種角α∈R，使得sin2α＋cos2α≠1.[解題過(guò)程](1)p是全稱命題．p的否認(rèn)是：存在x0∈R，有|x0|≠x0，如x0＝－1，|－1|＝1≠－1.因此p的否認(rèn)是真命題．(2)p是全稱命題．p的否認(rèn)是：存在x0∈R，x03≤x02，如x0＝－1時(shí)，(－1)3＝－1×(－1)2＝－1，即(－1)3≤(－1)2，因此p的否認(rèn)是真命題．(3)p是特稱命題．p的否認(rèn)是：全部二次函數(shù)都有零點(diǎn)，如二次函數(shù)y＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2>0.任意的x0∈R，y＝x02＋2x0＋3≠0.因此p是真命題，因此p的否認(rèn)是假命題．(4)p是特稱命題．p的否認(rèn)是：任意的α∈R，sin2α＋cos2α＝1，設(shè)任意角α終邊與單位圓的交點(diǎn)為P(x，y)．則sinα＝y(tǒng)，cosα＝x，顯然有sin2α＋cos2α＝y(tǒng)2＋x2＝1，因此p的否認(rèn)是真命題．3.判斷下列命題的真假，并寫(xiě)出這些命題的否認(rèn)．(1)三角形的內(nèi)角和為180°；(2)每個(gè)二次函數(shù)的圖象都開(kāi)口向下；(3)存在一種四邊形不是平行四邊形；(4)存在一種實(shí)數(shù)x0，使得3x0<0.解析：(1)全稱命題，且為真命題．否認(rèn)：三角形的內(nèi)角和不全為180°，即存在一種三角形，且它的內(nèi)角和不等于180°.(2)全稱命題，且為假命題．否認(rèn)：存在一種二次函數(shù)的圖象開(kāi)口不向下．(3)特稱命題，且為真命題．否認(rèn)：全部四邊形都是平行四邊形．(4)特稱命題，且為假命題．否認(rèn)：對(duì)于全部實(shí)數(shù)x，都滿足3x≥0.1．全稱量詞概念：短語(yǔ)“對(duì)全部的”“任意一種”在邏輯中普通叫做全稱量詞，用符號(hào)“?”表達(dá)，含有全稱量詞的命題，叫做全稱命題．注意下列幾點(diǎn)：(1)將含有變量x的語(yǔ)句用p(x)，q(x)，r(x)…表達(dá)，變量x的取值范疇用M表達(dá)，那么，全稱命題“對(duì)M中任意一種x，有p(x)成立”，可簡(jiǎn)記為?x∈M，p(x)；(2)全稱命題就是陳說(shuō)某集合全部元素都含有某種性質(zhì)的命題．例如p：對(duì)全部整數(shù)x，x2－1＝0，q：對(duì)全部整數(shù)x,5x－1是整數(shù)，其中命題p、q都是全稱命題．2．存在量詞概念：短語(yǔ)“存在一種”“最少有一種”在邏輯中普通叫做存在量詞，用符號(hào)“?”表達(dá)，含有存在量詞的命題，叫做特稱命題．注意下列幾點(diǎn)：(1)特稱命題“存在M中的一種x，使p(x)成立”可用符號(hào)簡(jiǎn)記為?x∈M，p(x)．(2)存在命題就是陳說(shuō)在某集合中有(存在)某些元素含有某種性質(zhì)的命題．同一種全稱命題、存在命題，由于自然語(yǔ)言的不同，能夠有不同的表述辦法．現(xiàn)列表總結(jié)于下，在實(shí)際應(yīng)用中能夠靈活地選擇：命題全稱命題“?x∈A，p(x)”存在命題“?x∈A，p(x)”表述方法所有的x∈A，p(x)成立存在x∈A，使p(x)成立對(duì)一切x∈A，p(x)成立至少有一個(gè)x∈A，使p(x)成立對(duì)每一個(gè)x∈A，p(x)成立對(duì)有些x∈A，使p(x)成立任選一個(gè)x∈A，使p(x)成立對(duì)某個(gè)x∈A，使p(x)成立凡x∈A，都有p(x)成立有一個(gè)x∈A，使p(x)成立1．含有一種量詞的命題的否認(rèn)．含有一種量詞的全稱命題的否認(rèn)，有下面的結(jié)論：全稱命題p：?x∈M，p(x)，它的否認(rèn)綈p：?x0∈M，綈p(x0)．全稱命題的否認(rèn)是特稱命題．含有一種量詞的特稱命題的否認(rèn)，有下面的結(jié)論：特稱命題p：?x0∈M，p(x0)，它的否認(rèn)綈p：?x∈M，綈p(x)．特稱命題的否認(rèn)是全稱命題．全稱命題的否認(rèn)是存在命題，存在命題的否認(rèn)是全稱命題，即它們互為否認(rèn)形式．在寫(xiě)兩種命題的否認(rèn)時(shí)，要牢牢掌握形式上的兩個(gè)變化，全稱量詞與特稱量詞的變化，條件p(x)和綈p(x)的變化．2．常見(jiàn)量詞及其否認(rèn)形式常見(jiàn)量詞及其否認(rèn)形式以下表.量詞否定詞量詞否定詞等于不等于大于不大于能不能小于不小于至少有一個(gè)一個(gè)都沒(méi)有至多有一個(gè)至少有兩個(gè)都是不都是是不是沒(méi)有至少有一個(gè)屬于不屬于◎?qū)懗鱿铝忻}的否認(rèn)形式的命題．(1)矩形的四個(gè)角都是直角；(2)全部的方程都有實(shí)數(shù)解；(3)4＜3.【錯(cuò)解】(1)矩形的四