練素養(yǎng) 判定平行四邊形的五種常用方法VIP

判定平行四邊形的五種常用方法練素養(yǎng)第9章中心對稱圖形——平行四邊形12345溫馨提示：點(diǎn)擊進(jìn)入講評[2023·揚(yáng)州節(jié)選]如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是平行四邊形ABCD各邊的中點(diǎn)，連接AF，CE相交于點(diǎn)M，連接AG，CH相交于點(diǎn)N.求證：四邊形AMCN是平行四邊形．1【證明】∵點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是平行四邊形ABCD各邊的中點(diǎn)，∴AH∥CF，AH＝CF，AE∥CG，AE＝CG.∴四邊形AFCH是平行四邊形．∴AM∥CN.同理可得四邊形AECG是平行四邊形，∴AN∥CM.∴四邊形AMCN是平行四邊形．如圖，已知△ABD，△BCE，△ACF都是等邊三角形．求證：四邊形ADEF是平行四邊形．2【證明】∵△ABD，△BCE，△ACF都是等邊三角形，∴BA＝BD＝AD，BC＝BE，AF＝AC，∠DBA＝∠EBC＝60°.∴∠EBC－∠EBA＝∠DBA－∠EBA，即∠ABC＝∠DBE.∴△ABC≌△DBE(SAS)．∴AC＝DE.∴AF＝DE.同理可證△ABC≌△FEC，∴AB＝FE.∴AD＝EF.∴四邊形ADEF是平行四邊形．【點(diǎn)方法】平行四邊形的判定方法有很多種，解題時(shí)要注意靈活選用，盡量選使解題過程簡便的方法．[2022·宿遷]如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AB，CD的中點(diǎn)，求證：AF＝CE.3如圖，在?ABCD中，∠DAB＝60°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在CD，AB的延長線上，且AE＝AD，CF＝CB．4(1)求證：四邊形AFCE是平行四邊形；【證明】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DC∥AB，∠DCB＝∠DAB＝60°.∴∠ADE＝∠DAB＝∠DCB＝∠CBF＝60°.∵AE＝AD，CF＝CB，∴△AED，△CFB是等邊三角形．∴∠AEC＝∠BFC＝60°，∠EAD＝∠FCB＝60°.∴∠EAF＝∠FCE＝120°.∴四邊形AFCE是平行四邊形．(2)若去掉已知條件的“∠DAB＝60°”，上述的結(jié)論還成立嗎？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由．【解】上述的結(jié)論還成立．證明如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DC＝AB，AD＝BC，DC∥AB，AD∥BC.∴∠ADE＝∠BCD，∠BCD＝∠CBF.∴∠ADE＝∠CBF.∵AE＝AD，CB＝CF，∴∠ADE＝∠AED，∠CBF＝∠CFB.∴∠AED＝∠CFB.又∵∠ADE＝∠CBF，AD＝CB，∴△ADE≌△CBF(AAS)．∴ED＝BF，AE＝CF.∵DC＝AB，∴DC＋ED＝AB＋BF，即EC＝AF.又∵AE＝CF，∴四邊形AECF是平行四邊形．如圖①，?ABCD中，點(diǎn)O是對角線AC的中點(diǎn)，EF過點(diǎn)O，與AD，BC分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，GH過點(diǎn)O，與AB，CD分別相交于點(diǎn)G，H，連接EG，F(xiàn)G，F(xiàn)H，EH.(1)求證：四邊形EGFH是平行四邊形；5(2)如圖②，若EF∥AB，GH∥BC，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖②中與四邊形AGHD面積相等的所有平行四邊形(四邊形AGHD除外)．【解】與四邊形AGHD面積相等的平行四邊形有?GBCH，?ABFE，?EFCD，?EGFH.【點(diǎn)方法】當(dāng)條件出現(xiàn)