2023-2024學(xué)年河北省承德市高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河北省承德市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題注意事項：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．4，本試卷主要考試內(nèi)容：計數(shù)原理，隨機(jī)變量及其分布，成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析，集合與常用邏輯用語，一元二次函數(shù)、方程和不等式，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.命題“，”的否定為（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】命題“，”的否定為“，”.故選：D2.已知集合，且，則（）A.8或20 B.8或-20 C.或20 D.或【答案】A【解析】由題意得，若中只有1個元素，則，且，解得，當(dāng)時，，此時，當(dāng)時，，此時，若中有2個元素，則，則，所以為方程的兩根，故，解得，滿足，故，所以或20.故選：A3.已知函數(shù)，則函數(shù)的定義域為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由題可知的定義域為，則為使有意義必須且只需，解得，所以的定義域為.故選：D4.已知變量和的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：123450.91.31.82.43.1若，線性相關(guān)，經(jīng)驗回歸方程為，據(jù)此可以預(yù)測當(dāng)時，（）A.5.75 B.7.5 C.7.55 D.8【答案】A【解析】，，所以，即，令，解得.故選：A.5.投擲3枚質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)事件“這3枚骰子朝上的點數(shù)之和為奇數(shù)”，事件“恰有1枚骰子朝上的點數(shù)為奇數(shù)”，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為每枚骰子朝上點數(shù)有奇數(shù)1，3，5三個，偶數(shù)有2，4，6三個，所以3枚骰子朝上的點數(shù)之和為奇數(shù)的情況有奇數(shù)+奇數(shù)+奇數(shù)，偶數(shù)+偶數(shù)+奇數(shù)，共兩種情況，可得，恰有1枚骰子朝上的點數(shù)為奇數(shù)的情況有偶數(shù)+偶數(shù)+奇數(shù)，可得，則.故選：B.6.向如圖放置的空容器中注水，直至注滿為止.下列圖象中可以大致刻畫容器中水的體積V與水的高度h的函數(shù)關(guān)系的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】在注水的過程中，容器橫截面面積越大，水的體積增長越快，所以隨著水的高度的增長，體積先緩慢增長，再劇烈增長，再緩慢增長.故選：A.7.6名同學(xué)到甲、乙、丙三個場館做志愿者，每名同學(xué)只去一個場館，其中甲場館安排2名志愿者，乙、丙場館都至少安排1名志愿者，則不同的安排方法共有（）A.300種 B.210種 C.120種 D.60種【答案】B【解析】根據(jù)題意可知，甲場館安排2名志愿者可以知有種，乙、丙場館都至少安排1名志愿者可以有三種分法第一種是乙館安排1名志愿者丙安排3名有種情況，第二種是乙、丙各安排2名有，第三種是乙安排3名丙安排1名，所以根據(jù)分步算法可得種.故選：B8.已知函數(shù)則方程的實數(shù)個數(shù)為（）A.9 B.10 C.11 D.12【答案】C【解析】函數(shù)的部分圖象如圖所示.由方程，解得或.當(dāng)時，有5個實根，當(dāng)時，有6個實根，故方程的實根個數(shù)為11.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.隨機(jī)變量，隨機(jī)變量服從兩點分布，且，設(shè)，則（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】因為，所以，且，又，所以A正確，B錯誤；，故，故C正確；，，故D錯誤.故選：AC.10.對于函數(shù)，下列說法正確的是（）A.恰有一個極值點B.有最小值但沒有最大值C.直線與曲線的公共點個數(shù)最多為4D.經(jīng)過點只可作的一條切線【答案】ACD【解析】對于A，的定義域為，，當(dāng)或時，f'x>0，當(dāng)時，f'所以在和上單調(diào)遞增，在0,2上單調(diào)遞減，故是唯一的極值點，故A正確；對于B，函數(shù)在0,+∞上的最小值為，又因為當(dāng)時，且，當(dāng)且時，，當(dāng)且時，，所以既無最小值也無最大值，故B錯誤；對于C，由B選項作出函數(shù)的大致圖象如圖所示，直線恒過點，當(dāng)足夠大時，直線與曲線有2個交點，直線與曲線有2個交點，則直線與曲線y=fx的公共點個數(shù)最多為4，故C正確；對于D，易知點不在的圖象上，設(shè)切點為，則，解得，則經(jīng)過點只可作曲線y=fx的一條切線，故D正確.故選：ACD.11.已知實數(shù)a，b滿足，則下列結(jié)論正確的有（）A.若，則B.的最小值為2C.若，則D.若，則的最小值為1【答案】ACD【解析】對于選項A，由，，得，解得，A正確.對于選項B，取，滿足，此時，B不正確對于選項C，由，得，取，，則，由，得，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)，時，等號成立，從而，C正確.對于選項D，由，得，則.因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以最小值為1，D正確.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知二項式展開式中各項二項式系數(shù)的和為16，則______，展開式中的常數(shù)項為______．【答案】；【解析】因為二項式展開式中各項二項式系數(shù)的和為16，所以，解得，展開式的通項為，令，得，所以展開式中的常數(shù)項為.故答案為：；.13.已知函數(shù)滿足，若，則______.【答案】76【解析】由題可知，，令，則，所以.故答案為：76.14.已知，若不等式恒成立，則a的取值范圍為______.【答案】【解析】因為，，所以等價于.若，則，xlnx≤0，顯然恒成立.若，令，則在上恒成立，則在上單調(diào)遞增，由，得，則，則在上恒成立.令，，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，則，從而，解得.綜上所述，a的取值范圍為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步聚．15.已知冪函數(shù)（）為偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，函數(shù)滿足.（1）求函數(shù)和的解析式；（2）對任意實數(shù)，恒成立，求的取值范圍.解：（1）依題意冪函數(shù)為偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，可得，解得，由于，故，當(dāng)時，，此時為奇函數(shù)，不符合題意，當(dāng)或時，，此時為偶函數(shù)，符合題意，故；由，可得，令，所以，故.（2）由，恒成立，可得，恒成立.又，所以當(dāng)時，取得最小值，故，即的取值范圍為.16.某公司為了解某產(chǎn)品的客戶反饋情況，隨機(jī)抽取了100名客戶體驗該產(chǎn)品，并進(jìn)行評價，評價結(jié)果為“喜歡”和“不喜歡”，整理數(shù)據(jù)得到如下列聯(lián)表：喜歡不喜歡合計男45550女351550合計8020100（1）根據(jù)上表，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認(rèn)為客戶對該產(chǎn)品的評價結(jié)果與性別有關(guān)系？（2）為進(jìn)一步了解客戶對產(chǎn)品的反饋，現(xiàn)從評價結(jié)果為“不喜歡”的客戶中，按性別用分層抽樣的方法選取8人，收集對該產(chǎn)品的改進(jìn)建議.若從這8人中隨機(jī)抽取3人，求所抽取的3人中女性人數(shù)大于男性人數(shù)的概率.附：.0.050.0250.010.0053.8415.0246.6357.879解：（1）零假設(shè)為：客戶對該產(chǎn)品的評價結(jié)果與性別無關(guān).，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立，即認(rèn)為客戶對該產(chǎn)品的評價結(jié)果與性別有關(guān).（2）由題意得抽取的8人中，男性人數(shù)為，女性人數(shù)為.當(dāng)3人中有2名女性和1名男性時，，當(dāng)3人全部為女性時，，則所抽取的3人中女性人數(shù)大于男性人數(shù)的概率.17.已知函數(shù).（1）若，求的圖象在點處的切線方程；（2）若關(guān)于x的方程恰有兩個不同的實數(shù)解，求a的取值范圍.解：（1）由，得，則.因為，，所以的圖象在點1,f1處的切線方程為.（2）顯然不符合題意，又，當(dāng)時，可知當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，上單調(diào)遞增，則，且當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，化簡可得，因為在0,+∞上單調(diào)遞減，且，所以不等式的解集為1,+∞.當(dāng)時，可知當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，則，且當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以關(guān)于x的方程不可能有兩個不同的實數(shù)解.綜上，a的取值范圍為1,+∞18.為加深學(xué)生對新中國成立以來我國在經(jīng)濟(jì)建設(shè)、科技創(chuàng)新、精神文明建設(shè)等方面取得成就了解，某學(xué)校高二年級組織舉辦了知識競賽．選拔賽階段采用逐一答題的方式，每位選手最多有5次答題機(jī)會，累計答對3道題則進(jìn)入初賽，累計答錯3道題則被淘汰．初賽階段參賽者每兩人一組進(jìn)行比賽，組織者隨機(jī)從準(zhǔn)備好的題目中抽取2道試題供兩位選手搶答，每位選手搶到每道試題的機(jī)會相等，得分規(guī)則如下：選手搶到試題且回答正確得10分，對方選手得0分，選手搶到試題但沒有回答正確得0分，對方選手得5分，2道試題搶答完畢后得分少者被淘汰，得分多者進(jìn)入決賽（若分?jǐn)?shù)相同，則同時進(jìn)入決賽）．（1）已知選拔賽中選手甲答對每道試題的概率為，且回答每道試題是否正確相互獨立，求甲進(jìn)入初賽的概率；（2）已知初賽中選手甲答對每道試題的概率為，對手答對每道試題的概率為，兩名選手回答每道試題是否正確相互獨立，求初賽中甲的得分的分布列與期望；（3）進(jìn)入決賽后，每位選手回答4道試題，至少答對3道試題勝出，否則被淘汰，已知選手甲進(jìn)入決賽，且決賽中前3道試題每道試題被答對的概率都為，若甲4道試題全對的概率為，求甲能勝出的概率的最小值．解：（1）設(shè)為甲的答題數(shù)，則可能取3，4，5．；；．所以甲進(jìn)入初賽的概率為．（2）可能取0，5，10，15，20．；；；；．的分布列為05101520所以．（3）因為甲4道試題全對的概率為，所以第4道試題答對的概率為，所以甲能勝出的概率，即．因為，所以在上單調(diào)遞減，在12,1上單調(diào)遞增，所以．19.定義在區(qū)間上的函數(shù)滿足：若對任意，且，都有，則稱是上的“好函數(shù)”．（1）若是上的“好函數(shù)”，求的取值范圍．（2）（ⅰ）證明：是上的“好函數(shù)”．（ⅱ）設(shè)，證明：．解：（1）由題可知任意，且，即，解得．因為，所以，即的取值范圍為．（2）（ⅰ）設(shè)，則．令，且，則，則hx在1,+∞所以，即，所以是0,+∞上的“好函數(shù)”．（ⅱ）由（ⅰ）可知，當(dāng)x∈1,+∞時，令，則，即．故，化簡可得．河北省承德市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題注意事項：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．4，本試卷主要考試內(nèi)容：計數(shù)原理，隨機(jī)變量及其分布，成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析，集合與常用邏輯用語，一元二次函數(shù)、方程和不等式，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.命題“，”的否定為（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】命題“，”的否定為“，”.故選：D2.已知集合，且，則（）A.8或20 B.8或-20 C.或20 D.或【答案】A【解析】由題意得，若中只有1個元素，則，且，解得，當(dāng)時，，此時，當(dāng)時，，此時，若中有2個元素，則，則，所以為方程的兩根，故，解得，滿足，故，所以或20.故選：A3.已知函數(shù)，則函數(shù)的定義域為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由題可知的定義域為，則為使有意義必須且只需，解得，所以的定義域為.故選：D4.已知變量和的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：123450.91.31.82.43.1若，線性相關(guān)，經(jīng)驗回歸方程為，據(jù)此可以預(yù)測當(dāng)時，（）A.5.75 B.7.5 C.7.55 D.8【答案】A【解析】，，所以，即，令，解得.故選：A.5.投擲3枚質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)事件“這3枚骰子朝上的點數(shù)之和為奇數(shù)”，事件“恰有1枚骰子朝上的點數(shù)為奇數(shù)”，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為每枚骰子朝上點數(shù)有奇數(shù)1，3，5三個，偶數(shù)有2，4，6三個，所以3枚骰子朝上的點數(shù)之和為奇數(shù)的情況有奇數(shù)+奇數(shù)+奇數(shù)，偶數(shù)+偶數(shù)+奇數(shù)，共兩種情況，可得，恰有1枚骰子朝上的點數(shù)為奇數(shù)的情況有偶數(shù)+偶數(shù)+奇數(shù)，可得，則.故選：B.6.向如圖放置的空容器中注水，直至注滿為止.下列圖象中可以大致刻畫容器中水的體積V與水的高度h的函數(shù)關(guān)系的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】在注水的過程中，容器橫截面面積越大，水的體積增長越快，所以隨著水的高度的增長，體積先緩慢增長，再劇烈增長，再緩慢增長.故選：A.7.6名同學(xué)到甲、乙、丙三個場館做志愿者，每名同學(xué)只去一個場館，其中甲場館安排2名志愿者，乙、丙場館都至少安排1名志愿者，則不同的安排方法共有（）A.300種 B.210種 C.120種 D.60種【答案】B【解析】根據(jù)題意可知，甲場館安排2名志愿者可以知有種，乙、丙場館都至少安排1名志愿者可以有三種分法第一種是乙館安排1名志愿者丙安排3名有種情況，第二種是乙、丙各安排2名有，第三種是乙安排3名丙安排1名，所以根據(jù)分步算法可得種.故選：B8.已知函數(shù)則方程的實數(shù)個數(shù)為（）A.9 B.10 C.11 D.12【答案】C【解析】函數(shù)的部分圖象如圖所示.由方程，解得或.當(dāng)時，有5個實根，當(dāng)時，有6個實根，故方程的實根個數(shù)為11.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.隨機(jī)變量，隨機(jī)變量服從兩點分布，且，設(shè)，則（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】因為，所以，且，又，所以A正確，B錯誤；，故，故C正確；，，故D錯誤.故選：AC.10.對于函數(shù)，下列說法正確的是（）A.恰有一個極值點B.有最小值但沒有最大值C.直線與曲線的公共點個數(shù)最多為4D.經(jīng)過點只可作的一條切線【答案】ACD【解析】對于A，的定義域為，，當(dāng)或時，f'x>0，當(dāng)時，f'所以在和上單調(diào)遞增，在0,2上單調(diào)遞減，故是唯一的極值點，故A正確；對于B，函數(shù)在0,+∞上的最小值為，又因為當(dāng)時，且，當(dāng)且時，，當(dāng)且時，，所以既無最小值也無最大值，故B錯誤；對于C，由B選項作出函數(shù)的大致圖象如圖所示，直線恒過點，當(dāng)足夠大時，直線與曲線有2個交點，直線與曲線有2個交點，則直線與曲線y=fx的公共點個數(shù)最多為4，故C正確；對于D，易知點不在的圖象上，設(shè)切點為，則，解得，則經(jīng)過點只可作曲線y=fx的一條切線，故D正確.故選：ACD.11.已知實數(shù)a，b滿足，則下列結(jié)論正確的有（）A.若，則B.的最小值為2C.若，則D.若，則的最小值為1【答案】ACD【解析】對于選項A，由，，得，解得，A正確.對于選項B，取，滿足，此時，B不正確對于選項C，由，得，取，，則，由，得，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)，時，等號成立，從而，C正確.對于選項D，由，得，則.因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以最小值為1，D正確.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知二項式展開式中各項二項式系數(shù)的和為16，則______，展開式中的常數(shù)項為______．【答案】；【解析】因為二項式展開式中各項二項式系數(shù)的和為16，所以，解得，展開式的通項為，令，得，所以展開式中的常數(shù)項為.故答案為：；.13.已知函數(shù)滿足，若，則______.【答案】76【解析】由題可知，，令，則，所以.故答案為：76.14.已知，若不等式恒成立，則a的取值范圍為______.【答案】【解析】因為，，所以等價于.若，則，xlnx≤0，顯然恒成立.若，令，則在上恒成立，則在上單調(diào)遞增，由，得，則，則在上恒成立.令，，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，則，從而，解得.綜上所述，a的取值范圍為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步聚．15.已知冪函數(shù)（）為偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，函數(shù)滿足.（1）求函數(shù)和的解析式；（2）對任意實數(shù)，恒成立，求的取值范圍.解：（1）依題意冪函數(shù)為偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，可得，解得，由于，故，當(dāng)時，，此時為奇函數(shù)，不符合題意，當(dāng)或時，，此時為偶函數(shù)，符合題意，故；由，可得，令，所以，故.（2）由，恒成立，可得，恒成立.又，所以當(dāng)時，取得最小值，故，即的取值范圍為.16.某公司為了解某產(chǎn)品的客戶反饋情況，隨機(jī)抽取了100名客戶體驗該產(chǎn)品，并進(jìn)行評價，評價結(jié)果為“喜歡”和“不喜歡”，整理數(shù)據(jù)得到如下列聯(lián)表：喜歡不喜歡合計男45550女351550合計8020100（1）根據(jù)上表，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認(rèn)為客戶對該產(chǎn)品的評價結(jié)果與性別有關(guān)系？（2）為進(jìn)一步了解客戶對產(chǎn)品的反饋，現(xiàn)從評價結(jié)果為“不喜歡”的客戶中，按性別用分層抽樣的方法選取8人，收集對該產(chǎn)品的改進(jìn)建議.若從這8人中隨機(jī)抽取3人，求所抽取的3人中女性人數(shù)大于男性人數(shù)的概率.附：.0.050.0250.010.0053.8415.0246.6357.879解：（1）零假設(shè)為：客戶對該產(chǎn)品的評價結(jié)果與性別無關(guān).，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立，即認(rèn)為客戶對該產(chǎn)品的評價結(jié)果與性別有關(guān).（2）由題意得抽取的8人中，男性人數(shù)為，女性人數(shù)為.當(dāng)3人中有2名女性和1名男性時，，當(dāng)3人全部為女性時，，則所抽取的3人中女性人數(shù)大于男性人數(shù)的概率.17.已知函數(shù).（1）若，求的圖象在點處的切線方程；（2）若關(guān)于x的方程恰有兩個不同的實數(shù)解，求a的取值范圍.解：（1）由，得，則.因為，，所以的圖象在點1,f1處的切線方程為.（2）顯然不符合題意，又，當(dāng)時，可知當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，上單調(diào)遞增，則，且當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，化簡可得，因為在0,+∞上單調(diào)遞減，且，所以不等式的解集為1,+∞.當(dāng)時，可知當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，則，且當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以關(guān)于x的方程不可能有兩個不同的實數(shù)解.綜上，a的取值范圍為