2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章平面向量第5節(jié)平面向量應(yīng)用舉例教案含解析新人教A版必修4VIP

PAGEPAGE12.5平面對量應(yīng)用舉例[核心必知]1．預(yù)習(xí)教材，問題導(dǎo)入依據(jù)以下提綱，預(yù)習(xí)教材P109～P112的內(nèi)容，回答下列問題．(1)利用向量方法可以解決平面幾何中的哪些問題？提示：距離、夾角等問題．(2)利用向量方法可以解決物理中的哪些問題？提示：可以利用向量解決與力、位移、速度有關(guān)的問題．2．歸納總結(jié)，核心必記(1)用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”①建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；②通過向量運(yùn)算，探討幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題；③把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系．(2)向量在物理中的應(yīng)用①物理問題中常見的向量有力、速度、位移等．②向量的加減運(yùn)算體現(xiàn)在一些物理量的合成和分解中．③動(dòng)量mv是向量的數(shù)乘運(yùn)算．④功是力F與位移s的數(shù)量積．[問題思索]用向量解決幾何問題時(shí)，有時(shí)須要選擇合適的基底，你知道怎樣選擇合適的基底嗎？提示：所選擇基向量的長度和夾角應(yīng)當(dāng)是已知的．[課前反思](1)平面對量在平面幾何中的應(yīng)用：；(2)平面對量在物理中的應(yīng)用：.學(xué)問點(diǎn)1平面幾何中的平行、垂直問題講一講1.如圖所示，在正方形ABCD中，P為對角線AC上任一點(diǎn)，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分別為E，F(xiàn)，連接DP，EF，求證：DP⊥EF.[嘗試解答]法一：設(shè)正方形ABCD的邊長為1，AE＝a(0<a<1)，則EP＝AE＝a，PF＝EB＝1－a，AP＝eq\r(2)a，∴·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋·＋·＝1×a×cos180°＋1×(1－a)×cos90°＋eq\r(2)a×a×cos45°＋eq\r(2)a×(1－a)×cos45°＝－a＋a2＋a(1－a)＝0.∴⊥，即DP⊥EF.法二：設(shè)正方形邊長為1，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)P(x，x)，則D(0,1)，E(x,0)，F(xiàn)(1，x)，所以＝(x，x－1)，＝(1－x，x)，由于·＝x(1－x)＋x(x－1)＝0，所以⊥，即DP⊥EF.類題·通法(1)向量法證明平面幾何中AB⊥CD的方法：方法一：①選擇一組向量作基底；②用基底表示和；③證明·的值為0；④給出幾何結(jié)論AB⊥CD.方法二：先求，的坐標(biāo)，＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，再計(jì)算·的值為0，從而得到幾何結(jié)論AB⊥CD.(2)用向量法證明平面幾何中AB∥CD的方法：方法一：①選擇一組向量作基底；②用基底表示和；③找尋實(shí)數(shù)λ，使＝λ，即∥；④給出幾何結(jié)論AB∥CD.方法二：先求，的坐標(biāo)，＝(x1，y1)，＝(x2，y2)．利用向量共線的坐標(biāo)關(guān)系x1y2－x2y1＝0得到∥，再給出幾何結(jié)論AB∥CD.以上兩種方法，都是建立在A，B，C，D中隨意三點(diǎn)都不共線的基礎(chǔ)上，才有∥得到AB∥CD.練一練1．已知在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)是對角線AC上的兩點(diǎn)，且AE＝FC＝eq\f(1,4)AC，試用向量方法證明四邊形DEBF也是平行四邊形．證明：設(shè)＝a，＝b，則＝－＝eq\f(1,4)－a＝eq\f(1,4)b－eq\f(3,4)a，＝－＝b－eq\f(3,4)＝eq\f(1,4)b－eq\f(3,4)a，所以＝，且D，E，F(xiàn)，B四點(diǎn)不共線，所以四邊形DEBF是平行四邊形.學(xué)問點(diǎn)2平面幾何中的長度問題講一講2．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，設(shè)AC＝m，BC＝n.(1)若D為斜邊AB的中點(diǎn)，求證：CD＝eq\f(1,2)AB；(2)若E為CD的中點(diǎn)，連接AE并延長交BC于F，求AF的長度(用m，n表示)．[嘗試解答](1)證明：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以邊CB，CA所在的直線分別為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，A(0，m)，B(n,0)．∵D為AB的中點(diǎn)，∴Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,2)，\f(m,2)))，∴||＝eq\f(1,2)eq\r(n2＋m2)，||＝eq\r(m2＋n2)，∴||＝eq\f(1,2)||，即CD＝eq\f(1,2)AB.(2)∵E為CD的中點(diǎn)，∴Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,4)，\f(m,4)))，設(shè)F(x,0)，則＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,4)，－\f(3,4)m))，＝(x，－m)．∵A，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線，∴＝λ.即(x，－m)＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,4)，－\f(3,4)m)).則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(n,4)λ，,－m＝－\f(3,4)mλ，))故λ＝eq\f(4,3)，即x＝eq\f(n,3)，∴Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,3)，0))，∴||＝eq\f(1,3)eq\r(n2＋9m2)，即AF＝eq\f(1,3)eq\r(n2＋9m2).類題·通法利用向量法解決長度問題的策略向量法求平面幾何中的長度問題，即向量長度的求解，一是利用圖形特點(diǎn)選擇基底，向向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化，用公式|a|2＝a2求解；二是建立坐標(biāo)系，確定相應(yīng)向量的坐標(biāo)，代入公式：若a＝(x，y)，則|a|＝eq\r(x2＋y2).練一練2．如圖，平行四邊形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，對角線BD＝2，求對角線AC的長．解：設(shè)＝a，＝b，則＝a－b，＝a＋b，而||＝|a－b|＝eq\r(a2－2a·b＋b2)＝eq\r(1＋4－2a·b)＝eq\r(5－2a·b)＝2，∴5－2a·b＝4，∴a·b＝eq\f(1,2)，又||2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6，∴||＝eq\r(6)，即AC＝eq\r(6).學(xué)問點(diǎn)3向量在物理中的應(yīng)用講一講3．在風(fēng)速為75(eq\r(6)－eq\r(2))km/h的西風(fēng)中，飛機(jī)以150km/h的航速向西北方向飛行，求沒有風(fēng)時(shí)飛機(jī)的航速和航向．[嘗試解答]設(shè)ω＝風(fēng)速，va＝有風(fēng)時(shí)飛機(jī)的航行速度，vb＝無風(fēng)時(shí)飛機(jī)的航行速度，vb＝va－ω.如圖所示．設(shè)||＝|va|，||＝|ω|，||＝|vb|，作AD∥BC，CD⊥AD于D，BE⊥AD于E，則∠BAD＝45°.設(shè)||＝150，則||＝75(eq\r(6)－eq\r(2))．∴||＝||＝||＝75eq\r(2)，||＝75eq\r(6).從而||＝150eq\r(2)，∠CAD＝30°.∴|vb|＝150eq\r(2)，即沒有風(fēng)時(shí)飛機(jī)的航速為150eq\r(2)km/h，方向?yàn)楸逼?0°.類題·通法利用向量法解決物理問題的步驟(1)抽象出物理問題的向量，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；(2)建立以向量為主體的數(shù)學(xué)模型；(3)利用向量的線性運(yùn)算或數(shù)量積運(yùn)算，求解數(shù)學(xué)模型；(4)用數(shù)學(xué)模型中的數(shù)據(jù)說明或分析物理問題．練一練3．已知力F(斜向上)與水平方向的夾角為30°，大小為50N，一個(gè)質(zhì)量為8kg的木塊受力F的作用在動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝0.02的水平面上運(yùn)動(dòng)了20m．問力F和摩擦力f所做的功分別為多少？(g取10m/s2)解：如圖所示，設(shè)木塊的位移為s，則WF＝F·s＝|F||s|cos30°＝50×20×eq\f(\r(3),2)＝500eq\r(3)(J)．將力F分解，它在鉛垂方向上的分力F1的大小為|F1|＝|F|sin30°＝50×eq\f(1,2)＝25(N)，所以摩擦力f的大小為|f|＝|μ(G－F1)|＝(80－25)×0.02＝1.1(N)，因此Wf＝f·s＝|f||s|·cos180°＝1.1×20×(－1)＝－22(J)．即F和f所做的功分別為500eq\r(3)J和－22J.[課堂歸納·感悟提升]1．本節(jié)課的重點(diǎn)是平面對量在平面幾何中的應(yīng)用，難點(diǎn)是平面對量在物理中的應(yīng)用．2．要駕馭平面對量的應(yīng)用(1)利用平面對量解決平面幾何中的平行、垂直問題，見講1；(2)利用平面對量解決平面幾何中的長度問題，見講2；(3)平面對量在物理中的應(yīng)用，見講3.課下實(shí)力提升(二十一)[學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)練]題組1平面對量在平面幾何中的應(yīng)用1．已知直線l與x，y軸分別相交于點(diǎn)A，B，＝2i－3j(i，j分別是與x，y軸的正半軸同方向的單位向量)，則直線l的方程是()A．3x－2y＋6＝0B．3x＋2y＋6＝0C．2x＋3y＋6＝0D．2x－3y＋6＝0解析：選B由于i，j分別是與x，y軸的正半軸同方向的單位向量，所以＝(2，－3)，而A，B分別在x軸，y軸上，可得A(－2,0)，B(0，－3)，由此可得直線l的方程為3x＋2y＋6＝0.2．在四邊形ABCD中，＝，且||＝||，那么四邊形ABCD為()A．平行四邊形B．菱形C．長方形D．正方形解析：選B由＝知四邊形ABCD為平行四邊形，由||＝||知?ABCD的鄰邊相等，∴四邊形ABCD為菱形．3．已知非零向量與滿意eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AB→,|AB→|)＋\f(AC→,|AC→|)))·＝0，且eq\f(AB→,|AB→|)·eq\f(AC→,|AC→|)＝eq\f(1,2)，則△ABC為()A．三邊均不相等的三角形B．直角三角形C．等腰非等邊三角形D．等邊三角形解析：選Deq\f(AB→,|AB→|)＋eq\f(AC→,|AC→|)是向量，方向上的兩個(gè)單位向量的和，它在∠A的平分線上，由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AB→,|AB→|)＋\f(AC→,|AC→|)))·＝0，知此三角形為等腰三角形，再由eq\f(AB→,|AB→|)·eq\f(AC→,|AC→|)＝eq\f(1,2)知∠A為60°，故此三角形為等邊三角形．4．如圖所示，在矩形ABCD中，AB＝eq\r(3)，BC＝3，BE⊥AC，垂足為E，則ED＝________.解析：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD，AB所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0,0)，B(0，eq\r(3))，C(3，eq\r(3))，D(3,0)，＝(3，eq\r(3))，設(shè)＝λ，則E的坐標(biāo)為(3λ，eq\r(3)λ)，故＝(3λ，eq\r(3)λ－eq\r(3))．因?yàn)锽E⊥AC，所以·＝0，即9λ＋3λ－3＝0，解得λ＝eq\f(1,4)，所以Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，\f(\r(3),4))).故＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)，－\f(\r(3),4)))，||＝eq\f(\r(21),2)，即ED＝eq\f(\r(21),2).答案：eq\f(\r(21),2)5.如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)．求證：AF⊥DE(利用向量證明)．證明：設(shè)＝a，＝b，則＝a＋eq\f(1,2)b，＝b－eq\f(1,2)a，∴·＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)b))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－\f(1,2)a))＝eq\f(1,2)b2－eq\f(1,2)a2＋eq\f(3,4)a·b.又⊥，且||＝||，∴a2＝b2，a·b＝0，∴·＝0，∴⊥，即AF⊥DE.題組2向量在物理中的應(yīng)用6．人騎自行車的速度是v1，風(fēng)速為v2，則逆風(fēng)行駛的速度為()A．v1－v2B．v1＋v2C．|v1|－|v2|D.eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(v1,v2)))解析：選B由向量的加法法則可得逆風(fēng)行駛的速度為v1＋v2.留意速度是有方向和大小的，是一個(gè)向量．7．一纖夫用纖繩拉船沿直線方向前行進(jìn)60m，若纖繩與行進(jìn)方向夾角為30°，纖夫的拉力為50N，則纖夫?qū)Υ龅墓開_______J.解析：所做的功W＝60×50×cos30°＝1500eq\r(3)J.答案：1500eq\r(3)8．在水流速度為4eq\r(3)km/h的河水中，一艘船以12km/h的實(shí)際航行速度垂直于對岸行駛，求這艘船的航行速度的大小與方向．解：如圖所示，設(shè)表示水流速度，表示船垂直于對岸行駛的速度，以為一邊，為一對角線作?ABCD，則就是船的航行速度．∵||＝4eq\r(3)，||＝12，∴||＝||＝8eq\r(3)，tan∠ACB＝eq\f(4\r(3),12)＝eq\f(\r(3),3)，∴∠CAD＝∠ACB＝30°，∠BAD＝120°.即船的航行速度的大小為8eq\r(3)km/h，方向與水流方向的夾角為120°.[實(shí)力提升綜合練]1．設(shè)a，b，c為同一平面內(nèi)具有相同起點(diǎn)的隨意三個(gè)非零向量，且a與b不共線，a⊥c，|a|＝|c|，則|b·c|的值肯定等于()A．以a，b為鄰邊的平行四邊形的面積B．以b，c為兩邊的三角形的面積C．以a，b為兩邊的三角形的面積D．以b，c為鄰邊的平行四邊形的面積解析：選A假設(shè)a與b的夾角為θ，|b·c|＝|b|·|c|·|cos〈b，c〉|＝|b|·|a|·|cos(90°±θ)|＝|b|·|a|·sinθ，即為以a，b為鄰邊的平行四邊形的面積．2．如圖，△ABC的外接圓的圓心為O，AB＝2，AC＝3，則·等于()A.eq\f(3,2)B.eq\f(5,2)C．2D．3解析：選B·＝·(－)＝·－·，因?yàn)镺A＝OB，所以在上的投影為eq\f(1,2)||，所以·＝eq\f(1,2)||·||＝2，同理·＝eq\f(1,2)||·||＝eq\f(9,2)，故·＝eq\f(9,2)－2＝eq\f(5,2).3．已知△ABC滿意2＝·＋·＋·，則△ABC是()A．等邊三角形B．銳角三角形C．直角三角形D．鈍角三角形解析：選C由題意得，2＝·＋·＋·＝·(＋)＋·＝2＋·，∴·＝0，∴⊥，∴△ABC是直角三角形．4．已知一物體在共點(diǎn)力F1＝(lg2，lg2)，F(xiàn)2＝(lg5，lg2)的作用下產(chǎn)生位移s＝(2lg5,1)，則共點(diǎn)力對物體做的功W為()A．lg2B．lg5C．1D．2解析：選DW＝(F1＋F2)·s＝(lg2＋lg5,2lg2)·(2lg5,1)＝(1,2lg2)·(2lg5,1)＝2lg5＋2lg2＝2.5．已知A，B是圓心為C，半徑為eq\r(5)的圓上的兩點(diǎn)，且|AB|＝eq\r(5)，則·＝________.解析：由弦長|AB|＝eq\r(5)，可知∠ACB＝60°，·＝－·＝－||||cos∠ACB＝－eq\f(5,2).答案：－eq\f(5,2)6．三個(gè)大小相同的力a，b，c作用在同一物體P上，使物體P沿a方向做勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)＝a，＝b，＝