2024年高考數(shù)學考綱解讀與熱點難點突破專題14空間中的平行與垂直教學案理含解析VIP

PAGEPAGE1空間中的平行與垂直【2024年高考考綱解讀】1.以選擇題、填空題的形式考查，主要利用平面的基本性質(zhì)及線線、線面和面面平行和垂直的判定定理與性質(zhì)定理對命題的真假進行推斷，屬于基礎(chǔ)題.2.以解答題的形式考查，主要是對線線、線面與面面平行和垂直關(guān)系的交匯綜合命題，且多以棱柱、棱錐、棱臺或其簡潔組合體為載體進行考查，難度中檔．【重點、難點剖析】1．直線、平面平行的判定及其性質(zhì)(1)線面平行的判定定理：a?α，b?α，a∥b?a∥α.(2)線面平行的性質(zhì)定理：a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b.(3)面面平行的判定定理：a?β，b?β，a∩b＝P，a∥α，b∥α?α∥β.(4)面面平行的性質(zhì)定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b.2．平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化兩平面平行問題經(jīng)?？梢赞D(zhuǎn)化為直線與平面的平行，而直線與平面平行又可轉(zhuǎn)化為直線與直線平行，所以要留意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，以下為三種平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化示意圖．3．直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)(1)線面垂直的判定定理：m?α，n?α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n?l⊥α.(2)線面垂直的性質(zhì)定理：a⊥α，b⊥α?a∥b.(3)面面垂直的判定定理：a?β，a⊥α?α⊥β.(4)面面垂直的性質(zhì)定理：α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β.4．垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化與平行關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化類似，它們之間的轉(zhuǎn)化如下示意圖．在垂直的相關(guān)定理中，要特殊留意記憶面面垂直的性質(zhì)定理：兩個平面垂直，在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線必垂直于另一個平面，當題目中有面面垂直的條件時，一般都要用此定理進行轉(zhuǎn)化.【題型示例】題型一空間中點線面位置關(guān)系的推斷(1)依據(jù)空間線面平行、垂直關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理逐項推斷來解決問題．(2)必要時可以借助空間幾何模型，如從長方體、四面體等模型中視察線面位置關(guān)系，并結(jié)合有關(guān)定理來進行推斷．【例1】[2024·全國卷Ⅱ]在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝eq\r(3)，則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為()A.eq\f(1,5)B.eq\f(\r(5),6)C.eq\f(\r(5),5)D.eq\f(\r(2),2)【解析】eq\a\vs4\al(方法1：)如圖(1)，在長方體ABCD-A1B1C1D1的一側(cè)補上一個相同的長方體A′B′BA-A1′B1′B1A1.連接B1B′，由長方體性質(zhì)可知，B1B′∥AD1，所以∠DB1B′為異面直線AD1與DB1所成的角或其補角．連接DB′，由題意，得DB′＝eq\r(12＋1＋12)＝eq\r(5)，B′B1＝eq\r(12＋\r(3)2)＝2，DB1＝eq\r(12＋12＋\r(3)2)＝eq\r(5).在△DB′B1中，由余弦定理，得DB′2＝B′Beq\o\al(2,)1＋DBeq\o\al(2,)1－2B′B1·DB1·cos∠DB1B′，即5＝4＋5－2×2eq\r(5)cos∠DB1B′，∴cos∠DB1B′＝eq\f(\r(5),5).故選C.eq\a\vs4\al(方法2：)如圖(2)，分別以DA，DC，DD1所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系．【答案】C【方法技巧】推斷空間位置關(guān)系的兩種方法(1)借助空間線面平行、面面平行、線面垂直、面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理進行推斷．(2)借助空間幾何模型，如從長方體模型、四面體模型等模型中視察線面位置關(guān)系，結(jié)合有關(guān)定理，進行確定或否定.【變式探究】在正方體ABCD－A1B1C1D1中，棱所在直線與直線BA1A．4B．5C．6D．7解析：在正方體ABCD－A1B1C1D1中，直線CD，C1D1，C1C，D1D，B1C1，AD，共有6條直線與直線答案：C【舉一反三】設(shè)l，m，n為三條不同的直線，α為一個平面，則下列命題中正確的個數(shù)是()①若l⊥α，則l與α相交；②若m?α，n?α，l⊥m，l⊥n，則l⊥α；③若l∥m，m∥n，l⊥α，則n⊥α；④若l∥m，m⊥α，n⊥α，則l∥n.A．1B．2C．3D．4解析：對于①，若l⊥α，則l與α不行能平行，l也不行能在α內(nèi)，所以l與α相交，①正確；對于②，若m?α，n?α，l⊥m，l⊥n，則有可能是l?α，故②錯誤；對于③，若l∥m，m∥n，則l∥n，又l⊥α，所以n⊥α，故③正確；對于④，因為m⊥α，n⊥α，所以m∥n，又l∥m，所以l∥n，故④正確，選C.答案：C【變式探究】【2024江蘇，15】如圖，在三棱錐A-BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，點E，F(xiàn)(E與A，D不重合)分別在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求證：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC.((第15題)ADBCEF【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】證明：（1）在平面內(nèi)，因為AB⊥AD，，所以.又因為平面ABC，平面ABC，所以EF∥平面ABC.【變式探究】【2024高考江蘇卷】如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分別為AB，BC的中點，點F在側(cè)棱B1B上，且，.求證：（1）直線DE∥平面A1C1F；（2）平面B1DE⊥平面A1C1F.【答案】（1）詳見解析（2）詳見解析【解析】證明：（1）在直三棱柱中，在三角形ABC中，因為D,E分別為AB,BC的中點.所以，于是又因為DE平面平面所以直線DE//平面（2）在直三棱柱中，因為平面，所以又因為所以平面因為平面，所以又因為所以因為直線，所以【舉一反三】已知m，n是兩條不同直線，α，β是兩個不同平面，則下列命題正確的是()A．若α，β垂直于同一平面，則α與β平行B．若m，n平行于同一平面，則m與n平行C．若α，β不平行，則在α內(nèi)不存在與β平行的直線D．若m，n不平行，則m與n不行能垂直于同一平面解析對于A，α，β垂直于同一平面，α，β關(guān)系不確定，A錯；對于B，m，n平行于同一平面，m，n關(guān)系不確定，可平行、相交、異面，故B錯；對于C，α，β不平行，但α內(nèi)能找出平行于β的直線，如α中平行于α，β交線的直線平行于β，故C錯；對于D，若假設(shè)m，n垂直于同一平面，則m∥n，其逆否命題即為D選項，故D正確．答案D【變式探究】如圖，在直三棱柱ABC－A′B′C′中，AB＝AA′＝AC＝2，∠BAC＝eq\f(2π,3)，點D，E分別是BC，A′B′的中點．(1)求證：DE∥平面ACC′A′；(2)求二面角B′－AD－C′的余弦值．【解析】(1)證明：取AC的中點F，連接DF，A′F，則DF∥AB，又A′E∥AB，所以DF∥A′E，又因為DF＝eq\f(1,2)AB，A′E＝eq\f(1,2)AB，所以DF＝AE，所以四邊形DFA′E是平行四邊形，所以ED∥A′F，又A′F?平面ACC′A′，所以ED∥平面ACC′A′.(2)在平面ABC中，以過點A且垂直于AC的直線為x軸，直線AC為y軸，AA′為z軸，建立空間直角坐標系A(chǔ)－xyz.所以點A(0,0,0)，B(eq\r(3)，－1,0)，C(0,2,0)，B′(eq\r(3)，－1,2)，C′(0,2,2)，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)，0)).所以eq\o(AD,\s\up16(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)，0))，eq\o(AB′,\s\up16(→))＝(eq\r(3)，－1,2)，eq\o(AC′,\s\up16(→))＝(0,2,2)．設(shè)平面B′AD的法向量為m＝(x，y，z)，則由m·eq\o(AD,\s\up16(→))＝0和m·eq\o(AB′,\s\up16(→))＝0，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)x＋\f(1,2)y＝0，,\r(3)x－y＋2z＝0，))取m＝(1，－eq\r(3)，－eq\r(3))．同理，可取平面C′AD的法向量n＝(1，－eq\r(3)，eq\r(3))．設(shè)二面角B′－AD－C′的平面角為θ，易知0<θ<eq\f(π,2)，則cosθ＝eq\f(|m·n|,|m||n|)＝eq\f(1,7).【變式探究】設(shè)α，β，γ是三個不重合的平面，l是直線，給出下列四個命題：①若α⊥β，l⊥β，則l∥α；②若l⊥α，l∥β，則α⊥β；③若l上有兩點到α的距離相等，則l∥α；④若α⊥β，α∥γ，則γ⊥β.其中正確命題的序號是________．【解析】由線線、線面、面面平行與垂直的判定與性質(zhì)定理逐個推斷，真命題為②④.【答案】②④【規(guī)律方法】這類題為高考?？碱}型，其實質(zhì)為多項選擇．主要考查空間中線面之間的位置關(guān)系，要求熟識有關(guān)公理、定理及推論，并具備較好的空間想象實力，做到不漏選、多選、錯選．【變式探究】如圖，三棱錐A－BCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，點M，N分別是AD，BC的中點，則異面直線AN，CM所成的角的余弦值是________．解析連接DN，作DN的中點O，連接MO，OC.在△AND中．M為AD的中點，則OM綉eq\f(1,2)AN.所以異面直線AN，CM所成角為∠CMO，在△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝2，則AN＝2eq\r(2)，∴OM＝eq\r(2).在△ACD中，同理可知CM＝2eq\r(2)，在△BCD中，DN＝2eq\r(2)，在Rt△ONC中，ON＝eq\r(2)，CN＝1∴OC＝eq\r(3).在△CMO中，由余弦定理cos∠CMO＝eq\f(|MC|2＋|MO|2－|OC|2,2|MC|·|MO|)＝eq\f(8＋2－3,2×2\r(2)×\r(2))＝eq\f(7,8).答案eq\f(7,8)【變式探究】(1)已知直線l，m與平面α，β，l?α，m?β，則下列命題中正確的是()A．若l∥m，則必有α∥βB．若l⊥m，則必有α⊥βC．若l⊥β，則必有α⊥βD．若α⊥β，則必有m⊥α答案C解析對于選項A，平面α和平面β還有可能相交，所以選項A錯誤；對于選項B，平面α和平面β還有可能相交且不垂直或平行，所以選項B錯誤；對于選項C，因為l?α，l⊥β，所以α⊥β，所以選項C正確；對于選項D，直線m可能和平面α平行或相交，所以選項D錯誤．(2)如圖，平面α⊥平面β，α∩β＝l，A，C是α內(nèi)不同的兩點，B，D是β內(nèi)不同的兩點，且A，B，C，D?直線l，M，N分別是線段AB，CD的中點．下列推斷正確的是()A．當CD＝2AB時，M，N兩點不行能重合B．M，N兩點可能重合，但此時直線AC與l不行能相交C．當AB與CD相交，直線AC平行于l時，直線BD可以與l相交D．當AB，CD是異面直線時，直線MN可能與l平行答案B解析由于直線CD的兩個端點都可以動，所以M，N兩點可能重合，此時兩條直線AB，CD共面，由于兩條線段相互平分，所以四邊形ACBD是平行四邊形，因此AC∥BD，而BD?β，AC?B，所以由線面平行的判定定理可得AC∥β，又因為AC?α，α∩β＝l，所以由線面平行的性質(zhì)定理可得AC∥l，故選B.【感悟提升】解決空間點、線、面位置關(guān)系的組合推斷題，主要是依據(jù)平面的基本性質(zhì)、空間位置關(guān)系的各種狀況，以及空間線面垂直、平行關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理進行推斷，必要時可以利用正方體、長方體、棱錐等幾何模型協(xié)助推斷，同時要留意平面幾何中的結(jié)論不能完全引用到立體幾何中．【變式探究】(1)已知直線a，b，平面α，β，γ，下列命題正確的是()A．若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝a，則a⊥γB．若α∩β＝a，α∩γ＝b，β∩γ＝c，則a∥b∥cC．若α∩β＝a，b∥a，則b∥αD．若α⊥β，α∩β＝a，b∥α，則b∥a答案A解析A中，若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝a，則a⊥γ，該說法正確；B中，若α∩β＝a，α∩γ＝b，β∩γ＝c，在三棱錐P－ABC中，令平面α，β，γ分別為平面PAB，PAC，PBC，交線a，b，c為PA，PB，PC，不滿意a∥b∥c，該說法錯誤；C中，若α∩β＝a，b∥a，有可能b?α，不滿意b∥α，該說法錯誤；D中，若α⊥β，α∩β＝a，b∥α，正方體ABCD－A1B1C1D1中，取平面α，β為平面ABCD，ADD1A1，直線b為A1C1，滿意b∥α，不滿意b∥a，該說法錯誤．(2)若直線l1和l2是異面直線，l1在平面α內(nèi)，l2在平面β內(nèi)，l是平面α與平面β的交線，則下列命題正確的是A．l與l1，l2都相交B．l與l1，l2都不相交C．l至少與l1，l2中的一條相交D．l至多與l1，l2中的一條相交答案C解析方法一如圖1，l1與l2是異面直線，l1與l平行，l2與l相交，故A，B不正確；如圖2，l1與l2是異面直線，l1，l2都與l相交，故D不正確，故選C.方法二因為l分別與l1，l2共面，故l與l1，l2要么都不相交，要么至少與l1，l2中的一條相交．若l與l1，l2都不相交，則l∥l1，l∥l2，從而l1∥l2，與l1，l2是異面直線沖突，故l至少與l1，l2中的一條相交，故選C.題型二空間平行、垂直關(guān)系的證明空間平行、垂直關(guān)系證明的主要思想是轉(zhuǎn)化，即通過判定定理、性質(zhì)定理將線線、線面、面面之間的平行、垂直關(guān)系相互轉(zhuǎn)化．【例2】[2024·北京卷]如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F(xiàn)分別為AD，PB的中點．(1)求證：PE⊥BC；(2)求證：平面PAB⊥平面PCD；(3)求證：EF∥平面PCD.證明：(1)因為PA＝PD，E為AD的中點，所以PE⊥AD.因為底面ABCD為矩形，所以BC∥AD.所以PE⊥BC.(2)因為底面ABCD為矩形，所以AB⊥AD.又因為平面PAD⊥平面ABCD，所以AB⊥平面PAD，所以AB⊥PD.又因為PA⊥PD，所以PD⊥平面PAB.所以平面PAB⊥平面PCD.(3)如圖，取PC的中點G，連接FG，DG.因為F，G分別為PB，PC的中點，所以FG∥BC，F(xiàn)G＝eq\f(1,2)BC.因為四邊形ABCD為矩形，且E為AD的中點，所以DE∥BC，DE＝eq\f(1,2)BC.所以DE∥FG，DE＝FG.所以四邊形DEFG為平行四邊形．所以EF∥DG.又因為EF?平面PCD，DG?平面PCD，所以EF∥平面PCD.【方法技巧】1．證明線線平行的4種常用方法(1)利用平行公理，即證兩直線同時和第三條直線平行；(2)利用平行四邊形進行平行轉(zhuǎn)換；(3)利用三角形的中位線定理證線線平行；(4)利用線面平行、面面平行的性質(zhì)定理進行平行轉(zhuǎn)換．2．證明線線垂直的3種常用方法(1)利用等腰三角形底邊中線即高線的性質(zhì)；(2)勾股定理；(3)若M是PC的中點，求三棱錐M-ACD的體積．(1)證明∵AB∥DC，且AB?平面PCD，CD?平面PCD.∴AB∥平面PCD.(2)證明在直角梯形ABCD中，過C作CE⊥AB于點E，則四邊形ADCE為矩形∴AE＝DC＝1，又AB＝2，∴BE＝1，在Rt△BEC中，∠ABC＝45°，∴CE＝BE＝1，CB＝eq\r(2)，∴AD＝CE＝1，則AC＝eq\r(AD2＋DC2)＝eq\r(2)，∴AC2＋BC2＝AB2，∴BC⊥AC，又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BCPA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC(3)解∵M是PC中點，∴M到面ADC的距離是P到面ADC距離的一半VM-ACD＝eq\f(1,3)S△ACD·eq\f(1,2)PA＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×1×1))×eq\f(1,2)＝eq\f(1,12).【變式探究】(1)如圖，三棱柱ABC－A1B1C1的各棱長均為2，AA1⊥平面ABC，E，F(xiàn)分別為棱A1B1，BC的中點．①求證：直線BE∥平面A1FC1；②平面A1FC1與直線AB交于點M，指出點M的位置，說明理由，并求三棱錐B－EFM的體積．①證明取A1C1的中點G，連接EG，F(xiàn)G，∵點E為A1B1的中點，∴EG∥B1C1且EG＝eq\f(1,2)B1C1，∵F為BC中點，∴BF∥B1C1且BF＝eq\f(1,2)B1C1，所以BF∥EG且BF＝EG.所以四邊形BFGE是平行四邊形，所以BE∥FG，又BE?平面A1FC1，F(xiàn)G?平面A1FC1，所以直線BE∥平面A1FC1.②解M為棱AB的中點．理由如下：因為AC∥A1C1，AC?平面A1FC1，A1C1?平面A1FC1，所以直線AC∥平面A1FC1，又平面A1FC1∩平面ABC＝FM，所以AC∥FM.又F為棱BC的中點，所以M為棱AB的中點．△BFM的面積S△BFM＝eq\f(1,4)S△ABC＝eq\f(1,4)×eq\f(1,2)×2×2×sin60°＝eq\f(\r(3),4)，所以三棱錐B－EFM的體積VB－EFM＝VE－BFM＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×2＝eq\f(\r(3),6).(2)如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是邊長為a的菱形，PD⊥平面ABCD，∠BAD＝60°，PD＝2a，O為AC與BD的交點，E為棱PB上一點．①證明：平面EAC⊥平面PBD；②若PD∥平面EAC，三棱錐P－EAD的體積為18eq\r(3)，求a的值．①證明因為PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以PD⊥AC.又四邊形ABCD為菱形，所以AC⊥BD，又PD∩BD＝D，PD，BD?平面PBD，所以AC⊥平面PBD.又AC?平面EAC，所以平面EAC⊥平面PBD.②解連接OE.因為PD∥平面EAC，平面EAC∩平面PBD＝OE，所以PD∥OE.又AC∩BD＝O，所以O(shè)是BD的中點，所以E是PB的中點．因為四邊形ABCD是菱形，且∠BAD＝60°，所以取AD的中點H，連接BH，可知BH⊥AD，又因為PD⊥平面ABCD，BH?平面ABCD，所以PD⊥BH.又PD∩AD＝D，PD，AD?平面PAD，所以BH⊥平面PAD.由于AB＝a，所以BH＝eq\f(\r(3),2)a.因此點E到平面PAD的距離d＝eq\f(1,2)BH＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)a＝eq\f(\r(3),4)a，所以VP－EAD＝VE－PAD＝eq\f(1,3)S△PAD×d＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×a×2a×eq\f(\r(3),4)a＝eq\f(\r(3),12)a3＝18eq\r(3).解得a＝6.【感悟提升】垂直、平行關(guān)系的基礎(chǔ)是線線垂直和線線平行，常用方法如下：(1)證明線線平行常用的方法：一是利用平行公理，即證兩直線同時和第三條直線平行；二是利用平行四邊形進行平行轉(zhuǎn)換；三是利用三角形的中位線定理證明線線平行；四是利用線面平行、面面平行的性質(zhì)定理進行平行轉(zhuǎn)換．(2)證明線線垂直常用的方法：①利用等腰三角形底邊中線即高線的性質(zhì)；②勾股定理；③線面垂直的性質(zhì)，即要證線線垂直，只需證明一條直線垂直于另一條直線所在的平面即可，l⊥α，a?α?l⊥a.【變式探究】如圖，在四棱錐P－ABCD中，∠ADB＝90°，CB＝CD，點E為棱PB的中點．(1)若PB＝PD，求證：PC⊥BD；(2)求證：CE∥平面PAD.證明(1)取BD的中點O，連接CO，PO，因為CD＝CB，所以△CBD為等腰三角形，所以BD⊥CO.因為PB＝PD，所以△PBD為等腰三角形，所以BD⊥PO.又PO∩CO＝O，PO，CO?平面PCO，所以BD⊥平面PCO.因為PC?平面PCO，所以PC⊥BD.(2)由E為PB的中點，連接EO，則EO∥PD，又EO?平面PAD，PD?平面PAD，所以EO∥平面PAD.由∠ADB＝90°及BD⊥CO，可得CO∥AD，又CO?平面PAD，AD?平面PAD，所以CO∥平面PAD.又CO∩EO＝O，CO，EO?平面COE，所以平面CEO∥平面PAD，而CE?平面CEO，所以CE∥平面PAD.題型三平面圖形的翻折問題1．畫好兩圖：翻折之前的平面圖形與翻折之后形成的幾何體的直觀圖．2．把握關(guān)系：即比較翻折前后的圖形，精確把握平面圖形翻折前后的線線關(guān)系，哪些平行與垂直的關(guān)系不變，哪些平行與垂直的關(guān)系發(fā)生改變，這是精確把握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，進行空間線面關(guān)系邏輯推理的基礎(chǔ)．3．精確定量：即依據(jù)平面圖形翻折的要求，把平面圖形中的相關(guān)數(shù)量轉(zhuǎn)化為空間幾何體的數(shù)字特征，這是精確進行計算的基礎(chǔ)．例3、[2024·全國卷Ⅰ]如圖，在平行四邊形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90°.以AC為折痕將△ACM折起，使點M到達點D的位置，且AB⊥DA.(1)證明：平面ACD⊥平面ABC；(2)Q為線段AD上一點，P為線段BC上一點，且BP＝DQ＝eq\f(2,3)DA，求三棱錐Q-ABP的體積．【解析】(1)證明：由已知可得，∠BAC＝90°，即BA⊥AC.又BA⊥AD，所以AB⊥平面ACD.又AB?平面ABC，所以平面ACD⊥平面ABC.(2)解：由已知可得，DC＝CM＝AB＝3，DA＝3eq\r(2).又BP＝DQ＝eq\f(2,3)DA，所以BP＝2eq\r(2).如圖，過點Q作QE⊥AC，垂足為E，則QE綊eq\f(1,3)DC.由已知及(1)可得，DC⊥平面ABC，所以QE⊥平面ABC，QE＝1.因此，三棱錐Q-ABP的體積為VQ-ABP＝eq\f(1,3)×S△ABP×QE＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×3×2eq\r(2)sin45°×1＝1.【方法技巧】平面圖形翻折問題的求解方法(1)解決與折疊有關(guān)的問題的關(guān)鍵是搞清折疊前后的改變量和不變量，一般狀況下，線段的長度是不變量，而位置關(guān)系往往會發(fā)生改變，抓住不變量是解決問題的突破口．(2)在解決問題時，要綜合考慮折疊前后的圖形，既要分析折疊后的圖形，也要分析折疊前的圖形.【變式探究】如圖1，已知菱形AECD的對角線AC，DE交于點F，點E為AB中點．將△ADE沿線段DE折起到△PDE的位置，如圖2所示．(1)求證：DE⊥平面PCF；(2)求證：平面PBC⊥平面PCF；(3)在線段PD，BC上是否分別存在點M，N，使得平面CFM∥平面PEN？若存在，請指出點M，N的位置，并證明；若不存在，請說明理由．(1)證明折疊前，因為四邊形AECD為菱形，所以AC⊥DE，所以折疊后，DE⊥PF，DE⊥CF，又PF∩CF＝F，PF，CF?平面PCF，所以DE⊥平面PCF.(2)證明因為四邊形AECD為菱形，所以DC∥AE，DC＝AE.又點E為AB的中點，所以DC∥EB，DC＝EB，所以四邊形DEBC為平行四邊形，所以CB∥DE.又由(1)得，DE⊥平面PCF，所以CB⊥平面PCF.因為CB?平面PBC，所以平面PBC⊥平面PCF.(3)解存在滿意條件的點M，N，且M，N分別是PD和BC的中點．如圖，分別取PD和BC的中點M，N.連接EN，PN，MF，CM.因為四邊形DEBC