華科大工程傳熱學(xué)教案02穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱VIP

從本章開始將討論三種熱量傳遞方式的基本規(guī)律。分析傳熱問(wèn)題基本上是遵循經(jīng)典力學(xué)的研究方法，即針對(duì)物理現(xiàn)象建立物理模型，而后從基本定律導(dǎo)的理論分析方法。采用這種理論方法，我們就能夠達(dá)到預(yù)測(cè)傳熱系統(tǒng)的溫度分熱傳導(dǎo)問(wèn)題是傳熱學(xué)中最易于采用上述方法處理的熱傳遞方式。因此，在這一章中我們能夠針對(duì)熱傳導(dǎo)系統(tǒng)利用能量守恒定律和傅立葉定律建立起相應(yīng)問(wèn)題的關(guān)鍵之一是得到所討論對(duì)象的溫度場(chǎng)，由溫度場(chǎng)進(jìn)而可以得到某一點(diǎn)的溫度場(chǎng)是個(gè)數(shù)量場(chǎng)，可以用一個(gè)數(shù)量函數(shù)來(lái)表示。一般說(shuō)，溫度場(chǎng)是空間t=f(x,y,z,τ)(2-1)依照溫度分布是否隨時(shí)間而變，可將溫度場(chǎng)分為穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)和非穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)。穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)指穩(wěn)態(tài)情況下的溫度場(chǎng)，這時(shí)物體中各點(diǎn)溫度不隨時(shí)間改變，t=f(x,y,z)非穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)是指變動(dòng)工作條件下的溫度場(chǎng)，這時(shí)物體中各點(diǎn)溫度分布隨時(shí)間改變。非穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)中的導(dǎo)熱稱為非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱，其溫度對(duì)時(shí)間的偏導(dǎo)數(shù)不x同一瞬間溫度場(chǎng)中溫度相同的點(diǎn)連成的線或面稱為等溫線或等溫面。在三維情況下可以畫出物體中的等溫面，而等溫面上的任何一條線都是等溫線。在二維情況下等溫面則變?yōu)榈葴厍€。x由于同一時(shí)刻物體中任一點(diǎn)不可能具有兩個(gè)溫度值，因此不同的等溫線或等溫面不可能相交。等溫線要么形成一個(gè)封閉的曲線，要么終止溫度的變化率沿不同的方向一般是不同的，如圖2-1所示。溫度沿某一的變化率在數(shù)學(xué)上可以用該方向上溫度對(duì)坐標(biāo)的偏在各個(gè)不同方向的溫度變化率中，有一個(gè)方向的變化率是最大的，這個(gè)方向是等溫線或等溫面的法線方向。在數(shù)學(xué)上用矢量—梯度來(lái)表示這個(gè)方向的變溫度梯度是矢量,其方向?yàn)檠氐葴孛娴姆ň€指 其中分別為溫度對(duì)x,y,z方向的偏導(dǎo)數(shù)；i,j,k分別為x,y,z方▽(2-5)gradt=▽t由第一章可知，當(dāng)物體內(nèi)部存在溫度梯度時(shí)，能量就會(huì)通過(guò)熱傳導(dǎo)從溫度高的區(qū)域傳遞到溫度低的區(qū)域。熱流密度定義為單位時(shí)間通過(guò)單位面積的熱流度變化率成正比。熱流密度也是矢量，其方向指向溫度降低的方向，因而和溫由于熱流密度方向與等溫線的法線方向總是處在同一條直線上，故熱流線和等溫線是相互正交的。應(yīng)該指出，如上形式的傅里葉定律只適用于各向同性材料，這時(shí)，不同方向上的導(dǎo)熱系數(shù)是相同的。而對(duì)各向異性材料，導(dǎo)熱系數(shù)隨選定的方向不同而不同。各向異性材料中的傅里葉定律導(dǎo)熱系數(shù)（即熱導(dǎo)率）是出現(xiàn)在傅里葉定律中的比例常數(shù)，它表示物質(zhì)導(dǎo)絕大多數(shù)材料的導(dǎo)熱系數(shù)都是根據(jù)上式平板的熱流量與平板兩側(cè)溫度和平板厚度之Φt1t2δx若通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)出了流過(guò)平板的熱流量、平板兩側(cè)溫度和平板厚度，則材料從微觀角度看，氣體導(dǎo)熱、固體導(dǎo)熱和液體導(dǎo)熱在機(jī)理上是不同的。按照熱力學(xué)的觀點(diǎn)，溫度是物體微觀粒子平均動(dòng)能大小的標(biāo)志，溫度愈高，微觀粒子的平均動(dòng)能愈大。當(dāng)物體內(nèi)部或相互接觸的物體表面之間存在溫差時(shí)，高溫處的微觀粒子就會(huì)通過(guò)運(yùn)動(dòng)（位移、振動(dòng)）或碰撞將熱量傳向低溫處。例如氣體中分子、原子的不規(guī)則熱運(yùn)動(dòng)或碰撞；金屬中自由電子的運(yùn)動(dòng)；非金屬中晶格的振動(dòng)等等。所以，氣體導(dǎo)熱是分子不規(guī)則熱運(yùn)動(dòng)時(shí)相互碰撞的結(jié)果。固體導(dǎo)熱可分為導(dǎo)電固體和非導(dǎo)電固體兩種情況。對(duì)導(dǎo)電固體，自由電子在晶格之間像氣體分子那樣運(yùn)動(dòng)而傳遞能量。對(duì)于非導(dǎo)電固體，能量的傳遞依賴于晶格結(jié)構(gòu)的振動(dòng)，即原子、分子在平衡位置附近的振動(dòng)。液體的導(dǎo)熱機(jī)理在定性上類似于氣體，但比氣體的情況要復(fù)雜得多，這時(shí)分子的距離更近，分子力場(chǎng)對(duì)碰撞引起的能量傳遞有強(qiáng)烈的影響。也有的觀點(diǎn)認(rèn)為液體導(dǎo)熱的機(jī)理類似于非導(dǎo)熱系數(shù)是物質(zhì)的固有特性之一。影響導(dǎo)熱系數(shù)因素主要有物質(zhì)的種類， 物質(zhì)所處的溫度和壓力，與材料的幾何形狀沒(méi)有關(guān)系。在—般工程應(yīng)用的壓力4]，工程上常用材料在特定溫度下的熱導(dǎo)系數(shù)見書后附錄。特殊材料或者特殊一般說(shuō)來(lái)，金屬材料的導(dǎo)熱系數(shù)比非金屬的導(dǎo)熱系數(shù)要大得多。導(dǎo)電性能的導(dǎo)熱系數(shù)大于其合金的導(dǎo)熱系數(shù)。這主要是由于合金中的雜質(zhì)(或其它金屬)破壞了晶格的結(jié)構(gòu),并且阻礙自由電子的運(yùn)動(dòng)；例如，純銅在20℃溫度下的導(dǎo)圖2-3所示是一些物質(zhì)的導(dǎo)材料的導(dǎo)熱系數(shù)對(duì)溫度的依變關(guān)式中λ0為材料在0℃下的導(dǎo)導(dǎo)熱系數(shù)小于某一界定值的材料稱為保溫材料或絕熱材料或時(shí)導(dǎo)熱系數(shù)小于0.12W/(m由前面的分析可知，若知道了溫度梯度，就可以由傅里葉定律求出熱流密度。故獲得溫度場(chǎng)是求解導(dǎo)熱問(wèn)題的關(guān)鍵。導(dǎo)熱微分方程是用數(shù)學(xué)方法描述導(dǎo)熱溫度場(chǎng)的一般性規(guī)律的方程，很多問(wèn)題都可以通過(guò)求解微分方程而得到有效將熱力學(xué)基本定律—能量守恒定律和導(dǎo)熱基本定律—傅里葉定律應(yīng)用于微元控制體，可建立導(dǎo)熱微分方程。為了使分析簡(jiǎn)化,內(nèi)熱源強(qiáng)度（即單位時(shí)間、單位.體積的生成熱）記作Φ,單位為參考圖2-4所示的微元平行dΦin+dQ=dΦout+dU(2-1dΦin=dΦx+dΦy+dΦz(mì)dΦout=dΦx+dx+dΦy+dy+dΦz(mì)+dz(2-14) 這是導(dǎo)熱微分方程的一般形式。等號(hào)左邊是單位時(shí)間內(nèi)微元體熱力學(xué)能的增量，通常稱為非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)；右邊的前三項(xiàng)是擴(kuò)散項(xiàng)，是由導(dǎo)熱引起，最后一項(xiàng)a值可由較大的λ值或較小的ρc值得到。λ越大，單位溫度梯度導(dǎo)入的熱量就▽(2-23)式中,▽2是拉普拉斯算子,在直角坐標(biāo)系中z)比較方便,如圖2-5所示。采用和直角坐標(biāo)系相同的方法, zt(r,?,z)xyxx?r?zrrθyy??上面導(dǎo)出的導(dǎo)熱微分方程是描寫物體的溫度隨空間坐標(biāo)及時(shí)間變化的一般性關(guān)系式，它是在一定的假設(shè)條件下根據(jù)微元體在導(dǎo)熱過(guò)程中的能量守恒和傅了導(dǎo)熱微分方程之外,還必須說(shuō)明導(dǎo)熱過(guò)程的具體特點(diǎn),即給出導(dǎo)熱微分方程的單值性條件或定解條件，使導(dǎo)熱微分方程具有唯一解。如必須給出所討論對(duì)象的幾何形狀和尺寸，物性參數(shù)等條件。更重要的是，定解條件必須給出時(shí)間條件和邊界條件。導(dǎo)熱微分方程與定解條件一起構(gòu)成了具體導(dǎo)熱過(guò)程的數(shù)學(xué)描時(shí)間條件用來(lái)說(shuō)明導(dǎo)熱過(guò)程進(jìn)行的時(shí)間上的特點(diǎn),例如是穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱還是非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱。對(duì)于非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過(guò)程，必須給出過(guò)程開始時(shí)物體內(nèi)部的溫度分布規(guī)T?τ=0=f(x,y,z)(2-30)邊界條件用來(lái)說(shuō)明導(dǎo)熱物體邊界上的熱狀態(tài)以及與周圍環(huán)境之間的相互作用,例如,邊界上的溫度、熱流密度分布以及物體通過(guò)邊界與周圍環(huán)境之間的熱t(yī)w=f(x,y,z,τ)(2-31)tw=f(x,y,z,τ)(2-32)應(yīng)該等于從邊界面?zhèn)鹘o周圍流體的熱流密度，于是由傅里葉定律和牛頓冷卻公該式建立了物體內(nèi)部溫度在邊界處的變化率與邊界處表面對(duì)流傳熱 從第三類邊界條件表達(dá)式可以看出,在一定的情況下,第三類邊界條件將已知的流體溫度，tw≈tf,這時(shí)第三類邊界條邊界處除了對(duì)流換熱還存在與周圍環(huán)境之間的輻射換熱,則由物體邊界面的熱界面和周圍環(huán)境溫度的四次方有關(guān)，此外，還與物體邊界面與周圍環(huán)境的輻射特性有關(guān)，所以上式是溫度的復(fù)雜函數(shù)。這種對(duì)流換熱與輻射換熱疊加的復(fù)合換熱邊界條件是非線性的邊界條件。本書主要討論具有線性邊界條件的導(dǎo)熱問(wèn)綜上所述，對(duì)一個(gè)具體導(dǎo)熱過(guò)程完整的數(shù)學(xué)描述，應(yīng)該包括導(dǎo)熱微分方程和定解條件兩個(gè)方面。在建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程中，應(yīng)該根據(jù)導(dǎo)熱過(guò)程的特點(diǎn)，進(jìn)行合理的簡(jiǎn)化，力求能夠比較真實(shí)地描述所研究的導(dǎo)熱問(wèn)題。對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解,就可以得到物體的溫度場(chǎng),進(jìn)而根據(jù)傅里葉定律就可以確定相應(yīng)的熱數(shù)值解法和實(shí)驗(yàn)方法，這也是求解所有傳熱學(xué)問(wèn)題的三種基本方法。本章主要現(xiàn)在討論第一類邊界條件下通過(guò)大平壁的導(dǎo)熱問(wèn)題。當(dāng)平壁的邊長(zhǎng)比厚度大很多時(shí)，平壁的導(dǎo)熱可以近似地作為一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱處理。已知平平壁的溫度分布和通過(guò)平壁的熱流密度。假設(shè)導(dǎo)t1δxc2=t1由此可知，平壁中的溫度分布是線性的，溫度梯度為常數(shù)，表明熱流密度)只要任意知道三個(gè)就可以求出第四個(gè)。由此可設(shè)計(jì)穩(wěn)態(tài)法測(cè)量導(dǎo)熱系數(shù)的實(shí)驗(yàn)。在穩(wěn)態(tài)情況下采用平壁法測(cè)量導(dǎo)熱系數(shù)時(shí)，對(duì)于已知截面積A和厚度δ的平壁，需量這一溫差Δt和通過(guò)平壁的熱流量Φ,由式(2-38)可得出材料的導(dǎo)熱系數(shù)為： 在日常生活與工程上,經(jīng)常遇到由幾層不同材料組成的多層平壁,例如,房用于隔熱的夾氣層或保溫層以及普通磚砌的外墻構(gòu)成,大型鍋爐還外包一層鋼板。當(dāng)這種多層平壁的表面溫度均勻不變時(shí)，其導(dǎo)熱也是一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱。有了熱阻概念，就可以很方便地計(jì)算多層平壁的導(dǎo)熱，每一層可當(dāng)作一個(gè)熱阻，若t1t2t3t1t2t3t4t1上面的討論假定導(dǎo)熱系數(shù)是常數(shù)。若導(dǎo)熱系數(shù)是溫度的線性函數(shù)，即 上面在分析多層平壁的導(dǎo)熱時(shí)，都假設(shè)層與層之間接觸非常緊密，相互接觸的表面具有相同的溫度。實(shí)際上，無(wú)論固體表面看上去多么光滑，都不是一個(gè)理想的平整表面，總存在一定的粗糙度。實(shí)際的兩個(gè)固體表面之間不可能完全接觸，只能是局部的、甚至存在點(diǎn)接觸，如圖2-由于氣體的熱導(dǎo)率遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于固體,就會(huì)對(duì)兩個(gè)固體間的導(dǎo)熱過(guò)程產(chǎn)生附加熱阻Rc，稱之為接觸熱阻。由于接觸熱阻的存在，使導(dǎo)熱過(guò)程中兩個(gè)接觸表面之間Δt=ΦR就愈大。對(duì)于高熱流密度場(chǎng)合，接觸熱阻的影響不容忽視，例如大功率可控硅元件，熱流密阻產(chǎn)生較大的溫差，影響可控硅元件的散熱，(1)相互接觸的物體表面的粗糙度：粗糙(2)相互接觸的物體表面的硬度：在其它條件相同的情況下，兩個(gè)都比較堅(jiān)硬的表面之間接觸面積較小，因此接觸熱阻較大，而兩個(gè)硬度較小或者一個(gè)(3)相互接觸的物體表面之間的壓力：顯然，加大壓力會(huì)使兩個(gè)物體直接在工程上，為了減小接觸熱阻，除了盡可能拋光接觸表面、加大接觸壓力之外，有時(shí)在接觸表面之間加一層熱導(dǎo)率數(shù)大、硬度又很小的純銅箔或銀箔，由于接觸熱阻的影響因素非常復(fù)雜，至今仍無(wú)統(tǒng)一的規(guī)律可循，只能通過(guò)溫度t1=500℃,外壁溫度t2=50℃,求爐墻單位面積、單位時(shí)間的熱損失。W/(m.K)。如果測(cè)得冬季室內(nèi)外玻璃表面溫度分別為15℃和5℃,試求玻璃窗的散熱損失，現(xiàn)在討論第一類邊界條件下通過(guò)圓筒壁的導(dǎo)熱問(wèn)題。當(dāng)圓筒的長(zhǎng)度比半徑大很多時(shí)，圓筒壁的導(dǎo)熱也可以近似地作為沿半徑方向一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱處理。參圓筒壁的熱流密度。采用圓柱坐標(biāo)系，假設(shè)導(dǎo)熱系數(shù)λ為常數(shù)，由式(2-27)，穩(wěn) r=r2：t=t2由于不同半徑處圓筒有不同的截面積，從而通過(guò)圓筒壁的熱流密度在不同λW/(m.K)，管內(nèi)壁面溫度為tw1=300℃,保溫層外壁面溫度為tw3=50℃。試求單位管長(zhǎng)的散定律直接積分也可以得到相同的結(jié)一維問(wèn)題的一個(gè)重要特點(diǎn)是熱流量x1x2x1x2x 或是所考慮溫度區(qū)間導(dǎo)熱系數(shù)的平均值。故最終得通過(guò)這一變截面物體的熱流量性函數(shù)時(shí)，可用平均溫度下的λ值作為平均值。若λ=λ0(1+bt)時(shí)：前面討論的都是無(wú)內(nèi)熱源的一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題。在工程應(yīng)用中，也經(jīng)常遇到有內(nèi)熱源的導(dǎo)熱問(wèn)題，如電流通過(guò)導(dǎo)體時(shí)的發(fā)熱、化工過(guò)程中的放熱和吸熱反應(yīng)、反應(yīng)堆中燃料元件的核反應(yīng)熱等等。在有內(nèi)熱源時(shí)，即使是一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱，熱流量沿傳熱方向也是不斷變化的，微分方程中必hfhf.Φδδδxo將x=0的邊界條件代入上式可得c1=0。再將c1=由結(jié)果可知，具有均勻內(nèi)熱源的平壁溫度分布為拋物線，上面我們分析的是第三類邊界條件下的結(jié)果，當(dāng)h→∞時(shí)，tf→tw，這時(shí)第三類邊界條件變?yōu)榈谝活愡吔鐥l件。在式(2-54)中令h→∞和tf=tw可得 .r=R,t=tw.1r=r2,t=t2I2R=Φ=hπdL(tw-t∞) 如第一章所述，傳熱工程包含串聯(lián)著的三個(gè)環(huán)節(jié)常遇到其中一個(gè)對(duì)流環(huán)節(jié)熱阻較大，強(qiáng)化這個(gè)環(huán)節(jié)的加整個(gè)傳熱過(guò)程的傳熱量非常重要。由牛頓冷卻公式肋片是依附于基礎(chǔ)表面上的擴(kuò)展表面。肋片能夠強(qiáng)化傳熱有兩個(gè)原因，一是擴(kuò)展表面增加了傳熱面積，二是擴(kuò)展表面的存在破壞了對(duì)流邊界層，增加了子整體軋制或纏繞、嵌套金屬薄片并經(jīng)加工制成，加工的方法有焊接、浸鍍或肋片導(dǎo)熱和平壁及圓筒壁的導(dǎo)熱有很大的區(qū)別，其基本特征是在肋片伸展的方向上有表面的對(duì)流換熱及輻射換熱，因而熱流量沿傳遞方向不斷變化。另外，肋片表面的所傳遞的熱量都來(lái)自（或進(jìn)入）肋片根部，即肋片與基礎(chǔ)表面的相交面。我們分析肋片導(dǎo)熱的目的是要得到肋片的溫度分布和通過(guò)肋片的熱 θ=c1emx+c2e?mx?t∞另一邊界條件取決于肋片端部x=H處的條件，有如下三種可能：θ=θ0e-mx(2-68)相比之下，第三情況假定肋片端部絕熱的結(jié)果最實(shí)用，得出的結(jié)果相對(duì)簡(jiǎn)單。由于肋片端部面積較小，這一假定所帶來(lái)的誤差不大。先由邊界條件確定x=H：θ=c1emH-c2e-mH現(xiàn)在來(lái)計(jì)算肋片表面的傳熱量，從肋片的結(jié)構(gòu)可知，由肋片表面散入外界 為了表征肋片散熱的有效程度，經(jīng)常要用到肋效率的概念。肋效率ηf定義ηf= P=2+2δ≈2在上面的分析中假設(shè)肋端面的散熱量為零，這對(duì)于工程中采用的大多數(shù)薄而高的肋片來(lái)說(shuō)，用上述公式進(jìn)行計(jì)算已足夠精確。如果必須考慮肋端面的散想肋高H′=H+δ/2代替實(shí)際肋高H。 鋼板中心處x=l=L/2：故鋼板中心溫度為：t=22.39+20端點(diǎn)鑲嵌在套管的端部，如圖2-18所示。套管長(zhǎng)材料的導(dǎo)熱系數(shù)λ=45W/(m.K)。已知熱電偶的指示溫度為200℃,套管根部的溫度t0=50℃,套管外表面與空氣之間對(duì)流換熱的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為h=40W/(m2.K)。[解]由于熱電偶是鑲嵌在套管的端部，所以熱電偶指示不等于空氣的溫度，測(cè)溫誤差就是套管端部的過(guò)余溫度θH=tH?t∞。套管截面面積A=πdδ,套管換熱周長(zhǎng)P=πt∞=216.9℃tH?t∞=?16.9℃熱系數(shù)。由于cosh(x)是增函數(shù)，mH越大，則測(cè)溫誤差越小。因此，要減小測(cè)溫誤前面一節(jié)我們分析了簡(jiǎn)單的一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題，對(duì)于多維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題，分析解法要困難得多，只有對(duì)少數(shù)幾何形狀、邊界條件簡(jiǎn)單情況，才能獲得分析解，得出溫度分布和熱流密度等。對(duì)于多維導(dǎo)熱問(wèn)題，有三種可能的求解方法，即分析解法、數(shù)值解法和形狀因子法。當(dāng)無(wú)法得出分析解時(shí)，可采用數(shù)值解法，借助計(jì)算機(jī)求得問(wèn)題的解。第三種方法是形狀因子法。本節(jié)我們先簡(jiǎn)單介紹二維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的分析解，然后介紹求解多維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的形狀因子法。 yt=f(x)ybt1bt11t11axy=0:t=t1;y=b:t=t1+x=0:x=a:y=0:θ(x,y)=X(x)Y(y)