浙江省寧波市余姚市余姚中學(xué)2024-2025學(xué)年高二下數(shù)學(xué)期末聯(lián)考模擬試題含解析

浙江省寧波市余姚市余姚中學(xué)2024-2025學(xué)年高二下數(shù)學(xué)期末聯(lián)考模擬試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設(shè)復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則的虛部為（）A． B． C． D．2．在中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若角A，C，B成等差數(shù)列，且，則的形狀為（）A．直角三角形 B．等腰非等邊三角形C．等邊三角形 D．鈍角三角形3．6本相同的數(shù)學(xué)書和3本相同的語文書分給9個人，每人1本，共有不同分法（）A． B．C． D．4．若某校研究性學(xué)習小組共6人，計劃同時參觀科普展，該科普展共有甲，乙，丙三個展廳，6人各自隨機地確定參觀順序，在每個展廳參觀一小時后去其他展廳，所有展廳參觀結(jié)束后集合返回，設(shè)事件A為：在參觀的第一小時時間內(nèi)，甲，乙，丙三個展廳恰好分別有該小組的2個人；事件B為：在參觀的第二個小時時間內(nèi)，該小組在甲展廳人數(shù)恰好為2人，則（）．A． B． C． D．5．已知雙曲線的一條漸近線方程為，，分別是雙曲線的左，右焦點，點在雙曲線上，且，則等于（）．A． B． C．或 D．或6．已知函數(shù)且，則的值為()A．1 B．2 C． D．-27．三位男同學(xué)和兩位女同學(xué)隨機排成一列，則女同學(xué)甲站在女同學(xué)乙的前面的概率是（）A． B． C． D．8．小紅和小明利用體育課時間進行投籃游戲，規(guī)定雙方各投兩次，進球次數(shù)多者獲勝．已知小紅投籃命中的概率為，小明投籃命中的概率為，且兩人投籃相互獨立，則小明獲勝的概率為（）A． B． C． D．9．已知實數(shù)滿足，則下列說法錯誤的是（）A． B．C． D．10．函數(shù)的零點個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．311．已知全集，集合，，則圖中陰影部分表示的集合為（）A． B． C． D．12．干支紀年法是中國歷法上自古以來就一直使用的紀年方法，主要方式是由十天干（甲、乙、丙、丁、戊、己、廢、辛、壬、朵）和十二地支（子、丑、卯、辰、已、午、未、中、百、戊、）按順序配對，周而復(fù)始，循環(huán)記錄．如：1984年是甲子年，1985年是乙丑年，1994年是甲戌年，則數(shù)學(xué)王子高斯出生的1777年是干支紀年法中的（）A．丁申年 B．丙寅年 C．丁酉年 D．戊辰年二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某地環(huán)保部門召集6家企業(yè)的負責人座談，其中甲企業(yè)有2人到會，其余5家企業(yè)各有1人到會，會上有3人發(fā)言，則發(fā)言的3人來自3家不同企業(yè)的可能情況的總數(shù)為_______．14．如圖，用6種不同的顏色給圖中的4個格子涂色，每個格子涂一種顏色，要求最多使用3種顏色且相鄰的兩個格子顏色不同，則不同的涂色方法共有種（用數(shù)字作答）．15．設(shè)，若隨機變量的分布列是：則當變化時，的極大值是______.16．一只螞蟻位于數(shù)軸處，這只螞蟻每隔一秒鐘向左或向右移動一個單位，設(shè)它向右移動的概率為，向左移動的概率為，則3秒后，這只螞蟻在x=1處的概率為________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，，.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值.18．（12分）已知復(fù)數(shù).（1）化簡：；（2）如果，求實數(shù)的值.19．（12分）在平面直角坐標系中,已知函數(shù)的圖像與直線相切,其中是自然對數(shù)的底數(shù).(1)求實數(shù)的值；(2)設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個極值點.①求實數(shù)的取值范圍；②設(shè)函數(shù)的極大值和極小值的差為,求實數(shù)的取值范圍.20．（12分）已知的展開式中，第項與第項的二項式系數(shù)之比是.（1）求展開式中各項系數(shù)的和；（2）求展開式中的常數(shù)項；（3）求展開式中二項式系數(shù)最大的項.21．（12分）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù).（1）求a的值：（2）求函數(shù)的值域；（3）當時，恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.22．（10分）已知橢圓：的離心率為，短軸長為1．（1）求橢圓的標準方程；（1）若圓：的切線與曲線相交于、兩點，線段的中點為，求的最大值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】分析:先化簡復(fù)數(shù)z,再求z的虛部.詳解：由題得=，故復(fù)數(shù)z的虛部為-1,故答案為C.點睛：（1）本題主要考查復(fù)數(shù)的運算，意在考查學(xué)生對該知識的掌握水平和運算能力.(2)復(fù)數(shù)的實部是a,虛部為b，不是bi.2、C【解析】

由已知利用等差數(shù)列的性質(zhì)可得，由正弦定理可得，根據(jù)余弦定理可求，即可判斷三角形的形狀．【詳解】解：由題意可知，，因為，所以，則，所以，所以，故為等邊三角形．故選：．本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，正弦定理，余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．3、A【解析】先分語文書有種，再分數(shù)學(xué)書有，故共有=，故選A.4、A【解析】

先求事件A包含的基本事件，再求事件AB包含的基本事件，利用公式可得.【詳解】由于6人各自隨機地確定參觀順序，在參觀的第一小時時間內(nèi)，總的基本事件有個；事件A包含的基本事件有個；在事件A發(fā)生的條件下，在參觀的第二個小時時間內(nèi)，該小組在甲展廳人數(shù)恰好為2人的基本事件為個，而總的基本事件為，故所求概率為,故選A.本題主要考查條件概率的求解，注意使用縮小事件空間的方法求解.5、D【解析】由，可得，又由題意得雙曲線的漸近線方程為，∴∴，根據(jù)雙曲線的定義可得，∴或．經(jīng)檢驗知或都滿足題意．選．點睛：此類問題的特點是已知雙曲線上一點到一個焦點的距離，求該點到另一個焦點的距離，實質(zhì)上是考查雙曲線定義的應(yīng)用．解題時比較容易忽視對求得的結(jié)果進行驗證，實際上，雙曲線右支上的點到左焦點的最小距離為，到右焦點的最小距離為．同樣雙曲線左支上的點到右焦點的最小距離是，到左焦點的最小距離是．6、D【解析】分析：首先對函數(shù)求導(dǎo)，然后結(jié)合題意求解實數(shù)a的值即可.詳解：由題意可得：，則，據(jù)此可知：.本題選擇D選項.點睛：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運算法則及其應(yīng)用，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.7、A【解析】

三男兩女的全排列中女同學(xué)甲要么站在女同學(xué)乙的前面要么站在女同學(xué)的后面．【詳解】三男兩女的全排列中女同學(xué)甲要么站在女同學(xué)乙的前面要么站在女同學(xué)的后面．即概率都為本題考查排位概率，屬于基礎(chǔ)題．8、D【解析】

由題意可知，用表示小明、小紅的進球數(shù)，所以當小明獲勝時，進球情況應(yīng)該是，由相互獨立事件同時發(fā)生的乘法公式以及互斥事件的概率加法公式，即可求得?！驹斀狻坑深}意可知，用表示小明、小紅的進球數(shù)，所以當小明獲勝時，進球情況應(yīng)該是，小明獲勝的概率是故選D。本題主要考查相互獨立事件同時發(fā)生的乘法公式以及互斥事件的概率加法公式的應(yīng)用，意在考查學(xué)生分類討論思想意識以及運算能力。9、A【解析】

設(shè)，證明單調(diào)遞增，得到，構(gòu)造函數(shù)根據(jù)單調(diào)性到正確，取，，則不成立，錯誤，得到答案.【詳解】設(shè)，則恒成立，故單調(diào)遞增，，即，即，.取，，則不成立，錯誤；設(shè)，則恒成立，單調(diào)遞增，故，就，正確；同理可得：正確.故選：.本題考查了根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性比較式子大小，意在考查學(xué)生對于函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用.10、B【解析】

因為和在均為增函數(shù)，所以在單調(diào)遞增，所以函數(shù)至多一個零點，再給賦值，根據(jù)可得函數(shù)在上有一個零點【詳解】因為與均在上為增函數(shù)，所以函數(shù)至多一個零點又，，，即函數(shù)在上有一個零點答案選B零點問題可根據(jù)零點存在定理進行判斷，也可采用構(gòu)造函數(shù)法，根據(jù)構(gòu)造的兩新函數(shù)函數(shù)交點個數(shù)來確定零點個數(shù)11、D【解析】

分析：先求出A集合，然后由圖中陰影可知在集合A中出去A,B的交集部分即可.詳解：由題得：所以故有題中陰影部分可知：陰影部分表示的集合為故選D.點睛：考查集合的交集和補集，對定義的理解是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】

天干是以10為公差的等差數(shù)列，地支是以12為公差的等差數(shù)列，按照這個規(guī)律進行推理，即可得到結(jié)果．【詳解】由題意，天干是以10為公差的等差數(shù)列，地支是以12為公差的等差數(shù)列，1994年是甲戌年，則1777的天干為丁，地支為酉，故選：C．本題主要考查了等差數(shù)列的定義及等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中認真審題，合理利用等差數(shù)列的定義，以及等差數(shù)列的性質(zhì)求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、30種【解析】

對發(fā)言的3人進行討論，一類是3個中有來自甲企業(yè)，一類是3人中沒有來自甲企業(yè).【詳解】（1）當發(fā)言的3人有來自甲企業(yè)，則共有：；（2）當發(fā)言的3人沒有來自甲企業(yè)，則共有：；所以可能情況的總數(shù)為種.本題考查分類與分步計數(shù)原理，解題的關(guān)鍵在于對3個發(fā)言人來自企業(yè)的討論，即有來自甲和沒有來自甲.14、390【解析】

用2色涂格子有種方法,

用3色涂格子,第一步選色有,第二步涂色,共有種,

所以涂色方法種方法,

故總共有390種方法.

故答案為:39015、【解析】分析:先求出,再求,利用二次函數(shù)的圖像求的極大值.詳解:由題得,所以所以當時,的極大值是.故答案為：.點睛：（1）本題主要考查離散型隨機變量的方差的計算，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和基本的計算能力.(2)對于離散型隨機變量，如果它所有可能取的值是，，…，，…，且取這些值的概率分別是，，…，，那么＝＋＋…＋16、【解析】

3秒后，這只螞蟻在x=1處的概率即求螞蟻三次移動中，向右移動兩次，向左移動一次的概率，由次獨立重復(fù)試驗的概率計算即可?！驹斀狻?秒后，這只螞蟻在x=1處的概率即求螞蟻三次移動中，向右移動兩次，向左移動一次的概率，所以本題主要考查獨立重復(fù)試驗概率的計算，屬于基礎(chǔ)題。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）．【解析】分析：（1）先證明，，再證明平面.(2)利用向量方法求直線與平面所成角的正弦值.詳解：（Ⅰ）因為，平面平面，，所以平面，所以，又因為，所以平面；（Ⅱ）取的中點，連結(jié)，，因為，所以.又因為平面，平面平面，所以平面.因為平面，所以.因為，所以.如圖建立空間直角坐標系，由題意得，，，，，.設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，.所以.又，所以.所以直線與平面所成角的正弦值為.點睛：（1）本題主要考查線面位置關(guān)系的證明，考查直線和平面所成的角的求法，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和空間想象轉(zhuǎn)化能力.(2)直線和平面所成的角的求法方法一：（幾何法）找作（定義法）證（定義）指求（解三角形），其關(guān)鍵是找到直線在,平面內(nèi)的射影作出直線和平面所成的角和解三角形.方法二：（向量法），其中是直線的方向向量，是平面的法向量，是直線和平面所成的角.18、（1）；（2）.【解析】

（1）由復(fù)數(shù)z求出，然后代入復(fù)數(shù)ω＝z2+34化簡求值即可；（2）把復(fù)數(shù)z代入，然后由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡求值，再根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義列出方程組，從而解方程組可求得答案．【詳解】（1）∵，∴,∴.（2）∵,∴解得：本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了復(fù)數(shù)模的求法，考查了復(fù)數(shù)相等的定義，是基礎(chǔ)題．19、（1）2；（2）①；（2）.【解析】分析：(1)直接利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求得c值(2)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個極值點，則在區(qū)間內(nèi)有兩個不同跟即可；的極大值和極小值的差為進行化簡分析；詳解：(1)設(shè)直線與函數(shù)相切于點，函數(shù)在點處的切線方程為:，，把代入上式得.所以,實數(shù)的值為.(2)①由(1)知,設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個極值點，令,則,設(shè),因為,故只需,所以,.②因為,所以，由,得,且..設(shè),,令，，(在上單調(diào)遞減,從而，所以,實數(shù)的取值范圍是.點睛：導(dǎo)數(shù)問題一直是高考中的必考考點，也是難點，函數(shù)在某區(qū)間有兩個極值點，說明該函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)有兩個解，在此類問題中經(jīng)常跟二次函數(shù)結(jié)合在一起考查，所以要熟練掌握二次函數(shù)根的分布.20、（1）1;（2）180;（3）.【解析】

（1）利用條件、組合數(shù)公式，求得的值，可得展開式中各項系數(shù)的和．（2）利用二項展開式的通項公式，求得展開式中的常數(shù)項．（3）由題意利用二項式系數(shù)的性質(zhì)，求出二項式系數(shù)最大的項．【詳解】解：（1）由題意知，，即，求得，故令，可得展開式中各項系數(shù)的和為．（2）由于二項式的通項公式為，令，求得，故展開式中的常數(shù)項為．（3）要使二項式系數(shù)最大，只要最大，故，故二項式系數(shù)最大的項為第6項．本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項展開式的通項公式，二項式系數(shù)的性質(zhì).21、（1）（2）（3）【解析】

（1）利用函數(shù)是奇函數(shù)的定義求解a即可(2)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的值域即可(3)利用函數(shù)恒成立，分離參數(shù)m,利用換元法，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求解最大值，推出結(jié)果即可.【詳解】（1）∵是R上的奇函數(shù)，∴即：.即整理可得.（