2023-2024學(xué)年河南省南陽地區(qū)高二下學(xué)期期末適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省南陽地區(qū)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題注意事項：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：北師大版選擇性必修第一、二冊.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若數(shù)列滿足，，則（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】A【解析】因為數(shù)列滿足，，所以，，所以.故選：A2.某運動物體的位移（單位：米）關(guān)于時間（單位：秒）的函數(shù)關(guān)系式為，則該物體在秒時的瞬時速度為（）A.米/秒 B.米/秒 C.米/秒 D.米/秒【答案】D【解析】，當時，有，故該物體在秒時的瞬時速度為米/秒.故選：D.3.的展開式中的系數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】對有，令，得，則有，即的系數(shù)為.故選：B.4.若是正項無窮的等差數(shù)列，且，則的公差的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，得，得，因為是正項無窮的等差數(shù)列，所以，所以，得，即的公差的取值范圍是.故選：D5.已知點在拋物線上，過點作圓的切線，若切線長為，則點到的準線的距離為（）A.5 B.6 C.7 D.【答案】A【解析】如圖所示：設(shè)切點為Q，則|CQ|=1,|PQ|=26則PC=設(shè)Px,y，則由兩點間距離公式得到(x-4)解得，因為y2=8x≥0，所以，因為的準線方程為，所以點到的準線的距離PE為3--2=5.故選：A.6.已知直線與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．令，得，所以直線與的圖象相切時的切點為，此時，所以當時，直線與的圖象有兩個不同的交點．故選：A.7.甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中，則此人繼續(xù)投籃；若未命中，則換對方投籃.已知甲每次投籃的命中率均為0.8，乙每次投籃的命中率均為0.7，甲、乙每次投籃的結(jié)果相互獨立.抽簽確定第一次投籃的人選，第一次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5，則第三次投籃的人是甲的概率為（）A.0.35 B.0.525 C.0.575 D.0.595【答案】C【解析】記“第次投籃的人是甲”為事件，“第次投籃的人是乙”為事件，設(shè)，依題可知，，則，即，設(shè)，解得，則，又，則，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，即，．則第次投籃的人是甲的概率為.當時，故選：C.8.設(shè)為正整數(shù)，數(shù)列是公比不為1的等比數(shù)列，若從中刪去兩項和后剩余的項可被平均分為組，且每組的3個數(shù)都能構(gòu)成等比數(shù)列，則稱數(shù)列是可分數(shù)列.現(xiàn)有下列3個命題：①數(shù)列是可分數(shù)列；②數(shù)列是可分數(shù)列；③數(shù)列是可分數(shù)列.其中真命題的個數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】D【解析】對于①，由于從數(shù)列中刪去兩項后，剩余的項可被平均分為組，能構(gòu)成等比數(shù)列，所以數(shù)列是可分數(shù)列，故①正確；對于②，由于從數(shù)列中刪去兩項后，剩余的項可被平均分為組，都能構(gòu)成等比數(shù)列，所以數(shù)列是可分數(shù)列，故②正確；對于③，由于從數(shù)列中刪去兩項后，剩余的項可被平均分為組，都能構(gòu)成等比數(shù)列，所以數(shù)列是可分數(shù)列，故③正確；所以真命題有個.故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.為普及航天知識，弘揚航天精神，某學(xué)校舉辦了一次航天知識競賽.統(tǒng)計結(jié)果顯示，學(xué)生成績（滿分100分），其中不低于60分為及格，不低于80分為優(yōu)秀，且優(yōu)秀率為.若從全校參與競賽的學(xué)生中隨機選取5人，記選取的5人中知識競賽及格的學(xué)生人數(shù)為，則（）A.該知識競賽的及格率為 B.C. D.【答案】AC【解析】對A：由題意可得，則，即，故A正確；對B：，故B錯誤；對C：由題意可得，則，故C正確；對D：，故D錯誤.故選：AC.10.已知數(shù)列滿足，且，則下列說法正確的是（）A.數(shù)列可能為常數(shù)列B.數(shù)列可能為等比數(shù)列C.若，則D.若，記是數(shù)列的前項積，則的最大值為【答案】ABD【解析】A.當時，，得或（舍），此時為常數(shù)列，故A正確；B.，，，若時，此時，不是等比數(shù)列，若時，，此時數(shù)列為公比為2的等比數(shù)列，故B正確；C.若，，所以，故C錯誤；D.若，，數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，，數(shù)列單調(diào)遞減，，當時，，當時，，所以的最大值為，故D正確.故選：ABD11.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.若有極小值，則B.若在上單調(diào)遞增，則C.對任意的存在唯一零點D.若恒成立，則【答案】BCD【解析】對于A，，當時，當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以有極小值，故A錯誤．對于B，若在上單調(diào)遞增，則在上恒成立，所以，即．令，則，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，故B正確．對于C，令，則．令，則，所以在上單調(diào)遞增．因為，且當時，，當時，，所以與曲線只有一個交點，即存在唯一零點，故C正確．對于D，由，得，即．令，則．，令，則，當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞增．因為，所以，所以，令，則，當時，，當時，，所以在上遞增，在上遞減，所以，所以，故D正確．故選：BCD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知曲線在直線的上方，則當曲線上的動點到直線的距離最短時，點的坐標為________________【答案】【解析】曲線與直線平行的切線切點到直線距離最短，令，則，令，即，解得或（舍），，即切點坐標為.故答案為：.13.已知分別為橢圓的左?右焦點，為上一點，則的離心率為__________，內(nèi)切圓的半徑為__________.【答案】；【解析】第一空，將代入中，，即，，則橢圓方程為，離心率為：.第二空，如圖所示，易得，則，，，因為(為三角形周長，為內(nèi)切圓半徑).又，代入得，解得.故答案為：；.14.設(shè)的個位數(shù)為，則數(shù)列的前100項和為________________，從數(shù)列的前100項中任選2項，則這2項中至少有1項是質(zhì)數(shù)的概率為________________.【答案】500；【解析】，……，可以發(fā)現(xiàn)為周期為4的數(shù)列，則數(shù)列的前100項和；的前100項中有25個7，25個9，25個3，25個1，由于1既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)，3,7為質(zhì)數(shù)，9為合數(shù)，任選2項，共種情況，其中這2項中至少有1項是質(zhì)數(shù)的情況為，故這2項中至少有1項是質(zhì)數(shù)的概率為故答案為：500，四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在空間直角坐標系中，已知，，，，.（1）證明：為直角三角形.（2）求直線與平面所成角的正弦值.解：（1）由題可得，，則，故，故為直角三角形；（2），，設(shè)平面的法向量為，則有，令，則有，，即，則有，則直線與平面所成角正弦值為.16.某地五一假期舉辦大型促銷活動，匯聚了各大品牌新產(chǎn)品的展銷．現(xiàn)隨機抽取7個品牌產(chǎn)品，得到其促銷活動經(jīng)費（單位：萬元）與銷售額（單位：萬元）的數(shù)據(jù)如下：品牌代號1234567促銷活動經(jīng)費1246101320銷售額12204440566082若將銷售額與促銷活動經(jīng)費的比值稱為促銷效率值，當時，稱為“有效促銷”，當時，稱為“過度促銷”．（1）從這7個品牌中隨機抽取4個品牌，求取出的4個品牌中“有效促銷”的個數(shù)比“過度促銷”的個數(shù)多的概率；（2）從這7個品牌中隨機抽取3個，記這3個品牌中“有效促銷”的個數(shù)為，求的分布列與期望．解：（1）根據(jù)題意計算得，7個品牌中“有效促銷”的品牌是1，2，3號品牌，共有3個，“過度促銷”的品牌是6，7號品牌，共有2個．設(shè)“取出的4個品牌中‘有效促銷’的個數(shù)比‘過度促銷’的個數(shù)多”為事件，則．（2）由（1）知，7個品牌中有3個品牌是“有效促銷”，所以的可能取值是0，1，2，3，因為，，，，所以的分布列為：0123所以．17.已知數(shù)列an滿足且.（1）求an的通項公式（2）設(shè)an的前項和為，x表示不大于的最大整數(shù).①求；②證明：當時，為定值.解：（1）由，則，即，則數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列，又，故，即；（2）①由，則，，則，故；②令，則，則，故數(shù)列bn為單調(diào)遞減數(shù)列，又，故當時，，故，即當時，恒成立，即為定值.18.已知雙曲線的實軸比虛軸長2，且焦點到漸近線的距離為2.（1）求雙曲線的方程；（2）若動直線與雙曲線恰有1個公共點，且與雙曲線兩條漸近線分別交于點，兩點，為坐標原點，證明：的面積為定值.解：（1）設(shè)雙曲線焦點為，一條漸近線方程為，所以該焦點到漸近線的距離為，又雙曲線實軸比虛軸長2，故，即，故雙曲線的方程為；（2）當直線的斜率不存在時，若動直線與雙曲線恰有1個公共點，則直線經(jīng)過雙曲線的頂點，不妨設(shè)，又漸近線方程為，將代入，得，將代入，得，則，；當直線的斜率存在，設(shè)直線，且，聯(lián)立，消去并整理得，因為動直線與雙曲線恰有1個公共點，所以，得，設(shè)動直線與的交點為，與的交點為，聯(lián)立，得，同理得，則，因為原點到直線的距離，所以，又因為，所以，即，故的面積為定值，且定值為.19.若函數(shù)滿足對任意成立，則稱為“反轉(zhuǎn)函數(shù)”．（1）若是“反轉(zhuǎn)函數(shù)”，求取值范圍．（2）①證明：為“反轉(zhuǎn)函數(shù)”．②設(shè)，證明：．解：（1）當時，由，得，所以，所，即，所以，得，因為在上遞減，所以，所以，當時，由，得，所以，所以，得，所以，因為在上遞增，所以，所以，綜上，，即的取值范圍為；（2）①令，則，所以在上遞減，所以當時，，所以，所以，當時，，所以，所以，所以為“反轉(zhuǎn)函數(shù)”；②由①知，當時，，即，所以，所以對任意時，，所以，整理得.河南省南陽地區(qū)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題注意事項：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：北師大版選擇性必修第一、二冊.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若數(shù)列滿足，，則（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】A【解析】因為數(shù)列滿足，，所以，，所以.故選：A2.某運動物體的位移（單位：米）關(guān)于時間（單位：秒）的函數(shù)關(guān)系式為，則該物體在秒時的瞬時速度為（）A.米/秒 B.米/秒 C.米/秒 D.米/秒【答案】D【解析】，當時，有，故該物體在秒時的瞬時速度為米/秒.故選：D.3.的展開式中的系數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】對有，令，得，則有，即的系數(shù)為.故選：B.4.若是正項無窮的等差數(shù)列，且，則的公差的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，得，得，因為是正項無窮的等差數(shù)列，所以，所以，得，即的公差的取值范圍是.故選：D5.已知點在拋物線上，過點作圓的切線，若切線長為，則點到的準線的距離為（）A.5 B.6 C.7 D.【答案】A【解析】如圖所示：設(shè)切點為Q，則|CQ|=1,|PQ|=26則PC=設(shè)Px,y，則由兩點間距離公式得到(x-4)解得，因為y2=8x≥0，所以，因為的準線方程為，所以點到的準線的距離PE為3--2=5.故選：A.6.已知直線與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．令，得，所以直線與的圖象相切時的切點為，此時，所以當時，直線與的圖象有兩個不同的交點．故選：A.7.甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中，則此人繼續(xù)投籃；若未命中，則換對方投籃.已知甲每次投籃的命中率均為0.8，乙每次投籃的命中率均為0.7，甲、乙每次投籃的結(jié)果相互獨立.抽簽確定第一次投籃的人選，第一次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5，則第三次投籃的人是甲的概率為（）A.0.35 B.0.525 C.0.575 D.0.595【答案】C【解析】記“第次投籃的人是甲”為事件，“第次投籃的人是乙”為事件，設(shè)，依題可知，，則，即，設(shè)，解得，則，又，則，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，即，．則第次投籃的人是甲的概率為.當時，故選：C.8.設(shè)為正整數(shù)，數(shù)列是公比不為1的等比數(shù)列，若從中刪去兩項和后剩余的項可被平均分為組，且每組的3個數(shù)都能構(gòu)成等比數(shù)列，則稱數(shù)列是可分數(shù)列.現(xiàn)有下列3個命題：①數(shù)列是可分數(shù)列；②數(shù)列是可分數(shù)列；③數(shù)列是可分數(shù)列.其中真命題的個數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】D【解析】對于①，由于從數(shù)列中刪去兩項后，剩余的項可被平均分為組，能構(gòu)成等比數(shù)列，所以數(shù)列是可分數(shù)列，故①正確；對于②，由于從數(shù)列中刪去兩項后，剩余的項可被平均分為組，都能構(gòu)成等比數(shù)列，所以數(shù)列是可分數(shù)列，故②正確；對于③，由于從數(shù)列中刪去兩項后，剩余的項可被平均分為組，都能構(gòu)成等比數(shù)列，所以數(shù)列是可分數(shù)列，故③正確；所以真命題有個.故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.為普及航天知識，弘揚航天精神，某學(xué)校舉辦了一次航天知識競賽.統(tǒng)計結(jié)果顯示，學(xué)生成績（滿分100分），其中不低于60分為及格，不低于80分為優(yōu)秀，且優(yōu)秀率為.若從全校參與競賽的學(xué)生中隨機選取5人，記選取的5人中知識競賽及格的學(xué)生人數(shù)為，則（）A.該知識競賽的及格率為 B.C. D.【答案】AC【解析】對A：由題意可得，則，即，故A正確；對B：，故B錯誤；對C：由題意可得，則，故C正確；對D：，故D錯誤.故選：AC.10.已知數(shù)列滿足，且，則下列說法正確的是（）A.數(shù)列可能為常數(shù)列B.數(shù)列可能為等比數(shù)列C.若，則D.若，記是數(shù)列的前項積，則的最大值為【答案】ABD【解析】A.當時，，得或（舍），此時為常數(shù)列，故A正確；B.，，，若時，此時，不是等比數(shù)列，若時，，此時數(shù)列為公比為2的等比數(shù)列，故B正確；C.若，，所以，故C錯誤；D.若，，數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，，數(shù)列單調(diào)遞減，，當時，，當時，，所以的最大值為，故D正確.故選：ABD11.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.若有極小值，則B.若在上單調(diào)遞增，則C.對任意的存在唯一零點D.若恒成立，則【答案】BCD【解析】對于A，，當時，當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以有極小值，故A錯誤．對于B，若在上單調(diào)遞增，則在上恒成立，所以，即．令，則，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，故B正確．對于C，令，則．令，則，所以在上單調(diào)遞增．因為，且當時，，當時，，所以與曲線只有一個交點，即存在唯一零點，故C正確．對于D，由，得，即．令，則．，令，則，當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞增．因為，所以，所以，令，則，當時，，當時，，所以在上遞增，在上遞減，所以，所以，故D正確．故選：BCD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知曲線在直線的上方，則當曲線上的動點到直線的距離最短時，點的坐標為________________【答案】【解析】曲線與直線平行的切線切點到直線距離最短，令，則，令，即，解得或（舍），，即切點坐標為.故答案為：.13.已知分別為橢圓的左?右焦點，為上一點，則的離心率為__________，內(nèi)切圓的半徑為__________.【答案】；【解析】第一空，將代入中，，即，，則橢圓方程為，離心率為：.第二空，如圖所示，易得，則，，，因為(為三角形周長，為內(nèi)切圓半徑).又，代入得，解得.故答案為：；.14.設(shè)的個位數(shù)為，則數(shù)列的前100項和為________________，從數(shù)列的前100項中任選2項，則這2項中至少有1項是質(zhì)數(shù)的概率為________________.【答案】500；【解析】，……，可以發(fā)現(xiàn)為周期為4的數(shù)列，則數(shù)列的前100項和；的前100項中有25個7，25個9，25個3，25個1，由于1既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)，3,7為質(zhì)數(shù)，9為合數(shù)，任選2項，共種情況，其中這2項中至少有1項是質(zhì)數(shù)的情況為，故這2項中至少有1項是質(zhì)數(shù)的概率為故答案為：500，四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在空間直角坐標系中，已知，，，，.（1）證明：為直角三角形.（2）求直線與平面所成角的正弦值.解：（1）由題可得，，則，故，故為直角三角形；（2），，設(shè)平面的法向量為，則有，令，則有，，即，則有，則直線與平面所成角正弦值為.16.某地五一假期舉辦大型促銷活動，匯聚了各大品牌新產(chǎn)品的展銷．現(xiàn)隨機抽取7個品牌產(chǎn)品，得到其促銷活動經(jīng)費（單位：萬元）與銷售額（單位：萬元）的數(shù)據(jù)如下：品牌代號1234567促銷活動經(jīng)費1246101320銷售額12204440566082若將銷售額與促銷活動經(jīng)費的比值稱為促銷效率值，當時，稱為“有效促銷”，當時，稱為“過度促銷”．（1）從這7個品牌中隨機抽取4個品牌，求取出的4個品牌中“有效促銷”的個數(shù)比“過度促銷”的個數(shù)多的概率；（2）從這7個品牌中隨機抽取3個，記這3個品牌中“有效促銷”的個數(shù)為，求的分布列與期望．解：（1）根據(jù)題意計算得，7個品牌中“有效促銷”的品牌是1，2，3號品