廣東省東莞市某校2024−2025學(xué)年高三5月月考 數(shù)學(xué)試題（含解析）

廣東省東莞市某校2024?2025學(xué)年高三5月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．已知，則（

）A． B． C． D．53．設(shè)是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列命題中正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則4．已知，則（

）A． B． C． D．5．己知直線與圓：相交于A，B兩點，則（

）A． B． C． D．6．甲、乙、丙、丁、戊五名同學(xué)進行勞動技術(shù)比賽，決出第1名到第5名的名次．甲和乙去詢問成績，回答者對甲說“很遺憾，你和乙都沒有得到冠軍．”對乙說“你當(dāng)然不會是最差．”從這兩個回答分析，5人的名次排列可能有多少種不同情況？（

）A．27種 B．36種 C．54種 D．72種7．已知，函數(shù)，在上沒有零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．8．已知某正三棱柱外接球的表面積為，則該正三棱柱體積的最大值為（

）A．1 B． C． D．4二、多選題9．已知向量，，則（

）A． B．C．若，則 D．若，則10．從棱長為1個單位長度的正四面體的一頂點出發(fā)，每次均隨機沿一條棱行走1個單位長度，設(shè)行走次時恰好為第一次回到點的概率為，恰好為第二次回到點的概率為，則（

）A． B．C．時，為定值 D．?dāng)?shù)列的最大項為11．如圖，該幾何體是由正方形沿直線旋轉(zhuǎn)得到的，已知點是圓弧的中點，點是圓弧上的動點（含端點），則下列結(jié)論正確的是（

）

A．不存在點，使得平面B．存在點，使得平面平面C．存在點，使得直線與平面的所成角的余弦值為D．不存在點，使得平面與平面的夾角的余弦值為三、填空題12．已知某種零件的尺寸（單位：）在內(nèi)的為合格品．某企業(yè)生產(chǎn)的該種零件的尺寸服從正態(tài)分析，且，則估計該企業(yè)生產(chǎn)的1000個零件中合格品的個數(shù)為．13．設(shè)橢圓的左右焦點為，橢圓上點滿足，則的面積為.14．已知數(shù)列，下列結(jié)論正確的是．①若，則；②若，則；③若，則；④若，則．四、解答題15．已知三個內(nèi)角所對的邊分別為，且.（1）求的值；（2）若的面積，且，求的周長.16．在三棱錐中，平面平面平面.

（1）求證：；（2）若二面角的余弦值為，且，求.17．設(shè)函數(shù)，曲線在點處的切線方程為．(1)求的值；(2)設(shè)函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間；(3)求的極值點個數(shù)．18．已知和為橢圓：上兩點.（1）求橢圓的離心率；（2）過點的直線與橢圓交于，兩點（，不在軸上）.（i）若的面積為，求直線的方程；（ii）直線和分別與軸交于，兩點，求證：以為直徑的圓被軸截得的弦長為定值.19．某市每年上半年都會舉辦“清明文化節(jié)”，下半年都會舉辦“菊花文化節(jié)”，吸引著眾多海內(nèi)外游客.為了更好地配置“文化節(jié)”旅游相關(guān)資源，2024年該市旅游管理部門對初次參加“菊花文化節(jié)”的游客進行了問卷調(diào)查，據(jù)統(tǒng)計，有23的人計劃只參加“菊花文化節(jié)”，其他人還想?yún)⒓?025年的“清明文化節(jié)”，只參加“菊花文化節(jié)”的游客記1分，兩個文化節(jié)都參加的游客記2分.假設(shè)每位初次參加“菊花文化節(jié)”的游客計劃是否來年參加“清明文化節(jié)”相互獨立，將頻率視為概率(1)從2024年初次參加“菊花文化節(jié)”的游客中隨機抽取三人，求三人合計得分的數(shù)學(xué)期望；(2)2025年的“清明文化節(jié)”擬定于本年度4月4日至4月19日舉行，為了吸引游客再次到訪，該市計劃免費向到訪的游客提供“單車自由行”和“觀光電車行”兩種出行服務(wù).已知游客甲每天的出行將會在該市提供的這兩種出行服務(wù)中選擇，甲第一天選擇“單車自由行”的概率為45，若前一天選擇“單車自由行”，后一天繼續(xù)選擇“單車自由行”的概率為14，若前一天選擇“觀光電車行”，后一天繼續(xù)選擇“觀光電車行”的概率為13（i）求甲第二天選擇“單車自由行”的概率；（ii）求甲第n（n=1，2，?，16）天選擇“單車自由行”的概率Pn，并幫甲確定在2025年“清明文化節(jié)”的16天中選擇“單車自由行”的概率大于

參考答案1．【答案】B【詳解】，，所以.故選B2．【答案】D【詳解】，故.故選D3．【答案】C【詳解】如圖所示對于A，設(shè)平面為平面,平面為平面,為，則，則，故A錯；對于B，設(shè)平面為平面,平面為平面,為，則，則，故B錯；對于C，過作平面與平面交于直線，，則，，可得，則，故C正確；對于D，設(shè)平面為平面,為，為，則，則，故D錯.故選C.4．【答案】B【詳解】由得，即，解得，所以，故選B.5．【答案】B【詳解】因為圓心為到直線的距離為：，所以=所以,即.故選B.6．【答案】C【詳解】解：由題意得：甲、乙都不是第一名且乙不是最后一名．乙的限制最多，故先排乙，有3種情況；再排甲，也有3種情況；余下3人有種排法．故共有種不同的情況．故選C.7．【答案】B【詳解】當(dāng)時，，若無解，則或；當(dāng)時，，若無解，則.綜上，實數(shù)的取值范圍是.故選B.8．【答案】A【詳解】設(shè)外接球的半徑為，則，解得.設(shè)正三棱柱的底面三角形的邊長為，則該三角形外接圓的半徑為，故該正三棱柱的高為，所以該正三棱柱的體積.由，解得.令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在時取得最大值，故，所以該正三棱柱體積的最大值為1.故選A.9．【答案】AB【詳解】解：向量，A．，故正確，符合題意；B．，，則，所以，當(dāng)時，，正確，符合題意；C．若，則，解得，故錯誤，不符合題意；D．若，則，解得，故錯誤，不符合題意；故選AB．10．【答案】ACD【詳解】由題意得對于任意一次行走，到達其他三個點概率均為，若要行走次時恰好第一次回到點，則第1、2次均不到點A,所以，故A選項正確；若要行走次時恰好第二次回到點，則第2次必須回到點A，概率為，故B選項錯誤；若要行走次時恰好為第一次回到點，則次均未到達點A，所以，所以為定值，故C選項正確；當(dāng)時，；當(dāng)時，設(shè)第次第一次到達點A，第n次恰好第二次到達點A，由于第1次和第次的行走不用限制，所以此時概率為，所以，令，解得，所以，所以和為最大值，故D選項正確.故選ACD.11．【答案】BCD【詳解】由題意，可將幾何體補全為一個正方體，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

設(shè)正方體棱長為2，則，，設(shè).對于A選項，假設(shè)存在點，使得平面，因為，，，則，可得，因為，則，即當(dāng)點與點重合時，平面，故A選項錯誤；對于B選項，由A選項可知，平面的一個法向量為，假設(shè)存在點，使得平面平面，則，，，則，可得，又因為，解得，即當(dāng)點為的中點時，平面平面，故B選項正確；對于C選項，若存在點，使得直線與平面所成角的余弦值為，則直線與平面所成角的正弦值為，，所以，整理可得，因為函數(shù)在時的圖象是連續(xù)的，且，，所以存在，使得，所以，存在點，使得直線與平面所成角的余弦值為，C選項正確；對于D選項，設(shè)平面的法向量為，，則，取，則，可得，假設(shè)存在點，使得平面與平面的夾角的余弦值為，則，可得，即可得或，因為，則則，所以，故當(dāng)時，方程和均無解，綜上所述，不存在點，使得平面與平面的夾角的余弦值為，故D選項正確.故選BCD12．【答案】【詳解】解：，且，，估計該企業(yè)生產(chǎn)的1000個該種零件中合格品的個數(shù)為．13．【答案】【詳解】由橢圓定義可得，則有，即，，又，由，故，故.14．【答案】①③④【詳解】，，故①正確；等價于，數(shù)列是以為首項，公比為2的等比數(shù)列，，故②不正確；若，則，則，以為首項，公差為3的等差數(shù)列，，則，故③正確；若，則，所以，所以數(shù)列是以為首項，公比為2的等比數(shù)列，，則，即得，故④正確.15．【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）由正弦定理可得，，得：.所以.又，且，所以.由，故.（2），所以.由余弦定理，.又.聯(lián)立得：.所以.故的周長為.16．【答案】（1）見詳解（2）【詳解】（1）

如圖，過作于.因為平面平面，平面平面平面所以平面.又平面，所以.又平面平面，所以.因為平面，且，所以平面，又平面，所以.（2）法1：過作于，連接，由（1）平面，平面，可得，因平面，，故平面，又平面，所以.

所以即為二面角的平面角，所以則.又由（1）平面，平面，則，因平面，平面，則.設(shè)，因為，，則，，所以，解得，則，從而.法2：由（1）可得.如圖，以為原點，所在直線分別為軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，

記二面角為，設(shè)，因為，所以，則，所以.設(shè)平面的法向量為，則即令，得，易知平面的一個法向量為，又，所以，解得，則，所以.17．【答案】(1)(2)答案見解析(3)3個【詳解】（1）因為，所以，因為在處的切線方程為，所以，，則，解得，所以.（2）由（1）得，則，令，解得，不妨設(shè)，，則，易知恒成立，所以令，解得或；令，解得或；所以在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，即的單調(diào)遞減區(qū)間為和，單調(diào)遞增區(qū)間為和.（3）由（1）得，，由（2）知在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，，即所以在上存在唯一零點，不妨設(shè)為，則，此時，當(dāng)時，，則單調(diào)遞減；當(dāng)時，，則單調(diào)遞增；所以在上有一個極小值點；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，則，故，所以在上存在唯一零點，不妨設(shè)為，則，此時，當(dāng)時，，則單調(diào)遞增；當(dāng)時，，則單調(diào)遞減；所以在上有一個極大值點；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，則，故，所以在上存在唯一零點，不妨設(shè)為，則，此時，當(dāng)時，，則單調(diào)遞減；當(dāng)時，，則單調(diào)遞增；所以在上有一個極小值點；當(dāng)時，，所以，則單調(diào)遞增，所以在上無極值點；綜上：在和上各有一個極小值點，在上有一個極大值點，共有個極值點.18．【答案】（1）（2）（i）；（ii）見詳解【詳解】（1）由可知，求出，代入，得，，則，，可知橢圓的離心率為.（2）（i）由（1）可知橢圓的方程為，設(shè)，，過點的直線為，與聯(lián)立得：.恒成立.所以，得，所以，直線的方程為：.（ii）由（i）可知，直線的方程為，令，得直線的方程為，令，得，記以為直徑的圓與軸交于，兩點，由圓的弦長公式可知，所以，為定值.19．【答案】(1)4；(2)（i）13（ii）Pn＝817+【分析】（1）由合計得分可能的取值，計算相應(yīng)的概率，再由公式計算數(shù)學(xué)期望即可；（2）（i）利用互斥事件的加法公式和相互獨立事件概率乘法公式求概率；（ii）由題意，求Pn與Pn-1的關(guān)系，通過構(gòu)造等比數(shù)列，求出Pn【詳解】（1）由題意，每位游客得1分的概率為23，得2分的概率為1隨機抽取三人，用隨機變量X表示三人合計得分，則X可能的取值為3，4，5，6，PX=3=2PX=5=C則EX所以三人合計得分的數(shù)學(xué)期望為4；（2）第一天選擇“單車自由行”的概率為45，則第一天選擇“觀光電車行”的概率為1若前一天選擇“單車自由行”，后一天繼續(xù)選擇“單車自由行”的概率為14若前一天選擇“觀光電車行”，后一天繼續(xù)選擇“觀光電車行”的概率為13，則后一天選擇“單車自由行”的概率為2（i）甲第二天選擇“單車自由行”的概率P=