山西省太原市部分學(xué)校2025屆高三下學(xué)期5月預(yù)測(cè)考試 數(shù)學(xué)試題（含解析）

山西省太原市部分學(xué)校2025屆高三下學(xué)期5月預(yù)測(cè)考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．已知，則（

）A．1 B． C．2 D．3．雙曲線的離心率為3，則（

）A． B．2 C． D．34．已知向量，，且，則（

）A． B． C．4 D．15．設(shè)函數(shù)在區(qū)間的最小值和最大值分別為和，則（

）A．2 B． C． D．6．已知函數(shù)，則（

）A． B．5 C．9 D．107．袋子里有大小相同的3個(gè)紅球和2個(gè)白球，每次從袋子里隨機(jī)取出一個(gè)球，若取出的是紅球則放回袋子，若取出的是白球則不放回袋子.記為取了次后白球恰好全部取出的概率，則（

）A． B． C． D．8．滿足，.設(shè)，分別為，上的點(diǎn)，為的中點(diǎn)，將沿折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且平面.若四棱錐的所有頂點(diǎn)都在同一球面上，且球心恰好在直線上，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知函數(shù)，則（

）A．是奇函數(shù) B．C．在區(qū)間單調(diào)遞減 D．有且僅有2個(gè)零點(diǎn)10．若，則（

）A． B．C． D．11．已知拋物線：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，為上一點(diǎn)，且在第一象限，過作的垂線，垂足為，直線與在第一象限交于點(diǎn)，過作的垂線，垂足為，且，則（

）A．為線段的中點(diǎn) B．C．是正三角形 D．直線與相切三、填空題12．記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和.若，，則.13．若函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，則的取值范圍是.14．有15張撲克牌，牌面分別為1，2，…，10，J，Q，K，小王，大王.魔術(shù)師先按照牌面依次為1，2，…，10，J，Q，的順序?qū)⑦@12張牌背面朝上擺成一疊（牌面為1的牌在最上面），然后魔術(shù)師請(qǐng)一名觀眾將牌面為的牌背面朝上隨機(jī)插入已擺好的這疊牌（共12張）中的某個(gè)位置（不能把這張牌放在這疊牌的最上面或最下面），再把牌面為小王和大王的兩張牌中的一張背面朝上放在這疊牌（共13張）的最上面，另一張背面朝上放在這疊牌（共13張）的最下面，之后繼續(xù)由這名觀眾把這疊牌（共15張）按如下方式發(fā)牌：把最上面那張牌發(fā)到桌上，然后把下一張牌放到這疊牌（共14張）的最下面，之后再把最上面那張牌發(fā)到桌上，再把下一張牌放到這疊牌（共13張）的最下面，依此類推，直到這疊牌只剩下一張牌.這時(shí)，魔術(shù)師可以準(zhǔn)確說出最后剩下的這張牌的牌面是.四、解答題15．記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，.已知.（1）求；（2）若，，求的面積.16．已知橢圓：的右焦點(diǎn)為，且過點(diǎn).（1）求的方程；（2）設(shè)為上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)取得最大值時(shí)，求直線被截得的弦長(zhǎng).17．某款產(chǎn)品的尺寸誤差（單位：）服從正態(tài)分布，若一件產(chǎn)品的尺寸誤差的絕對(duì)值不小于，則認(rèn)為該件產(chǎn)品不合格.（1）任取一件產(chǎn)品，求這件產(chǎn)品不合格的概率；（2）在計(jì)算二項(xiàng)分布的概率時(shí)，若重復(fù)性試驗(yàn)的次數(shù)很多且每次試驗(yàn)事件發(fā)生的概率很小，則可利用泊松分布代替二項(xiàng)分布進(jìn)行近似計(jì)算.設(shè)隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，若，且，則，，其中.現(xiàn)對(duì)某一批產(chǎn)品抽取40件進(jìn)行檢測(cè)，若不合格產(chǎn)品超過3件，則認(rèn)為這批產(chǎn)品不合格.估算這批產(chǎn)品不合格的概率（精確到0.01）.附：若，則；.18．如圖，四棱柱的底面是正方形，為的中點(diǎn).（1）若平面平面，，，求二面角的正弦值；（2）設(shè)為線段的中點(diǎn)，.（i）證明：平面；（ii）設(shè)四棱柱的體積為，三棱錐的體積為，證明：.19．已知函數(shù)和各有兩個(gè)零點(diǎn).（1）求的取值范圍；（2）若一個(gè)函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則稱這兩個(gè)零點(diǎn)的算術(shù)平均數(shù)為該函數(shù)的“完美點(diǎn)”.設(shè)和分別為和的“完美點(diǎn)”.（i）比較與的大??；（ii）證明：.

參考答案1．【答案】D【詳解】因?yàn)榧?，，?故選D2．【答案】B【詳解】因?yàn)椋剩?故選B3．【答案】A【詳解】雙曲線的實(shí)半軸為，設(shè)雙曲線的半焦距為，因?yàn)殡p曲線的離心率為，故，所以.故選A4．【答案】C【詳解】因?yàn)橄蛄?，，若，則，故.故選C5．【答案】B【詳解】若，則，由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，即，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，即，所以.故選B6．【答案】C【詳解】由題設(shè)，故.故選C7．【答案】B【詳解】設(shè)事件為第一個(gè)白球在次取出，且第二個(gè)白球在第次取出，其中，則，所以.故，又，故時(shí)，，即，，時(shí)，，即，，故A錯(cuò)誤，B正確；，又，故時(shí)，，即，，時(shí)，，即，，故C，D錯(cuò)誤.故選B.8．【答案】D【詳解】若四棱錐的所有頂點(diǎn)都在同一球面上，則，，，四點(diǎn)共圓，故，，又，故，所以，因?yàn)槠矫?，又球心恰好在直線上，故為四邊形的外接圓圓心，故.因?yàn)椋?，，故，因?yàn)槠矫?，故，設(shè)，則，設(shè)球心為，球半徑為，則，故，故.所以球的表面積為,故選D.9．【答案】AC【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)镽，對(duì)于A，，是奇函數(shù)，A正確；對(duì)于B，求導(dǎo)得，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，當(dāng)時(shí)，，，奇函數(shù)在上遞減，則在上遞減，因此在上遞減，C正確；對(duì)于D，奇函數(shù)滿足，因此零點(diǎn)個(gè)數(shù)必為奇數(shù)，D錯(cuò)誤.故選AC10．【答案】ABD【詳解】對(duì)于A，令，則，故，故A正確；對(duì)于B，令，則，又，故，故B正確；對(duì)于C，令，則，又，故，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，令，則，故D正確.故選ABD11．【答案】BCD【詳解】對(duì)于A，由，得，而，則，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，設(shè)，由，且軸，得，由，，得，又，則，即，B正確；對(duì)于C，，，而，即，解得，，又，因此是正三角形，C正確；對(duì)于D，點(diǎn)到直線的距離為，，則，直線的方程為，由得，，則直線與相切，D正確.故選BCD12．【答案】57【詳解】設(shè)的公差為，由，可得，又，故，所以.13．【答案】【詳解】，令，則當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，且當(dāng)時(shí)，不恒為0，故的取值范圍是.14．【答案】Q【詳解】把大王、小王擺放完后，將15張牌按照從上到下的順序依次編號(hào)為1，2，…，15，此時(shí)2號(hào)牌面為1，且14號(hào)牌面為Q，這時(shí)按題中發(fā)牌的規(guī)則開始發(fā)牌，記每一次把最上面的牌發(fā)到桌上且下一張放到最下面為一次操作，每完成一次操作后這疊牌的編號(hào)順序分別為：，，，，，，，，，，，14.故最后剩下的是編號(hào)為14的紙牌，根據(jù)之前的操作可知該牌的牌面為Q.15．【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）因?yàn)?，?由正弦定理有，即.故由余弦定理有，.所以.（2）由余弦定理有，又，，，故，解得或（舍去）.故的面積為.16．【答案】（1）（2）【詳解】（1）設(shè)半焦距為，因?yàn)?，?又過點(diǎn)，故.由橢圓的幾何性質(zhì)有，故，.所以的方程為.（2）設(shè)的左焦點(diǎn)為，則，當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，此時(shí).因?yàn)椋手本€的方程為.與的方程聯(lián)立有，整理有，，解得，.故直線被截得的弦長(zhǎng)為.17．【答案】（1）0.05；（2）0.14.（注：和均為正確答案）【詳解】（1）當(dāng)，時(shí)，，則，所以任意一件產(chǎn)品是不合格的概率為0.05.（2）記為不合格產(chǎn)品的數(shù)量，則，且，又，且，則，，其中，因此，所以這批產(chǎn)品不合格的概率為0.14.（注：最終結(jié)果為和均為正確答案）18．【答案】（1）；（2）（i）證明見解析；（ii）證明見解析.【詳解】（1）如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向建立空間坐標(biāo)系.設(shè)，因?yàn)椋适钦切?，又平面平面，且底面是正方形，故，，，，，，設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，則，，不妨取，則，.故.故二面角的正弦值為.（2）（i）方法1：如圖，延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，連接，則平面.因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，，故，因?yàn)?，，，故，又，?因?yàn)?，且，故四邊形是平行四邊形，?又平面，平面，所以平面.方法2：由.因?yàn)槠矫鎯?nèi)的存在點(diǎn)，滿足，有.又因?yàn)槠矫?，所以平?方法3：同（1）建立空間坐標(biāo)系，若，四棱柱的高為，則，，，若，根據(jù)可得，，根據(jù)是的中點(diǎn)得，，，，，平面的法向量是，所以①，②.其中方程②可改寫為.可取，，，，所以平面.（ii）由（i）可知平面，故.所以.19．【答案】（1）（2）（i）；（ii）證明見解析【詳解】（1）由，，得，，則，的零點(diǎn)等價(jià)于，的零點(diǎn).，，當(dāng)時(shí)，易知，均在區(qū)間單調(diào)遞增，且在單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，若有兩個(gè)零點(diǎn)，則，即.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，且，故當(dāng)時(shí)在區(qū)間和各恰有一個(gè)零點(diǎn).綜上，若，各有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是.故答案為：.（2）（i）不妨設(shè)和的兩個(gè)零點(diǎn)分