2025年四川省宜賓市中考數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGE1宜賓市2025年初中學(xué)業(yè)水平考試暨高中階段學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)（時間：120分鐘；全卷滿分：150分）注意事項：1．答題前，務(wù)必將自己的姓名、座位號、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡指定的位置并將答題卡背面座位號對應(yīng)標(biāo)號涂黒．2、答選擇題時，務(wù)必使用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號．3．答非選擇題時，務(wù)必使用0.5毫米，黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上．4、所有題目必須在答題卡規(guī)定的位置上作答，在試卷上答題無效．一、選擇題：本大題共12個小題，每小題4分，共48分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.2025的相反數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了求一個數(shù)的相反數(shù)，熟悉掌握只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)相反數(shù)的定義判斷即可．【詳解】解：的相反數(shù)為，故選：A．2.下列立體圖形是圓柱的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了立體圖形的識別，熟悉掌握圖形的識別是解題的關(guān)鍵．根據(jù)立體圖形的特點逐一識別即可．【詳解】解：A：此圖為球，故不正確；B：此圖為圓錐，故不正確；C：此圖為圓臺，故不正確；D：此圖為圓柱，故正確；故選：D．3.一組數(shù)據(jù)：，，，，的平均數(shù)為6，則的值是（）A.7 B.8 C.9 D.10【答案】D【解析】【分析】本題考查了平均數(shù)的概念：若有n個數(shù)據(jù)，，…，，那么這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)．根據(jù)平均數(shù)的定義，所有數(shù)據(jù)之和等于平均數(shù)乘以數(shù)據(jù)個數(shù)，建立方程求解即可．【詳解】解：已知數(shù)據(jù)4、5、5、6、a的平均數(shù)為6，數(shù)據(jù)共有5個．根據(jù)平均數(shù)的計算公式：，兩邊同時乘以5，得：，計算左邊已知數(shù)的和：，代入方程得：，解得：，因此，a的值為10，故選：D．4.滿足不等式組的解是（）A. B. C.1 D.3【答案】C【解析】【分析】先求出不等式組的解集，然后逐項分析即可．本題考查解一元一次不等式組，解答本題的關(guān)鍵是明確解一元一次不等式（組）的方法．【詳解】原不等式組為：，聯(lián)立兩個不等式，解集為．A.：不滿足，排除．B.：不滿足，排除．C.1：滿足，符合條件．D.3：不滿足，排除．故選：C．5.下列計算正確的是（）A. B.C.3 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的除法、積的乘方、合并同類項及同底數(shù)冪的乘法分別進(jìn)行各選項的判斷即可．本題考查整式運(yùn)算，涉及同底數(shù)冪的除法、積的乘方、合并同類項及同底數(shù)冪的乘法法則．【詳解】A.根據(jù)同底數(shù)冪的除法法則，底數(shù)不變，指數(shù)相減，即，計算正確．B.根據(jù)積的乘方法則，，且負(fù)號的平方為正，故．選項B中結(jié)果為，符號和指數(shù)均錯誤，計算錯誤．C.合并同類項時，系數(shù)相減，即，選項C中結(jié)果為常數(shù)2，未保留項，計算錯誤．D.根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則，底數(shù)不變，指數(shù)相加，即，選項D中指數(shù)錯誤，計算錯誤．故選：A．6.采采中學(xué)舉辦“科學(xué)與藝術(shù)”主題知識競賽，共有20道題，對每一道題，答對得10分．答錯或不答扣5分．若小明同學(xué)想要在這次競賽中得分不低于80分，則他至少要答對的題數(shù)是（）A.14道 B.13道 C.12道 D.11道【答案】C【解析】【分析】設(shè)小明答對x道題，則答錯或不答的題數(shù)為道，根據(jù)得分規(guī)則建立不等式，解不等式后求解x的最小整數(shù)值即可．本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用，根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)答對x道題，則答錯或不答的題數(shù)為道．根據(jù)題意得：，解得：，∴x的最小值為12，∴他至少要答對12道題．故選：C．7.如圖，是的弦，半徑于點．若，．則的長是（）A.3 B.2 C.6 D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了垂徑定理，勾股定理，熟悉掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．由垂徑定理得到的長，再由勾股定理解答即可．【詳解】解：∵，，∴，又∵，∴在中，，故選：A．8.我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了這樣一道題：“今有牛五、羊二，直金十兩；牛二、羊五、直金八兩，問牛、羊各直金幾何？”意思是：假設(shè)5頭牛、2只羊，共值金10兩：2頭牛、5只羊，共值金8兩，那么每頭牛、每只羊各值金多少兩？若設(shè)每頭牛和每只羊分別值金x兩和y兩，列出方程組應(yīng)為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)“5頭牛、2只羊，值金10兩；2頭牛、5只羊，值金8兩”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組．本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題關(guān)鍵．【詳解】解：∵5頭牛、2只羊，共值金10兩，∴；∵2頭牛、5只羊，共值金8兩，∴．∴根據(jù)題意可列出方程組．故選：A．9.如圖，是坐標(biāo)原點，反比例函數(shù)與直線交于點，點在的圖象上，直線與軸交于點．連結(jié)．若，則的長為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】如圖所示，過點A作軸交于點D，過點B作軸交于點E，首先聯(lián)立得到，求出，然后由得到，求出，然后代入求出，然后利用勾股定理求解即可．【詳解】如圖所示，過點A作軸交于點D，過點B作軸交于點E，∵反比例函數(shù)與直線交于點，∴聯(lián)立得，，解得或，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，即，∴，∴將代入，∴，∴．故選：D．【點睛】此題考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)交點問題，勾股定理，平行線分線段成比例等知識，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識點．10.如圖，一張銳角三角形紙片，點、分別在邊、上，，沿將剪成面積相等的兩部分，則的值為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】此題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識點．如圖所示，過點D作交于點F，證明出，得到，，設(shè)，，表示出，然后得到，進(jìn)而求解即可．【詳解】解：如圖所示，過點D作交于點F，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴設(shè)，，∵沿將剪成面積相等的兩部分，∴，∴，∴，∴．故選：C．11.如圖，在中，，，，過點A作直線，點是直線上一動點，連結(jié)，過點作，連結(jié)使．當(dāng)最短時，則的長度為（）A. B.4 C. D.【答案】B【解析】【分析】在點A右側(cè)取一點G，使得，連結(jié)，，過點F作于點H，先根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，推得都是定值，點F在射線上運(yùn)動，從而得到當(dāng)時，最短，并畫出圖形，再通過設(shè)未知數(shù)列方程，逐步求得和的長，最后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可求得答案．【詳解】解：如圖1，在點A的右側(cè)取一點G，使得，連結(jié)，，過點F作于點H，直線，，，，，，，，，，，，，，，，，，，和都是定值，點F在射線上運(yùn)動，當(dāng)時，最短（如圖2所示），延長，相交于點N，，四邊形是矩形，，，，，，，，，，，，，，，設(shè)，則，，，，，，，，解得，，，，，，，，，，解得，當(dāng)最短時，則的長度為4．故選：B．【點睛】本題考查了幾何最值問題，解直角三角形，相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，探究線段最短時的幾何圖形是解題的關(guān)鍵．12.如圖，是坐標(biāo)原點，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點，與軸交于點，頂點為，對稱軸為直線，其中，且．以下結(jié)論：①；②；③是鈍角三角形；④若方程的兩根為、，則，．其中正確結(jié)論有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】C【解析】【分析】首先由拋物線開口向上得到，然后由對稱軸得到，然后由拋物線與y軸交于負(fù)半軸得到，即可判斷①；由對稱軸為直線得到，然后將代入拋物線得到，代入得到，然后根據(jù)得到，即可判斷②；設(shè)拋物線對稱軸與x軸交于點E，將代入拋物線得到，求出，然后求出，得到，得到，即可判斷③；分別將和代入方程，整理求出和或6，進(jìn)而求解即可．【詳解】∵拋物線開口向上∴∵對稱軸為直線∴∵拋物線與y軸交于負(fù)半軸∴∴，故①錯誤；∵對稱軸為直線∴∵在拋物線上∴∴∴∵∴∴，故②正確；如圖所示，設(shè)拋物線對稱軸與x軸交于點E，將代入將，代入得，∴∵∵對稱軸為直線，∴∴∴∵∴∴∴是鈍角三角形，故③正確；∵∴當(dāng)時，，∴方程轉(zhuǎn)化為解得；∴當(dāng)時，，∴方程轉(zhuǎn)化為解得或6；∵方程的兩根為、∴，，故④正確．綜上所述，其中正確結(jié)論有3個．故選：C．【點睛】此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)和x軸交點問題，解直角三角形，解一元二次方程等知識，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識點．二、填空題：本大題共6個小題，每小題4分，共24分．13.分解因式=____________．【答案】．【解析】【分析】直接提取公因式即可．【詳解】解：故答案為：．【點睛】本題考查提公因式法因式分解，要將一個多項式分解因式的一般步驟是首先看各項有沒有公因式，若有公因式，則把它提取出來，之后再觀察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考慮用公式法繼續(xù)分解因式．14.分式方程的解為_______．【答案】【解析】【分析】本題主要考查解分式方程，原方程去分母后得整式方程，求出整式方程的解，再進(jìn)行檢驗判斷即可．【詳解】解：，去分母得，，解得，經(jīng)檢驗，是原方程的解，所以，原分式方程的解為，故答案為：．15.如圖，已知是的圓周角，，則________．【答案】【解析】【分析】本題考查了圓周角定理，三角形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握各知識點并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．先由圓周角定理求出，再由等邊對等角以及三角形內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】解：∵是的圓周角，，∴，∵，∴，故答案為：．16.如圖，在矩形中，點、分別在上，且，把沿翻折，點恰好落在矩形對角線上的點M處．若A、、三點共線，則的值為________．【答案】【解析】【分析】此題考查矩形與折疊，平行線的性質(zhì)，勾股定理，等角對等邊，根據(jù)矩形的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)得到，再根據(jù)等角對等邊推出，設(shè)，則，利用勾股定理求出，即可得到答案．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，∵，∴，，由翻折得，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，設(shè)，則，，∴，∴，故答案為．17.已知、、、、是五個正整數(shù)去掉其中任意一個數(shù)，剩余四個數(shù)相加有五種情況，和卻只有四個不同的值，分別是45、46、47、48，則________．【答案】58【解析】【分析】本題主要考查了整式的加減運(yùn)算、一元一次方程的應(yīng)用等知識點，掌握分類討論思想是解題的關(guān)鍵．設(shè)，由題意可知已知這五個和只有四個不同的值，不妨設(shè)，那么這四個不同的值可以表示為（假設(shè)與前面某一個數(shù)相等）且為這四個值分別是45、46、47、48；再說明，然后分四種情況解答即可．【詳解】解：設(shè)，那么去掉后和為；去掉后和為；去掉后和為；去掉后和為；去掉后和為；∵已知這五個和只有四個不同的值，∴不妨設(shè)，那么這四個不同的值可以表示為（假設(shè)與前面某一個數(shù)相等）．∵這四個值分別是45、46、47、48，∴，即，∵∴，∴，即；當(dāng)時，即；∴，解得：，不是整數(shù)，不符合題意；當(dāng)時，即；∴，解得：，符合題意；當(dāng)時，即；∴，解得：，不是整數(shù)，不符合題意；當(dāng)時，即；∴，解得：，不是整數(shù)，不符合題意；綜上，，即．故答案為：58．18.如圖，在中，，．將射線繞點C順時針旋轉(zhuǎn)到，在射線1上取一點D，連結(jié)，使得面積為24，連結(jié)，則的最大值是________．【答案】【解析】【分析】先整理得，過點C向上作線段，使得，則，結(jié)合整理得，證明，即，運(yùn)用即定角定弦，故點D在以為直徑的圓上，連接，并延長與交于一點，即為，運(yùn)用勾股定理得，即可作答．【詳解】解：∵射線繞點C順時針旋轉(zhuǎn)到，在射線1上取一點D，連結(jié)，∴∵面積為24，∴∴，過點C向上作線段，使得，∵∴即∴，連接，∵，∴∵，∴，∵，∴，∴，故點D在以為直徑的圓上，∵，記圓心為直徑的中點，即的半徑連接，并延長與交于一點，即為，此時為的最大值，故∴故答案為：．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正確分析出點D在以為直徑的圓上是解題的關(guān)鍵．三、解答題：本大題共7個小題，共78分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．19.（1）計算：；（2）計算：．【答案】（1）；（2）1【解析】【分析】本題考查了含特殊角的三角函數(shù)值的混合運(yùn)算，分式的混合運(yùn)算，掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．（1）分別計算算術(shù)平方根，代入特殊角的三角函數(shù)值并計算乘法，以及化簡絕對值，再進(jìn)行加減計算；（2）先計算括號內(nèi)分式的減法，再進(jìn)行乘法計算，直至化為最簡即可．【詳解】（1）解：；（2）解：20.某中學(xué)開學(xué)之初，為了解七年級新生對學(xué)校開展社團(tuán)活動的喜愛情況，隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查（社團(tuán)活動的項目有：籃球、乒乓球、舞蹈、象棋、演講與口才、手工與剪紙，每人必選且只能選一項）．根據(jù)調(diào)查結(jié)果，制成了如下的統(tǒng)計圖．請結(jié)合圖中信息解答下列問題．（1）本次共調(diào)查了_______名學(xué)生，其中喜愛舞蹈的學(xué)生人數(shù)是_______，并補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖；（2）若七年級新生共有600人，估計有_______人喜歡乒乓球運(yùn)動；（3）新生中有甲、乙、丙、丁四位同學(xué)，籃球基礎(chǔ)較好，且喜歡籃球運(yùn)動．學(xué)?；@球隊在這四人中選2人加入籃球隊，請用列表或畫樹狀圖的方法，求同時選中甲乙兩人的概率．【答案】（1）100，10，補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖見解析（2）150（3）【解析】【分析】本題考查了扇形統(tǒng)計圖和條形統(tǒng)計圖的信息關(guān)聯(lián)，用樣本估計總體，樹狀圖或列表法求解概率，讀懂統(tǒng)計圖，正確畫出樹狀圖或列出表格是解題的關(guān)鍵．（1）先由演講與口才人數(shù)除以占比求出調(diào)查的人數(shù)，再由調(diào)查的人數(shù)減去其余的人數(shù)即可求解喜愛舞蹈的學(xué)生人數(shù)，即可補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖；（2）用樣本估計總體的方法即可求解；（3）先畫出樹狀圖得到所有等可能性的結(jié)果數(shù)，再找到符合題意的結(jié)果數(shù)，最后依據(jù)概率計算公式求解即可．【小問1詳解】解：調(diào)查的學(xué)生數(shù)：（人），喜愛舞蹈的人數(shù)：（人），補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖如圖：故答案為：100，10；【小問2詳解】解：（人），∴估計有150人喜歡乒乓球運(yùn)動，故答案為：150；【小問3詳解】解：畫樹狀圖為：由樹狀圖可知一共有12種等可能性的結(jié)果數(shù)，其中同時選中甲乙兩人的結(jié)果數(shù)有2種，∴同時選中甲乙兩人的概率是．21.如圖，點是平行四邊形邊的中點，連接并延長交的延長線于點．求證：，并求的長．【答案】見解析，【解析】【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)，由平行四邊形的性質(zhì)得到，則由平行線的性質(zhì)可得，再證明，即可利用證明，則可得到，據(jù)此可得答案．【詳解】證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵點是平行四邊形邊的中點，∴，∴，∴，∴．22.如圖，扇形為某運(yùn)動場內(nèi)的投擲區(qū)，所在圓的圓心為O、A、B、N、O在同一直線上．直線與所在相切于點．此時測得；從點處沿方向前進(jìn)8.0米到達(dá)B處．直線與所在相切于點，此時測得．（參考數(shù)據(jù)：）（1）求圓心角的度數(shù)；（2）求的弧長（結(jié)果精確到米）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，圓的切線的性質(zhì)，弧長公式，熟練掌握各知識點并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．（1）由圓的切線的性質(zhì)得到，再由直角三角形銳角互余即可求解；（2）先解，設(shè)，，再解得到，求出，求出半徑，再由弧長公式即可求解．【小問1詳解】解：∵直線與所在相切于點，∴，∵，∴；小問2詳解】解：∵直線與所在相切于點，∴，∵，∴，設(shè)，∴，∵，∴，∵在中，，∴，∴，解得：，∴，∴的弧長為：，答：弧長為．23.如圖，過原點的直線與反比例函數(shù)的圖象交于、兩點，一次函數(shù)的圖象過點A與反比例函數(shù)交于另一點，與軸交于點，其中，．（1）求一次函數(shù)的表達(dá)式，并求的面積．（2）連接，在直線上是否存在點，使以、、為頂點的三角形與相似，若存在，求出點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合，相似三角形的性質(zhì)，兩點距離計算公式，勾股定理的逆定理，利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵．（1）把點A坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式，求出反比例函數(shù)解析式，則可求出點C坐標(biāo)，再把點A和點C坐標(biāo)代入一次函數(shù)的解析式中求出一次函數(shù)的解析式，進(jìn)而求出點M的坐標(biāo)，再利用三角形面積計算公式求解即可；（2）利用對稱性可得點B坐標(biāo)，利用兩點距離計算公式和勾股定理的逆定理可證明，則只存在和這兩種情況，當(dāng)時，則，此時點D為的中點，利用中點坐標(biāo)公式可得答案當(dāng)時，則，可求出；設(shè)，則，解方程即可得到答案．【小問1詳解】解：把代入到中得：，解得，∴反比例函數(shù)解析式為，在中，當(dāng)時，，∴；把，代入到中得：，解得，∴一次函數(shù)的表達(dá)式為，在中，當(dāng)時，，∴，∴，∴；【小問2詳解】解：∵直線經(jīng)過原點，∴由反比例函數(shù)的對稱性可得點B的坐標(biāo)為，，∵，，∴，，，∴，∴，∴，∵，∴與不垂直，∵與相似，∴只存在和這兩種情況，當(dāng)時，則，，∴，，∴此時點D為的中點，∴點D的坐標(biāo)為；當(dāng)時，則，，∴；設(shè)，∴，解得，∴，∴點D的坐標(biāo)為；綜上所述，點D的坐標(biāo)為或．24.如圖，已知是的直徑，是上一點，過作直線與的延長線交于點，過點A作于點，連結(jié)、，且．（1）求證：直線是的切線；（2）若，，求與的長度；（3）在（2）的條件下，若為上的一動點，且在直線上方，連結(jié)．當(dāng)四邊形面積最大時，求的長度．【答案】（1）見解析（2），（3）【解析】【分析】（1）連接，可得，，由直徑性質(zhì)，得，可得，即得直線是的切線；（2）證明，得，得，可得，證明，得,，由,得；（3）過點E作于點G，則，當(dāng)四邊形面積最大時，面積最大，點F是的中點，可得，得，得，∴，得，由，得,即得．【小問1詳解】解：連接，則，∴，∵，∴，∵是的直徑，∴，∴，∴直線是的切線；【小問2詳解】∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，解得（舍去）或；【小問3詳解】過點E作于點G，則，當(dāng)四邊形面積最大時，面積最大，點F到的距最大，點F是的中點，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了圓與三角形綜合．熟練掌握圓周角定理及推論，圓切線的判定和性質(zhì)，正切定義，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．25.如圖，是坐標(biāo)原點，已知拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點，其中．（1）求b、c的值；（2）點為拋物線上第一象限內(nèi)一點，連結(jié)，與直線交于點，若，求點D的坐標(biāo)；（3）若為拋物線的頂點，平移拋物線使得新頂點為，若又在原拋物線上，新拋物線與