中考二輪復習高頻考點突破考點5；三角形-中考二輪復習高頻考點突破

考點五三角形——中考二輪復習高頻考點突破考點分析考點考點形式考試頻率線段與角余角和補角☆角平分線☆☆相交線與平行線相交線☆平行線☆☆☆命題與定理命題與定理☆三角形及其性質三角形的三邊關系☆☆三角形的內角和外角☆與三角形有關的重要線段三角形中的重要線段☆線段的垂直平分線☆☆角平分線的性質☆☆全等三角形全等三角形的判定☆☆☆全等三角形的性質與判定綜合☆☆☆特殊三角形等腰三角形☆☆☆等邊三角形☆☆直角三角形☆☆☆相似三角形平行線分線段成比例☆相似三角形的性質☆☆☆相似三角形的有關證明與計算☆☆☆相似三角形的實際應用☆☆位似位似☆☆銳角三角函數三角函數值的確定☆☆特殊角的三角函數值☆解直角三角形解直角三角形☆☆☆解直角三角形的實際應用解直角三角形的實際應用☆☆☆基礎知識考點一幾何初步1.線段及其相關知識基本事實（1）經過兩點有一條直線，并且只有一條直線（兩點確定一條直線）；（2）兩點的所有連線中，線段最短（兩點之間，線段最短）兩點間的距離連接兩點間的線段的長度.線段的和與差在線段上取一點，則有：；；線段的中點點把線段分成相等的兩條線段與，點叫做線段的中點，幾何語言：垂線（1）基本事實：在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；（2）連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短；（3）點到直線的距離：直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離.圖中點與直線上各點連接的所有線段中，最短，點到直線的距離是的長度2.角及其相關知識度、分、秒的換算1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=余角和補角互余互為余角應用：同角（等角）的余角相等互補互為補角應用：同角（等角）的補角相等角的平分線一般地，從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成兩個相等的角的射線，叫做這個角的平分線3.交線、平行線及其相關知識對頂角性質：對頂角相等.如與，與，與，與鄰補角性質：互為鄰補角的兩個角之和等于180°.如與，與，與等三線八角（1）同位角：與，與，與，與.（2）內錯角：與，與.（3）同旁內角：與，與基本事實（平行公理）經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行推論如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行平行線的判定和性質（1）同位角相等兩直線平行.如圖；（2）內錯角相等兩直線平行.如圖，；（3）同旁內角互補兩直線平行.如圖，兩平行線間的距離定義：兩條平行線中，一條直線上任意一點到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線之間的距離性質：兩條平行線之間的距離處處相等考點二三角形及其全等1.三角形的分類及有關性質分類按角分：按邊分：性質三邊關系：三角形兩邊的和大于第三邊，兩邊的差小于第三邊.角的關系：（1）內角和定理：三角形三個內角的和等于180°.（2）內外角關系：a.三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和.如圖，b.三角形的一個外角大于任何一個與它不相鄰的內角如圖，邊角關系：在同一個三角形中，等邊對等角，等角對等邊（大邊對大角，小邊對小角）三角形具有穩(wěn)定性2.全等三角形相關知識概念能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形性質（1）全等三角形的對應邊相等，對應角相等；（2）全等三角形的周長相等，面積相等；（3）全等三角形對應的中線、高、角平分線、中位線都相等判定邊邊邊（）：三邊分別相等的兩個三角形全等邊角邊（）：兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等角邊角：（）：兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等角角邊（）：兩角對應相等，且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形相等斜邊、直角邊（）：斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等【提示】判定一般三角形全等，無論用哪種方法，都要有三組元素對應相等，且其中最少要有一組對應邊相等考點三特殊三角形1.等腰三角形的性質圖形數學語言文字描述在中，因為，所以等腰三角形的兩個底角相等（簡寫成“等邊對等角”）①因為，所以平分，且.②因為，所以，且平分.③因為，平分，所以，且等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合（簡寫成“三線合一”）2.等腰三角形的判定等腰三角形的判定方法圖形表示幾何推理定義：有兩條邊相等的三角形是等腰三角形為等腰三角形定理：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡稱“等角對等邊”）（等角對等邊）3.等邊三角形的概念及性質定義性質等邊三角形三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，也叫正三角形（1）等邊三角形的三個內角都相等，并且每一個角都等于60°.（2）等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸，三條對稱軸的交點稱為“中心”.（3）等邊三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性質4.等邊三角形的判定等邊三角形的判定方法（1）三條邊都相等的三角形是等邊三角形.（2）三個角都相等的三角形是等邊三角形.（3）有一個叫角是60°的等腰三角形是等邊三角形5.直角三角形及其考點（1）含角的直角三角形的性質具體內容圖例含角的直角三角形的性質在直角三角形中，如果一個銳角等于，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半在中，，，是斜邊的中點，則有（2）直角三角形的判定及面積①有一個角等于的三角形是直角三角形（定義）；②有兩個角互余的三角形是直角三角形；③勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長滿足，那么這個三角形是直角三角形；④一條邊上的中線等于這條邊的一半的三角形是直角三角形，圖中若，則是以為直角的直角三角形⑤面積：，其中為兩直角邊，為斜邊，為斜邊上的高（3）勾股定理文字語言符號語言圖示變式應用直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方如果直角三角形的兩條直角邊長分別為，斜邊長為，那么.（4）勾股定理的逆定理與勾股定理的聯(lián)系與區(qū)別勾股定理勾股定理的逆定理條件在中，.在中，.結論區(qū)別勾股定理以“一個三角形是直角三角形”為條件，進而得到數量關系“”，即由“形”到“數”勾股定理的逆定理以“一個三角形的三邊滿足”為條件，進而得到“這個三角形是直角三角形”，即由“數”到“形”.聯(lián)系兩者都與三角形的三邊有關系6.垂直平分線的性質、判定線段的垂直平分線圖形性質線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等直線是線段的垂直平分線，為上一點，則；反過來，若，則點在線段的垂直平分線上判定與線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上7.角平分線的性質、判定內容符號語言圖形角平分線的性質角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等如果點在的平分線上，且于點，于點，那么角平分線的判定角的內部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上如果點為內一點，于點，于點，且，那么點在的平分線上考點四圖形的相似與位似1.四條線段成比例：對于四條線段，如果其中兩條線段的比（即它們長度的比）與另兩條線段的比相等，如（即），我們就說這四條線段成比例.【注意】成比例線段是有順序的，即若是成比例線段，則（或），不能寫成.2.比例的相關性質：（1）基本性質：若，則.（2）合比性質：若，則.（3）分比性質：若，則.（4）等比性質：若，則.3.平行線分線段成比例的基本事實：兩條直線被一組平行線所截.所得的對應線段成比例.4.平行線分線段成比例的基本事實應用在三角形中的結論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應線段成比例.5.相似三角形的判定①利用平行線判定兩個三角形相似的定理定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似.②利用兩邊和夾角判定兩個三角形相似的定理定理：兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似.幾何語言：如圖所示，在和中，,且，.③利用三邊判定兩個三角形相似的定理定理：三邊成比例的兩個三角形相似.幾何語言：如圖所示，在和中，，.④利用兩角判定兩個三角形相似的定理定理：兩角分別相等的兩個三角形相似.幾何語言：如圖所示，在和中，,.⑤直角三角形相似的判定方法（1）一個銳角相等的兩個直角三角形相似；（2）兩組直角邊成比例的兩個直角三角形相似；（3）斜邊和一條直角邊成比例的兩個直角三角形相似.6.相似三角形的性質①根據三角形相似的定義可知，相似三角形的對應角相等，對應邊成比例.②相似三角形對應線段的性質：相似三角形對應高的比，對應中線的比與對應角平分線的比都等于相似比.即相似三角形對應線段的比等于相似比.③相似三角形周長的比等于相似比.④相似三角形面積的比等于相似比的平方.考點五解直角三角形1.銳角三角函數：的正弦、余弦、正切都是的銳角三角函數.正弦、余弦、正切名稱定義符號語言圖示正弦在中，，的對邊與斜邊的比叫做的正弦，記作，即.在中，，余弦在中，，的鄰邊與斜邊的比叫做的余弦，記作.在中，，正切在中，，的對邊與鄰邊的比叫做的正切，記作.在中，，【重點】（1）由于直角三角形的斜邊大于直角邊，且各邊的邊長均為正數，所以銳角三角函數值都是正實數，且，，.（2），和都是以銳角為自變量的函數，一旦的度數確定，它們的值就唯一確定，即銳角三角函數值隨角度的變化而變化.2.銳角三角函數之間的關系（1）同一銳角的三角函數之間的關系：.（2）互余兩角的三角函數之間的關系：任意一個銳角的正弦值等于它的余角的余弦值，即或.（3）任意銳角的正切值與它的余角的正切值互為倒數，即.3.特殊角的三角函數值14.解直角三角形的基本類型及解法圖形已知條件解法兩邊兩直角邊由，求斜邊、一直角邊（如）由，求一邊和一銳角一直角邊和一銳角一銳角與鄰邊（如）；一銳角與對邊（如）；一銳角與斜邊（如）；5.利用解直角三角形解決實際問題利用解直角三角形的知識解決實際問題的一般步驟：（1）將實際問題抽象為數學問題（畫出平面圖形，轉化為解直角三角形的問題）；（2）根據問題中的條件，選用合適的銳角三角函數解直角三角形；（3）得到數學問題的答案；（4）得到實際問題的答案.【注意】（1）當實際問題中涉及的圖形可以直接轉化為直角三角形時，可利用解直角三角形的知識直接求解.（2）數學問題的解符合實際意義才可以成為實際問題的解.考點突破1.諸葛亮的《誡子書》中有“非學無以廣才”,如圖是正方體的一種表面展開圖,則原正方體中與“非”字所在的面相對的面上的漢字是()A.學 B.以 C.廣 D.才2.如圖,直線,相交于點O,射線平分.若,則等于()A. B. C. D.3.如圖,將一副三角尺按圖中所示位置擺放,點C在的延長線上,點C、F分別為直角頂點,且,,若,則的度數是()A. B. C. D.4.下列命題：①對頂角相等；②同位角相等,兩直線平行；③若,則；④若,則.其中是真命題的是()A.②③ B.①② C.①②④ D.①②③④5.如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標分別為，以原點O為位似中心，把縮小為原來的，則點A的對應點的坐標為()A.或 B.C.或 D.6.如下圖,在中,,,分別是的中線和角平分線.若,則的度數為()A. B. C. D.7.如圖，一輛自行車豎直擺放在水平地面上，右邊是它的部分示意圖，測得，，，則點A到的距離()A． B． C． D．8.如圖,在中,,,延長至點C,使,過點C作,交的延長線于點D,若,則的長為()A. B.4 C. D.29.如圖，在菱形中，于點E，，則的值為()A. B.2 C. D.10.如圖,已知在中,,點G是的重心,,垂足為E,如果,則線段的長為()A. B. C. D.11.如圖,在銳角三角形中,是邊上的高,在,上分別截取線段,,使；分別以點E,F為圓心,大于的長為半徑畫弧,在內,兩弧交于點P,作射線,交于點M,過點M作于點N.若,,則______.12.如圖,四邊形中,,若,則______.13.如圖,在中,,,.D為上的一動點,連接,的垂直平分線分別交,于點E,F,則線段的長是______,線段的長的最大值是______.14.如圖1，把一個等腰三角形分割成三塊，恰好能按圖2方式拼放，則_______.15.如圖，在中，，是高，若，則的長的最小值為________.16.如圖，在中，平分，交于點E；平分，交于點F.求證：.

17.香積寺塔,位于陜西省禮泉縣香積寺內,俗稱薄太后塔,是一座樓閣式磚塔,現為陜西省文物保護單位某實踐小組欲測量香積寺塔(如圖1)的高度,如圖2,甲同學在地面上的點D處豎立一根標桿,發(fā)現地面上的點E、標桿頂端C和塔頂A恰好在一條直線上,乙同學將一架無人機置于點F處,測得塔頂A的仰角,經測量,米,米,無人機距離地面的高度米,米已知B、D、E、G四點在同一水平直線上,、、,圖中所有的點都在同一平面內,請你計算該塔的高度.(結果保留根號)18.“一縷清風銀葉轉”，某市大型風機依次矗立在云遮霧繞的山脊之上，風葉轉動，風能就能轉換成電能，造福千家萬戶，某中學初三數學興趣小組，為測量風葉的長度進行了實地測量.如圖，三片風葉兩兩所成的角為，當其中一片風葉與塔干疊合時，在與塔底D水平距離為60米的E處，測得塔頂部O的仰角，風葉的視角.(1)已知α，β兩角和的余弦公式為：，請利用公式計算的值；(2)求風葉的長度.19.如圖,在三角形中,,,,點E是上一點,作,交于點F.(1)求證：；(2)求證：；(3)已知,,求.20.已知為等邊三角形，D是邊上一點，連接，點E為上一點，連.(1)如圖1，延長交于點F，若，，求的長；(2)如圖2，將繞點順時針旋轉到，延長至點H，使得，連接交于點N，求證；(3)如圖3，，點H是上一點，且，連接，點K是上一點，，連接，，將沿翻折到，連接，當的周長最小時，直接寫出的面積.

答案以及解析1.答案：D解析：由正方體的展開圖特點可得：“非”和“才”相對；“學”和“以”相對；“無”和“廣”相對；故選：D.2.答案：B解析：直線,相交于點O,,射線平分,,故選：B.3.答案：A解析：,,,,,,,,,故選：A.4.答案：B解析：對頂角相等,故①為真命題；同位角相等,兩直線平行,故②為真命題；若,則或,故③為假命題；若,當時,則,故④為假命題；故選B.5.答案：A解析：∵以原點O為位似中心，把縮小為原來的，點A的坐標分別為，∴點A的對應點的坐標為或，即或，故選：A.6.答案：B解析：∵是的中線,,,∴,,∵是的角平分線,∴,故選：B.7.答案：A解析：如下圖所示，過點A作，則的長度就是點A到的距離，，在中，，，，，．故選：A．8.答案：B解析：,,,,,,在和中,,,,,故選：B.9.答案：B解析：∵四邊形是菱形，∴，，∴，∵，∴，∵，∴，設，則，∴，∴，∴，故選：B.10.答案：C解析：如圖,連接并延長交于點D.點G是的重心,點D為的中點,,,,,,,,(公共角),,,,,,.故選：C.11.答案：6解析：作圖可知平分,∵是邊上的高,,,∴,∵,∴,∴,故答案為：6.12.答案：解析：∵,∴,∴,∵,∴,∴,∴,故答案為：.13.答案：8；解析：連接,過點F作于H,,,,.垂直平分,.若要使最大,則需要最小,設,則,,.(垂線段最短),,解得.最小值為,的最大值為.故答案為：.14.答案：/0.75解析：如圖，根據題意，得，，∴，∴，∴，