第三章 圓錐曲線的方程檢測(cè)卷（解析版）-25新高二數(shù)學(xué)-高一升高二暑假預(yù)習(xí)課

第三章圓錐曲線的方程全章綜合檢測(cè)卷參考答案與試題解析目錄TOC\o"1-2"\h\u第三章圓錐曲線的方程全章綜合檢測(cè)卷 1參考答案與試題解析 1一、選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分） 2二、多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分） 7三、填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分） 11四、解答題（共6小題，滿分70分） 13

一、選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）1．（5分）（23-24高二上·陜西榆林·期中）雙曲線y23?A．±3,0 B．0,±3 C．±3,0【解題思路】根據(jù)題意，結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)，即可求解.【解答過程】由雙曲線y23?x2且雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，所以雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,±3).故選：D.2．（5分）（23-24高二上·陜西寶雞·期中）中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，離心率為12，且過點(diǎn)2,0的橢圓方程是（

A．x24+y2C．x24+3y【解題思路】由于不知道焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上，所以需要分類討論.【解答過程】當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)橢圓的方程為x2由離心率為12，可得b∵橢圓過點(diǎn)2,0∴a=2，b=3，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，b=2，b2=3可得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2163故選：D.3．（5分）（23-24高二上·福建廈門·期中）已知拋物線x2=4y的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)B1,3，若點(diǎn)A為拋物線上任意一點(diǎn)，當(dāng)AB+AFA．(1,4) B．(4,1) C．14,1 【解題思路】設(shè)點(diǎn)A在準(zhǔn)線上的射影為D，則根據(jù)拋物線的定義把問題轉(zhuǎn)化為求AB+【解答過程】拋物線x2=4y的焦點(diǎn)為F0,1設(shè)點(diǎn)A在準(zhǔn)線上的射影為D，如圖，

則根據(jù)拋物線的定義可知|AF|=|AD|，求AB+AF的最小值，即求顯然當(dāng)B，A，D三點(diǎn)共線時(shí)AB+此時(shí)A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，則12=4y，解得y=1故選：D.4．（5分）（22-23高三下·全國(guó)·階段練習(xí)）已知F1,F2是橢圓x2a2+yA．35 B．53 C．56【解題思路】根據(jù)PF1⊥P【解答過程】因?yàn)閨PF1|=2b因?yàn)镻F1⊥PF2即2b2又c2=a所以3b2=2ab解得e=c故選：B.5．（5分）（23-24高二上·廣東茂名·期末）如圖，這是一個(gè)落地青花瓷，其中底座和瓶口的直徑相等，其外形被稱為單葉雙曲面，可以看成是雙曲線C:x2a2?y2b2

A．90cm B．100cm C．110cm【解題思路】由a,b,c關(guān)系以及離心率、a=20可得雙曲線方程，進(jìn)一步代入x=30即可求解.【解答過程】由該花瓶橫截面圓的最小直徑為40cm，有a=20又由雙曲線的離心率為6，有c=206可得雙曲線的方程為x2400?y22000=1故選：B.6．（5分）（23-24高二下·陜西榆林·期末）已知A,B為雙曲線x2?y29=1上兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為A．32 B．94 C．?9【解題思路】設(shè)出A(x【解答過程】設(shè)A(x1,y1兩式相減得到(x又線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為?1,?4，所以(x1?所以AB的斜率為94故選：B.7．（5分）（23-24高二上·福建泉州·期末）已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A?32p,0，點(diǎn)M在拋物線上，且滿足MA=3MFA．23 B．4 C．22【解題思路】利用兩點(diǎn)間距離公式，通過解方程組、三角形面積公式進(jìn)行求解即可.【解答過程】由y2=2px?Fp因?yàn)镸A=所以x+3而點(diǎn)M在拋物線上，所以y2則有x2?3px+2px?3即y2=2p?3又因?yàn)椤鱉AF的面積為123所以有12×1故選：A.8．（5分）（23-24高二上·全國(guó)·單元測(cè)試）已知橢圓C:x23+y2=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，直線y=x+m與CA．23 B．22 C．?2【解題思路】由三角形的面積關(guān)系得出|MF1|=2|MF2【解答過程】設(shè)直線y=x+m與x軸的交點(diǎn)為M，則M?m,0所以S△F1因?yàn)镾△F1由x23+y2=1得所以|?2+m|=2|2+m|，解得因?yàn)閥=x+m與C有兩個(gè)交點(diǎn)，聯(lián)立y=x+mx23+y則Δ=36m2所以m=?2故選：C.

二、多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）9．（5分）（23-24高二上·山東煙臺(tái)·期末）（多選）已知曲線Γ：x21?m+y2A．Γ可能是等軸雙曲線B．若Γ表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則?1<m<1C．?？赡苁前霃綖?的圓D．若Γ表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，則m<?3【解題思路】根據(jù)圓，橢圓，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，逐一判斷選項(xiàng)即可.【解答過程】對(duì)于A，若Γ是等軸雙曲線，則1?m+3+m=0，顯然不成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，Γ表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則3+m>1?m>0，解得?1<m<1，故B正確；對(duì)于C，Γ是圓，則3+m=1?m>0，解得m=?1，半徑為2，故C正確；對(duì)于D，Γ表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，則1?m>03+m<0解得m<?3，故D正確.故選：BCD.10．（5分）（23-24高二上·廣東中山·階段練習(xí)）已知雙曲線C:x28?y24A．若直線y=kx與雙曲線C無交點(diǎn)，則kB．焦點(diǎn)到漸近線的距離為2C．點(diǎn)P到兩條漸近線的距離之積為8D．點(diǎn)P到點(diǎn)23,0與到直線x=【解題思路】由雙曲線的方程可得漸近線，比較直線斜率與漸近線斜率即可可判斷A；根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可判斷BC；根據(jù)距離公式，代入雙曲線方程即可化簡(jiǎn)求解D．【解答過程】A中，由雙曲線的方程可得漸近線的方程為y=±2由于y=kx過原點(diǎn)且與雙曲線無交點(diǎn)，則k≥B中，由A知漸近線的方程為2x±2y=0，焦點(diǎn)±2所以焦點(diǎn)到漸近線的距離為d=|C中，設(shè)P(x,y)，因?yàn)镻在雙曲線上，所以x2即x2?2y2=|2D中，點(diǎn)P到點(diǎn)23,0的距離為x?232+y2故x?2=3故選：BCD．11．（5分）（23-24高二上·河南·階段練習(xí)）已知F為拋物線C:x2=8y的焦點(diǎn)，直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，弦AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，ABA．l的斜率為1 B．l在y軸上的截距為3C．弦AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為52 D．【解題思路】聯(lián)立直線與拋物線方程得韋達(dá)定理，即可根據(jù)中點(diǎn)關(guān)系求解k=1，進(jìn)而由弦長(zhǎng)公式求解b=?32，利用拋物線焦半徑公式即可求解【解答過程】易得l的斜率存在，設(shè)l:y=kx+b，Ax1,由y=kx+b,x2=8y,得x2?8kx?8b=0，則x由AB=1+k所以l:y=x?32，弦AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4?32=故ACD正確，B錯(cuò)誤，故選：ACD.12．（5分）（23-24高二上·江蘇鎮(zhèn)江·期末）已知F為橢圓C:x24+y22=1的左焦點(diǎn)，直線l:y=kx(k≠0)與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)，AE⊥x軸，垂足為A．1|AF|+4|BF|的最小值為3 C．直線BE的斜率為12k D．【解題思路】先由橢圓與過原點(diǎn)直線的對(duì)稱性知，|AF|+|BF|=4，再利用1的代換、利用基本不等式可判斷A；由直線與橢圓方程聯(lián)立，解得交點(diǎn)坐標(biāo)，得出面積關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式，再求函數(shù)最值可判斷B；由對(duì)稱性，可設(shè)Ax0,y0，則B?x0,?y0，Ex0,0，則可得直線BE的斜率與k的關(guān)系可判斷C；先由【解答過程】對(duì)于A，設(shè)橢圓C的右焦點(diǎn)為F′，連接A則四邊形AF所以|AF|+|BF|=|AF|+|AF∴1當(dāng)且僅當(dāng)|BF|=2|AF|時(shí)等號(hào)成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，聯(lián)立x24+∴|y所以△ABE的面積S=1當(dāng)且僅當(dāng)k=±2對(duì)于C，設(shè)Ax0,y0，則B?x對(duì)于D，設(shè)P(m,n)，直線PA的斜率為kPA，直線PB的斜率為k則kPA又點(diǎn)P和點(diǎn)A在橢圓C上，∴m24①-②得n2?y則kPA?1∴kPA?故選：BCD.

三、填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）13．（5分）（23-24高二上·北京海淀·期中）已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓x2m+y24=1離心率為2【解題思路】根據(jù)題意，由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程分析可得m?4m＝2【解答過程】由題意焦點(diǎn)在x軸上的橢圓x2m+可得m?4m＝22，解得故答案為：8．14．（5分）（23-24高二上·陜西西安·期末）過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)作直線交拋物線于Ax1,y1,B【解題思路】由焦半徑公式求得焦點(diǎn)弦長(zhǎng).【解答過程】由題設(shè)拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1,0則由拋物線定義易知：AB=故x1故答案為：10.15．（5分）（23-24高二上·上海寶山·階段練習(xí)）已知雙曲線Γ:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左頂點(diǎn)為A，點(diǎn)P為雙曲線Γ一條漸近線上的一點(diǎn)，直線AP與雙曲線Γ的另一條漸近線交于點(diǎn)Q.若直線AP【解題思路】寫出直線AP的方程為y=x+a，將其分別與雙曲線漸近線聯(lián)立解出P,Q的縱坐標(biāo)，根據(jù)A為PQ的三等分點(diǎn)，得到關(guān)于a,b的方程，最后化為關(guān)于a,c的齊次方程，即可得到離心率.【解答過程】不妨設(shè)點(diǎn)P在第二象限，直線AP的方程為y=x+a，聯(lián)立y=x+a,y=?bax，得點(diǎn)聯(lián)立y=x+ay=bax，得點(diǎn)由A為PQ的三等分點(diǎn),可知yQ=?2yP，則有則a2=9c2?a2故答案為：10316．（5分）（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線E:x2a2?y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過點(diǎn)F1作直線交兩條漸近線于點(diǎn)A，B，且【解題思路】畫出圖形，數(shù)形結(jié)合，由已知條件和雙曲線的幾何性質(zhì)運(yùn)算求解即可.【解答過程】如圖所示，

設(shè)直線AB交y軸于點(diǎn)C，則S△A∵雙曲線E的漸近線方程為y=±b∴xAx不妨設(shè)BF1=2，AF1=3，則|AB|=1，則∴F1A故答案為：1516

四、解答題（共6小題，滿分70分）17．（10分）（2024高二上·江蘇·專題練習(xí)）求滿足下列條件的參數(shù)的值．(1)已知雙曲線方程為2x2?(2)橢圓x24+y2【解題思路】（1）分焦點(diǎn)位置進(jìn)行討論即可.（2）根據(jù)橢圓和雙曲線的方程判斷焦點(diǎn)的位置，求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出參數(shù).【解答過程】（1）若焦點(diǎn)在x軸上，則方程可化為x2k2?y若焦點(diǎn)在y軸上，則方程可化為y2?k?x2綜上所述，k的值為6或?6．（2）由雙曲線方程知焦點(diǎn)在x軸上且c2由橢圓方程，知c2=4?a即a2+a?2=0，解得a=1或因此a的值為1．18．（12分）（23-24高二上·重慶·階段練習(xí)）已知點(diǎn)P到F0,4的距離與它到x軸的距離的差為4，P的軌跡為曲線C(1)求C的方程；(2)若直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，且弦AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為?4，求l的斜率.【解題思路】（1）根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，結(jié)合絕對(duì)值的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（2）利用點(diǎn)差法進(jìn)行求解即可.【解答過程】（1）設(shè)Px,y，由題意可知：PF兩邊同時(shí)平方，得x所以C的方程為x2=16yy≥0（2）由題可知曲線C為x2設(shè)Ax1,y1由x得x1所以l的斜率為y119．（12分）（23-24高二下·上?！て谀┮阎獧E圓C:x24+y23(1)當(dāng)P為橢圓C的上頂點(diǎn)時(shí)，求∠F(2)直線y=kx?1與橢圓C交于A,B，若AB=16【解題思路】（1）由題意可得PF1=PF（2）聯(lián)立直線y=kx?1與橢圓C的方程，由韋達(dá)定理求出x1+【解答過程】（1）由題意可得F1(?1,0)，F(xiàn)2所以PF1=P（2）設(shè)Ax1,y1可得4k所以x1+x所以|AB|=1+k=12k220．（12分）（23-24高二上·河南駐馬店·期末）已知拋物線C的準(zhǔn)線方程為y=?1，過點(diǎn)P4,2作斜率為k的直線l與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)M，N(1)求k的取值范圍；(2)若△OMN為直角三角形，且OM⊥ON，求k的值.【解題思路】（1）由題意可得拋物線方程，設(shè)直線l方程為y?2=kx?4，聯(lián)立方程，結(jié)合Δ（2）由題意可得：x1【解答過程】（1）由題意可知：拋物線C的方程為x2直線l的斜率存在，設(shè)直線l方程為y?2=kx?4聯(lián)立方程組x2=4yy?2=kx?4，消去要使直線l與拋物線交于不同的兩點(diǎn)M，N，則Δ=16即k2?4k+2>0，解得k>2+2所以k們?nèi)≈捣秶鸀閗>2+2或k<2?（2）設(shè)Mx1,y1，Nx2則x1+x解法一：因?yàn)镺M⊥ON，則OM?ON=0可得x==k2+1解得k=12或結(jié)合（1）中k的取值范圍可知：k=?1解法二：因?yàn)镺M⊥ON，所以O(shè)M?ON=0因?yàn)閥1y2因?yàn)閤1x2即16k?8=?16，解得k=?1此時(shí)滿足（1）中k的取值范圍，所以k=?121．（12分）（23-24高二上·浙江·階段練習(xí)）如圖，雙曲線x2a2?y2b2=1的離心率為233，實(shí)軸長(zhǎng)為23，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左右焦點(diǎn)，過右焦點(diǎn)F2的直線與雙曲線右支交于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A(1)求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求△ADE面積的最小值.【解題思路】（1）根據(jù)已知求出a=3，然后根據(jù)離心率得出c=2，根據(jù)a,b,c的關(guān)系求出b（2）根據(jù)已知可得，F(xiàn)22,0，設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，求出直線AF【解答過程】（1）由已知可得，2a=23，所以a=又e=ca=23所以，雙曲線方程是x2（2）由（1）可知，F(xiàn)22,0，設(shè)Ax則直線AF2的方程為將直線AF2的方程與雙曲線方程聯(lián)立消x，整理可得7?4xΔ=16由韋達(dá)定理可得，y1所以y2=y17?4根據(jù)已知可知，y1所以7?4x1<0同理解得C?12?7所以，kBC直線BC的方程為y=?x由x=0可得，E0,?17y1由A、D坐標(biāo)可得直線AD的方程為y=x則直線AD與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為Q0,3y所以，S△ADE=S△AQE+令t=4y1則S△ADE=4設(shè)ft=?3?1當(dāng)1t=13，即t=3時(shí)有最小值，此時(shí)所以，S△ADE當(dāng)且僅當(dāng)t=3即y1=222．（12分）（23-24高二上·安徽合肥·期末）已知橢圓E:x2a2+(1)求E的方程；(2)過K?1,0作互相垂直的兩條直線l1與l2，設(shè)l1交E于A，B兩點(diǎn)，l2交E于C，D兩點(diǎn)，AB，CD的中點(diǎn)分別為M，N【解題思路】（1