31　第四章　第3課時　兩角和與差的正弦、余弦和正切公式

第四章三角函數(shù)與解三角形第3課時兩角和與差的正弦、余弦和正切公式[考試要求]

1.會推導(dǎo)兩角差的余弦公式.2.會用兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角差的正弦、正切公式.3.能運(yùn)用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式推導(dǎo)二倍角的正弦、余弦、正切公式．鏈接教材·夯基固本1．兩角和與差的余弦、正弦、正切公式(1)公式C(α－β)：cos(α－β)＝____________________；(2)公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝____________________；(3)公式S(α－β)：sin(α－β)＝_____________________；(4)公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝_____________________；(5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝________________；(6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝________________.cos

αcos

β＋sin

αsin

βcos

αcos

β－sin

αsin

βsin

αcos

β－cos

αsin

βsin

αcos

β＋cos

αsin

β2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝2sinαcosα；(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝___________＝__________；(3)tan2α＝___________.2cos2α－11－2sin2α[常用結(jié)論]1．兩角和與差的公式的常用變形(1)sinαsinβ＋cos(α＋β)＝cosαcosβ；(2)cosαsinβ＋sin(α－β)＝sinαcosβ；(3)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1?tanαtanβ)．一、易錯易混辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)存在實數(shù)α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立．(

)(2)在銳角三角形ABC中，sinAsinB和cosAcosB的大小關(guān)系不確定．(

)√×××√2．(人教A版必修第一冊P229習(xí)題5.5T6(1)改編)sin20°cos10°－cos160°sin10°＝(

)√√√典例精研·核心考點考點一和、差、倍角公式的直接應(yīng)用√(2)(2024·新高考Ⅰ卷)已知cos(α＋β)＝m，tanαtanβ＝2，則cos(α－β)＝(

)√(2)因為cos(α＋β)＝m，所以cosαcosβ－sinαsinβ＝m.又因為tanαtanβ＝2，所以sinαsinβ＝2cosαcosβ，故cosαcosβ－2cosαcosβ＝m，即cosαcosβ＝－m.從而sinαsinβ＝－2m，所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝－3m.故選A．]

應(yīng)用公式化簡求值的策略(1)要記住公式的結(jié)構(gòu)特征和符號變化規(guī)律．(2)注意與同角三角函數(shù)基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用．(3)注意配方法、因式分解和整體代換思想的應(yīng)用．√√√

考點二公式的逆用與變形

公式的逆用[典例2]

(多選)下列等式正確的是(

)√√

公式的變形√cosγ＝cosα－cosβ，將兩式分別平方后相加，得1＝(sinβ－sinα)2＋(cosα－cosβ)2＝2－2(sinβsinα＋cosβcosα)，

三角函數(shù)公式活用技巧(1)逆用公式應(yīng)準(zhǔn)確找出所給式子與公式的異同，創(chuàng)造條件逆用公式．(2)tanαtanβ，tanα＋tanβ(或tanα－tanβ)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和變形使用．√[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．(1)(2025·濰坊模擬)在△ABC中，若tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，則cosC的值為(

)√A．a(chǎn)>b>c B．b>a>cC．c>a>b D．a(chǎn)>c>b(2)a＝cos50°cos127°＋cos40°cos37°＝cos50°cos127°＋sin50°sin127°＝cos239°－sin239°＝cos78°＝sin12°.因為當(dāng)0°≤x≤90°時，函數(shù)y＝sinx單調(diào)遞增，所以sin13°>sin12°>sin11°，所以a>c>b.]√考點三角的變換問題√(2)已知α，β滿足sin(2α＋β)＝cosβ，tanα＝2，則tanβ的值為(

)(2)因為sin(2α＋β)＝cosβ，所以sin(α＋α＋β)＝cos(α＋β－α)，即sinαcos(α＋β)＋cosαsin(α＋β)＝cos(α＋β)cosα＋sinαsin(α＋β)，顯然cosα≠0，兩邊同除cosα得：tanαcos(α＋β)＋sin(α＋β)＝cos(α＋β)＋tanαsin(α＋β)，2cos(α＋β)＋sin(α＋β)＝cos(α＋β)＋2sin(α＋β)，即cos(α＋β)＝sin(α＋β)，易知cos(α＋β)≠0，

三角公式求值中變角的解題思路(2)當(dāng)“已知角”有一個時，應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關(guān)系，應(yīng)用誘導(dǎo)