10　第二章　第4課時　函數(shù)的對稱性

第4課時函數(shù)的對稱性[考試要求]1.能通過平移，分析得出一般的軸對稱和中心對稱公式和推論.2.會利用對稱公式解決問題．1．奇函數(shù)、偶函數(shù)的對稱性(1)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱．(2)若函數(shù)y＝f(x＋a)是偶函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱；若函數(shù)y＝f(x＋a)是奇函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象的對稱中心為點(a,0).2．函數(shù)的軸對稱和中心對稱(1)若函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱，則f(a－x)＝f(a＋x)?f(2a－x)＝f(x)．(2)若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a－x)＝－f(a＋x)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(a,0)對稱．(3)若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a－x)＋f(b＋x)＝c，則函數(shù)y＝f(x)的圖象的對稱中心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)，\f(c,2))).3．兩個函數(shù)圖象的對稱(1)函數(shù)y＝f(x)與y＝f(－x)的圖象關(guān)于y軸對稱；(2)函數(shù)y＝f(x)與y＝－f(x)的圖象關(guān)于x軸對稱；(3)函數(shù)y＝f(x)與y＝－f(－x)的圖象關(guān)于原點對稱．(4)函數(shù)y＝f(a－x)與y＝f(x－b)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(a＋b,2)對稱．一、易錯易混辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)若函數(shù)y＝f(x－1)是偶函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱．(×)(2)若函數(shù)y＝f(x＋1)是奇函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱．(√)(3)若函數(shù)f(x)滿足f(x－1)＝f(x＋1)，則f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱．(×)(4)若函數(shù)f(x)滿足f(1＋x)＝－f(1－x)，則f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱．(×)二、教材經(jīng)典衍生1．(人教A版必修第一冊P85思考改編)函數(shù)f(x)＝x3＋x的圖象關(guān)于()A．x軸對稱 B．y軸對稱C．原點對稱 D．直線y＝x對稱C[因為f(x)＝x3＋x為奇函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱．故選C．]2．(人教A版必修第一冊P116探究改編)在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝3x與y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x的圖象之間的關(guān)系是()A．關(guān)于x軸對稱 B．關(guān)于y軸對稱C．關(guān)于原點對稱 D．關(guān)于直線y＝x對稱B[因為y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x＝3－x，所以函數(shù)y＝3x與y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x的圖象關(guān)于y軸對稱．故選B.]3．(多選)(人教A版必修第一冊P84例6改編)下列函數(shù)中，其圖象關(guān)于y軸對稱的是()A．y＝eq\r(\a\vs4\al(|x|)) B．y＝x＋eq\f(1,x)C．y＝eq\f(2,x2＋1) D．y＝x－eq\f(1,x)AC[由y＝eq\r(\a\vs4\al(|x|))知定義域為R，且f(－x)＝eq\r(\a\vs4\al(|－x|))＝eq\r(\a\vs4\al(|x|))＝f(x)，所以該函數(shù)為偶函數(shù)，則圖象關(guān)于y軸對稱，所以A正確；由y＝x＋eq\f(1,x)知定義域為{x|x≠0}，且f(－x)＝(－x)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))＝－f(x)，所以該函數(shù)為奇函數(shù)，則圖象關(guān)于原點對稱，所以B錯誤；由y＝eq\f(2,x2＋1)知定義域為R，且f(－x)＝eq\f(2,－x2＋1)＝eq\f(2,x2＋1)＝f(x)，所以該函數(shù)為偶函數(shù)，則圖象關(guān)于y軸對稱，所以C正確；由y＝x－eq\f(1,x)知定義域為{x|x≠0}，且f(－x)＝(－x)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,－x)))＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))＝－f(x)，所以該函數(shù)為奇函數(shù)，則圖象關(guān)于原點對稱，所以D錯誤．故選AC．]4．(人教A版必修第一冊P87T13(1)改編)函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)y＝f(x)為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點P(a，b)成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)y＝f(x＋a)－b為奇函數(shù)．已知f(x)＝mx3＋nx＋1.(1)若f(x)在[－6,6]上的最大值為M，最小值為N，則M＋N＝________；(2)若m＝1，n＝－3，則函數(shù)f(x)的對稱中心為點________.(1)2(2)(0,1)[(1)因為y＝mx3＋nx在R上為奇函數(shù)，所以在[－6,6]上，ymax＝－ymin，所以M＋N＝(ymax＋1)＋(ymin＋1)＝2.(2)法一：由(1)知，y＝mx3＋nx為奇函數(shù)，所以對稱中心為點(0,0)，所以函數(shù)f(x)的對稱中心為點(0,1)．法二：因為g(x)＝f(x＋a)－b＝(x＋a)3－3(x＋a)＋1－b＝x3＋3ax2＋(3a2－3)x＋a3－3a＋1－b，在R上為奇函數(shù)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a＝0，,a3－3a＋1－b＝0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝1，))所以函數(shù)f(x)的對稱中心為點(0,1)．]考點一軸對稱問題[典例1](1)(2025·泰安模擬)已知定義在R上的函數(shù)y＝f(x＋1)是偶函數(shù)，且在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，則滿足f(2x)＞f(x＋2)的x的取值范圍為()A．(2，＋∞) B．(－∞，0)∪(2，＋∞)C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(2,3))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(2,3)))∪(2，＋∞)(2)(多選)已知函數(shù)f(x)的定義域為R，對任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，且f(－x)＝f(x)，則下列結(jié)論正確的是()A．f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱B．f(x)的圖象關(guān)于點(2,0)對稱C．f(x)的周期為4D．y＝f(x＋4)為偶函數(shù)(1)B(2)ACD[(1)函數(shù)y＝f(x＋1)是偶函數(shù)，且在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，即函數(shù)y＝f(x＋1)的對稱軸為y軸，又函數(shù)y＝f(x＋1)向右平移1個單位長度可得y＝f(x)，所以函數(shù)y＝f(x)的對稱軸為直線x＝1，且在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，所以由f(2x)＞f(x＋2)得|2x－1|＞|x＋2－1|，解得x＜0或x＞2.故選B.(2)因為f(2＋x)＝f(2－x)，所以f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱，故A正確，B錯誤；因為函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱，所以f(－x)＝f(x＋4)，又f(－x)＝f(x)，所以f(x＋4)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)的周期為4，故C正確；因為f(x)的周期為4且為偶函數(shù)，所以y＝f(x＋4)為偶函數(shù)，故D正確．]軸對稱的幾種表述形式(1)函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱?f(x)＝f(2a－x)?f(a－x)＝f(a＋x)；(2)若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＝f(b－x)，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(a＋b,2)成軸對稱．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．(1)已知函數(shù)f(x)＝3|x－a|＋2，且滿足f(5＋x)＝f(3－x)，則f(6)＝()A．29 B．11C．3 D．5(2)已知函數(shù)g(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)，則該函數(shù)圖象的對稱軸為直線x＝________.(1)B(2)1[(1)因為f(5＋x)＝f(3－x)，所以f(x)的圖象關(guān)于直線x＝4對稱，而f(x)＝3|x－a|＋2的圖象關(guān)于直線x＝a對稱，所以a＝4，f(6)＝3|6－4|＋2＝11.故選B.(2)已知函數(shù)g(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)，因為g(1＋x)－g(1－x)＝(1＋x)2－2(1＋x)＋a(e1＋x－1＋e－1－x＋1)－(1－x)2＋2(1－x)－a(e1－x－1＋e－1＋x＋1)＝x2－1＋a(ex＋e－x)－x2＋1－a(e－x＋ex)＝0，所以y＝g(x＋1)是一個偶函數(shù)．所以g(x)的圖象關(guān)于直線x＝1軸對稱.]考點二中心對稱問題[典例2](1)(多選)已知函數(shù)f(x)的定義域為R，f(x＋2)為偶函數(shù)，f(－3x＋1)為奇函數(shù)，則下列式子一定成立的是()A．f(2)＝0 B．f(1)＝0C．f(0)＝0 D．f(－1)＝0(2)(2025·濟(jì)南模擬)已知函數(shù)f(x)滿足：對任意的x∈R，f(x)＋f(5－x)＝－1.若函數(shù)y＝f(x)與y＝eq\f(1－x,2x－5)圖象的交點為(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，則eq\i\su(i＝1,n,)(xi＋yi)的值為()A．0 B．nC．2n D．3n(1)BD(2)C[(1)因為f(x＋2)為偶函數(shù)，所以f(x＋2)＝f(－x＋2)，函數(shù)f(x)關(guān)于直線x＝2對稱，因為f(－3x＋1)為奇函數(shù)，所以f(－3x＋1)＝－f(3x＋1)，函數(shù)f(x)關(guān)于點(1,0)對稱，因為函數(shù)f(x)的定義域為R，所以f(1)＝0，B正確；又因為函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱，所以f(3)＝0，由f(－3x＋1)＝－f(3x＋1)，令x＝eq\f(2,3)，可得f(－1)＝－f(3)＝0，D正確；可構(gòu)造函數(shù)f(x)＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)x－2))滿足題意，此時f(2)＝cos0＝1，f(0)＝cos(－π)＝－1，AC錯誤．故選BD.(2)由對任意的x∈R，f(x)＋f(5－x)＝－1，可知函數(shù)的圖象關(guān)于點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，－\f(1,2)))對稱．又y＝eq\f(1－x,2x－5)＝eq\f(－x＋1,2x－5)＝－eq\f(1,2)－eq\f(\f(3,2),2x－5)，所以函數(shù)y＝eq\f(1－x,2x－5)圖象的中心對稱點為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，－\f(1,2)))，所以兩個函數(shù)圖象的交點成對出現(xiàn)，且每對交點都關(guān)于點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，－\f(1,2)))對稱，則x1＋xn＝x2＋xn－1＝…＝eq\f(5,2)×2＝5，y1＋yn＝y(tǒng)2＋yn－1＝…＝－eq\f(1,2)×2＝－1，所以eq\i\su(i＝1,n,)(xi＋yi)＝5×eq\f(n,2)＋(－1)×eq\f(n,2)＝2n.故選C．]中心對稱的幾種表述形式(1)函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(a，b)對稱?f(a＋x)＋f(a－x)＝2b?2b－f(x)＝f(2a－x)；若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，則y＝f(x)的圖象關(guān)于點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)，\f(c,2)))成中心對稱．(2)雙曲線型函數(shù)f(x)＝eq\f(cx＋d,ax＋b)的圖象的對稱中心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,a)，\f(c,a))).[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．(1)若函數(shù)f(x)滿足f(2－x)＋f(x)＝－2，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是()A．f(x－1)－1 B．f(x－1)＋1C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1(2)(多選)以下函數(shù)的圖象是中心對稱圖形的是()A．f(x)＝2x2＋1B．f(x)＝x3C．f(x)＝eq\f(2x＋1,x－1)D．f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x，x≥0，,x1－x，x＜0))(1)D(2)BCD[(1)因為f(2－x)＋f(x)＝－2，所以f(x)關(guān)于點(1，－1)對稱，所以將f(x)向左平移1個單位長度，再向上平移1個單位長度得到函數(shù)y＝f(x＋1)＋1，該函數(shù)的對稱中心為點(0,0)，故y＝f(x＋1)＋1為奇函數(shù)．(2)對于A，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)f(x)＝2x2＋1無對稱中心，故A錯誤；對于B，函數(shù)f(x)＝x3是奇函數(shù)，故其圖象關(guān)于原點對稱，故B正確；對于C，f(x)＝eq\f(2x＋1,x－1)＝eq\f(2x－2＋3,x－1)＝2＋eq\f(3,x－1)，所以f(x)＝eq\f(2x＋1,x－1)的圖象可以由反比例函數(shù)y＝eq\f(3,x)的圖象向右平移1個單位長度，向上平移2個單位長度得到，且反比例函數(shù)y＝eq\f(3,x)的圖象關(guān)于原點對稱，所以函數(shù)f(x)＝eq\f(2x＋1,x－1)的圖象關(guān)于點(1,2)對稱，故C正確；對于D，函數(shù)的定義域為R，且f(0)＝0，當(dāng)x＞0時，－x＜0，f(－x)＝－x(1＋x)＝－f(x)，當(dāng)x＜0時，－x＞0，f(－x)＝－x(1－x)＝－f(x)，所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，故D正確．故選BCD.]考點三兩函數(shù)圖象間的對稱問題[典例3](1)已知函數(shù)y＝f(x)是定義域為R的函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x＋2)與y＝f(4－x)的圖象()A．關(guān)于直線x＝1對稱B．關(guān)于直線x＝3對稱C．關(guān)于直線y＝3對稱D．關(guān)于點(3,0)對稱(2)(多選)函數(shù)f(x)＝sinx與g(x)＝cosx的圖象關(guān)于某條直線對稱，這條直線的方程可以是()A．x＝eq\f(π,4) B．x＝eq\f(3π,2)C．x＝－eq\f(7π,2) D．x＝－eq\f(7π,4)(1)A(2)AD[(1)設(shè)P(x0，y0)為y＝f(x＋2)圖象上任意一點，則y0＝f(x0＋2)＝f(4－(2－x0))，所以點Q(2－x0，y0)在函數(shù)y＝f(4－x)的圖象上，而P(x0，y0)與Q(2－x0，y0)關(guān)于直線x＝1對稱，所以函數(shù)y＝f(x＋2)與y＝f(4－x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱．(2)設(shè)這條直線的方程是x＝a，因為函數(shù)f(x)＝sinx與g(x)＝cosx的圖象關(guān)于直線x＝a對稱，所以sin(2a－x)＝cosx，即coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2a－x))＝cosx，所以eq\f(π,2)－(2a－x)＝x＋2kπ，k∈Z，解得a＝eq\f(π,4)－kπ，k∈Z.當(dāng)k＝0時，a＝eq\f(π,4)；當(dāng)k＝2時，a＝－eq\f(7π,4).故選AD.]函數(shù)y＝f(a＋x)的圖象與函數(shù)y＝f(b－x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(b－a,2)對稱．[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．設(shè)函數(shù)y＝f(x)與y＝3x＋m的圖象關(guān)于直線y＝x對稱，若f(3)＋f(9)＝1，則實數(shù)m的值為.1[因為函數(shù)y＝f(x)與y＝3x＋m的圖象關(guān)于直線y＝x對稱，所以x＝log3y－m，所以f(x)＝log3x－m，所以f(3)＋f(9)＝1－m＋2－m＝1，所以m＝1.]課時分層作業(yè)(九)(本試卷共92分．單項選擇題每題5分，多項選擇題每題6分，填空題每題5分．)一、單項選擇題1．已知函數(shù)f(x)＝x2＋ax對定義域內(nèi)任意的x都有f(2－x)＝f(2＋x)，則實數(shù)a等于()A．4 B．－4C．eq\f(1,4) D．－eq\f(1,4)B[因為f(2－x)＝f(2＋x)，所以f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱，故－eq\f(a,2)＝2，所以a＝－4.故選B.]2．下列函數(shù)中，其圖象與函數(shù)y＝lnx的圖象關(guān)于直線x＝1對稱的是()A．y＝ln(1－x) B．y＝ln(2－x)C．y＝ln(1＋x) D．y＝ln(2＋x)B[y＝lnx的圖象上的點P(1,0)關(guān)于直線x＝1的對稱點是它本身，則點P在y＝lnx的圖象關(guān)于直線x＝1對稱的圖象上，結(jié)合選項可知B正確．故選B.]3．(2022·北京高考)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,1＋2x)，則對任意實數(shù)x，有()A．f(－x)＋f(x)＝0B．f(－x)－f(x)＝0C．f(－x)＋f(x)＝1D．f(－x)－f(x)＝eq\f(1,3)C[f(－x)＋f(x)＝eq\f(1,1＋2－x)＋eq\f(1,1＋2x)＝eq\f(2x,1＋2x)＋eq\f(1,1＋2x)＝1，故A錯誤，C正確；f(－x)－f(x)＝eq\f(1,1＋2－x)－eq\f(1,1＋2x)＝eq\f(2x,1＋2x)－eq\f(1,1＋2x)＝eq\f(2x－1,2x＋1)＝1－eq\f(2,2x＋1)，不是常數(shù)，故BD錯誤．故選C．]4．函數(shù)y＝f(x)是定義在R上的函數(shù)，那么y＝－f(x＋4)與y＝f(6－x)的圖象()A．關(guān)于直線x＝5對稱B．關(guān)于直線x＝1對稱C．關(guān)于點(5,0)對稱D．關(guān)于點(1,0)對稱C[由復(fù)合函數(shù)的對稱性知函數(shù)y＝－f(x＋4)與y＝f(6－x)的圖象關(guān)于點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6＋4,2)，0))，即點(5,0)中心對稱．故選C．]5．(2025·德州模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝ax3－x－3＋a，若函數(shù)f(x－1)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱，則a＝()A．－1 B．0C．1 D．2B[因為函數(shù)f(x－1)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱，故函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(0,0)對稱，即f(x)為奇函數(shù)，故f(－x)＋f(x)＝a(－x)3－(－x)－3＋a＋ax3－x－3＋a＝2a＝0，所以a＝0.故選B.]6．已知定義在R上的函數(shù)f(x)在(－∞，3]上單調(diào)遞增，且f(x＋3)為偶函數(shù)，則不等式f(x＋1)>f(2x)的解集為()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(5,3)))B．(－∞，1)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，＋∞))C．(－3，－2)D．(－∞，－3)∪(－2，＋∞)B[由題意可得，f(x)圖象的對稱軸為直線x＝3，且在[3，＋∞)上單調(diào)遞減，由f(x＋1)>f(2x)，可得出|x＋1－3|<|2x－3|，即(x－2)2<(2x－3)2，即3x2－8x＋5＝(3x－5)(x－1)>0，解得x<1或x>eq\f(5,3).所以，不等式f(x＋1)>f(2x)的解集為(－∞，1)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，＋∞)).故選B.]7．定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(2－x)＝2－f(x)．若f(x)的圖象關(guān)于直線x＝3對稱，則下列選項中一定成立的是()A．f(－3)＝1 B．f(0)＝0C．f(3)＝2 D．f(5)＝－1A[函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝3對稱，則必有f(3－x)＝f(x＋3)，所以f(0)＝f(6)，f(1)＝f(5)，f(2)＝f(4)．又因為f(x)滿足f(2－x)＝2－f(x)，取x＝1，所以f(1)＝2－f(1)，f(1)＝1，則f(1)＝f(5)＝1，取x＝5，則f(－3)＝2－f(5)＝1，A正確．故選A．]8．已知函數(shù)y＝f(x＋1)－2是奇函數(shù)，函數(shù)g(x)＝eq\f(2x－1,x－1)與f(x)的圖象有4個公共點Pi(xi，yi)(i＝1,2,3,4)，且x1＜x2＜x3＜x4，則g(x1＋x2＋x3＋x4)g(y1＋y2＋y3＋y4)＝()A．2 B．3C．4 D．5D[由函數(shù)y＝f(x＋1)－2是奇函數(shù)，其圖象向右平移1個單位長度，再向上平移2個單位長度得到f(x)的圖象，所以f(x)的圖象關(guān)于點(1,2)對稱．由g(x)＝eq\f(2x－1,x－1)＝2＋eq\f(1,x－1)，可得g(x)的圖象是由奇函數(shù)y＝eq\f(1,x)的圖象向右平移1個單位長度，再向上平移2個單位長度得到，所以g(x)的圖象關(guān)于點(1,2)對稱，所以P1，P4與P2，P3都關(guān)于點(1,2)對稱，所以x1＋x4＝x2＋x3＝2，y1＋y4＝y(tǒng)2＋y3＝4，所以g(x1＋x2＋x3＋x4)g(y1＋y2＋y3＋y4)＝g(4)g(8)＝eq\f(7,3)×eq\f(15,7)＝5.故選D.]二、多項選擇題9．(2025·淄博模擬)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＋f(x)＝0，且y＝f(2－x)為偶函數(shù)，則下列說法一定正確的是()A．函數(shù)f(x)的周期為2B．函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱C．函數(shù)f(x)為偶函數(shù)D．函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝3對稱BC[因為f(x)的定義域為R，且f(x＋2)＋f(x)＝0，所以f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，函數(shù)f(x)的周期為4，A錯誤；因為函數(shù)y＝f(2－x)是偶函數(shù)，所以f(2－x)＝f(2＋x)，函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱，且f(2－x)＝－f(x)，即f(2－x)＋f(x)＝0，函數(shù)f(x)圖象關(guān)于點(1,0)對稱，B正確；由f(2－x)＝f(2＋x)，得f(－x)＝f(4＋x)＝f(x)，則函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，C正確；由f(x＋2)＋f(x)＝0，得f(x＋3)＋f(1＋x)＝0，由f(2－x)＝f(2＋x)，得f(3－x)＝f(1＋x)，因此f(x＋3)＋f(3－x)＝0，函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(3,0)對稱，D錯誤．故選BC．]10．(2025·日照模擬)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)且f(x)不是常數(shù)函數(shù)，設(shè)F(x)＝f(1－x)－1，已知函數(shù)g(x)＝f(x＋1)－1是奇函數(shù)，則()A．y＝f(x)的圖象關(guān)于點(1,1)對稱B．f(x)＝f(x＋4)C．F(x)＝f(1－x)－1是奇函數(shù)D．F(x)的圖象與g(x)的圖象關(guān)于原點對稱ABC[對于A選項，因為函數(shù)g(x)是奇函數(shù)，所以g(x)＋g(－x)＝0，又g(x)＝f(x＋1)－1，所以f(x＋1)－1＋f(－x＋1)－1＝0，整理得f(x＋1)＋f(－x＋1)＝2，所以y＝f(x)的圖象關(guān)于(1,1)對稱，故A正確；對于B選項，因為f(x)為定義在R上的偶函數(shù)，所以f(x)＋f(x－2)＝f(x)＋f(2－x)，由A選項知f(x＋1)＋f(－x＋1)＝2，則f(x)＋f(2－x)＝2，所以f(x)＋f(x－2)＝2，所以f(x－2)＋f(x－4)＝2，所以f(x)＝f(x－4)，所以f(x)＝f(x＋4)，故B正確；對于C選項，因為F(x)＋F(－x)＝f(1－x)－1＋f(1＋x)－1.由A選項知f(x＋1)＋f(－x＋1)＝2，則F(x)＋F(－x)＝0，所以f(x)是奇函數(shù)，故C正確；對于D選項，因為F(x)＝f(1－x)－1，所以F(－x)＝f(1＋x)－1＝g(x)，所以F(x)的圖象與g(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，又F(x)不是常函數(shù)，則F(x)的圖象與g(x)的圖象不關(guān)于原點對稱，故D錯誤．故選ABC．]三、填空題11．若函數(shù)f(x)＝eq\f(ax－2,x－1)的圖象關(guān)于點(1,1)對稱，則實數(shù)a＝________.1[f(x)＝eq\f(ax－a＋a－2,x－1)＝a＋eq\f(a－2,x－1)，圖象關(guān)于點(1，a)對稱，故a＝1.]12．(2025·威海模擬)寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)f(x)＝___________________.①f(3－x)＝－f(x)；②f(x)＝f(1－x)；③函數(shù)f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上單調(diào)遞減．2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)x＋\f(5π,4)))(答案不唯一)[對于①，若f(3－x)＝－f(x)，則f(x)的圖象關(guān)于點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，0))中心對稱．對于②，若f(x)＝f(1－x)，則f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(1,2)對稱．設(shè)f(x)＝2sin(ωx＋φ)，則T＝4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－\f(1,2)))＝4，ω＝eq\f(π,2).又f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(1,2)對稱，且函數(shù)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上單調(diào)遞減，則eq\f(ω,2)＋φ＝eq\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z，得φ＝eq\f(5π,4)＋2kπ，k∈Z.]13．已知函數(shù)f(x)(x∈R)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且滿足f(x)－f(2－x)＝0，則()A．函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(1,1)對稱B．函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱C．函數(shù)f′(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱D．函數(shù)f′(x)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱D[由f(x)－f(2－x)＝0，可知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(0＋2,2)＝1對稱．對f(x)－f(2－x)＝0求導(dǎo)，