2025年高中數(shù)學初高銜接-第02講：因式分解（學生版）-初升高數(shù)學暑假銜接（人教版）

第02講：因式分解【考點梳理】考點一、公式法(立方和、立方差公式)這就是說，兩個數(shù)的立方和(差)，等于這兩個數(shù)的和(差)乘以它們的平方和與它們積的差(和)．運用這兩個公式，可以把形式是立方和或立方差的多項式進行因式分解．考點二、分組分解法從前面可以看出，能夠直接運用公式法分解的多項式，主要是二項式和三項式．而對于四項以上的多項式，如既沒有公式可用，也沒有公因式可以提?。虼?，可以先將多項式分組處理．這種利用分組來因式分解的方法叫做分組分解法．分組分解法的關(guān)鍵在于如何分組．考點三、十字相乘法1．型的因式分解(1)二次項系數(shù)是1；(2)常數(shù)項是兩個數(shù)之積；(3)一次項系數(shù)是常數(shù)項的兩個因數(shù)之和．.因此，.2．一般二次三項式型的因式分解大家知道，．反過來，就得到：我們發(fā)現(xiàn)，二次項系數(shù)分解成，常數(shù)項分解成，把寫成，這里按斜線交叉相乘，再相加，就得到，那么就可以分解成．這種借助畫十字交叉線分解系數(shù)，從而將二次三項式分解因式的方法，叫做十字相乘法．題型突破題型一：提取公因式和公式法因式分解1．多項式x2﹣4xy﹣2y+x+4y2分解因式后有一個因式是x﹣2y，另一個因式是（）A．x+2y+1 B．x+2y﹣1 C．x﹣2y+1 D．x﹣2y﹣12．因式分解(1)(2)(3)(4)3．閱讀下列材料：已知a2+a-3=0，求a2(a+4)的值．解：∵a2=3-a，∴a2(a+4)=(3-a)(a+4)=3a+12-a2-4a=-a2-a+12=-(3-a)-a+12=9，∴a2(a+4)=9．根據(jù)上述材料的做法，完成下列各小題：（1）若a2-a-10=0，則2(a+4)(a-5)的值為____________．（2）若x2+4x-1=0，求代數(shù)式2x4+8x3-4x2-8x+1的值．4．【閱讀材料】利用公式法，可以將一些形如的多項式變形為的形式，我們把這樣的變形方法叫做多項式的配方法，運用多項式的配方法及平方差公式能對一些多項式進行因式分解或有關(guān)運算．例如：對于．（1）用配方法分解因式；（2）當取何值，代數(shù)式有最小值？最小值是多少？解：（1）原式．（2）由（1）得：，，，當時，代數(shù)式有最小值，最小值是．【問題解決】利用配方法解決下列問題：(1)用配方法因式分解：；(2)試說明不論為何值，代數(shù)式恒為負數(shù)；(3)若已知且，求的值．題型二：分組分解法5．把下列各式因式分解(1)a(a-3)+2(3-a)

(2)(3)(4)6．（1）分解因式：（2）分解因式：7．閱讀下列材料：常用的分解因式方法有提公因式、公式法等．但有的多項式只用上述方法就無法分解，如，細心觀察這個式子會發(fā)現(xiàn)前兩項符合平方差公式，后兩項可提取公因式，分解過程為：分組組內(nèi)分解因式整體思想提公因式這種分解因式的方法叫分組分解法，利用這種方法解決下列問題：(1)分解因式：；(2)已知的三邊滿足，判斷的形狀并說明理由．8．閱讀材料：若，求x，y的值．解：∵∴∴∴，∴根據(jù)上述材料，解答下列問題：（1），求的值；（2），，求的值．題型三：十字相乘法9．閱讀與思考：整式乘法與因式分解是方向相反的變形．由(x＋p)(x＋q)＝x2＋(p＋q)x＋pq，得x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)；利用這個式子可以將某些二次項系數(shù)是1的二次三項式因式分解．例如：將式子x2＋3x＋2因式分解．分析：這個式子的常數(shù)項2＝1×2，一次項系數(shù)3＝1＋2，所以x2＋3x＋2＝x2＋(1＋2)x＋1×2解：x2＋3x＋2＝(x＋1)(x＋2)．請仿照上面的方法，解答下列問題：(1)因式分解：x2＋7x－18＝______________；(2)填空：若x2＋px－8可分解為兩個一次因式的積，則整數(shù)p的所有可能值是______________(3)利用因式解法解方程：x2－6x＋8＝0；10．因為，這說明多項式有一個因式為，我們把代入此多項式發(fā)現(xiàn)能使多項式的值為0．利用上述閱讀材料求解：(1)若是多項式的一個因式，求的值；(2)若和是多項式的兩個因式，試求，的值．(3)在（2）的條件下，把多項式因式分解．11．因式分解：(1)(2)12．閱讀材料：解方程x2+2x﹣35＝0我們可以按下面的方法解答：（1）分解因式x2+2x﹣35，①豎分二次項與常數(shù)項：x2＝x?x，﹣35＝（﹣5）×（+7）．②交叉相乘，驗中項：?7x﹣5x＝2x．③橫向?qū)懗鰞梢蚴剑簒2+2x﹣35＝（x+7）（x﹣5）．（2）根據(jù)乘法原理：若ab＝0，則a＝0或b＝0，則方程x2+2x﹣35＝0可以這樣求解x2+2x﹣35＝0方程左邊因式分解得（x+7）（x﹣5）＝0所以原方程的解為x1＝5，x2＝﹣7（3）試用上述方法和原理解下列方程：①x2+5x+4＝0；②x2﹣6x﹣7＝0；③x2﹣6x+8＝0；④2x2+x﹣6＝0．題型四：因式分解的綜合13．已知，求下列代數(shù)式的值：（1）（2）14．把代數(shù)式通過配湊等手段，得到局部完全平方式．再進行有關(guān)運算和解題，這種解題方法叫做配方法．如：①用配方法分解因式：，解：原式②，利用配方法求的最小值，解：∵，∴當時，有最小值1．請根據(jù)上述材料解決下列問題：(1)在橫線上添加一個常數(shù)，使之成為完全平方式：______．(2)用配方法因式分解：．(3)若，求的最小值．(4)已知，則的值為______．15．嘉淇上小學時得知“一個數(shù)的各個數(shù)字之和能被3整除，那么這個數(shù)就能被3整除”，她后來做了如下分析：嘉淇的分析：∵為整數(shù)，5為整數(shù)，∴能被3整除，能被3整除，∴258能被3整除．(1)通過計算驗證能否被3整除；(2)用嘉淇的方法證明能被3整除；(3)設(shè)是一個四位數(shù)．，，，分別為對應(yīng)數(shù)位上的數(shù)字，請論證“若能被3整除，則這個數(shù)可以被3整除”．16．材料一：若一個四位數(shù)的千位數(shù)字與十位數(shù)字之和為10，百位數(shù)字與個位數(shù)字之和為10，則稱這個四位數(shù)為“十全數(shù)”．交換這個“十全數(shù)”的千位數(shù)字與十位數(shù)字的位置，百位數(shù)字與個位數(shù)字的位置，得到新的四位數(shù)叫做這個“十全數(shù)”的“對應(yīng)數(shù)”．例如：1298是“十全數(shù)”，其“對應(yīng)數(shù)”為9812；5752是“十全數(shù)”，其“對應(yīng)數(shù)”為5257．材料二：若一個數(shù)能表示成某個整數(shù)的平方的形式，則稱這個數(shù)為完全平方數(shù)．例如：，則0是完全平方數(shù)；，則121是完全平方數(shù)．(1)證明：一個“十全數(shù)”與其“對應(yīng)數(shù)”之差能被11整除；(2)記為“十全數(shù)”，為的“對應(yīng)數(shù)”，且．若，求滿足是完全平方數(shù)的所有“十全數(shù)”．【專題突破】一、單選題17．下面各式從左到右的變形，屬于因式分解的是（

）A． B．C． D．18．下列分解因式正確的是（

）A． B．C． D．19．已知a＝2018x＋2018，b＝2018x＋2019，c＝2018x＋2020，則a2＋b2＋c2－ab－ac－bc的值是()A．0 B．1 C．2 D．320．已知是自然數(shù)，且滿足，則的取值不可能是（）A．5 B．6 C．7 D．821．已知a=2012x+2011，b=2012x+2012，c=2012x+2013，那么a2+b2+c2—ab－bc－ca的值等于(

)A．0 B．1 C．2 D．322．圖2是圖1中長方體的三視圖，用S表示面積，則（）A． B． C． D．23．已知中，，若，，，且，則（

）A． B． C． D．二、填空題24．分解因式：______．25．若且，則_____．26．化簡：＝____________．27．多項式的最小值為________．28．如圖，標號為①，②，③，④的矩形不重疊地圍成矩形，已知①和②能夠重合，③和④能夠重合，這四個矩形的面積都是5.，且．（1）若a，b是整數(shù)，則的長是___________；（2）若代數(shù)式的值為零，則的值是___________．29．閱讀材料：整體代值是數(shù)學中常用的方法．例如“已知，求代數(shù)式的值．”可以這樣解：．根據(jù)閱讀材料，解決問題：若是關(guān)于x的一元一次方程的解，則代數(shù)式的值是________．三、解答題30．在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式：(1)；(2)；(3)；(4)．31．把下列各式因式分解：(1)；(2)；(3)；(4)．32．分解因式：．33．把代數(shù)式通過配湊等手段，得到完全平方式，再運用完全平方式是非負數(shù)這一性質(zhì)增加問題的條件，這種解題方法叫做配方法，配方法在代數(shù)式求值，解方程，最值問題等都有著廣泛的應(yīng)用．例1．用配方法因式分解：．原式．例2．若，利用配方法求的最小值；；∵，，∴當時，有最小值1．請根據(jù)上述自主學習材料解決下列問題：(1)在橫線上添上一個常數(shù)項使之成為完全平方式：______；(2)用配方法因式分解：；(3)若，求的最小值是多少；(4)已知，求的值．34．把下列各式因式分解：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．35．閱讀材料：利用公式法，可以將一些形如的多項式變形為的形式，我們把這樣的變形方法叫做多項式的配方法，運用多項式的配方法及平方差公式能對一些多項式進行因式分解．例如．根據(jù)以上材料，解答下列問題．(1)用配方法分解因式：；(2)求多項式的最小值；(3)已知，，是的三邊長，且滿足，求的周長．36．利用公式法，可以將一些形如的多項式變形為的形式，我們把這樣的變形方法叫做多項式的配方法，運用多項式的配方法及平方差公式能對一些多項式進行因式分解．例如．根據(jù)以上材料，解答下列問題