蘇科版2025年新九年級數(shù)學(xué)暑假銜接講義第11講正多邊形與圓(3種題型)(學(xué)生版+解析)

/第11講正多邊形與圓（3種題型）1.了解正多邊形和圓的有關(guān)概念及對稱性；2.理解并掌握正多邊形半徑和邊長、邊心距、中心角之間的關(guān)系，會應(yīng)用正多邊形和圓的有關(guān)知識畫正多邊形；3.會進行正多邊形的有關(guān)計算.正多邊形和圓（1）正多邊形與圓的關(guān)系把一個圓分成n（n是大于2的自然數(shù)）等份，依次連接各分點所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正多邊形，這個圓叫做這個正多邊形的外接圓．（2）正多邊形的有關(guān)概念①中心：正多邊形的外接圓的圓心叫做正多邊形的中心．②正多邊形的半徑：外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑．③中心角：正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角．④邊心距：中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距．題型一：求正多邊形的中心角一、單選題1．（2022·江蘇·九年級假期作業(yè)）中心角為45°的正n邊形的邊數(shù)n等于（）A．12 B．10 C．8 D．62．（2023春·江蘇蘇州·九年級專題練習(xí)）如圖，五邊形是的內(nèi)接正五邊形，則正五邊形中心角的度數(shù)是（）A． B． C． D．3．（2023春·江蘇蘇州·九年級專題練習(xí)）若一個圓內(nèi)接正多邊形的中心角是，則這個多邊形是（）A．正九邊形 B．正八邊形 C．正七邊形 D．正六邊形4．（2022秋·九年級單元測試）如圖，是由邊長為1的正六邊形和六角星鑲嵌而成的圖案，則圖中陰影部分的面積是（

）A． B． C． D．二、填空題5．（2022秋·九年級課時練習(xí)）五角星繞其中心旋轉(zhuǎn)一定的角度與原圖形重合，則這個旋轉(zhuǎn)角至少為_______度．6．（2022秋·江蘇·九年級期中）線段AB是圓內(nèi)接正十邊形的一條邊，則AB所對的圓周角的度數(shù)是__度．三、解答題7．（江蘇泰州·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，AB＝AD，∠C＝120°，點E在弧AD上，連接OA、OD、OE、AE、DE．（1）求∠AED的度數(shù)；（2）當∠DOE＝90°時，AE恰好為⊙O的內(nèi)接正n邊形的一邊，求n的值．題型二：已知正多邊形的中心角求邊數(shù)一、單選題1．（2022秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）有一個正n邊形的中心角是36°，則n為（

）A．7 B．8 C．9 D．102．（2022秋·九年級課時練習(xí)）如圖，邊AB是⊙O內(nèi)接正六邊形的一邊，點C在上，且BC是⊙O內(nèi)接正八邊形的一邊，若AC是⊙O內(nèi)接正n邊形的一邊，則n的值是（）A．6 B．12 C．24 D．483．（2023·江蘇·九年級專題練習(xí)）一個圓的內(nèi)接正多邊形中，一條邊所對的圓心角為，則該正多邊形的邊數(shù)是（

）A．3 B．4 C．5 D．64．（2022秋·江蘇南京·九年級南京外國語學(xué)校仙林分校?？茧A段練習(xí)）如圖，點、、、為一個正多邊形的頂點，點為正多邊形的中心，若，則這個正多邊形的邊數(shù)為（

）A．5 B．10 C．12 D．20二、填空題5．（2022秋·江蘇南通·九年級南通田家炳中學(xué)?？茧A段練習(xí)）一個正多邊形的中心角是30°，則這個多邊形是正____邊形．6．（2022秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）正n邊形的中心角為72°，則______．7．（2022秋·江蘇泰州·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）一個正n邊形繞它的中心至少旋轉(zhuǎn)36°才能與原來的圖形完全重合，則n的值為______．8．（2023秋·江蘇揚州·九年級?？计谀┮粋€正n邊形的中心角為，則n為___________．9．（2023·江蘇南通·南通田家炳中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，內(nèi)接于，，弦是圓內(nèi)接正多邊形的一邊，則該正多邊形的邊數(shù)是________．三、解答題10．（2022秋·九年級課時練習(xí)）【閱讀理解】如圖1，為等邊的中心角，將繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度，的兩邊與三角形的邊分別交于點．設(shè)等邊的面積為S，通過證明可得，則．【類比探究】如圖2，為正方形的中心角，將繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度，的兩邊與正方形的邊分別交于點．若正方形的面積為S，請用含S的式子表示四邊形的面積（寫出具體探究過程）．【拓展應(yīng)用】如圖3，為正六邊形的中心角，將繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度，的兩邊與正六邊形的邊分別交于點．若四邊形面積為，請直接寫出正六邊形的面積．題型三：正多邊形和圓一、單選題1．（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考二模）如圖，正五邊形內(nèi)接于，點F在弧上．若，則的大小為（

）

A． B． C． D．2．（2023春·江蘇南京·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，是正六邊形的邊上一點，則的度數(shù)不可能是（

）A． B． C． D．3．（2023·江蘇徐州·模擬預(yù)測）如圖，面積為6的正六邊形中，點，分別為邊，上的動點，則陰影部分面積為（

）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空題4．（2023春·江蘇南京·九年級南京外國語學(xué)校仙林分校?？茧A段練習(xí)）正方形內(nèi)接于，E是的中點，連接，則________°．5．（2023秋·江蘇南京·九年級統(tǒng)考期末）如圖，正五邊形內(nèi)接于，是的直徑，是上的一點（不與點，重合），則的度數(shù)為______°．6．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考二模）如圖，正六邊形與相切于點、，則______°．

7．（2022秋·江蘇徐州·九年級校考階段練習(xí)）劉徽是中國古代卓越的數(shù)學(xué)家之一，他在《九章算術(shù)》中提出了“割圓術(shù)”，即用內(nèi)接或外切正多邊形逐步逼近圓來近似計算圓的面積．設(shè)的半徑為，若用的內(nèi)接正六邊形的面積來近似估計的面積，則的面積約為________．8．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考一模）如圖，點O是正六邊形的中心，以為邊在正六邊形的內(nèi)部作正方形連接，則______°．

三、解答題9．（2022·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，已知⊙O內(nèi)接正六邊形ABCDEF的邊長為6cm，求這個正六邊形的邊心距r6、面積S6．10．（2022秋·江蘇·九年級期中）如圖，六邊形ABCDEF是⊙O的內(nèi)接正六邊形．(1)求證：在六邊形ABCDEF中，過頂點A的三條對角線四等分∠BAF．(2)設(shè)⊙O的面積為S1，六邊形ABCDEF的面積為S2，求的值（結(jié)果保留π）．11．（2022秋·江蘇鹽城·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，P為上的一點，連接DP，CP．(1)求∠CPD的度數(shù)；(2)當點P為的中點時，CP是⊙O的內(nèi)接正n邊形的一邊，求n的值．12．（2023·江蘇·九年級專題練習(xí)）[閱讀與思考]如圖①，在正三角形中，點，是，上的點，且，則，；如圖②，在正方形中，點，是，上的點，且，則，；如圖③，在正五邊形中，點，是，上的點，且，則，；[理解與運用]在正六邊形中，點，是，上的點，且，則，；在正十邊形中，點，是，上的點，且，則，；[歸納與總結(jié)]根據(jù)以上規(guī)律，在正邊形中，對相鄰的三邊實施同樣的操作過程，即點，是，上的點，且，與相交于；也會有類似的結(jié)論，你的結(jié)論是．13．（2022秋·江蘇徐州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每一個小正方形的邊長都為1，點、都在格點上，以為圓心，為半徑做圓，只用無刻度的直尺完成以下畫圖．(1)在圖①中畫的一個內(nèi)接正四邊形，___________；(2)在圖②中畫的一個內(nèi)接正六邊形，__________．題型四：尺規(guī)作圖一、解答題1．（2022秋·九年級課時練習(xí)）如圖1，等邊內(nèi)接于⊙O，連接CO并延長交⊙O于點D．（1）可以證明CD垂直平分AB，寫出與的數(shù)量關(guān)系：___．（2）請你僅使用無刻度的直尺按要求作圖：①在圖1中作出一個正六邊形，保留作圖痕跡（作圖過程用虛線表示，作圖結(jié)果用實線表示）．②請在圖2中作出⊙O的內(nèi)接正六邊形ADBECF的一條不經(jīng)過頂點的對稱軸，保留作圖痕跡(作圖過程用虛線表示，作圖結(jié)果用實線表示）．

2．（2022秋·九年級課時練習(xí)）如圖，已知AC為的直徑．請用尺規(guī)作圖法，作出的內(nèi)接正方形ABCD．（保留作圖痕跡．不寫作法）3．（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）按要求作圖，不要求寫作法，但要保留作圖痕跡.（1）如圖1，A為圓E上一點，請用直尺（不帶刻度）和圓規(guī)作出圓內(nèi)接正方形；（2）我們知道，三角形具有性質(zhì)，三邊的垂直平分線相交于同一點，三條角平分線相交于一點，三條中線相交于一點，事實上，三角形還具有性質(zhì)：三條高交于同一點，請運用上述性質(zhì)，只用直尺（不帶刻度）作圖：①如圖2，在□ABCD中，E為CD的中點，作BC的中點F;②圖3，在由小正方形組成的網(wǎng)格中，的頂點都在小正方形的頂點上，作△ABC的高AH

4．（2021秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）已知正五邊形，請僅用無刻度直尺作圖．（1）在圖1中作點P，使得是等腰三角形：（2）在圖2中作點，使點稱為正五邊形的中心．5．（2021·江蘇無錫·九年級專題練習(xí)）已知正六邊形ABCDEF，請僅用無刻度的直尺，分別按下列要求作圖．（1）在圖①中，以AB為邊作等邊三角形；（2）在圖②中，作一個含30°的直角三角形．6．（2022秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）請用圓規(guī)和直尺作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡．已知：⊙O，點A在圓上．求作：以A為一頂點作圓內(nèi)接正方形ABCD．二、填空題7．（2021秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，在⊙O中，MF為直徑，OA⊥MF，圓內(nèi)接正五邊形ABCDE的部分尺規(guī)作圖步驟如下：①作出半徑OF的中點H．②以點H為圓心，HA為半徑作圓弧，交直徑MF于點G．③AG長即為正五邊形的邊長、依次作出各等分點B，C，D，E．已知⊙O的半徑R＝2，則AB2＝__．（結(jié)果保留根號）一．選擇題（共10小題）1．（2023?工業(yè)園區(qū)校級二模）閱讀理解：如圖1，在平面內(nèi)選一定點O，引一條有方向的射線Ox，再選定一個單位長度，那么平面上任一點M的位置可由∠MOx的度數(shù)θ與OM的長度m確定，有序數(shù)對（θ，m）稱為M點的“極坐標”，這樣建立的坐標系稱為“極坐標系”．應(yīng)用：在圖2的極坐標系下，如果正六邊形的邊長為4，有一邊OA在射線Ox上，則正六邊形的頂點C的極坐標應(yīng)記為（）A．（60°，8） B．（45°，8） C． D．2．（2023?鼓樓區(qū)模擬）下列圖形中，正多邊形內(nèi)接于半徑相等的圓，其中正多邊形周長最小的是（）A． B． C． D．3．（2023?梁溪區(qū)二模）如圖所示，A、B、C、D是一個外角為40°的正多邊形的頂點．若O為正多邊形的中心，則∠OAD的度數(shù)為（）A．14° B．40° C．30° D．15°4．（2023?姜堰區(qū)二模）一個正多邊形，它的每個內(nèi)角是與其相鄰?fù)饨堑?倍，則這個多邊形的邊數(shù)是（）A．6 B．7 C．8 D．95．（2023?宜興市二模）已知正多邊形的一個外角為72°，則該正多邊形的邊數(shù)是（）A．5 B．6 C．8 D．106．（2023?丹陽市模擬）如圖，邊長相等的正五邊形和正六邊形如圖拼接在一起，則∠ABC的度數(shù)為（）A．22° B．23° C．24° D．25°7．（2022秋?南京期末）如圖，AB，CD分別是⊙O的內(nèi)接正十邊形和正五邊形的邊，AD，BC交于點P，則∠APC的度數(shù)為（）A．126° B．127° C．128° D．129°8．（2022秋?宿城區(qū)期末）如圖，A、B、C、D為一個正多邊形的頂點，O為正多邊形的中心．若∠ADB＝18°，則這個正多邊形的邊數(shù)為（）A．7 B．8 C．9 D．109．（2023?儀征市二模）如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，點F在弧AE上．若∠CDF＝95°，則∠FCD的大小為（）A．38° B．42° C．49° D．58°10．（2023?惠山區(qū)校級模擬）如圖，面積為6的正六邊形ABCDEF中，點M，N分別為邊BC，EF上的動點，則陰影部分面積為（）A．2 B．3 C．4 D．5二．填空題（共8小題）11．（2023?鎮(zhèn)江一模）如圖，點A、B、C、D、E是圓O上的五等分點，該圖形繞點O至少旋轉(zhuǎn)度后與自身重合．12．（2023?連云港）以正六邊形ABCDEF的頂點C為旋轉(zhuǎn)中心，按順時針方向旋轉(zhuǎn)，使得新正六邊形A′B′CD′E′F′的頂點D′落在直線BC上，則正六邊形ABCDEF至少旋轉(zhuǎn)°．13．（2023?蘇州模擬）已知正六邊形的半徑為，則它的周長＝．14．（2023?蘇州二模）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，⊙O的半徑為1，過O作OM垂直AB，交AB于點M，則OM的長為．15．（2023?南京三模）如圖，在正六邊形ABCDEF中，⊙O經(jīng)過點E，且與AB，BC相切．若⊙O的半徑為4，則正六邊形的邊長為．16．（2023?寶應(yīng)縣二模）三個能夠重合的正六邊形的位置如圖，已知A點的坐標是，則B點的坐標是．17．（2023?玄武區(qū)一模）如圖，點O是正六邊形ABCDEF的中心，以AB為邊在正六邊形ABCDEF的內(nèi)部作正方形ABMN，連接OD，ON，則∠DON＝°．?18．（2023?高港區(qū)二模）如圖，點M在正六邊形的邊EF上運動．若∠ABM＝x°，寫出一個符合條件的x的值．三．解答題（共7小題）19．（2022秋?鹽都區(qū)校級月考）如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，P為上的一點，連接DP，CP．（1）求∠CPD的度數(shù)；（2）當點P為的中點時，CP是⊙O的內(nèi)接正n邊形的一邊，求n的值．20．（2020秋?灌云縣月考）如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，P為上一點，連接DP，CP．（1）∠CPD＝°；（2）若DC＝4，CP＝，求DP的長．21．（2023?鼓樓區(qū)二模）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接矩形，點E、F分別在射線AB、AD上，OE＝OF，且點C、E、F在一條直線上，EF與⊙O相切于點C．?（1）求證：矩形ABCD是正方形；（2）若OF＝10，則正方形ABCD的面積是．22．（2022秋?南通期末）如圖，點O為正六邊形ABCDEF的中心．若OA長為6，求正六邊形ABCDEF的面積．23．（2022秋?鎮(zhèn)江期末）如圖，AB是⊙O的直徑，AB＝6，AC是⊙O的弦，∠BAC＝30°，延長AB到D，連接CD，AC＝CD．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）以BC為邊的圓內(nèi)接正多邊形的周長等于．24．（2020秋?玄武區(qū)月考）【閱讀理解】[閱讀與思考]如圖①，在正三角形ABC中，點M，N是AB，BC上的點，且AM＝BN，則AN＝CM，∠NOC＝；如圖②，在正方形ABCD中，點M，N是AB，BC上的點，且AM＝BN，則AN＝DM，∠NOD＝；如圖③，在正五邊形ABCDE中，點M，N是AB，BC上的點，且AM＝BN，則AN＝EM，∠NOE＝；[理解與運用]在正六邊形ABCDEF中，點M，N是AB，BC上的點，且AM＝BN，則AN＝FM，∠NOF＝；在正十邊形ABCDEFGHIJ中，點M，N是AB，BC上的點，且AM＝BN，則AN＝JM，∠NOJ＝；[歸納與總結(jié)]根據(jù)以上規(guī)律，在正n邊形A1A2A3A4…An中，對相鄰的三邊實施同樣的操作過程，即點M，N是A1A2，A2A3上的點，且A1M＝A2N，A1N與AnM相交于O．也會有類似的結(jié)論，你的結(jié)論是．25．（2021?鼓樓區(qū)二模）如圖，在正六邊形ABCDEF中，以AD為對角線作正方形APDQ，AP、DP與BC分別交于M、N．（1）∠BAM＝°；（2）若AB＝4，求MN的長．（參考數(shù)據(jù)：≈1.73，結(jié)果精確到0.1，可以直接利用（1）的結(jié)論）一．選擇題（共7小題）1．（2022?岳池縣模擬）如圖，五邊形ABCDE是⊙O的內(nèi)接正五邊形，則正五邊形的中心角∠COD的度數(shù)是（）A．72° B．60° C．48° D．36°2．（2022?達拉特旗一模）如圖，在擰開一個邊長為a的正六角形螺帽時，扳手張開的開口b＝10mm，則這個正六邊形的面積為（）A．mm2 B．300mm2 C．150mm2 D．75mm23．（2022?德城區(qū)模擬）將正方形紙片按圖①方式依次對折得圖②的△ABC，點D是AC邊上一點，沿線段BD剪開，展開后得到一個正八邊形，則點D應(yīng)滿足（）A．BD⊥AC B．AD＝AB C．∠ADB＝60° D．AD＝DB4．（2022?天府新區(qū)模擬）如圖，圓形螺帽的內(nèi)接正六邊形的邊心距為2cm，則圓形螺帽的面積是（）A．8cm2 B．16cm2 C．8πcm2 D．16πcm25．（2022?成華區(qū)模擬）如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，點P在劣弧上，則∠P的度數(shù)為（）A．15° B．30° C．45° D．60°6．（2022?宜興市一模）如圖，⊙O與正五邊形ABCDE的兩邊AE，CD相切于A，C兩點，則∠AOC的度數(shù)是（）A．108° B．129° C．130° D．144°7．（2022?蚌埠二模）已知矩形MNPQ的頂點M，N，P，Q分別在正六邊形ABCDEF的邊DE，F(xiàn)A，AB，CD上，且MN∥BC．在點M從E移向D（與D不重合）的過程中，下列的判斷中，正確的是（）A．矩形MNPQ的面積與周長保持不變 B．矩形MNPQ的面積逐漸減小，周長逐漸增大 C．矩形MNPQ的面積與周長均逐漸增大 D．矩形MNPQ的面積與周長均逐漸減小二．填空題（共6小題）8．（2022?和平區(qū)一模）已知圓的周長是6π，則該圓的內(nèi)接正三角形的邊心距是．9．（2022?新城區(qū)模擬）如圖，AC、AD為正六邊形ABCDEF的兩條對角線，若該正六邊形的邊長為2，則△ACD的周長為．10．（2022?西山區(qū)一模）如圖，五邊形DEFGH是邊長為1的正五邊形，⊙O是正五邊形DEFGH的外接圓，過點D作⊙O的切線，與GH，F(xiàn)E的延長線交分別于點B和C，延長HG，EF相交于點A，連接GD，DF，下列結(jié)論正確的是．①∠HDE＝108°；②△ABC為等腰三角形；③四邊形AGDF為菱形；④△ABC的周長為．11．（2022?徐州一模）如圖，AF是正五邊形ABCDE的外接圓的切線，則∠CAF＝°．12．（2022?石家莊一模）如圖所示，在正四邊形、正五邊形中，相鄰兩條對角線的夾角分別為α4，α5，則α5為°，以此類推，正n邊形相鄰兩條對角線的較大夾角為°．13．（2022?北侖區(qū)二模）如圖，在正六邊形ABCDEF內(nèi)取一點O，作⊙O與邊DE，EF相切，并經(jīng)過點B，已知⊙O的半經(jīng)為，則正六邊形的邊長為．三．解答題（共5小題）14．（2021秋?信都區(qū)期末）已知正六邊形ABCDEF的中心為O，半徑OA＝6．（1）求正六邊形的邊長；（2）以A為圓心，AF為半徑畫弧BF，求．15．（2021秋?昌邑區(qū)校級期末）已知，如圖，正六邊形ABCDEF的邊長為6cm，求這個正六邊形的外接圓半徑R、邊心距r6、面積S6．16．（2021秋?新榮區(qū)月考）閱讀與思考請閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：克羅狄斯?托勒密（約90年﹣168年），是希臘數(shù)學(xué)家，天文學(xué)家，地理學(xué)家和占星家．在數(shù)學(xué)方面，他還論證了四邊形的特性，即有名的托勒密定理，托勒密定理的內(nèi)容如下：圓的內(nèi)接四邊形的兩條對角線的乘積等于兩組對邊乘積的和．即：如圖1，若四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，則有．任務(wù)：（1）材料中劃橫線部分應(yīng)填寫的內(nèi)容為．（2）如圖2，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，AB＝2，求對角線BD的長．17．（2021秋?許昌月考）如圖，六邊形ABCDEF是⊙O的內(nèi)接正六邊形．（1）求證：在六邊形ABCDEF中，過頂點A的三條對角線四等分∠BAF．（2）設(shè)⊙O的面積為S1，六邊形ABCDEF的面積為S2，求的值（結(jié)果保留π）．18．（2020秋?武漢期末）如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，E是的中點，連接AE，DE，CE．（1）求證：AE＝DE；（2）若CE＝1，求四邊形AECD的面積．

第11講正多邊形與圓（3種題型）1.了解正多邊形和圓的有關(guān)概念及對稱性；2.理解并掌握正多邊形半徑和邊長、邊心距、中心角之間的關(guān)系，會應(yīng)用正多邊形和圓的有關(guān)知識畫正多邊形；3.會進行正多邊形的有關(guān)計算.正多邊形和圓（1）正多邊形與圓的關(guān)系把一個圓分成n（n是大于2的自然數(shù)）等份，依次連接各分點所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正多邊形，這個圓叫做這個正多邊形的外接圓．（2）正多邊形的有關(guān)概念①中心：正多邊形的外接圓的圓心叫做正多邊形的中心．②正多邊形的半徑：外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑．③中心角：正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角．④邊心距：中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距．題型一：求正多邊形的中心角一、單選題1．（2022·江蘇·九年級假期作業(yè)）中心角為45°的正n邊形的邊數(shù)n等于（）A．12 B．10 C．8 D．6【答案】C【分析】根據(jù)正多邊形的中心角，計算即可．【詳解】由題意得，45°，解得n＝8，故選：C．【點睛】本題考查正多邊形中心角，解答這類題往往一些學(xué)生因?qū)φ噙呅蔚幕局R不明確，將正多邊形的中心角與內(nèi)角混淆而造成錯誤計算．2．（2023春·江蘇蘇州·九年級專題練習(xí)）如圖，五邊形是的內(nèi)接正五邊形，則正五邊形中心角的度數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)正多邊形的中心角的計算公式：計算即可．【詳解】解：∵五邊形是的內(nèi)接正五邊形，∴五邊形的中心角的度數(shù)為，故選D．【點睛】本題考查圓內(nèi)接正多邊形的中心角．熟練掌握正多邊形的中心角的計算公式：，是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·江蘇蘇州·九年級專題練習(xí)）若一個圓內(nèi)接正多邊形的中心角是，則這個多邊形是（）A．正九邊形 B．正八邊形 C．正七邊形 D．正六邊形【答案】A【分析】根據(jù)正多邊形的中心角的計算公式計算即可．【詳解】解：設(shè)這個多邊形的邊數(shù)是n，由題意得解得，，故選：A【點睛】本題考查的是正多邊形和圓的有關(guān)知識，掌握正多邊形的中心角的計算公式是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋·九年級單元測試）如圖，是由邊長為1的正六邊形和六角星鑲嵌而成的圖案，則圖中陰影部分的面積是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】計算出1個正六邊形的面積，利用矩形的面積減去圖中未涂色部分的面積即可．【詳解】解：如圖所示，∵正六邊形的中心角為60°，∴每個邊長為1的正六邊形由六個全等的等邊三角形組成，∴，，，因此每個正六邊形的面積為：，圖中未涂色部分面積等于16個正六邊形的面積：．整個圖形是一個矩形，長為12，寬為，矩形的面積為：，因此圖中陰影部分的面積是：，故選C．【點睛】本題考查等邊三角形相關(guān)計算，利用等邊三角形計算出每個正六邊形的面積是解題的關(guān)鍵．二、填空題5．（2022秋·九年級課時練習(xí)）五角星繞其中心旋轉(zhuǎn)一定的角度與原圖形重合，則這個旋轉(zhuǎn)角至少為_______度．【答案】72【分析】把五角星看成正五邊形，求出正五邊形的中心角即可解決問題；【詳解】解：∵把五角星看成正五邊形，正五邊形的中心角==72°，∴繞它的中心旋轉(zhuǎn)72°角度后能夠與自身重合，故選：72．【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)對稱圖形，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．6．（2022秋·江蘇·九年級期中）線段AB是圓內(nèi)接正十邊形的一條邊，則AB所對的圓周角的度數(shù)是__度．【答案】或/162或18【分析】作出圖形，求出一條邊所對的圓心角的度數(shù)，再根據(jù)圓周角和圓心角的關(guān)系解答．【詳解】解：如下圖，圓內(nèi)接正十邊形的邊AB所對的圓心角，則，根據(jù)圓周角等于同弧所對圓心角的一半，AB所對的圓周角的度數(shù)是或．故答案為：或．【點睛】本題主要考查了正多邊形的中心角、圓周角定理等知識，解題關(guān)鍵是熟練掌握圓周角和圓心角的關(guān)系，并要注意分兩種情況討論．三、解答題7．（江蘇泰州·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，AB＝AD，∠C＝120°，點E在弧AD上，連接OA、OD、OE、AE、DE．（1）求∠AED的度數(shù)；（2）當∠DOE＝90°時，AE恰好為⊙O的內(nèi)接正n邊形的一邊，求n的值．【答案】（1）∠AED=120°；（2）12.【分析】（1）如圖，連接BD，由已知條件證△ABD是等邊三角形，得到∠ABD=60°，從而由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得∠AED=120°；（2）如圖，連接OA，由∠ABD=60°，可得∠AOD=120°，結(jié)合∠DOE=90°，可得∠AOE=30°，從而可得；【詳解】解：（1）如圖，連接BD，∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠BAD+∠C=180°，∵∠C=120°，∴∠BAD=60°，∵AB=AD，∴△ABD是等邊三角形，∴∠ABD=60°，∵四邊形ABDE是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠AED+∠ABD=180°，∴∠AED=120°；（2）連接OA，∵∠ABD=60°，∴∠AOD=2∠ABD=120°，∵∠DOE=90°，∴∠AOE=∠AOD﹣∠DOE=30°，∴．題型二：已知正多邊形的中心角求邊數(shù)一、單選題1．（2022秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）有一個正n邊形的中心角是36°，則n為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】D【分析】根據(jù)正多邊形的中心角和為360°計算即可．【詳解】解：，故選：D．【點睛】本題考查的是正多邊形和圓，熟知正多邊形的中心角的和是360°是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·九年級課時練習(xí)）如圖，邊AB是⊙O內(nèi)接正六邊形的一邊，點C在上，且BC是⊙O內(nèi)接正八邊形的一邊，若AC是⊙O內(nèi)接正n邊形的一邊，則n的值是（）A．6 B．12 C．24 D．48【答案】C【分析】根據(jù)中心角的度數(shù)=360°÷邊數(shù)，列式計算分別求出∠AOB，∠BOC的度數(shù)，可得∠AOC=15°，然后根據(jù)邊數(shù)n=360°÷中心角即可求得答案．【詳解】解：連接OC，∵AB是⊙O內(nèi)接正六邊形的一邊，∴∠AOB＝360°÷6＝60°，∵BC是⊙O內(nèi)接正八邊形的一邊，∴∠BOC＝360°÷8＝45°，∴∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝60°－45°＝15°∴n＝360°÷15°＝24．故選：C．【點睛】本題考查了正多邊形和圓、正六邊形的性質(zhì)、正八邊形、正二十四邊形的性質(zhì)；根據(jù)題意求出中心角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．3．（2023·江蘇·九年級專題練習(xí)）一個圓的內(nèi)接正多邊形中，一條邊所對的圓心角為，則該正多邊形的邊數(shù)是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】根據(jù)正多邊形的中心角=計算即可．【詳解】解：設(shè)正多邊形的邊數(shù)為n．由題意=72°，∴n=5，故選：C．【點睛】本題考查正多邊形的有關(guān)知識，解題的關(guān)鍵是記住正多邊形的中心角=．4．（2022秋·江蘇南京·九年級南京外國語學(xué)校仙林分校校考階段練習(xí)）如圖，點、、、為一個正多邊形的頂點，點為正多邊形的中心，若，則這個正多邊形的邊數(shù)為（

）A．5 B．10 C．12 D．20【答案】B【分析】作正多邊形的外接圓，連接AO，BO，根據(jù)圓周角定理得到，根據(jù)中心角的定義即可求解．【詳解】解：如圖，作正多邊形的外接圓，連接AO，BO，∴，∴這個正多邊形的邊數(shù)為=10．故選：B．【點睛】此題主要考查正多邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知圓周角定理．二、填空題5．（2022秋·江蘇南通·九年級南通田家炳中學(xué)校考階段練習(xí)）一個正多邊形的中心角是30°，則這個多邊形是正____邊形．【答案】十二【分析】根據(jù)正多邊形的邊數(shù)=周角÷中心角，計算即可得．【詳解】解：∵一個正多邊形的中心角是30°，∴這個多邊形是：360°÷30°＝12，即正十二邊形，故答案為：十二．【點睛】本題考查了正多邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握正多邊形的中心角與邊數(shù)的關(guān)系．6．（2022秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）正n邊形的中心角為72°，則______．【答案】5【分析】根據(jù)正多邊形的中心角之和為360°計算即可．【詳解】根據(jù)題意有：，故答案為：5．【點睛】本題考查的是正多邊形和圓，熟知正多邊形的中心角之和為360°是解答本題的關(guān)鍵．7．（2022秋·江蘇泰州·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）一個正n邊形繞它的中心至少旋轉(zhuǎn)36°才能與原來的圖形完全重合，則n的值為______．【答案】10【分析】直接利用旋轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì)結(jié)合正多邊形中心角相等進而得到答案【詳解】∵一個正n邊形繞它的中心至少旋轉(zhuǎn)36°才能與原來的圖形完全重合∴n的值為：故答案為：10【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)對稱圖形，正確把握正多邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．8．（2023秋·江蘇揚州·九年級?？计谀┮粋€正n邊形的中心角為，則n為___________．【答案】10【分析】根據(jù)正多邊形的中心角和為計算即可．【詳解】解：，故答案為：10．【點睛】本題考查的是正多邊形和圓，熟知正多邊形的中心角和為是解答此題的關(guān)鍵．9．（2023·江蘇南通·南通田家炳中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，內(nèi)接于，，弦是圓內(nèi)接正多邊形的一邊，則該正多邊形的邊數(shù)是________．【答案】5【分析】如圖所示，連接，由圓周角定理得到，則該多邊形的中心角為，由此即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，連接，∵，∴，∴，∴該正多邊形是正五邊形，故答案為：5．【點睛】本題考查了正多邊形和圓的知識，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造同弧所對的圓心角，難度不大．三、解答題10．（2022秋·九年級課時練習(xí)）【閱讀理解】如圖1，為等邊的中心角，將繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度，的兩邊與三角形的邊分別交于點．設(shè)等邊的面積為S，通過證明可得，則．【類比探究】如圖2，為正方形的中心角，將繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度，的兩邊與正方形的邊分別交于點．若正方形的面積為S，請用含S的式子表示四邊形的面積（寫出具體探究過程）．【拓展應(yīng)用】如圖3，為正六邊形的中心角，將繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度，的兩邊與正六邊形的邊分別交于點．若四邊形面積為，請直接寫出正六邊形的面積．【答案】【類比探究】四邊形的面積=．【拓展應(yīng)用】6【分析】類比探究：通過證明可得，則．拓展應(yīng)用：通過證明可得，則．【詳解】解：類比探究：如圖2，∵為正方形的中心角，∴OB=OC，∠OBM=∠OCN=45°，∵繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度，的兩邊與正方形的邊分別交于點∴∠BOM=∠CON，∴△BOM≌△CON，∴．拓展應(yīng)用：如圖3，∵為正六邊形EF的中心角，∴OB=OC，∠OBM=∠OCN=60°，∵繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度，的兩邊與正方形的邊分別交于點∴∠BOM=∠CON，∴△BOM≌△CON，∴．∵四邊形面積為，∴正六邊形的面積為6．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)，正多邊形的性質(zhì)，正多邊形的中心角，三角形的全等，圖形的割補，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正多邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型三：正多邊形和圓一、單選題1．（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考二模）如圖，正五邊形內(nèi)接于，點F在弧上．若，則的大小為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】連接，，，根據(jù)五邊形是正五邊形，可求出的度數(shù)，由，可得的度數(shù)，再根據(jù)圓周角定理進一步求解即可．【詳解】如圖，連接，，，

∵五邊形是正五邊形，∴，∵，∴，∴，∵正五邊形內(nèi)接于，∴，∴，∴，故選：C．【點睛】本題考查了圓周角定理、正多邊形的內(nèi)角和，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進行求解．2．（2023春·江蘇南京·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，是正六邊形的邊上一點，則的度數(shù)不可能是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】作正六邊形的外接圓，延長交于點，連接，根據(jù)圓周角定理求得，再由三角形的外角性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖，作正六邊形的外接圓，延長交于點，連接，是正六邊形，，，，，A、B、C、D四個選項中，只有A選項符合題意，故選：A．【點睛】本題考查了正多邊形外接圓，圓周角定理，三角形的外角的性質(zhì)，熟練掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵．3．（2023·江蘇徐州·模擬預(yù)測）如圖，面積為6的正六邊形中，點，分別為邊，上的動點，則陰影部分面積為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】如圖，連接，，，交點為，設(shè)與的距離為，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)以及平行線間距離相等可得則，進而可求，同理可求的值，根據(jù)計算求解即可．【詳解】解：如圖，連接，，，交點為，由正六邊形可得，即，，設(shè)與的距離為，則，∵，∴，同理可得，∴，故選：A．【點睛】本題考查了正六邊形的性質(zhì)，平行線間的距離相等．解題的關(guān)鍵在于確定陰影部分面積為正六邊形的面積與空白部分面積的差．二、填空題4．（2023春·江蘇南京·九年級南京外國語學(xué)校仙林分校?？茧A段練習(xí)）正方形內(nèi)接于，E是的中點，連接，則________°．【答案】22.5【分析】連接，根據(jù)圓內(nèi)接正方形的性質(zhì)得到，得到，再利用圓周角定理求出的度數(shù)．【詳解】解：連接，如圖所示．∵四邊形是圓內(nèi)接正方形，∴．∵E是的中點，∴，∴．故答案為：22.5．【點睛】此題考查了正多邊形和圓，圓周角定理，正確理解圓內(nèi)接正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2023秋·江蘇南京·九年級統(tǒng)考期末）如圖，正五邊形內(nèi)接于，是的直徑，是上的一點（不與點，重合），則的度數(shù)為______°．【答案】或/或【分析】根據(jù)正五邊形的性質(zhì)和圓周角定理，分當點在劣弧上時和當點在優(yōu)弧上時，結(jié)合圖形求解即可．【詳解】①如圖所示：當點在劣弧上時，連接、、，∵是正五邊形，是的直徑，∵是正五邊形，∴，∵是的直徑，∴，∵，∴，∴，∴，∴（為優(yōu)弧所對的圓心角）∴；②如圖所示：當點在優(yōu)弧上時，連接、、，∵是正五邊形，∴，∵是的直徑，∴，∵，∴，∴，∴，∴；故答案為：或．【點睛】本題主要考查正五邊形的性質(zhì)、圓周角定理，熟練掌握相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵．6．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考二模）如圖，正六邊形與相切于點、，則______°．

【答案】120【分析】根據(jù)正多邊形內(nèi)角和公式可求出、，根據(jù)切線的性質(zhì)可求出、，從而可求出的度數(shù)．【詳解】解：六邊形是正六邊形，．、與相切，，，故答案為：120．【點睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)、正六邊形的性質(zhì)、多邊形的內(nèi)角和公式、熟練掌握切線的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．7．（2022秋·江蘇徐州·九年級?？茧A段練習(xí)）劉徽是中國古代卓越的數(shù)學(xué)家之一，他在《九章算術(shù)》中提出了“割圓術(shù)”，即用內(nèi)接或外切正多邊形逐步逼近圓來近似計算圓的面積．設(shè)的半徑為，若用的內(nèi)接正六邊形的面積來近似估計的面積，則的面積約為________．【答案】【分析】連接、，根據(jù)正多邊形和圓的關(guān)系可判斷出為等邊三角形，過點作于點，再利用勾股定理即可求出長，進而可求出的面積，最后利用的面積約為即可計算出結(jié)果．【詳解】解：如圖，連接、

由題意可得：∵∴為等邊三角形，∴過點作于點，則在中，∴∴的面積約為故答案為：．【點睛】本題主要考查正多邊形與圓、勾股定理等，正確應(yīng)用正六邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．8．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考一模）如圖，點O是正六邊形的中心，以為邊在正六邊形的內(nèi)部作正方形連接，則______°．

【答案】105【分析】連接，，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)可得，是等邊三角形，再證明四邊形是菱形，以及是等腰三角形，分別求出，從而可得出結(jié)論．【詳解】解：∵六邊形是正六邊形，∴∵四邊形是正方形，∴連接，，如圖，

則是等邊三角形，∴∴∴四邊形是菱形，，∴∴，故答案為：105．【點睛】本題主要考查了正六邊形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．三、解答題9．（2022·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，已知⊙O內(nèi)接正六邊形ABCDEF的邊長為6cm，求這個正六邊形的邊心距r6、面積S6．【答案】【分析】連接OB，OG⊥CB于G，證明△COB是等邊三角形，繼而可得正六邊形的外接圓半徑R，然后由勾股定理求得邊心距，又由S正六邊形＝6S△OBC求得答案．【詳解】解：如下圖所示，連接OB，設(shè)OG⊥CB于G，∵六邊形ABCDEF是⊙O的內(nèi)接正六邊形，∴∠COB＝60°，OC＝OB，∴△COB是等邊三角形，∴OC＝OB＝6cm，即⊙O的半徑R＝6cm，∵OC＝OB＝6，OG⊥CB，∴，在Rt△COG中，（cm），∴（cm2）．【點睛】本題考查了正六邊形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握正六邊形的相關(guān)知識．10．（2022秋·江蘇·九年級期中）如圖，六邊形ABCDEF是⊙O的內(nèi)接正六邊形．(1)求證：在六邊形ABCDEF中，過頂點A的三條對角線四等分∠BAF．(2)設(shè)⊙O的面積為S1，六邊形ABCDEF的面積為S2，求的值（結(jié)果保留π）．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）如圖，連接AE，AD，AC，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)得到EF＝ED＝CD＝BC，求得，于是得到∠FAE＝∠EAD＝∠DAC＝∠CAB，即可得到結(jié)論；（2）如圖，過O作OG⊥DE于G，連接OE，設(shè)⊙O的半徑為r，推出△ODE是等邊三角形，得到DE＝OD＝r，∠OED＝60°，根據(jù)勾股定理得到OGr，根據(jù)三角形和圓的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：如圖，連接AE，AD，AC，∵六邊形ABCDEF是⊙O的內(nèi)接正六邊形，∴EF＝ED＝CD＝BC，∴，∴∠FAE＝∠EAD＝∠DAC＝∠CAB，∴過頂點A的三條對角線四等分∠BAF；（2）解：如圖，過O作OG⊥DE于G，連接OE，設(shè)⊙O的半徑為r，∵∠DOE60°，OD＝OE＝r，∴△ODE是等邊三角形，∴DE＝OD＝r，∠OED＝60°，∴∠EOG＝30°，∴EGr，∴OGr，∴正六邊形ABCDEF的面積＝6rrr2，∵⊙O的面積＝πr2，∴．【點睛】本題考查了正多邊形與圓，正六邊形的性質(zhì)，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．11．（2022秋·江蘇鹽城·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，P為上的一點，連接DP，CP．(1)求∠CPD的度數(shù)；(2)當點P為的中點時，CP是⊙O的內(nèi)接正n邊形的一邊，求n的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）連接OD，OC，根據(jù)正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，結(jié)合圓周角定理可得∠CPD；（2）結(jié)合正多邊形的性質(zhì)以及圓周角定理得出∠COP的度數(shù)，進而得出答案．【詳解】（1）解：連接OD，OC，∵正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠DOC＝90°，∴．（2）解：連接PO，OB，如圖所示：∵正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠COB＝90°，∵點P為的中點，∴，∴，∴n＝360÷45＝8．【點睛】本題主要考查了正多邊形和圓以及圓周角定理、正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握同弧所對的圓周角等于圓心角的一半．12．（2023·江蘇·九年級專題練習(xí)）[閱讀與思考]如圖①，在正三角形中，點，是，上的點，且，則，；如圖②，在正方形中，點，是，上的點，且，則，；如圖③，在正五邊形中，點，是，上的點，且，則，；[理解與運用]在正六邊形中，點，是，上的點，且，則，；在正十邊形中，點，是，上的點，且，則，；[歸納與總結(jié)]根據(jù)以上規(guī)律，在正邊形中，對相鄰的三邊實施同樣的操作過程，即點，是，上的點，且，與相交于；也會有類似的結(jié)論，你的結(jié)論是．【答案】；；；；；以上所求的角恰好等于正n邊形的內(nèi)角【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出，，進而利用全等三角形的判定與性質(zhì)得出，；根據(jù)正方形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)得出：；根據(jù)正五邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)得出：；根據(jù)以上所求結(jié)論即可得正六邊形中，；根據(jù)以上所求結(jié)論即可得正十邊形中，；根據(jù)以上所求得出在正n邊形中，類似的結(jié)論．【詳解】解：閱讀與思考:∵在正三角形中，點M，N是，上的點，且，∵在和中故答案為：；∵在正方形中，點M，N是，上的點，且在和中答案為：；∵在正五邊形中，點M，N是，上的點，且，則∵在和中，故答案為：；理解與運用：∵正三角形的內(nèi)角度數(shù)為：；正方形的內(nèi)角度數(shù)為：；正五邊形的內(nèi)角度數(shù)為：；∴同理可得：在正六邊形中，點M，N是，上的點，且，則，；故答案為：；同理可得：在正十邊形中，點M，N是，上的點，且，則，；故答案為：；歸納與總結(jié)：根據(jù)以上所求的角恰好等于正n邊形的內(nèi)角，所以所求的角恰好等于正n邊形的內(nèi)角故答案為：以上所求的角恰好等于正n邊形的內(nèi)角【點睛】此題主要考查了正多邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練利用三角形的外角性質(zhì)是解題關(guān)鍵．13．（2022秋·江蘇徐州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每一個小正方形的邊長都為1，點、都在格點上，以為圓心，為半徑做圓，只用無刻度的直尺完成以下畫圖．(1)在圖①中畫的一個內(nèi)接正四邊形，___________；(2)在圖②中畫的一個內(nèi)接正六邊形，__________．【答案】(1)圖見解析，32(2)圖見解析，【分析】（1）只需要作直徑、，并使得即可；（2）如圖所示，取格點B，C，D，E，F(xiàn)，然后順次連接A、B、C、D、E、F得到正六邊形，再求出求面積．【詳解】（1）解：如圖所示，正四邊形即為所求；，故答案為32；（2）解：如圖所示，正六邊形即為所求；過點O作于H，∵正六邊形，∴，又∵，∴是等邊三角形，∴，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了正多邊形和圓，等邊三角形的性質(zhì)與判定，熟知正多邊形和圓的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．題型四：尺規(guī)作圖一、解答題1．（2022秋·九年級課時練習(xí)）如圖1，等邊內(nèi)接于⊙O，連接CO并延長交⊙O于點D．（1）可以證明CD垂直平分AB，寫出與的數(shù)量關(guān)系：___．（2）請你僅使用無刻度的直尺按要求作圖：①在圖1中作出一個正六邊形，保留作圖痕跡（作圖過程用虛線表示，作圖結(jié)果用實線表示）．②請在圖2中作出⊙O的內(nèi)接正六邊形ADBECF的一條不經(jīng)過頂點的對稱軸，保留作圖痕跡(作圖過程用虛線表示，作圖結(jié)果用實線表示）．

【答案】（1）；（2）①見解析，②見解析【分析】（1）結(jié)合外心的定義和等邊三角形的性質(zhì)推斷出CD垂直平分AB，從而利用垂徑定理得出結(jié)論即可；（2）①結(jié)合（1）的結(jié)論，可直接連接AO，BO，分別延長與圓相交，再順次連接各交點即可；②如圖，延長AF，EC，交于一點，此時可構(gòu)成等邊三角形，從而連接交點與圓心的直線即為所求的對稱軸．【詳解】（1），∵O為三角形的外心，∴O為三角形三邊中垂線的交點，又∵三角形為等邊三角形，∴可得CD垂直平分AB，根據(jù)垂徑定理可得：；（2）①如圖所示，在（1）的基礎(chǔ)之上，連接AO，并延長至E，連接BO，并延長至F，順次連接圓周上各點即可；②如圖所示：（方法不唯一）【點睛】本題主要考查復(fù)雜作圖，以及正多邊形與圓之間的關(guān)系，熟練掌握正多邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．2．（2022秋·九年級課時練習(xí)）如圖，已知AC為的直徑．請用尺規(guī)作圖法，作出的內(nèi)接正方形ABCD．（保留作圖痕跡．不寫作法）【答案】見解析【分析】作AC的垂直平分線交⊙O于B、D，則四邊形ABCD就是所求作的內(nèi)接正方形．【詳解】解：如圖，正方形ABCD為所作．∵BD垂直平分AC，AC為的直徑，∴BD為的直徑，∴BD⊥AC，OB＝OD，OA＝OC，BD＝AC，∴四邊形ABCD是的內(nèi)接正方形．【點睛】本題考查了作圖?復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了圓的基本性質(zhì)，正方形的判定．3．（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）按要求作圖，不要求寫作法，但要保留作圖痕跡.（1）如圖1，A為圓E上一點，請用直尺（不帶刻度）和圓規(guī)作出圓內(nèi)接正方形；（2）我們知道，三角形具有性質(zhì)，三邊的垂直平分線相交于同一點，三條角平分線相交于一點，三條中線相交于一點，事實上，三角形還具有性質(zhì)：三條高交于同一點，請運用上述性質(zhì)，只用直尺（不帶刻度）作圖：①如圖2，在□ABCD中，E為CD的中點，作BC的中點F;②圖3，在由小正方形組成的網(wǎng)格中，的頂點都在小正方形的頂點上，作△ABC的高AH

【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②見解析.【分析】(1)作直徑AC，分別以A、C為圓心，以大于AC的一半長為半徑畫弧，在AC的兩側(cè)分別交于點M、N，作直線MN交圓于點B，D，四邊形ABCD即為所求；(2)①連接AC、BD交于點O，則O為BD的中點，連接BE交CO于點G，連接DG并延長交BC于點F，則F即為所求；②如圖，利用網(wǎng)格特點連接BM，則可得直線BM⊥AC，連接CN，則可得直線CN⊥AB，兩線交于點E，連接AE并延長交BC于點H，則AH即為所求.【詳解】(1)如圖所示，四邊形ABCD即為所求；(2)①如圖所示，點F即為所求；②如圖所示，AH即為所求.【點睛】本題考查了尺規(guī)作圖，無刻度直尺作圖，熟練掌握尺規(guī)作圖的方法以及無刻度直尺作圖的方法是解題的關(guān)鍵.4．（2021秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）已知正五邊形，請僅用無刻度直尺作圖．（1）在圖1中作點P，使得是等腰三角形：（2）在圖2中作點，使點稱為正五邊形的中心．【答案】（1）畫圖見解析；（2）畫圖見解析．【分析】（1）直接利用正多邊形的性質(zhì)得出頂點P的位置；（2）利用正五邊形的性質(zhì)，得出對角線交點，進而得出其中心P點位置．【詳解】解：（1）如圖所示：點P為所求；（2）如圖所示：點O為所求；【點睛】此題主要考查了復(fù)雜作圖以及等腰三角形的性質(zhì)和正多邊形的性質(zhì)，正確應(yīng)用正五邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．5．（2021·江蘇無錫·九年級專題練習(xí)）已知正六邊形ABCDEF，請僅用無刻度的直尺，分別按下列要求作圖．（1）在圖①中，以AB為邊作等邊三角形；（2）在圖②中，作一個含30°的直角三角形．【答案】（1）見詳解；（2）見詳解【分析】（1）連接AD，BE交于點O，即可得到所求三角形；（2）連接AC，CF，即可得到所求三角形；【詳解】（1）如圖①所示：?AOB即為所求三角形；（2）如圖②所示：?ACF即為所求三角形．【點睛】本題主要考查正六邊形的性質(zhì)，熟練掌握正六邊形的每條邊都相等，每個內(nèi)角都等于120°，是解題的關(guān)鍵．6．（2022秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）請用圓規(guī)和直尺作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡．已知：⊙O，點A在圓上．求作：以A為一頂點作圓內(nèi)接正方形ABCD．【答案】見解析【分析】作直徑AC，過點O作BD⊥AC交⊙O于B，D，連接AB，BC，CD，AD即可．【詳解】如圖，四邊形ABCD即為所求作．【點睛】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．二、填空題7．（2021秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，在⊙O中，MF為直徑，OA⊥MF，圓內(nèi)接正五邊形ABCDE的部分尺規(guī)作圖步驟如下：①作出半徑OF的中點H．②以點H為圓心，HA為半徑作圓弧，交直徑MF于點G．③AG長即為正五邊形的邊長、依次作出各等分點B，C，D，E．已知⊙O的半徑R＝2，則AB2＝__．（結(jié)果保留根號）【答案】【分析】連接AG，由作圖可知，OA＝2，H為OF中點，可求OH=，由勾股定理得AH＝，可求OG＝﹣1，由勾股定理AB2＝AG2＝OA2+OG2＝4+（﹣1）2＝10﹣2即可．【詳解】解：連接AG，由作圖可知，OA＝2，OH＝1，H為OF中點，∴OH=，在Rt△OAH中，由勾股定理∴AH＝，∵AH＝HG＝，∴OG＝GH﹣OH＝﹣1，在Rt△AOG中，由勾股定理得，∴AB2＝AG2＝OA2+OG2＝4+（﹣1）2＝10﹣2．故答案為：10﹣2．【點睛】本題考查尺規(guī)作圓內(nèi)接正五邊形的方法與步驟，線段垂直平分線，勾股定理，作圓弧，掌握圓內(nèi)接正五邊形的方法與步驟，線段垂直平分線，勾股定理，作圓弧的方法是解題關(guān)鍵．一．選擇題（共10小題）1．（2023?工業(yè)園區(qū)校級二模）閱讀理解：如圖1，在平面內(nèi)選一定點O，引一條有方向的射線Ox，再選定一個單位長度，那么平面上任一點M的位置可由∠MOx的度數(shù)θ與OM的長度m確定，有序數(shù)對（θ，m）稱為M點的“極坐標”，這樣建立的坐標系稱為“極坐標系”．應(yīng)用：在圖2的極坐標系下，如果正六邊形的邊長為4，有一邊OA在射線Ox上，則正六邊形的頂點C的極坐標應(yīng)記為（）A．（60°，8） B．（45°，8） C． D．【分析】設(shè)正六邊形的中心為D，連接AD，判斷出△AOD是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得OD＝OA，∠AOD＝60°，再求出OC，然后根據(jù)“極坐標”的定義寫出即可．【解答】解：如圖，設(shè)正六邊形的中心為D，連接AD，∵∠ADO＝360°÷6＝60°，OD＝AD，∴△AOD是等邊三角形，∴OD＝OA＝4，∠AOD＝60°，∴OC＝2OD＝2×4＝8，∴正六邊形的頂點C的極坐標應(yīng)記為（60°，8）．故選：A．【點評】本題考查了正多邊形和圓，坐標確定位置，主要利用了正六邊形的性質(zhì)，讀懂題目信息，理解“極坐標”的定義是解題的關(guān)鍵．2．（2023?鼓樓區(qū)模擬）下列圖形中，正多邊形內(nèi)接于半徑相等的圓，其中正多邊形周長最小的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)圓內(nèi)接多邊形的周長小于圓周長，再利用夾逼法對即可選擇答案．【解答】解：隨著圓內(nèi)接正多邊形邊數(shù)的增加，它的周長和面積越來越接近圓周長和圓面積．故選：A．【點評】此題主要考查了正多邊形與圓，關(guān)鍵是知道圓內(nèi)接多邊形的周長小于圓周長．3．（2023?梁溪區(qū)二模）如圖所示，A、B、C、D是一個外角為40°的正多邊形的頂點．若O為正多邊形的中心，則∠OAD的度數(shù)為（）A．14° B．40° C．30° D．15°【分析】連接OB、OC，利用任意凸多邊形的外角和均為360°，正多邊形的每個外角相等即可求出多邊形的邊數(shù)，再根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式計算即可．【解答】解：連接OB、OC，多邊形的每個外角相等，且其和為360°，據(jù)此可得多邊形的邊數(shù)為：＝9，∴∠AOB＝，∴∠AOD＝40°×3＝120°．∴∠OAD＝＝＝30°．故選：C．【點評】本題主要考查了正多邊形的外角以及內(nèi)角，熟記公式是解答本題的關(guān)鍵．4．（2023?姜堰區(qū)二模）一個正多邊形，它的每個內(nèi)角是與其相鄰?fù)饨堑?倍，則這個多邊形的邊數(shù)是（）A．6 B．7 C．8 D．9【分析】根據(jù)“多邊形的內(nèi)角與其相鄰?fù)饨腔パa”可求出這個外角的度數(shù)，再根據(jù)正多邊形的外角和是360°即可求出答案．【解答】解：這個內(nèi)角相鄰的外角為x，則這個內(nèi)角為3x，由題意得，x+3x＝180°，解得x＝45°，由正多邊形的外角和是360°，所以這個正多邊形的邊數(shù)為360°÷45°＝8（條），故選：C．【點評】本題考查正多邊形和圓，掌握正多邊形的內(nèi)角與其相鄰的外角互補以及外角和是360°是正確解答的前提．5．（2023?宜興市二模）已知正多邊形的一個外角為72°，則該正多邊形的邊數(shù)是（）A．5 B．6 C．8 D．10【分析】正多邊形的外角和是360°，這個正多邊形的每個外角相等，因而用360°除以外角的度數(shù)，就得到外角和中外角的個數(shù)，外角的個數(shù)就是多邊形的邊數(shù)．【解答】解：這個正多邊形的邊數(shù)：360°÷72°＝5．故選：A．【點評】本題考查了多邊形的內(nèi)角與外角的關(guān)系，熟記正多邊形的邊數(shù)與外角的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．6．（2023?丹陽市模擬）如圖，邊長相等的正五邊形和正六邊形如圖拼接在一起，則∠ABC的度數(shù)為（）A．22° B．23° C．24° D．25°【分析】根據(jù)正多邊形的內(nèi)角和定理求得正五邊形和正六邊形的內(nèi)角，根據(jù)周角的定義即可得到結(jié)論．【解答】解：由題意得：正六邊形的每個內(nèi)角都等于120°，正五邊形的每個內(nèi)角都等于108°，∴∠BAC＝360°﹣120°﹣108°＝132°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝＝＝24°，故選：C．【點評】本題考查了正多邊形和圓、熟練掌握正五邊形的內(nèi)角，正六邊形的內(nèi)角是解題的關(guān)鍵．7．（2022秋?南京期末）如圖，AB，CD分別是⊙O的內(nèi)接正十邊形和正五邊形的邊，AD，BC交于點P，則∠APC的度數(shù)為（）A．126° B．127° C．128° D．129°【分析】連接OA、OB、OC、OD、BD，根據(jù)正多邊形的性質(zhì)分別求出∠AOB、∠COD，再根據(jù)圓周角定理分別求出∠ADB、∠CBD，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理、對頂角相等解答即可．【解答】解：如圖，連接OA、OB、OC、OD、BD，∵AB，CD分別是⊙O的內(nèi)接正十邊形和正五邊形的邊，∴∠AOB＝＝36°，∠COD＝＝72°，∴∠ADB＝∠AOB＝18°，∠CBD＝∠COD＝36°，∴∠APC＝∠BPD＝180°﹣18°﹣36°＝126°，故選：A．【點評】本題考查的是正多邊形和圓，掌握正多邊形的中心角的求法、圓周角定理是解題的關(guān)鍵．8．（2022秋?宿城區(qū)期末）如圖，A、B、C、D為一個正多邊形的頂點，O為正多邊形的中心．若∠ADB＝18°，則這個正多邊形的邊數(shù)為（）A．7 B．8 C．9 D．10【分析】連接OA，OB，根據(jù)圓周角定理得到∠AOB＝2∠ADB＝36°，即可得到結(jié)論．【解答】解：連接OA，OB，∵A、B、C、D為一個正多邊形的頂點，O為正多邊形的中心，∴點A、B、C、D在以點O為圓心，OA為半徑的同一個圓上，∵∠ADB＝18°，∴∠AOB＝2∠ADB＝36°，∴這個正多邊形的邊數(shù)＝＝10．故選：D．【點評】本題考查了正多邊形與圓，圓周角定理，正確地理解題意是解題的關(guān)鍵．9．（2023?儀征市二模）如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，點F在弧AE上．若∠CDF＝95°，則∠FCD的大小為（）A．38° B．42° C．49° D．58°【分析】連接OE，OD，CE，根據(jù)正五邊形的性質(zhì)得出∠CDE的度數(shù)，從而得出∠FDE的度數(shù)即∠FCE的度數(shù)，再根據(jù)正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，得出∠ECD的度數(shù)即可求解．【解答】解：如圖，連接OE，OD，CE，∵五邊形ABCDE是正五邊形，∴∠CDE＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，∵∠CDF＝95°，∴∠FDE＝∠CDE﹣∠CDF＝108°﹣95°＝13°，∴∠FCE＝13°，∵正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，∴∠EOD＝360°÷5＝72°，∴∠ECD＝＝36°，∴∠FCD＝∠FCE+∠ECD＝36°+13°＝49°，故選：C．【點評】本題考查了正多邊形的性質(zhì)，圓周角定理，根據(jù)正五邊形的性質(zhì)得出∠CDE與∠EOD的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．10．（2023?惠山區(qū)校級模擬）如圖，面積為6的正六邊形ABCDEF中，點M，N分別為邊BC，EF上的動點，則陰影部分面積為（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】如圖，連接AD，BE，CF，交點為O，設(shè)EF與AD的距離為h，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)以及平行線間距離相等可得則，進而可求S△ADN，同理可求S△ADM的值，根據(jù)S陰影＝S正六邊形ABCDEF﹣S△ADM﹣S△ADN計算求解即可．【解答】解：如圖，連接AD，BE，CF，交點為O，由正六邊形ABCDEF可得，EF＝AO＝DO，即，AD∥EF∥BC，設(shè)EF與AD的距離為h，則，∵，∴S△ADN＝2，同理可得S△ADM＝2，∴S陰影＝S正六邊形ABCDEF﹣S△ADM﹣S△ADN＝2，故選：A．【點評】本題考查了正六邊形的性質(zhì)，平行線間的距離相等．解題的關(guān)鍵在于確定陰影部分面積為正六邊形的面積與空白部分面積的差．二．填空題（共8小題）11．（2023?鎮(zhèn)江一模）如圖，點A、B、C、D、E是圓O上的五等分點，該圖形繞點O至少旋轉(zhuǎn)72度后與自身重合．【分析】分別找出外圍五等分所得圓弧、⊙O、△ACD各自至少旋轉(zhuǎn)至少度后與自身重合，綜合即可求解．【解答】解：外圍五等分所得圓弧旋轉(zhuǎn)至少72°后與自身重合，⊙O旋轉(zhuǎn)任意角度后與自身重合．故答案為：72．【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)對稱圖形的定義，理解定義是解題的關(guān)鍵．12．（2023?連云港）以正六邊形ABCDEF的頂點C為旋轉(zhuǎn)中心，按順時針方向旋轉(zhuǎn)，使得新正六邊形A′B′CD′E′F′的頂點D′落在直線BC上，則正六邊形ABCDEF至少旋轉(zhuǎn)60°．【分析】以正六邊形ABCDEF的頂點C為旋轉(zhuǎn)中心，按順時針方向旋轉(zhuǎn)，即∠DCD'是旋轉(zhuǎn)角，∠BCD＝120°，要使新正六邊形A′B′CD′E′F′的頂點D′落在直線BC上，則∠DCD'至少要旋轉(zhuǎn)60°．【解答】解：∵多邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠BCD＝120°，要使新正六邊形A′B′CD′E′F′的頂點D′落在直線BC上，則∠DCD'至少要旋轉(zhuǎn)60°．故答案為：60°．【點評】本題考查多邊形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟悉性質(zhì)是解題關(guān)鍵．13．（2023?蘇州模擬）已知正六邊形的半徑為，則它的周長＝6．【分析】根據(jù)正六邊形的半徑等于邊長進行解答即可．【解答】解：∵正六邊形的半徑等于邊長，∴正六邊形的邊長，正六邊形的周長l＝6a＝6，故答案為：6．【點評】本題考查的是正六邊形的性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是熟知正六邊形的邊長等于半徑．14．（2023?蘇州二模）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，⊙O的半徑為1，過O作OM垂直AB，交AB于點M，則OM的長為．【分析】連接OB、OA．先證明△OBA是等邊三角形，求出BA、BM，再根據(jù)勾股定理求出OM即可．【解答】解：如圖，連接OB、OA．∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠BOA＝60°，OB＝OA＝1，∴△OBA是等邊三角形，∴BA＝OB＝OA＝1，∵OM⊥BA，∴BM＝AM＝，在Rt△OBM中，OM＝＝，故答案為：．【點評】本題考查正多邊形與圓、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，熟練掌握正六邊形的性質(zhì)和等邊三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．15．（2023?南京三模）如圖，在正六邊形ABCDEF中，⊙O經(jīng)過點E，且與AB，BC相切．若⊙O的半徑為4，則正六邊形的邊長為4+2．?【分析】先連接OB、OM、ON，根據(jù)題意可得△OBM≌△OBN，從而得出OB所在直線是正六邊形的一條對稱軸，再根據(jù)正六邊形的性質(zhì)和勾股定理可得MB＝4，OB＝8，再根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得出B、O、E在一條直線上，即可得到BE的長，進而求出正六邊形的邊長．【解答】解：連接OB、OM、ON，如圖：∵⊙O與AB，BC相切．∴OM⊥AB，ON⊥BC，∴∠OMB＝∠ONB＝90°，OM＝ON，又∵OB＝OB，∴Rt△OBM≌Rt△OBN（HL），∴OB所在直線是正六邊形的一條對稱軸，在正六邊形ABCDEF中，∠ABC＝120°，∴∠MON＝60°，∴∠MOB＝30°，∵OM＝4，∴MB＝4，OB＝8，∵圓的對稱軸是直徑所在的直線，且經(jīng)過點E，∴O、B、E三點共線，∴BE＝8+4，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)可得BC＝BE＝4+2，故答案為：4+2，【點評】本題考查正六邊形的性質(zhì)和與圓有關(guān)的位置關(guān)系，軸對稱等知識，關(guān)鍵是判定出O、B、E三點共線，16．（2023?寶應(yīng)縣二模）三個能夠重合的正六邊形的位置如圖，已知A點的坐標是，則B點的坐標是．【分析】如圖，延長正六邊形的邊BM與x軸交于點E，過A作AN⊥x軸于N，連接AO，BO，證明∠BOE＝∠AON，可得A，O，B三點共線，可得A，B關(guān)于O對稱，從而可得答案．【解答】解：如圖，延長正六邊形的邊BM與x軸交于點E，過A作AN⊥x軸于N，連接AO，BO，∴三個正六邊形，O為原點，∴BM＝MO＝OH＝AH，∠BMO＝∠OHA＝120°，∴△BMO≌△OHA（SAS），∴OB＝OA，∴，∴∠BOE＝60°，∠BEO＝90°，同理：∠AON＝120°﹣30°﹣30°＝60°，∠OAN＝90°﹣60°＝30°，∴∠BOE＝∠AON，∴A，O，B三點共線，∴A，B關(guān)于O對稱，∴．故答案為：．【點評】本題考查的是坐標與圖形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)于原點成中心對稱的兩個點的坐標特點，正多邊形的性質(zhì)，熟練的應(yīng)用正多邊形的性質(zhì)解題是解本題的關(guān)鍵．17．（2023?玄武區(qū)一模）如圖，點O是正六邊形ABCDEF的中心，以AB為邊在正六邊形ABCDEF的內(nèi)部作正方形ABMN，連接OD，ON，則∠DON＝105°．?【分析】連接OA，OB，OE，OF，利用正六邊形的性質(zhì)得到OA＝OB＝OF＝OE＝OD，∠AOB＝∠AOF＝∠FOE＝∠EOD＝60°，則△OAB為等邊三角形，D，O，A在一條直線上；利用正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)求得∠AON的度數(shù)，則結(jié)論可得．【解答】解：連接OA，OB，OE，OF，如圖，∵點O是正六邊形ABCDEF的中心，∴OA＝OB＝OF＝OE＝OD，∠AOB＝∠AOF＝∠FOE＝∠EOD＝60°，∴△OAB為等邊三角形，∠AOF+∠FOE+∠EOD＝180°，∴D，O，A在一條直線上，∠OAB＝60°，OA＝AB．∵以AB為邊在正六邊形ABCDEF的內(nèi)部作正方形ABMN，∴∠NAB＝90°，AB＝AN，∴∠NAO＝30°，OA＝AN，∴∠AON＝∠ANO＝＝75°，∴∠NOD＝180°﹣∠AON＝105°．故答案為：105．【點評】本題主要考查了正六邊形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，連接正六邊形的半徑，證得D，O，A在一條直線上是解題的關(guān)鍵．18．（2023?高港區(qū)二模）如圖，點M在正六邊形的邊EF上運動．若∠ABM＝x°，寫出一個符合條件的x的值50°（答案不唯一）．【分析】由正多邊形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)求得∠ABF＝30°，∠ABE＝60°可得x的取值范圍30°≤x≤60°，即可得到答案．【解答】解：連接BF，BE，∵六邊形ABCDEF是正六邊形，AF∥BE，∴∠A＝∠ABC＝∠AFE＝＝120°，AB＝AF，∴∠ABF＝＝30°，∠ABE＝180°﹣∠A＝60°，∵點M在正六邊形的邊EF上運動，∠ABM＝x°，∴30°≤x≤60°，∴x＝50°．故答案為：50°（答案不唯一）．【點評】本題主要考查了正多邊形和圓，根據(jù)正多邊形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)求得∠ABF＝30°，∠ABE＝60°得到x的取值范圍是解決問題的關(guān)鍵．三．解答題（共7小題）19．（2022秋?鹽都區(qū)校級月考）如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，P為上的一點，連接DP，CP．（1）求∠CPD的度數(shù)；（2）當點P為的中點時，CP是⊙O的內(nèi)接正n邊形的一邊，求n的值．【分析】（1）連接OD，OC，根據(jù)正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，結(jié)合圓周角定理可得∠CPD；（2）結(jié)合正多邊形的性質(zhì)以及圓周角定理得出∠COP的度數(shù)，進而得出答案．【解答】解：（1）連接OD，OC，∵正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠DOC＝90°．∴；（2）連接PO，OB，∵正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠COB＝90°，∵點P為BC的中點，∴＝，∴，∴n＝360÷45＝8．【點評】此題主要考查了正多邊形和圓以及圓周角定理、正方形的性質(zhì)，正確掌握正方形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．20．（2020秋?灌云縣月考）如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，P為上一點，連接DP，CP．（1）∠CPD＝45°；（2）若DC＝4，CP＝，求DP的長．【分析】（1）連接BD，根據(jù)正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，可得∠CPD＝∠DBC＝45°；（2）作CH⊥DP于H，因為CP＝2，∠CPD＝45°，可得CH＝PH＝2，因為DC＝4，所以DH＝，即DP＝PH+DH＝2+2．【解答】解：（1）如圖，連接BD，∵正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，P為上一點，∴∠DBC＝45°，∵∠CPD＝∠DBC，∴∠CPD＝45°．故答案為：45；（2）如圖，作CH⊥DP于H，∵CP＝2，∠CPD＝45°，∴CH＝PH＝2，∵DC＝4，∴DH＝＝＝2，∴DP＝PH+DH＝2+2．【點評】本題考查圓周角定理，正方形的性質(zhì)，勾股定理．解題的關(guān)鍵是掌握圓周角定理．21．（2023?鼓樓區(qū)二模）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接矩形，點E、F分別在射線AB、AD上，OE＝OF，且點C、E、F在一條直線上，EF與⊙O相切于點C．?（1）求證：矩形ABCD是正方形；（2）若OF＝10，則正方形ABCD的面積是10．【分析】（1）連接AC，證明△AOF≌△AOE（SAS），可得AF＝AE，然后證明AB＝CB，即可解決問題；（2）根據(jù)勾股定理求出OC＝2，進而可以求出正方形ABCD的面積．【解答】（1）證明：如圖，連接AC，∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接矩形，∴AC是⊙O的直徑，∵EF與⊙O相切于點C，∴AC⊥EF，∵OE＝OF，∴CF＝CE，∠FOC＝∠EOC，∴∠AOF＝∠AOE，∵OA＝OA，∴△AOF≌△AOE（SAS），∴AF＝AE，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠FAE＝90°，∴AC＝EF＝CF＝CE，∴∠CAE＝45°，∵∠ABC＝90°，∴∠ACB＝45°，∴AB＝CB，∴矩形ABCD是正方形；（2）解：∵OC＝AC，AC＝CF，∴CF＝2OC，∵OF＝10，OF2＝OC2+CF2，∴102＝OC2+4OC2，∴OC＝2，∴AB＝OC＝，∴AB2＝10，∴正方形ABCD的面積是10．故答案為：10．【點評】本題考查的是正多邊形和圓，矩形的性質(zhì)，正方形的判定