蘇科版2025年新九年級數(shù)學(xué)暑假銜接講義第2部分-預(yù)習(xí)篇-第03講一元二次方程的解法(因式分解法)(學(xué)生版+解析)

/第03講一元二次方程的解法（因式分解法）模塊一思維導(dǎo)圖串知識模塊二基礎(chǔ)知識全梳理模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測1．會用分解因式法解某些數(shù)字系數(shù)的一元二次方程，能根據(jù)具體方程的特征，靈活選擇方程的解法，進(jìn)一步提高運(yùn)算能力；2．認(rèn)識十字相乘法和分組分解法1.用配方法解一元二次方程配方法：公式法：2.那還有其他方法解嗎？我們可以對進(jìn)行因式分解，，所以只需要即可，所以要么x=0，要么x-1=0，所以解出來x=0或x=1.因此，當(dāng)一個一元二次方程的一邊為，另一邊能分解成為兩個的乘積時，就可以把解這樣的一元二次方程轉(zhuǎn)化為解兩個，這種解一元二次方程的方法叫做。3.常見的因式分解法的類型方法常見類型因式分解的形式方程的解提公因式法x2±bx=0x（x±b）=0X1=0，x2=±b平方差法x2-a2=0（x+a）（x-a）=0X1=-a，x2=a完全平方法x2±2ax+a2=0（x±a）2=0X1=x2=±a十字相乘法x2±（a+b）x+ab=0（x±a）（x±b）=0X1=±a，x2=±b4.因式分解法的步驟（1）移項(xiàng)：將方程的右邊化為0；（2）化積：將方程的左邊分解為兩個一次因式的乘積；（3）轉(zhuǎn)化：令兩個一次因式分別為0，轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程；（4）求解：分別解這兩個一元一次方程，它們的解就是原方程的解。5.用對應(yīng)的因式分解法解下列方程（1）（2）（3）（4）補(bǔ)充：十字相乘法【材料閱讀】利用整式的乘法運(yùn)算法則推導(dǎo)得出：．我們知道因式分解是與整式乘法方向相反的變形，利用這種關(guān)系可得．通過觀察可把看作以為未知數(shù)，為常數(shù)的二次三項(xiàng)式，此種因式分解是把二次三項(xiàng)式的二次項(xiàng)系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)分別進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆纸鈦頊愐淮雾?xiàng)的系數(shù)，分解過程可形象地表述為“豎乘得首、尾，叉乘湊中項(xiàng)”，如圖1，這種分解因式的方法稱為十字相乘法．例如，將二次三項(xiàng)式的二次項(xiàng)系數(shù)2與常數(shù)項(xiàng)12分別進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆纸猓鐖D2，則．根據(jù)閱讀材料解決下列問題：【應(yīng)用新知】（1）用十字相乘法分解因式：；（2）用十字相乘法分解因式：；【拓展提升】（3）結(jié)合本題知識，分解因式：．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】本題主要考查多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，因式分解，解答的關(guān)鍵是對相應(yīng)的知識的掌握與運(yùn)用．（1）利用十字相乘法進(jìn)行求解即可；（2）利用十字相乘法進(jìn)行求解即可；（3）將看成一個整體，再利用十字相乘法進(jìn)行求解即可．【詳解】解：（1）；（2）；（3）分組分解法通過學(xué)習(xí)，我們知道常用的因式分解的方法有提公因式法和公式法，與此同時，某些多項(xiàng)式只用上述一種方法無法因式分解，下面是甲、乙兩位同學(xué)對多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解的過程．甲：（先分成兩組）．乙：（先分成兩組）．兩位同學(xué)分解因式的方法叫做分組分解法，請你仔細(xì)觀察并對以下多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，(1)試用上述方法分解因式：．(2)已知，且，求．【答案】(1)(2)【分析】本題考查因式分解．掌握分組分解法，是解題的關(guān)鍵．（1）利用分組分解法進(jìn)行求解即可；（2）先分組提取公因式，再利用平方差公式法進(jìn)行因式分解，將代入，即可求解．【詳解】（1）解：，（2）解：，∵，且，∴，，∴．考點(diǎn)一：提供因式法解方程例1．方程的解是（

）A． B． C．， D．，【變式1-1】一元二次方程的解是（

）A． B．，C．， D．，【變式1-2】方程的解是．【變式1-3】解方程.考點(diǎn)二：十字相乘法解方程例2．三角形兩邊長分別為3和4，第三邊長是方程的根，則三角形周長為（

）A．1.5 B．13 C．12或14 D．12【變式2-1】在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)定義一種新運(yùn)算“※”，其運(yùn)算規(guī)則為．根據(jù)這個規(guī)則，方程的解是（

）A． B． C．或 D．或【變式2-2】若方程有一個解為，則方程的解為．【變式2-3】閱讀材料：解方程，我們可以按下面的方法解答：（1）分解因式①豎分二次項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)：，②交叉相乘，驗(yàn)中項(xiàng)：③橫向?qū)懗鰞梢蚴剑海?）若，則或，所以方程可以這樣求解：方程左邊分解因式得∴或∴，上述這種解一元二次方程的方法叫做十字相乘法．請參考以上方法解下列方程：(1)；(2)．考點(diǎn)三：換元法解方程例3.若關(guān)于x的一元二次方程有一根為，則一元二次方程必有一根為（

）A．2024 B．2025 C．2026 D．2027【變式3-1】如果，則的值為（

）A．1 B．2 C． D．1或【變式3-2】如果實(shí)數(shù)x滿足，那么的值是．【變式3-3】閱讀下列材料：已知實(shí)數(shù)m，n滿足，試求的值.解：設(shè)，則原方程變?yōu)?，整理得，，∴，∵，?上面這種方法稱為“換元法”，換元法是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最常用的一種思想方法，在結(jié)構(gòu)較復(fù)雜的數(shù)和式的運(yùn)算中，若把其中某些部分看成一個整體，并用新字母代替（即換元），則能使復(fù)雜的問題簡單化.根據(jù)以上閱讀材料內(nèi)容，解決下列問題，并寫出解答過程.(1)已知實(shí)數(shù)x，y滿足，求的值；(2)設(shè)a，b滿足等式，求的值；(3)若四個連續(xù)正整數(shù)的積為24，求這四個連續(xù)正整數(shù).考點(diǎn)四：綜合運(yùn)用解方程例4．已知關(guān)于的一元二次方程的一個根是0，則方程的另一個根是（

）A． B．4 C． D．【變式4-1】已知三角形的兩邊長分別是8和6，第三邊的長是一元二次方程的一個實(shí)數(shù)根，則該三角形的面積是（）A．24或 B．24 C． D．或24【變式4-2】如圖，，，在的三邊上，若把的周長成兩條等長的折線，即，則三線相交于點(diǎn)，此點(diǎn)稱為三角形的“界心”，亦稱“奈格爾點(diǎn)”．當(dāng)且為等邊三角形時，長為．【變式4-3】在學(xué)習(xí)完“因式分解”這章內(nèi)容后，為了開拓學(xué)生的思維，張老師在黑板上寫了下面兩道題目讓學(xué)生解答：因式分解：（1）；（2）．下面是晶晶和小舒的解法：晶晶：（分成兩組）（直接提公因式）小舒：（分成兩組）（直接運(yùn)用公式）請在她們的解法啟發(fā)下解答下面各題：(1)因式分解：；(2)若，，求的值；(3)已知的三邊a，b，c滿足，是什么三角形？考點(diǎn)五：分組分解法例5．已知a，b為正整數(shù)，滿足，則的最大值為（

）A．28 B．43 C．76 D．78【變式5-1】用分組分解法將分解因式，下列分組不恰當(dāng)?shù)氖牵ǎ〢． B．C． D．【變式5-2】如果方程的三個根可以作為一個等腰三角形的邊長，則實(shí)數(shù)．【變式5-3】選擇合適的方法解方程．(1)(2)1．解二元一次方程組時可以通過“消元”將二元一次方程組化為一元一次方程進(jìn)行求解；解一元二次方程可以通過“降次”將一元二次方程化為一元一次方程進(jìn)行求解．以上兩種方法體現(xiàn)了一種重要的數(shù)學(xué)思想是（

）A．轉(zhuǎn)化思想 B．?dāng)?shù)形結(jié)合思想 C．類比思想 D．分類討論思想2．若，則代數(shù)式的值為（

）A．或 B．1或 C． D．33．如圖1，在中，，于點(diǎn)，動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿折線方向運(yùn)動，運(yùn)動到點(diǎn)停止，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動路程為，的面積為，與的函數(shù)圖象如圖2，則的長為（

）A．6 B．8 C．9 D．104．已知一元二次方程的兩根分別為，，則這個方程不可能為（

）A． B．C． D．5．若使分式的值為0，則a的值為（

）A．或1 B．或 C． D．或6．若關(guān)于x的一元二次方程的解是，，則關(guān)于y的方程的解為（

）A．－2 B．2 C．或2 D．以上都不對7．若，則的值為（

）A．1 B．9 C．9或1 D．無法確定8．在中，，若，，則AC的長為（

）A．2.5 B．4 C．3 D．2.79．已知則的值是．10．一元二次方程的較小的根是．11．若，則代數(shù)式的值為12．已知方程，如果設(shè)，那么原方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的整式方程為．13．若方程（為常數(shù)）的一個解是，則另一個解．14．如圖，是一個閉環(huán)運(yùn)算游戲，即：給x一個值，把它代入中得到一個y值，再把得到的y值代入中，又求出一個新的x值．如：把代入中得到；再把代入中求得．（1）把代入中，最后求出的x值為；（2）小明發(fā)現(xiàn)，給x一個整數(shù)并把它代入中后，最后求出的x值竟然是它自身，這個整數(shù)是．15．如圖，點(diǎn)和在反比例函數(shù)的圖象上，其中．過點(diǎn)A作軸于點(diǎn)C，若的面積為，則．

16．閱讀材料：為解方程，我們可以將視為一個整體，然后設(shè)，將原方程化為，解得，．當(dāng)時，，．當(dāng)時，，，．原方程的解為，，，．由原方程得到的過程，利用換元法達(dá)到了簡化方程的目的，體現(xiàn)了整體轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．閱讀后解答問題：(1)利用上述材料中的方法解方程：；(2)已知一元二次方程的兩根分別為，，則方程的兩根分別是什么？請說明理由．17．閱讀下列材料：(1)將分解因式，我們可以按下面方法解答：解：步驟：①豎分二次項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)②交叉相乘，驗(yàn)中項(xiàng)：．③橫向?qū)懗鰞梢蚴剑海ⅲ何覀儗⑦@種用十字交叉相乘分解的因式方法叫做十字相乘法．(2)根據(jù)乘法原理：若，則或．①；②．18．閱讀感悟：已知方程，求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的2倍．解：設(shè)所求方程的根為，則．所以．把代入已知方程，得．化簡，得，故所求方程為．這種利用方程的代換求新方程的方法，我們稱為“換元法”．請用閱讀材料提供的“換元法”求新方程（要求：把所求方程化為一般形式．解決問題：(1)已知方程，求一個一元二次方程，使它的根分別比已知方程的根大1．則所求方程為：______；(2)方程的兩個根與方程______的兩個根互為倒數(shù)．(3)已知關(guān)于的一元二次方程的兩個實(shí)數(shù)根分別為1和，求關(guān)于的一元二次方程的兩個實(shí)數(shù)根．

第03講一元二次方程的解法（因式分解法）模塊一思維導(dǎo)圖串知識模塊二基礎(chǔ)知識全梳理模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測1．會用分解因式法解某些數(shù)字系數(shù)的一元二次方程，能根據(jù)具體方程的特征，靈活選擇方程的解法，進(jìn)一步提高運(yùn)算能力；2．認(rèn)識十字相乘法和分組分解法1.用配方法解一元二次方程配方法：公式法：2.那還有其他方法解嗎？我們可以對進(jìn)行因式分解，，所以只需要即可，所以要么x=0，要么x-1=0，所以解出來x=0或x=1.因此，當(dāng)一個一元二次方程的一邊為0，另一邊能分解成為兩個一次因式的乘積時，就可以把解這樣的一元二次方程轉(zhuǎn)化為解兩個一元一次方程，這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法。3.常見的因式分解法的類型方法常見類型因式分解的形式方程的解提公因式法x2±bx=0x（x±b）=0X1=0，x2=±b平方差法x2-a2=0（x+a）（x-a）=0X1=-a，x2=a完全平方法x2±2ax+a2=0（x±a）2=0X1=x2=±a十字相乘法x2±（a+b）x+ab=0（x±a）（x±b）=0X1=±a，x2=±b4.因式分解法的步驟（1）移項(xiàng)：將方程的右邊化為0；（2）化積：將方程的左邊分解為兩個一次因式的乘積；（3）轉(zhuǎn)化：令兩個一次因式分別為0，轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程；（4）求解：分別解這兩個一元一次方程，它們的解就是原方程的解。5.用對應(yīng)的因式分解法解下列方程（1）（2）（3）（4）補(bǔ)充：十字相乘法【材料閱讀】利用整式的乘法運(yùn)算法則推導(dǎo)得出：．我們知道因式分解是與整式乘法方向相反的變形，利用這種關(guān)系可得．通過觀察可把看作以為未知數(shù)，為常數(shù)的二次三項(xiàng)式，此種因式分解是把二次三項(xiàng)式的二次項(xiàng)系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)分別進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆纸鈦頊愐淮雾?xiàng)的系數(shù)，分解過程可形象地表述為“豎乘得首、尾，叉乘湊中項(xiàng)”，如圖1，這種分解因式的方法稱為十字相乘法．例如，將二次三項(xiàng)式的二次項(xiàng)系數(shù)2與常數(shù)項(xiàng)12分別進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆纸?，如圖2，則．根據(jù)閱讀材料解決下列問題：【應(yīng)用新知】（1）用十字相乘法分解因式：；（2）用十字相乘法分解因式：；【拓展提升】（3）結(jié)合本題知識，分解因式：．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】本題主要考查多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，因式分解，解答的關(guān)鍵是對相應(yīng)的知識的掌握與運(yùn)用．（1）利用十字相乘法進(jìn)行求解即可；（2）利用十字相乘法進(jìn)行求解即可；（3）將看成一個整體，再利用十字相乘法進(jìn)行求解即可．【詳解】解：（1）；（2）；（3）分組分解法通過學(xué)習(xí)，我們知道常用的因式分解的方法有提公因式法和公式法，與此同時，某些多項(xiàng)式只用上述一種方法無法因式分解，下面是甲、乙兩位同學(xué)對多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解的過程．甲：（先分成兩組）．乙：（先分成兩組）．兩位同學(xué)分解因式的方法叫做分組分解法，請你仔細(xì)觀察并對以下多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，(1)試用上述方法分解因式：．(2)已知，且，求．【答案】(1)(2)【分析】本題考查因式分解．掌握分組分解法，是解題的關(guān)鍵．（1）利用分組分解法進(jìn)行求解即可；（2）先分組提取公因式，再利用平方差公式法進(jìn)行因式分解，將代入，即可求解．【詳解】（1）解：，（2）解：，∵，且，∴，，∴．考點(diǎn)一：提供因式法解方程例1．方程的解是（

）A． B． C．， D．，【答案】C【分析】本題考查的是一元二次方程的解法，先移項(xiàng)，再利用因式分解的方法解方程即可．【詳解】解：∵，∴，∴，解得：，．故選C【變式1-1】一元二次方程的解是（

）A． B．，C．， D．，【答案】B【分析】本題考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．把左邊提公因式，用因式分解法求解即可．【詳解】或，，故選：B．【變式1-2】方程的解是．【答案】【分析】本題考查解方程，熟練掌握利用因式分解法解方程是解題的關(guān)鍵．利用因式分解法求解即可．【詳解】解：，，∵，∴，故答案為：．【變式1-3】解方程.【答案】，【分析】本題考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩個因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進(jìn)行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了（數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想）．先移項(xiàng)得到，然后利用因式分解法求解．【詳解】解：，，考點(diǎn)二：十字相乘法解方程例2．三角形兩邊長分別為3和4，第三邊長是方程的根，則三角形周長為（

）A．1.5 B．13 C．12或14 D．12【答案】D【分析】本題考查了一元二次方程的求解，三角形三邊關(guān)系，先利用因式分解的方法求出方程的兩個根，根據(jù)三角形三邊關(guān)系確定符合題意的邊長，即可求出最后結(jié)果．【詳解】解：，，，，角形兩邊長分別為3和4，第三邊長是方程的根，（舍），則三角形周長，故選：D．【變式2-1】在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)定義一種新運(yùn)算“※”，其運(yùn)算規(guī)則為．根據(jù)這個規(guī)則，方程的解是（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】根據(jù)新定義，列出常規(guī)式的方程，解答即可．本題考查了新定義的應(yīng)用、解一元二次方程，正確理解定義，建立方程是解題的關(guān)鍵．【詳解】∵，，∴，整理，得，解得或，故選C．【變式2-2】若方程有一個解為，則方程的解為．【答案】【分析】本題考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，根據(jù)題意得出，進(jìn)而解方程，即可求解．【詳解】解：∵方程有一個解為，∴∴即∴解得：故答案為：．【變式2-3】閱讀材料：解方程，我們可以按下面的方法解答：（1）分解因式①豎分二次項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)：，②交叉相乘，驗(yàn)中項(xiàng)：③橫向?qū)懗鰞梢蚴剑海?）若，則或，所以方程可以這樣求解：方程左邊分解因式得∴或∴，上述這種解一元二次方程的方法叫做十字相乘法．請參考以上方法解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)，；(2)，【分析】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．（1）利用十字相乘法將方程的左邊因式分解，繼而得出兩個關(guān)于x的一元一次方程，進(jìn)一步求解可得答案；（2）利用十字相乘法將方程的左邊因式分解，繼而得出兩個關(guān)于x的一元一次方程，進(jìn)一步求解可得答案．【詳解】（1）解：或∴，；（2）解：或∴，．考點(diǎn)三：換元法解方程例3.若關(guān)于x的一元二次方程有一根為，則一元二次方程必有一根為（

）A．2024 B．2025 C．2026 D．2027【答案】C【分析】本題考查了換元法解一元二次方程，利用整體思想解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．利用整體思想設(shè)得到方程，再根據(jù)關(guān)于x的一元二次方程有一根為，即可得到t的值，從而可求解．【詳解】解：∵，∴，即．設(shè)，則．∵關(guān)于x的一元二次方程有一根為，∴在中，，∴，解得：，∴一元二次方程必有一根為2026．故選C．【變式3-1】如果，則的值為（

）A．1 B．2 C． D．1或【答案】A【分析】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，將轉(zhuǎn)換為一元二次方程是解題關(guān)鍵．設(shè)，再將轉(zhuǎn)換為一元二次方程并求解，結(jié)合非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可獲得答案．【詳解】解：設(shè)，根據(jù)題意可得，，解得，，∵，，∴，∴．故選：A．【變式3-2】如果實(shí)數(shù)x滿足，那么的值是．【答案】3【分析】本題主要考查了用換元法解一元二次方程、解分式方程，利用完全平方公式把方程變形是解題的關(guān)鍵．利用完全平方公式把方程變形為，利用換元法，設(shè)，則，轉(zhuǎn)化為解一元二次方程，求出可能的值，分別得出分式方程，計算檢驗(yàn)是否有解，即可得出答案．【詳解】解：∵，∴，，設(shè)，則，因式分解得：，∴或，解得：或，當(dāng)時，則，整理得：，∴，解得：，，經(jīng)檢驗(yàn)，，都是方程的解，∴的值為；當(dāng)時，則，整理得：，，∴時，方程無解．綜上所述，的值為，故答案為：．【變式3-3】閱讀下列材料：已知實(shí)數(shù)m，n滿足，試求的值.解：設(shè)，則原方程變?yōu)椋淼?，，∴，∵，?上面這種方法稱為“換元法”，換元法是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最常用的一種思想方法，在結(jié)構(gòu)較復(fù)雜的數(shù)和式的運(yùn)算中，若把其中某些部分看成一個整體，并用新字母代替（即換元），則能使復(fù)雜的問題簡單化.根據(jù)以上閱讀材料內(nèi)容，解決下列問題，并寫出解答過程.(1)已知實(shí)數(shù)x，y滿足，求的值；(2)設(shè)a，b滿足等式，求的值；(3)若四個連續(xù)正整數(shù)的積為24，求這四個連續(xù)正整數(shù).【答案】(1)(2)(3)這四個連續(xù)正整數(shù)為1，2，3，4【分析】（1）設(shè)，則，解得：，由，得，即可求解，（2）設(shè)，則，或，由，得，即可求解，（3）設(shè)最小正整數(shù)為x，則，即：，設(shè)，則，解得：，，由x為正整數(shù)，得，解得，即可求解，本題考查了換元法，換元法是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最常用的一種思想方法，在結(jié)構(gòu)較復(fù)雜的數(shù)和式的運(yùn)算中，若把其中某些部分看成一個整體，并用新字母代替(即換元)，則能使復(fù)雜的問題簡單化．【詳解】（1）解：設(shè)，則，∴，解得：，∵，∴，∴，故答案為：，（2）解：設(shè)，則，∴，解得：或，∵，∴，∴，故答案為：，（3）解：設(shè)最小正整數(shù)為x，則，即：，設(shè)，則，解得：，，∵x為正整數(shù)，∴，解得，（舍去），故答案為：這四個連續(xù)正整數(shù)為1，2，3，4．考點(diǎn)四：綜合運(yùn)用解方程例4．已知關(guān)于的一元二次方程的一個根是0，則方程的另一個根是（

）A． B．4 C． D．【答案】C【分析】本題考查了一元二次方程的概念、根的意義以及解法，熟悉其相關(guān)知識是解決問題的關(guān)鍵．根據(jù)方程的一個根是0和一元二次方程的定義，可求出的值，然后解方程即得解．【詳解】解：關(guān)于的一元二次方程的一個根是0，滿足方程，代入得：，即，，又為關(guān)于的一元二次方程，則，即，，原方程為，即，方程的另一個根為．故選：C．【變式4-1】已知三角形的兩邊長分別是8和6，第三邊的長是一元二次方程的一個實(shí)數(shù)根，則該三角形的面積是（）A．24或 B．24 C． D．或24【答案】D【分析】此題考查的是解一元二次方程、等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、勾股定理的逆定理，先解方程得到或，當(dāng)?shù)谌呴L為10時，則可利用勾股定理的逆定理證明該三角形是直角三角形，且兩直角邊的長分別為8和6，據(jù)此利用三角形面積公式求解即可；當(dāng)?shù)谌呴L為6時，如圖所示，不妨設(shè)，過點(diǎn)A作于D，則，利用勾股定理求出的長，再利用三角形面積計算公式求解即可．【詳解】解：解方程得或，∴該三角形的第三邊的長為10或6，當(dāng)?shù)谌呴L為10時，∵，∴該三角形是直角三角形，且兩直角邊的長分別為8和6，∴該三角形的面積為；當(dāng)?shù)谌呴L為6時，如圖所示，不妨設(shè)，過點(diǎn)A作于D，則，∴∴該三角形的面積為；綜上所述，該三角形的面積為或24，故選：D．【變式4-2】如圖，，，在的三邊上，若把的周長成兩條等長的折線，即，則三線相交于點(diǎn)，此點(diǎn)稱為三角形的“界心”，亦稱“奈格爾點(diǎn)”．當(dāng)且為等邊三角形時，長為．【答案】/【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理解直角三角形，掌握勾股定理解直角三角形是解題關(guān)鍵．已知可拆解分析得出：，，，可得出：，，．又因?yàn)闉榈冗吶切危紤]等邊三角形的性質(zhì)，所以作出于，最后用勾股定理解直角三角形即可．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A作于．是等邊三角形，，，在中，設(shè)，，，由可知，，得，，得，，由，得，在中，，，化簡得：，再化簡得：，解得：（不符合題意，舍去），，．故答案為：．【變式4-3】在學(xué)習(xí)完“因式分解”這章內(nèi)容后，為了開拓學(xué)生的思維，張老師在黑板上寫了下面兩道題目讓學(xué)生解答：因式分解：（1）；（2）．下面是晶晶和小舒的解法：晶晶：（分成兩組）（直接提公因式）小舒：（分成兩組）（直接運(yùn)用公式）請在她們的解法啟發(fā)下解答下面各題：(1)因式分解：；(2)若，，求的值；(3)已知的三邊a，b，c滿足，是什么三角形？【答案】(1)(2)(3)是等腰三角形【分析】本題主要考查了因式分解，等邊三角形的判定，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意進(jìn)行拆項(xiàng)，將原等式重新分組后進(jìn)行因式分解．（1）分組，先利用完全平方公式分解，再利用平方差公式分解即可；（2）分組，利用提公因式法分解，整體代入求解即可；（3）整理后，利用完全平方公式分解，再利用三邊關(guān)系即可求解．【詳解】（1）原式；（2）原式．∵，，∴原式；（3）∵，∴，∴．∵，∴，即，∴是等腰三角形．考點(diǎn)五：分組分解法例5．已知a，b為正整數(shù)，滿足，則的最大值為（

）A．28 B．43 C．76 D．78【答案】C【分析】將利用分組分解法化為，再根據(jù)a，b為正整數(shù)，分類討論即可得到答案．【詳解】解：∵，∴∴∴，∵a，b為正整數(shù)，要使最大，則b的值應(yīng)比a大，∴當(dāng)時，；當(dāng)時，，∴的最大值為76，故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了分組分解法的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于把等號左邊的式子化為乘積的形式．【變式5-1】用分組分解法將分解因式，下列分組不恰當(dāng)?shù)氖牵ǎ〢． B．C． D．【答案】C【分析】利用分組分解法，結(jié)合提公因式法，對選項(xiàng)一一進(jìn)行分析，即可得出答案．【詳解】解：A．，故選項(xiàng)A分組正確，不符合題意；B．，故選項(xiàng)B分組正確，不符合題意；C．無法進(jìn)行分組分解，故選項(xiàng)C分組錯誤，符合題意；D．，故選項(xiàng)D分組正確，不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了分組分解法、提公因式法分解因式，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握相關(guān)的分解因式的方法．【變式5-2】如果方程的三個根可以作為一個等腰三角形的邊長，則實(shí)數(shù)．【答案】6或【分析】先確定是方程的一個根，再由有兩個相等的根或有一個根是2，分別求解的值，根據(jù)等腰三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行驗(yàn)證即可．【詳解】解：方程可變形為：，即，∴，∴或，∴是方程的一個根，方程的三個根可以作為一個等腰三角形的邊長，有兩個相等的根或有一個根是2，當(dāng)有兩個相等的根時，△，解得，此時方程的根為，三角形的三條邊長分別為2，，；當(dāng)有一個根是2時，，此時方程的根為或，三角形的三條邊長分別為2，2，3；綜上所述：的值為6或，故答案為：6或．【點(diǎn)睛】本題是一元二次方程的綜合題，主要考查了解一元二次方程、根的判別式以及等腰三角形的定義和三角形的三邊關(guān)系等知識，求出是方程的一個根是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】選擇合適的方法解方程．(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本題考查了因式分解解一元二次方程，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）先移項(xiàng)，再進(jìn)行因式分解，得，令每個因式為0，進(jìn)行計算，即可作答．（2）先移項(xiàng)，提公因式得，令每個因式為0，進(jìn)行計算，即可作答．【詳解】（1）解：解得（2）解：解得1．解二元一次方程組時可以通過“消元”將二元一次方程組化為一元一次方程進(jìn)行求解；解一元二次方程可以通過“降次”將一元二次方程化為一元一次方程進(jìn)行求解．以上兩種方法體現(xiàn)了一種重要的數(shù)學(xué)思想是（

）A．轉(zhuǎn)化思想 B．?dāng)?shù)形結(jié)合思想 C．類比思想 D．分類討論思想【答案】A【分析】本題考查了數(shù)學(xué)方法，熟練掌握轉(zhuǎn)化的思想是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)二元一次方程組和一元二次方程的解法解答即可．【詳解】解：由解二元一次方程組時可以通過“消元”將二元一次方程組化為一元一次方程進(jìn)行求解；解一元二次方程可以通過“降次”將一元二次方程化為一元一次方程進(jìn)行求解，可知以上兩種方法體現(xiàn)了一種重要的數(shù)學(xué)思想是轉(zhuǎn)化思想．故選A．2．若，則代數(shù)式的值為（

）A．或 B．1或 C． D．3【答案】D【分析】本題考查了換元法解一元二次方程；令，再解一元二次方程即可；【詳解】解：設(shè)，可知，原方程可化為：，解得：或，∵，∴∴，故選：D．3．如圖1，在中，，于點(diǎn)，動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿折線方向運(yùn)動，運(yùn)動到點(diǎn)停止，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動路程為，的面積為，與的函數(shù)圖象如圖2，則的長為（

）A．6 B．8 C．9 D．10【答案】A【分析】本題考查了一次函數(shù)圖象與幾何圖形的綜合，根據(jù)點(diǎn)的運(yùn)算，可得，，在直角中根據(jù)勾股定理可求出的值，由此即可求解，掌握一次函數(shù)圖象的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解方程的方法，勾股定理的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)作，∴，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，，∴，∴，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，，∵，∴，在中，，∴，解得，或，∴或，負(fù)值舍去，當(dāng)時，，不符合題意（），∴，∴，故選：．4．已知一元二次方程的兩根分別為，，則這個方程不可能為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了一元二次方程的根，分別求出各選項(xiàng)中方程的根，然后再根據(jù)一元二次方程的根的定義進(jìn)行判斷即可得到答案.【詳解】解：A、，解得：，，符合題意；B、，解得：，，不符合題意；C、，解得：，，不符合題意；D、，解得：，，不符合題意；故選：D.5．若使分式的值為0，則a的值為（

）A．或1 B．或 C． D．或【答案】C【分析】本題主要考查了分式方程為零的條件、解一元二次方程等知識點(diǎn)，掌握分式為零的條件成為解題的關(guān)鍵．先根據(jù)分式列不等式組，然后再解一元二次方程和不等式組即可．【詳解】解：∵，∴，解得：．故選Ｃ．6．若關(guān)于x的一元二次方程的解是，，則關(guān)于y的方程的解為（

）A．－2 B．2 C．或2 D．以上都不對【答案】C【分析】本題考查了用換元法解一元二次方程，一元二次方程的解，令，則，得出，即可解答．【詳解】解：令，則方程可改寫為：，∵一元二次方程的解是，，∴，∴或，解得：或，故選：C．7．若，則的值為（

）A．1 B．9 C．9或1 D．無法確定【答案】A【分析】利用換元法解一元二次方程求出，然后可得的值．【詳解】解：令，則可得，配方得：，即，開方得：，解得：，（舍），∴，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了換元法解一元二次方程，整體求出的值是解題的關(guān)鍵．8．在中，，若，，則AC的長為（

）A．2.5 B．4 C．3 D．2.7【答案】C【分析】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形外角性質(zhì)，解一元二次方程，作輔助線構(gòu)造等腰三角形和直角三角形是解題的關(guān)鍵．延長到D，使，連接，過C作于H，根據(jù)三角形外角性質(zhì)和等腰三角形的判定和性質(zhì)證，，根據(jù)勾股定理建立方程求解即可．【詳解】延長到D，使，連接，過C作于H，如圖所示，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，設(shè)，則，，在中，，在中，，∴即，解得：（舍去），，∴．故選：C．9．已知則的值是．【答案】【分析】本題考查了分解分組法、提公因式以及整體代入思想，由整理，再代入計算，即可作答．【詳解】解：∵∴∴故答案為：10．一元二次方程的較小的根是．【答案】【分析】本題考查了一元二次方程的解法—因式分解法，由的形式可得或，即可求解；能根據(jù)方程的不同形式選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄊ墙忸}的關(guān)鍵．【詳解】解：，或，，，較小的根為；故答案：．11．若，則代數(shù)式的值為【答案】4【分析】本題考查了解一元二次方程，設(shè)，則原方程換元為，可得，，即可求解．【詳解】解：設(shè)，則原方程換元為，，解得，（不合題意，舍去），的值為4．故答案為：4．12．已知方程，如果設(shè)，那么原方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的整式方程為．【答案】【分析】本題考查了換元法解分式方程，熟練掌握換元法是解題的關(guān)鍵．根據(jù)換元法即可求解．【詳解】解：方程，如果設(shè)，∴即，故答案為：．13．若方程（為常數(shù)）的一個解是，則另一個解．【答案】2【分析】本題考查了一元二次方程的根，因式分解法解一元二次方程，根據(jù)題意將代入方程求出c的值，再利用因式分解法求解方程即可．【詳解】解：方程（為常數(shù)）的一個解是，，，方程，，或，，，則另一個解，故答案為：2．14．如圖，是一個閉環(huán)運(yùn)算游戲，即：給x一個值，把它代入中得到一個y值，再把得到的y值代入中，又求出一個新的x值．如：把代入中得到；再把代入中求得．（1）把代入中，最后求出的x值為；（2）小明發(fā)現(xiàn)，給x一個整數(shù)并把它代入中后，最后求出的x值竟然是它自身，這個整數(shù)是．【答案】【分析】本題考查了解一元二次方程，和分式方程．（1）根據(jù)題意運(yùn)算法則計算即可求解；（2）設(shè)這個數(shù)為，依題意得，解一元二次方程求得整數(shù)解即可．【詳解】解：（1）把代入中，，再把代入中，求得；經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解，故答案為：；（2）設(shè)這個數(shù)為，依題意得，整理得，解得（舍去），，故答案為：．15．如圖，點(diǎn)和在反比例函數(shù)的圖象上，其中．過點(diǎn)A作軸于點(diǎn)C，若的面積為，則．

【答案】【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)，得出，根據(jù)三角形面積公式，即可求出的面積；過點(diǎn)B作軸于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，根據(jù)，，得出，進(jìn)而得出，根據(jù)梯形