蘇科版2025年七升八數(shù)學暑假銜接講義第08講含30度直角三角形與斜邊上的中線(學生版+解析)

/第08講含30度直角三角形與斜邊上的中線重難點：含30度角的直角三角形的性質定理和直角三角形斜邊上中線的發(fā)現(xiàn)與證明一．含30度角的直角三角形（1）含30度角的直角三角形的性質：在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半．（2）此結論是由等邊三角形的性質推出，體現(xiàn)了直角三角形的性質，它在解直角三角形的相關問題中常用來求邊的長度和角的度數(shù)．（3）注意：①該性質是直角三角形中含有特殊度數(shù)的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能應用；②應用時，要注意找準30°的角所對的直角邊，點明斜邊．二．直角三角形斜邊上的中線（1）性質：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．（即直角三角形的外心位于斜邊的中點）（2）定理：一個三角形，如果一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是以這條邊為斜邊的直角三角形．該定理可以用來判定直角三角形．一．含30度角的直角三角形（共13小題）1．（2022秋?如皋市校級期末）如圖，小明沿傾斜角∠ABC＝30°的山坡從山腳B點步行到山頂A，共走了500m，則山的高度AC是．2．（2022秋?泰州月考）如圖，△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，∠B＝30°，點P是BC邊上的動點，則AP長不可能是（）A．1.8 B．2.2 C．3.5 D．3.83．（2022秋?興化市月考）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，點D是AC上一點，連接BD，∠DBC＝60°，BC＝4，則AD長是（）A．4 B．6 C．8 D．104．（2022秋?無錫期末）如圖，△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，CD是AB邊上的高．若AB＝10，則CD＝．5．（2022秋?溧水區(qū)期末）證明：直角三角形中30°所對的直角邊等于斜邊的一半．已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，．求證：．證明：．6．（2022秋?錫山區(qū)期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝15cm，AB的垂直平分線交BC于點M，交AB于點E，AC的垂直平分線交BC于點N，交AC于點F，則MN的長為（）A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm7．（2022秋?江都區(qū)月考）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝4，D為BC上一動點，EF垂直平分AD分別交AC于E、交AB于F，則BF的最大值為．8．（2022秋?東臺市期中）如圖，△ABC是邊長為8的等邊三角形，D是BC上一點，BD＝3，DE⊥BC交AB于點E，則線段AE＝．9．（2022秋?南通期末）如圖，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC＝2cm，點P從點B開始以1cm/s的速度向點C移動，當△ABP為直角三角形時，則運動的時間為（）A．3s B．3s或4s C．1s或4s D．2s或3s10．（2022秋?崇川區(qū)校級月考）如圖，等邊△ABC中，AB＝4，點P在邊AB上，PD⊥BC，DE⊥AC，垂足分別為D、E，設PA＝x，若用含x的式子表示AE的長，正確的是（）A．2﹣x B．3﹣x C．1 D．2+x11．（2022秋?興化市校級月考）如圖，已知∠AOB＝60°，點P在邊OA上，OP＝16，點M、N在邊OB上，PM＝PN，若MN＝4，則OM＝．12．（2022秋?江寧區(qū)校級月考）如圖，已知∠AOB＝60°，點P在邊OA上，OP＝10，點M，N在邊OB上，PM＝PN，若MN＝2，則OM＝．13．（2022秋?漣水縣期中）如圖，已知∠AOB＝60°，點P在OA邊上，OP＝12cm，點EF在邊OB上，且PE＝PF，若EF＝2cm，則OE＝cm．二．直角三角形斜邊上的中線（共10小題）14．（2022秋?鼓樓區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝54°，D是AB的中點，則∠BCD＝°．15．（2022秋?鼓樓區(qū)校級期末）若直角三角形斜邊上的高是3，斜邊上的中線是6，則這個直角三角形的面積是．16．（2022秋?海陵區(qū)校級期末）直角三角形的兩條直角邊長為5和12，則斜邊上的中線長是．17．（2022秋?興化市校級期末）如圖，在△ABC中，CF⊥AB于點F，BE⊥AC于點E，M為BC的中點．（1）求證：△MEF是等腰三角形；（2）若∠EBC＝30°，BC＝10cm，求CE的長度．18．（2022秋?興化市期末）如圖，△ABC中，AD是邊BC上的高，CF是邊AB上的中線，DC＝BF，點E是CF的中點．（1）求證：DE⊥CF；（2）求證：∠B＝2∠BCF．19．（2022秋?鎮(zhèn)江期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E為對角線AC的中點，連接BE，ED，BD，若∠BAD＝58°，則∠BED的度數(shù)為（）A．118° B．108° C．120° D．116°20．（2022秋?江都區(qū)期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，D為斜邊AB的中點，若CD＝2cm，則AB＝cm．21．（2022秋?徐州期末）已知：如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，點E是AC的中點，連接BE、BD、DE．（1）求證：△BED是等腰三角形；（2）當∠BAD＝°時，△BED是等邊三角形．22．（2022秋?南京期末）如圖，在Rt△ADB和Rt△ABC中，∠ADB＝90，∠ACB＝90°，E是AB的中點．（1）求證：DE＝CE；（2）若∠CAB＝30°，∠DBA＝40°，求∠DEC．23．（2022秋?常州期末）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為D，CE⊥AB，垂足為E，F(xiàn)是AC的中點連接DF、EF．（1）求證：DF＝EF；（2）連接DE，若AC＝2，ED＝1．①判斷△DEF的形狀，并說明理由；②＝．一．選擇題（共7小題）1．（2022春?清江浦區(qū)校級期中）如圖，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的中線，∠A＝20°，則∠BCD的度數(shù)是（）A．40° B．50° C．60° D．70°2．（2021秋?惠山區(qū)校級月考）如圖，在Rt△ABC中，CE是斜邊AB上的中線，CD⊥AB，若CD＝5，CE＝6，則△ABC的面積是（）A．24 B．25 C．30 D．363．（2022秋?玄武區(qū)校級月考）如圖，△ABC中∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，BC＝6，線段DE的兩個端點D、E分別在邊AC，BC上滑動，且DE＝4，若點M、N分別是DE、AB的中點，則MN的最小值為（）A．2 B．3 C．3.5 D．44．（2022秋?宿城區(qū)期中）如圖所示，公路AC、BC互相垂直，點M為公路AB的中點，為測量湖泊兩側C、M兩點間的距離，若測得AB的長為6km，則M、C兩點間的距離為（）A．2.5km B．4.5km C．5km D．3km5．（2022秋?工業(yè)園區(qū)校級期中）如圖∠ADB＝∠ACB＝90°，E、F分別是AB、CD的中點，若AB＝26，CD＝24，則△DEF的周長為（）A．12 B．30 C．27 D．326．（2022秋?淮安區(qū)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜邊AB上的中線，若CD＝2.5，AB的長為（）A．2.5 B．4 C．5 D．67．（2022秋?鼓樓區(qū)校級月考）如圖，木桿AB斜靠在墻壁上，P是AB的中點，當木桿的上端A沿墻壁NO豎直下滑時，木桿的底端B也隨之沿著射線OM方向滑動，則下滑過程中OP的長度變化情況是（）A．逐漸變大 B．不斷變小 C．不變 D．先變大再變小二．填空題（共7小題）8．（2022秋?通州區(qū)校級月考）如圖，在△ABC中，若AB＝AC＝8，∠A＝30°，則S△ABC＝．9．（2022秋?大豐區(qū)期中）如圖，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝4cm．以點A為圓心、AB長為半徑畫弧，交BC邊的延長線于點D，則AD長為cm．10．（2022秋?興化市月考）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AC＝8，則AB＝．11．（2020秋?鹽都區(qū)月考）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，點D為AB中點，若AB＝10，則CD＝．12．（2021秋?沭陽縣期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，邊AB的垂直平分線DE交AB于點E，交BC于點D，CD＝1，則BC的長為．13．（2022秋?玄武區(qū)校級期中）如圖∠MAN＝60°，若△ABC的頂點B在射線AM上，且AB＝6，動點C從點A出發(fā)，以每秒1個單位沿射線AN運動，當運動時間t是秒時，△ABC是直角三角形．14．（2022秋?海安市期中）如圖，在△ABC中，∠B＝60°，點D在邊BC上，且AD＝AC，若AB＝6，CD＝4，則BD＝．三．解答題（共7小題）15．（2022秋?揚州期中）如圖，在等邊△ABC中，點E在線段AB的延長線上，點D在直線BC上，且ED＝EC．若△ABC的邊長為1，AE＝3，求CD的長．16．（2022秋?泗陽縣期中）如圖，△ABC中，AD⊥BC，CE是△ABC的中線，DG垂直平分CE．（1）求證：CD＝AE；（2）若∠B＝50°，求∠BCE的度數(shù)．17．（2022秋?淮陰區(qū)期中）如圖，在△ABC中，已知AB＝AC，AB的垂直平分線交AC于E，D為垂足，連接BE．（1）若∠ABC＝75°，求∠AED的度數(shù)；（2）若AB＝6cm，△BCE的周長是11cm，求BC的長度．18．（2022秋?秦淮區(qū)校級月考）證明：直角三角形30°角所對的直角邊是斜邊的一半．19．（2022秋?江都區(qū)校級月考）如圖，已知銳角△ABC中，CD、BE分別是AB、AC邊上的高，M、N分別是線段BC、DE的中點．（1）求證：MN⊥DE；（2）若∠ABC＝70°，∠ACB＝50°，連結DM、ME，求∠DME的度數(shù)；（3）猜想∠DME與∠A之間的關系，并證明你的猜想．20．（2022秋?建鄴區(qū)校級期中）已知：如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°．求證：BC＝AB．21．（2022秋?鼓樓區(qū)期中）證明命題：直角三角形30°角所對的邊是斜邊的一半，請寫已知，求證，并證明．已知：；求證：；證明過程：．一．選擇題1．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°．首先以頂點B為圓心、適當長為半徑作弧，在邊BC、BA上截取BE、BD；然后分別以點D、E為圓心、以大于的長為半徑作弧，兩弧在∠CBA內交于點F；作射線BF交AC于點G．若BG＝1，P為邊AB上一動點，則GP的最小值為（）A．無法確定 B． C．1 D．22．如圖，在△ABC中，∠B＝60°，點D在邊BC上，且AD＝AC，若AB＝6，CD＝4，則BD的長為（）A．3 B．2.5 C．2 D．13．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC交邊AC于點D，E為BD的中點，若BC＝2，則CE的長為（）A． B．2 C． D．34．如圖，已知∠AOB＝60°，點P在邊OA上，OP＝10，點M、N在邊OB上，PM＝PN，若MN＝2，則OM＝（）A．3 B．4 C．5 D．65．如圖，已知∠ACB＝60°，PC＝12，點M，N在邊CB上，PM＝PN．若MN＝3，則CM的長為（）A．3 B．3.5 C．4 D．4.56．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點E是AC邊上的動點（點E與點C、A不重合），設點M為線段BE的中點，過點E作EF⊥AB，垂足為點F，連接MC、MF．若∠CBA＝50°，則在點E運動過程中∠CMF的大小為（）A．80° B．100° C．130° D．發(fā)生變化，無法確定7．如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜邊AB上的高，AD＝3，則BD的長是（）A．12 B．9 C．6 D．38．如圖，公路AC、BC互相垂直，公路AB的中點M與點C被湖隔開，若測得AB的長為3.6km，則M、C兩點間的距離為（）A．1.8km B．3.6km C．3km D．2km二．填空題9．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D是AB的中點，過點D作DE⊥BC，垂足為點E，連接CD，若CD＝5，BE＝4，則AC＝．10．一副三角板按如圖所示的位置擺放，△BDE的直角邊BD恰好經(jīng)過Rt△ABC斜邊AC的中點M，BE交AC于點F，則∠BFM＝°．11．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D是AB的中點，CD＝6，則AB＝．12．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝12．若AB的垂直平分線交BC于點M，交AB于點E，AC的垂直平分線交BC于點N，交AC于點F，則MN＝．13．如圖，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，延長AB到點D，使BD＝BC，連接CD，若AC＝2，則CD的長為．三．解答題14．在一個三角形中，如果一條邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是直角三角形嗎？證明你的結論．15．如圖，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M為BC的中點．（1）求證：△MEF是等腰三角形；（2）若∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠EMF的度數(shù)．16．如圖，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，AB的垂直平分線DE交AC于點D，連接BD，若AC＝12．（1）求證：BD⊥BC．（2）求DB的長．17．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD、CE三等分∠ACB，且CD是AB邊的中線，CE是BD邊的中線，當DE＝2時，求AC的長．18．如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，O為BD的中點．（1）∠OAC和∠OCA相等嗎？請說明理由；（2）若P為AC中點，試判斷OP與AC的關系．19．已知在△ABC中，∠B＝60°，AD＝14，CD＝12，S△ADC＝30，求BD的長．

第08講含30度直角三角形與斜邊上的中線重難點：含30度角的直角三角形的性質定理和直角三角形斜邊上中線的發(fā)現(xiàn)與證明一．含30度角的直角三角形（1）含30度角的直角三角形的性質：在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半．（2）此結論是由等邊三角形的性質推出，體現(xiàn)了直角三角形的性質，它在解直角三角形的相關問題中常用來求邊的長度和角的度數(shù)．（3）注意：①該性質是直角三角形中含有特殊度數(shù)的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能應用；②應用時，要注意找準30°的角所對的直角邊，點明斜邊．二．直角三角形斜邊上的中線（1）性質：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．（即直角三角形的外心位于斜邊的中點）（2）定理：一個三角形，如果一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是以這條邊為斜邊的直角三角形．該定理可以用來判定直角三角形．一．含30度角的直角三角形（共13小題）1．（2022秋?如皋市校級期末）如圖，小明沿傾斜角∠ABC＝30°的山坡從山腳B點步行到山頂A，共走了500m，則山的高度AC是250m．【分析】利用直角三角形中，30°的內角所對的直角邊是斜邊的一半可直接求解．【解答】解：由題意得∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AB＝500m，∴AC＝AB＝250m，即山的高度AC是250m，故答案為：250m．【點評】本題主要考查含30°角的直角三角形，掌握含30°角的直角三角形的性質是解題的關鍵．2．（2022秋?泰州月考）如圖，△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，∠B＝30°，點P是BC邊上的動點，則AP長不可能是（）A．1.8 B．2.2 C．3.5 D．3.8【分析】根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出AC，再根據(jù)垂線段最短求出AP的最小值，然后得到AP的取值范圍，從而得解．【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝4，∠B＝30°，∴AC＝AB＝×4＝2，∵點P是BC邊上的動點，∴2＜AP＜4，∴AP的值不可能是1.8．故選：A．【點評】本題考查了直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質，垂線段最短，熟記性質并求出AP的取值范圍是解題的關鍵．3．（2022秋?興化市月考）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，點D是AC上一點，連接BD，∠DBC＝60°，BC＝4，則AD長是（）A．4 B．6 C．8 D．10【分析】根據(jù)三角形內角和可得∠BDC＝30°，進而得出∠ABD＝15°＝∠A，得到AD＝BD，Rt△BDC中，由BC＝4，∠BDC＝30°，可求出BD＝2BC＝8＝AD即可．【解答】解：∵∠C＝90°，∠DBC＝60°，∴∠BDC＝90°﹣60°＝30°，又∵∠A＝15°，∴∠ABD＝30°﹣15°＝15°＝∠A，∴AD＝BD，在Rt△BDC中，BC＝4，∠BDC＝30°，∴BD＝2BC＝8＝AD，故選：C．【點評】本題考查了直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質，直角三角形兩銳角互余的性質，等角對等邊的性質，熟記性質熟記解題的關鍵．4．（2022秋?無錫期末）如圖，△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，CD是AB邊上的高．若AB＝10，則CD＝5．【分析】根據(jù)在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，求出CD長．【解答】解：∵AB＝10，AB＝AC，∴AC＝10，∵CD是AB邊上的高，∴∠ADC＝90°，∵∠A＝30°，∴CD＝AC＝5，故答案為：5．【點評】本題考查等腰三角形的性質、含30度角的直角三角形，掌握這兩個知識點的綜合應用是解題關鍵．5．（2022秋?溧水區(qū)期末）證明：直角三角形中30°所對的直角邊等于斜邊的一半．已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°．求證：BC＝AB．證明：取AB的中點D，連接CD，∵∠ACB＝90°，D為AB的中點，∴CD＝AB＝BD，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝90°﹣30°＝60°，∴△BCD是等邊三角形，∴BC＝CD，∴BC＝AB．【分析】取AB的中點D，連接CD，得到△BCD是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質證明結論．【解答】已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°．求證：BC＝AB．證明：取AB的中點D，連接CD，∵∠ACB＝90°，D為AB的中點，∴CD＝AB＝BD，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝90°﹣30°＝60°，∴△BCD是等邊三角形，∴BC＝CD，∴BC＝AB．故答案為：∠A＝30°．BC＝AB．取AB的中點D，連接CD，∵∠ACB＝90°，D為AB的中點，∴CD＝AB＝BD，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝90°﹣30°＝60°，∴△BCD是等邊三角形，∴BC＝CD，∴BC＝AB．【點評】此題考查了等邊三角形的判定和性質，直角三角形斜邊中線的性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，利用特殊三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．6．（2022秋?錫山區(qū)期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝15cm，AB的垂直平分線交BC于點M，交AB于點E，AC的垂直平分線交BC于點N，交AC于點F，則MN的長為（）A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm【分析】作輔助線來溝通各角之間的關系，首先求出△BMA與△CNA是等腰三角形，再證明△MAN為等邊三角形即可．【解答】解：連接AM，AN，∵AB的垂直平分線交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分線交BC于N，交AC于F，∴BM＝AM，CN＝AN，∴∠MAB＝∠B，∠CAN＝∠C，∵∠BAC＝120°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°，∴∠BAM+∠CAN＝60°，∠AMN＝∠ANM＝60°，∴△AMN是等邊三角形，∴AM＝AN＝MN，∴BM＝MN＝NC，∵BC＝15cm，∴MN＝5cm．故選：A．【點評】本題考查的知識點為線段的垂直平分線性質，等腰三角形的性質，等邊三角形的判定和性質；正確作出輔助線是解答本題的關鍵．7．（2022秋?江都區(qū)月考）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝4，D為BC上一動點，EF垂直平分AD分別交AC于E、交AB于F，則BF的最大值為．【分析】過點F作FH⊥BC于H，連接DF，設AF＝x，則BF＝4﹣x，結合含30°角的直角三角形的性質可得關于x的不等式，計算可求解AF的最小值，進而可求得BF的最大值．【解答】解：過點F作FH⊥BC于H，連接DF，設AF＝x，則BF＝8﹣x，∵∠B＝30°，∠C＝90°，AC＝4，∴AB＝8，∴FH＝BF＝4﹣x，∴x≥4﹣x，解得x≥，∴AF最小值為，BF的最大值為8﹣＝．故答案為：．【點評】本題主要考查了線段垂直平分線的性質、30°角所對直角邊是斜邊的一半以及圓與直線的位置關系，將BF的最大值轉化為AF最小是解決本題的關鍵，屬于壓軸題．8．（2022秋?東臺市期中）如圖，△ABC是邊長為8的等邊三角形，D是BC上一點，BD＝3，DE⊥BC交AB于點E，則線段AE＝2．【分析】在Rt△BED中，求出BE即可解決問題．【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝60°，∵DE⊥BC，∴∠EDB＝90°，∠BED＝30°，∵BD＝3，∴EB＝2BD＝6，∴AE＝AB﹣BE＝8﹣6＝2，故答案為：2．【點評】本題考查等邊三角形的性質、直角三角形的30度角的性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．9．（2022秋?南通期末）如圖，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC＝2cm，點P從點B開始以1cm/s的速度向點C移動，當△ABP為直角三角形時，則運動的時間為（）A．3s B．3s或4s C．1s或4s D．2s或3s【分析】過點A作AH⊥BC于點H，根據(jù)等腰三角形的性質和含30°角的直角三角形的性質可得AH的長，進一步可得BH的長，當△ABP為直角三角形時，分兩種情況：①當點P運動到點H時，∠APB＝90°；②當點P運動到∠BAP＝90°時，分別求解即可．【解答】解：過點A作AH⊥BC于點H，如圖所示：在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC＝2cm，∴∠B＝∠C＝30°，∴AH＝cm，根據(jù)勾股定理，得BH＝3cm，當△ABP為直角三角形時，分兩種情況：①當點P運動到點H時，∠APB＝90°，此時運動時間為3÷1＝3（s），②當點P運動到∠BAP＝90°時，∵∠B＝30°，∴BP＝2AP，在Rt△ABP中，根據(jù)勾股定理，得AP2+AB2＝（2AP）2，解得AP＝2cm，∴BP＝4cm，此時運動時間為4÷1＝4（s），綜上所述，滿足條件的運動時間有3s或4s，故選：B．【點評】本題考查了等腰三角形的性質，直角三角形的性質，動點問題，熟練掌握含30°角的直角三角形的性質是解題的關鍵，注意分情況討論．10．（2022秋?崇川區(qū)校級月考）如圖，等邊△ABC中，AB＝4，點P在邊AB上，PD⊥BC，DE⊥AC，垂足分別為D、E，設PA＝x，若用含x的式子表示AE的長，正確的是（）A．2﹣x B．3﹣x C．1 D．2+x【分析】利用等邊三角形的性質可得AB＝BC＝AC＝4，∠B＝∠C＝60°，再利用含30度角的直角三角形的性質進行計算即可．【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC＝AC＝4，∠B＝∠C＝60°，∵PD⊥BC，DE⊥AC，∴BD＝PB，CE＝CD，∵PA＝x，∴BP＝4﹣x，∴BD＝PB＝2﹣x，∴CD＝4﹣（2﹣x）＝2+x，∴CE＝1+x，∴AE＝4﹣（1+x）＝3﹣x，故選：B．【點評】此題主要考查了等邊三角形的性質和含30度角的直角三角形的性質，關鍵是掌握在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半．11．（2022秋?興化市校級月考）如圖，已知∠AOB＝60°，點P在邊OA上，OP＝16，點M、N在邊OB上，PM＝PN，若MN＝4，則OM＝6．【分析】過點P作PD⊥OB，垂足為D，根據(jù)垂直定義可得∠PDO＝90°，再利用直角三角形的兩個銳角互余可得∠OPD＝30°，然后利用含30度角的直角三角形的性質可得OD＝8，再利用等腰三角形的三線合一性質可得DM＝2，最后進行計算即可解答．【解答】解：過點P作PD⊥OB，垂足為D，∴∠PDO＝90°，∵∠AOB＝60°，∴∠OPD＝90°﹣∠AOB＝30°，∵OP＝16，∴OD＝OP＝8，∵PM＝PN，PD⊥MN，∴DM＝MN＝2，∴OM＝OD﹣DM＝6，故答案為：6．【點評】本題考查了等腰三角形的性質，含30度角的直角三角形，根據(jù)題目的已知條件并結合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關鍵．12．（2022秋?江寧區(qū)校級月考）如圖，已知∠AOB＝60°，點P在邊OA上，OP＝10，點M，N在邊OB上，PM＝PN，若MN＝2，則OM＝4．【分析】作PH⊥MN于H，如圖，根據(jù)等腰三角形的性質得MH＝NH＝MN＝1，在Rt△POH中由∠POH＝60°得到∠OPH＝30°，則根據(jù)在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可得OH＝OP＝5，然后計算OH﹣MH即可．【解答】解：作PH⊥MN于H，如圖，∵PM＝PN，∴MH＝NH＝MN＝1，在Rt△POH中，∵∠POH＝60°，∴∠OPH＝30°，∴OH＝OP＝×10＝5，∴OM＝OH﹣MH＝5﹣1＝4．故答案為4．【點評】本題考查了含30度角的直角三角形的性質：在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半．此結論是由等邊三角形的性質推出，體現(xiàn)了直角三角形的性質，它在解直角三角形的相關問題中常用來求邊的長度和角的度數(shù)．也考查了等腰三角形的性質．13．（2022秋?漣水縣期中）如圖，已知∠AOB＝60°，點P在OA邊上，OP＝12cm，點EF在邊OB上，且PE＝PF，若EF＝2cm，則OE＝5cm．【分析】過P作PD⊥OB于D，根據(jù)等腰三角形的性質和已知條件求出ED，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質求出OD，再求出答案即可．【解答】解：過P作PD⊥OB于D，∵PE＝PF，EF＝2cm，∴ED＝FD＝1（cm），∵PD⊥OB，∴∠PDO＝90°，∵∠POB＝60°，∴∠OPD＝30°，∴OD＝OP，∵OP＝12cm，∴OD＝6（cm），∴OE＝OD﹣ED＝5（cm），故答案為：5【點評】本題考查了含30°角的直角三角形的性質，等腰三角形的性質，三角形內角和定理等知識點，能正確作出輔助線是解此題的關鍵，注意：在直角三角形中，如果有一個角等于30°，那么這個角所對的直角邊等于斜邊的一半．二．直角三角形斜邊上的中線（共10小題）14．（2022秋?鼓樓區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝54°，D是AB的中點，則∠BCD＝36°．【分析】由“直角三角形的兩個銳角互余”得到∠B＝36°，根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”得到CD＝BD，則等邊對等角，即∠BCD＝∠B＝36°．【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝54°，∴∠B＝36°，∵D為線段AB的中點，∴CD＝BD，∴∠BCD＝∠B＝36°．故答案是：36．【點評】本題考查了直角三角形的性質．解題關鍵是熟練掌握在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．15．（2022秋?鼓樓區(qū)校級期末）若直角三角形斜邊上的高是3，斜邊上的中線是6，則這個直角三角形的面積是18．【分析】利用直角三角形斜邊上的中線性質可求出斜邊長，然后利用三角形的面積公式進行計算即可解答．【解答】解：∵直角三角形斜邊上的中線是6，∴斜邊長＝2×6＝12，∵直角三角形斜邊上的高是3，∴這個直角三角形的面積＝×12×3＝18，故答案為：18．【點評】本題考查了直角三角形斜邊上的中線，三角形的面積，熟練掌握直角三角形斜邊上的中線性質是解題的關鍵．16．（2022秋?海陵區(qū)校級期末）直角三角形的兩條直角邊長為5和12，則斜邊上的中線長是．【分析】根據(jù)勾股定理求出斜邊長，根據(jù)直角三角形的性質計算，得到答案．【解答】解：由勾股定理得：直角三角形的斜邊長＝＝13，則斜邊上的中線長為：，故答案為：．【點評】本題考查的是直角三角形的性質、勾股定理，掌握在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關鍵．17．（2022秋?興化市校級期末）如圖，在△ABC中，CF⊥AB于點F，BE⊥AC于點E，M為BC的中點．（1）求證：△MEF是等腰三角形；（2）若∠EBC＝30°，BC＝10cm，求CE的長度．【分析】（1）利用直角三角形斜邊上的中線的性質即可得出結論．（2）利用直角三角形中三十度角所對的直角邊等于斜邊的一半即可得出．【解答】（1）證明：∵CF⊥AB，BE⊥AC，∴△BFC與△BEC都為直角三角形，∵M為BC的中點，∴FM、EM為斜邊BC的中點，∴，，∴EM＝FM，∴△MEF是等腰三角形；（2）在Rt△EBC中，∵∠EBC＝30°，∴CE＝＝＝5（cm）．【點評】本題考查了直角三角形斜邊上的中線的性質，等腰三角形的判定，含30°角的直角三角形的性質，熟練掌握各性質定理是解題的關鍵．18．（2022秋?興化市期末）如圖，△ABC中，AD是邊BC上的高，CF是邊AB上的中線，DC＝BF，點E是CF的中點．（1）求證：DE⊥CF；（2）求證：∠B＝2∠BCF．【分析】（1）連接DF，根據(jù)直角三角形的性質得到DF＝AB＝BF，進而證明DC＝DF，根據(jù)等腰三角形的三線合一證明結論；（2）根據(jù)三角形的外角性質得到∠FDB＝2∠DFC，根據(jù)等腰三角形的性質證明結論．【解答】證明：（1）連接DF，∵AD是邊BC上的高，∴∠ADB＝90°，∵點F是AB的中點，∴DF＝AB＝BF，∵DC＝BF，∴DC＝DF，∵點E是CF的中點．∴DE⊥CF；（2）∵DC＝DF，∴∠DFC＝∠DCF，∴∠FDB＝∠DFC+∠DCF＝2∠DFC，∵DF＝BF，∴∠FDB＝∠B，∴∠B＝2∠BCF．【點評】本題考查的是直角三角形的性質、等腰三角形的性質，掌握在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關鍵．19．（2022秋?鎮(zhèn)江期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E為對角線AC的中點，連接BE，ED，BD，若∠BAD＝58°，則∠BED的度數(shù)為（）A．118° B．108° C．120° D．116°【分析】根據(jù)已知條件可以判斷EA＝EB＝EC＝DE，根據(jù)三角形外角定理可得到：∠DEC＝∠DAE+∠ADE＝2∠DAE，同理∠BEC＝2∠BAE，∠DEB＝2∠DAE+2∠BAE＝2∠DAB＝116°．【解答】解：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，E為對角線AC的中點，∴EA＝EB＝EC＝DE，∴∠DAE＝∠EDA，∠BAE＝∠EBA，在△AED中，∠DEC＝∠DAE+∠ADE＝2∠DAE，同理可得到：∠BEC＝2∠BAE，∠DEB＝∠DEC+∠BEC＝2∠DAE+2∠BAE＝2（∠DAE+∠BAE）＝2×58°＝116°，故選：D．【點評】本題考查了直角三角形斜邊中線定理和三角形外角定理的運用，掌握基本定理是解題的關鍵．20．（2022秋?江都區(qū)期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，D為斜邊AB的中點，若CD＝2cm，則AB＝4cm．【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可得到結論．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，D為斜邊AB的中點，∴AB＝2CD，∵CD＝2cm，∴AB＝4cm故答案為：4．【點評】本題考查了直角三角形斜邊上的中線21．（2022秋?徐州期末）已知：如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，點E是AC的中點，連接BE、BD、DE．（1）求證：△BED是等腰三角形；（2）當∠BAD＝30°時，△BED是等邊三角形．【分析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半，進而得出答案；（2）利用等邊對等角以及三角形外角的性質得出∠DEB＝∠DAB，即可得出答案．【解答】解：（1）在△ABC中，∵∠ABC＝90°，點E是AC的中點（已知），∴BE＝AC（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）．同理，DE＝AC，∴BE＝DE（等量代換），∴△BED是等腰三角形（等腰三角形的定義）；（2）∵AE＝ED，∴∠DAE＝∠EDA，∵AE＝BE，∴∠EAB＝∠EBA，∵∠DAE+∠EDA＝∠DEC，∠EAB+∠EBA＝∠BEC，∴∠DAB＝∠DEB，∵△BED是等邊三角形，∴∠DEB＝60°，∴∠BAD＝30°．故答案為：30．【點評】此題主要考查了等腰三角形的性質和判定以及三角形外角的性質等知識，根據(jù)題意得出∠DEB＝∠DAB是解題關鍵．22．（2022秋?南京期末）如圖，在Rt△ADB和Rt△ABC中，∠ADB＝90，∠ACB＝90°，E是AB的中點．（1）求證：DE＝CE；（2）若∠CAB＝30°，∠DBA＝40°，求∠DEC．【分析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質得出DE＝AB和CE＝AB即可；（2）求出∠DAB＝90°﹣∠DBA＝50°，∠ABC＝90°﹣∠CAB＝60°，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質得出DE＝AB＝AE，CE＝AB＝BE，求出∠ADE＝∠DAB＝50°，∠ECB＝∠ABC＝60°，根據(jù)三角形內角和定理求出∠DEA和∠CEB，再求出答案即可．【解答】（1）證明：∵在Rt△ADB和Rt△ABC中，∠ADB＝90，∠ACB＝90°，E是AB的中點，∴DE＝AB，CE＝AB，∴DE＝CE；（2）解：在Rt△ADB和Rt△ABC中，∵∠ADB＝90，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，∠DBA＝40°，∴∠DAB＝90°﹣∠DBA＝50°，∠ABC＝90°﹣∠CAB＝60°，在Rt△ADB和Rt△ABC中，∵∠ADB＝90，∠ACB＝90°，E是AB的中點，∴DE＝AB＝AE，CE＝AB＝BE，∴∠ADE＝∠DAB＝50°，∠ECB＝∠ABC＝60°，∴∠DEA＝180°﹣∠DAB﹣∠ADE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∠CEB＝180°﹣∠ECB﹣∠CBA＝180°﹣50°﹣50°＝80°，∴∠DEC＝180°﹣∠DEA﹣∠CEB＝180°﹣60°﹣80°＝40°．【點評】本題考查了直角三角形斜邊上的中線性質和等腰三角形的性質，能熟記直角三角形斜邊上中線性質是解此題的關鍵，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．23．（2022秋?常州期末）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為D，CE⊥AB，垂足為E，F(xiàn)是AC的中點連接DF、EF．（1）求證：DF＝EF；（2）連接DE，若AC＝2，ED＝1．①判斷△DEF的形狀，并說明理由；②＝．【分析】（1）在Rt△AEC和Rt△ADC中用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可證DF＝EF；（2）①由（1）EF、DF求出長度都為1，由等邊三角形的定義即可證明；②利用等邊對等角、三角形內角和定理可求∠B＝60°，在用“直角三角形中30°所對的直角邊等于斜邊的一半”可求出比值．【解答】（1）證明：∵CE⊥AB，AD⊥BC，∴∠AEC＝90°，∠ADC＝90°，在Rt△AEC中，∠AEC＝90°，F(xiàn)是AC中點，∴，在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，F(xiàn)是AC中點，∴，∴EF＝DF；（2）解：①等邊三角形，理由如下：連接DE，由（1）知，，∵ED＝1，∴ED＝EF＝DF，∴△DEF是等邊三角形；②由（1）得EF＝AF，∴∠AEF＝∠EAF，同理可證：∠CDF＝∠DCF，∵△DEF是等邊三角形，∴∠BED+∠AEF＝120°，∠BDE+∠CDF＝120°，∴∠BED+∠EAF＝120°，∠BDE+∠DCF＝120°，∴∠BED+∠EAF+∠BDE+∠DCF＝240°，∵∠B+∠BED+∠BDE＝180°，∴∠BED+∠BDE＝180°﹣∠B，∵∠B+∠EAF+∠DCF＝180°，∵∠EAF+∠DCF＝180°﹣∠B，∴180°﹣∠B+180°﹣∠B＝240°，∴∠B＝60°，在Rt△ADB中，∠BAD＝30°，∴AB＝2BD，∴．故答案為：．【點評】本題主要考查三角形內角和定理、直角三角形的性質及等邊三角形的判定與性質，熟知以上知識是解題的關鍵．一．選擇題（共7小題）1．（2022春?清江浦區(qū)校級期中）如圖，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的中線，∠A＝20°，則∠BCD的度數(shù)是（）A．40° B．50° C．60° D．70°【分析】根據(jù)直角三角形的性質得CD＝，再由三角形的性質得到∠DCA＝∠A＝20°，再由∠BCA＝90°，即可得到答案．【解答】解：在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的中線，∴CD＝，∴∠DCA＝∠A＝20°，∴∠BCD＝90°﹣∠DCA＝70°，故選：D．【點評】本題考查了直角三角形的性質，掌握在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關鍵．2．（2021秋?惠山區(qū)校級月考）如圖，在Rt△ABC中，CE是斜邊AB上的中線，CD⊥AB，若CD＝5，CE＝6，則△ABC的面積是（）A．24 B．25 C．30 D．36【分析】利用在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半得到AB＝12，然后根據(jù)三角形面積公式計算．【解答】解：∵CE是斜邊AB上的中線，∴AB＝2CE＝2×6＝12，∴S△ABC＝×CD×AB＝×5×12＝30，故選：C．【點評】本題考查了直角三角形斜邊上的中線：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．（即直角三角形的外心位于斜邊的中點）3．（2022秋?玄武區(qū)校級月考）如圖，△ABC中∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，BC＝6，線段DE的兩個端點D、E分別在邊AC，BC上滑動，且DE＝4，若點M、N分別是DE、AB的中點，則MN的最小值為（）A．2 B．3 C．3.5 D．4【分析】根據(jù)三角形斜邊中線的性質求得CN＝AB＝5，CM＝＝2，由當C、M、N在同一直線上時，MN取最小值，即可求得MN的最小值為3．【解答】解：如圖，連接CM、CN，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，BC＝6，∵DE＝4，點M、N分別是DE、AB的中點，∴CN＝AB＝5，CM＝DE＝2，當C、M、N在同一直線上時，MN取最小值，∴MN的最小值為：5﹣2＝3．故選：B．【點評】本題考查了直角三角形斜邊中線的性質，明確C、M、N在同一直線上時，MN取最小值是解題的關鍵．4．（2022秋?宿城區(qū)期中）如圖所示，公路AC、BC互相垂直，點M為公路AB的中點，為測量湖泊兩側C、M兩點間的距離，若測得AB的長為6km，則M、C兩點間的距離為（）A．2.5km B．4.5km C．5km D．3km【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質得出CM＝AB，即可求出CM．【解答】解：∵公路AC，BC互相垂直，∴∠ACB＝90°，∵M為AB的中點，∴CM＝AB，∵AB＝6km，∴CM＝3km，即M，C兩點間的距離為3km，故選：D．【點評】本題考查了直角三角形斜邊上的中線，能熟記直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半是解此題的關鍵．5．（2022秋?工業(yè)園區(qū)校級期中）如圖∠ADB＝∠ACB＝90°，E、F分別是AB、CD的中點，若AB＝26，CD＝24，則△DEF的周長為（）A．12 B．30 C．27 D．32【分析】先根據(jù)直角三角形的性質求出DF與CF的長，再由等腰三角形的性質求出DE的長，根據(jù)勾股定理求出EF的長，進而可得出結論．【解答】解：∵ADB＝∠ACB＝90°，F(xiàn)是AB的中點，AB＝26，∴DF＝CF＝AB＝×26＝13，∴△CDF是等腰三角形．∵點E是CD的中點，CD＝24，∴EF⊥CD，DE＝CD＝12．在Rt△DEF中，DE＝＝＝5，∴△DEF的周長為：DF+DE+EF＝13+12+5＝30．故選：B．【點評】本題考查的是直角三角形斜邊上的中線，熟知在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關鍵．6．（2022秋?淮安區(qū)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜邊AB上的中線，若CD＝2.5，AB的長為（）A．2.5 B．4 C．5 D．6【分析】根據(jù)直角三角形的性質（直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半）解決此題．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜邊AB上的中線，∴CD＝．∴AB＝2CD＝2×2.5＝5．故選：C．【點評】本題主要考查直角三角形的性質，熟練掌握直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半是解決本題的關鍵．7．（2022秋?鼓樓區(qū)校級月考）如圖，木桿AB斜靠在墻壁上，P是AB的中點，當木桿的上端A沿墻壁NO豎直下滑時，木桿的底端B也隨之沿著射線OM方向滑動，則下滑過程中OP的長度變化情況是（）A．逐漸變大 B．不斷變小 C．不變 D．先變大再變小【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質，可得OP＝AB，即可解答．【解答】解：∵P是AB的中點，∠AOB＝90°，∴OP＝AB，∵木桿AB的長固定，∴OP的長度不變，故選：C．【點評】本題考查了直角三角形斜邊上的中線，熟練掌握直角三角形斜邊上的中線性質是解題的關鍵．二．填空題（共7小題）8．（2022秋?通州區(qū)校級月考）如圖，在△ABC中，若AB＝AC＝8，∠A＝30°，則S△ABC＝16．【分析】過點B作BD⊥AC于D，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質可得BD＝AB＝4，利用三角形的面積公式即可求解．【解答】解：過點B作BD⊥AC于D，∵AB＝AC＝8，∠A＝30°，∴BD＝AB＝4，∴S△ABC＝AC?BD＝×8×4＝16．故答案為：16．【點評】本題考查了含30°角的直角三角形的性質，掌握含30°角的直角三角形的性質是解題的關鍵．9．（2022秋?大豐區(qū)期中）如圖，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝4cm．以點A為圓心、AB長為半徑畫弧，交BC邊的延長線于點D，則AD長為8cm．【分析】利用含30°角的直角三角形的性質求得AB，利用同圓的半徑相等求得AD＝AB．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝4cm，∴AB＝2BC＝8cm．∵以點A為圓心，AB長為半徑畫弧，交BC邊的延長線于點D，∴AD＝AB＝8cm，故答案為：8．【點評】本題主要考查了含30°角的直角三角形的性質，同圓的半徑相等，正確利用上述性質解答是解題的關鍵．10．（2022秋?興化市月考）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AC＝8，則AB＝4．【分析】利用含30°角的直角三角形性質可求解．【解答】解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AC＝8，∴AB＝AC＝4，故答案為：4．【點評】本題主要考查含30°角的直角三角形的性質，掌握含30°角的直角三角形的性質是解題的關鍵．11．（2020秋?鹽都區(qū)月考）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，點D為AB中點，若AB＝10，則CD＝5．【分析】根據(jù)直角三角形的斜邊上的中線性質得出CD＝AB，再求出答案即可．【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，點D為AB中點，∴CD＝AB，∵AB＝10，∴CD＝5，故答案為：5．【點評】本題考查了直角三角形的斜邊上的中線性質，注意：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．12．（2021秋?沭陽縣期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，邊AB的垂直平分線DE交AB于點E，交BC于點D，CD＝1，則BC的長為3．【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質得出AD＝BD，求出∠CAD＝30°，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質得出AD＝2CD，求出AD即可．【解答】解：∵邊AB的垂直平分線DE交AB于點E，交BC于點D，∴AD＝BD，∴∠B＝∠DAB，∵∠B＝30°，∠C＝90°，∴∠CAB＝60°，∠DAB＝∠B＝30°，∴∠CAD＝60°﹣30°＝30°，∴AD＝2CD＝BD，∵CD＝1，∴BD＝2，∴BC＝1+2＝3，故答案為：3．【點評】本題考查了含30°角的直角三角形的性質，三角形的內角和定理，線段垂直平分線的性質，等腰三角形的性質等知識點，能根據(jù)定理求出AD＝BD和AD＝2CD是解此題的關鍵．13．（2022秋?玄武區(qū)校級期中）如圖∠MAN＝60°，若△ABC的頂點B在射線AM上，且AB＝6，動點C從點A出發(fā)，以每秒1個單位沿射線AN運動，當運動時間t是12或3秒秒時，△ABC是直角三角形．【分析】需要分類討論：∠ABC＝90°和∠ACB＝90°兩種情況解答．【解答】解：當∠ABC＝90°時，∠CAB＝∠MAN＝60°，則∠ACB＝90°﹣60°＝30°．∵AB＝6，∴AC＝2AB＝12．∴t＝12÷1＝12（秒）；當∠ACB＝90°時，∠CAB＝∠MAN＝60°，則∠ABC＝90°﹣60°＝30°．∵AB＝6，∴AC＝AB＝3．∴t＝3÷1＝3（秒）；綜上所述，當t＝12或3秒時，△ABC是直角三角形．故答案為：12或3秒．【點評】本題考查了三角形的內角和定理和含30°角的直角三角形的性質，能熟記含30°角的直角三角形的性質是解此題的關鍵．14．（2022秋?海安市期中）如圖，在△ABC中，∠B＝60°，點D在邊BC上，且AD＝AC，若AB＝6，CD＝4，則BD＝1．【分析】過點A作AE⊥BC于E，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質得出DE＝EC＝CD＝2．由含30度角的直角三角形的性質求出BE＝AB＝3，那么BD＝BE﹣DE＝1．【解答】解：如圖，過點A作AE⊥BC于E，又∵AD＝AC，CD＝4，∴DE＝EC＝CD＝2．在直角△ABE中，∵∠AEB＝90°，∠B＝60°，∴∠BAE＝90°﹣∠B＝30°，∴BE＝AB＝×6＝3，∴BD＝BE﹣DE＝3﹣2＝1．故答案為：1．【點評】本題考查了等腰三角形的性質，含30度角的直角三角形的性質，準確作出輔助線求出BE與DE是解題的關鍵．三．解答題（共7小題）15．（2022秋?揚州期中）如圖，在等邊△ABC中，點E在線段AB的延長線上，點D在直線BC上，且ED＝EC．若△ABC的邊長為1，AE＝3，求CD的長．【分析】過點E作EF⊥CD于點F，根據(jù)等邊三角形的性質及線段的和差推出BE＝2，∠ABC＝60°，根據(jù)直角三角形的性質得出∠BEF＝30°，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質推出BF＝BE＝1，根據(jù)等腰三角形的性質及線段的和差求解即可．【解答】解：過點E作EF⊥CD于點F，∵△ABC是等邊三角形，邊長為1，AE＝3，∴BE＝AE﹣AB＝2，∠ABC＝60°，∵EF⊥CD，∴∠EFB＝90°，∴∠BEF＝90°﹣60°＝30°，∴BF＝BE＝1，∴CF＝BF+BC＝2，∵ED＝EC，EF⊥CD，∴DF＝CF＝2，∴CD＝DF+CF＝4．【點評】此題考查了含30°角的直角三角形的性質，熟記含30°角的直角三角形的性質是解題的關鍵．16．（2022秋?泗陽縣期中）如圖，△ABC中，AD⊥BC，CE是△ABC的中線，DG垂直平分CE．（1）求證：CD＝AE；（2）若∠B＝50°，求∠BCE的度數(shù)．【分析】（1）由直角三角形斜邊上的中線可得DE＝AB＝BE＝AE，利用線段垂直平分線的性質可得DE＝DC，進而可證明結論；（2）由等腰三角形的性質及三角形外角的性質可得∠B＝∠EDB＝2∠BCE，即可求解．【解答】（1）證明：∵AD⊥BC，CE是△ABC的中線，∴DE＝AB＝BE＝AE，∵DG垂直平分CE，∴DE＝DC，∴CD＝AE；（2）解：∵DE＝DC，∴∠DEC＝∠BCE，∴∠EDB＝∠BCE+∠DEC＝2∠BCE，∵DE＝BE，∴∠B＝∠EDB，∴∠B＝2∠BCE，∵∠B＝50°，∴∠BCE＝25°．【點評】本題主要考查直角三角形斜邊上的中線，線段垂直平分線的性質，等腰三角形的性質，三角形外角的性質等知識的綜合運用，掌握相關的性質是解題的關鍵．17．（2022秋?淮陰區(qū)期中）如圖，在△ABC中，已知AB＝AC，AB的垂直平分線交AC于E，D為垂足，連接BE．（1）若∠ABC＝75°，求∠AED的度數(shù)；（2）若AB＝6cm，△BCE的周長是11cm，求BC的長度．【分析】（1）由等腰三角形的性質得出∠C＝∠ABC＝75°，再根據(jù)三角形內角和定理得出∠A的度數(shù)，由DE垂直平分AB，得出∠ADE＝90°，即可得出∠AED的度數(shù)；（2）由線段垂直平分線的性質可得EA＝EB，根據(jù)△BCE的周長是11cm可得BC+AC＝11cm，然后根據(jù)AB＝AC＝6cm可得BC的長度．【解答】（1）解：∵AB＝AC，∠ABC＝75°，∴∠C＝∠ABC＝75°，∴∠A＝180°﹣∠C﹣∠ABC＝180°﹣75°﹣75°＝30°，∵DE垂直平分AB，∴∠ADE＝90°，∴∠AED＝90°﹣∠A＝90°﹣30°＝60°；（2）解：∵DE垂直平分AB，∴EA＝EB，∴△BCE的周長為：BC+CE+BE＝BC+CE+AE＝BC+AC＝11cm，∵AB＝AC＝6cm，∴BC＝11﹣6＝5cm．【點評】本題考查了等腰三角形的性質，三角形內角和定理，線段垂直平分線的性質，熟知線段垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等是解題的關鍵．18．（2022秋?秦淮區(qū)校級月考）證明：直角三角形30°角所對的直角邊是斜邊的一半．【分析】由命題寫出已知，求證；延長BC到E，使BE＝AB，連接AE，證明△ABE是等邊三角形，應用等邊三角形的性質，即可解決問題．【解答】已知：如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°．求證：．證明：延長BC到E，使BE＝AB，連接AE，∵∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，∴∠B＝90°﹣30°＝60°，∴△ABE是等邊三角形，∵AC⊥BE，∴EC＝BC，∴BC＝BE，∴，∴直角三角形30°角所對的直角邊是斜邊的一半．【點評】本題考查含30°角的直角三角形的性質，關鍵是延長BC到E，使BE＝AB，連接AE，構造等邊三角形，注意寫出已知，求證．19．（2022秋?江都區(qū)校級月考）如圖，已知銳角△ABC中，CD、BE分別是AB、AC邊上的高，M、N分別是線段BC、DE的中點．（1）求證：MN⊥DE；（2）若∠ABC＝70°，∠ACB＝50°，連結DM、ME，求∠DME的度數(shù)；（3）猜想∠DME與∠A之間的關系，并證明你的猜想．【分析】（1）連接DM，ME，根據(jù)直角三角形的性質得到DM＝BC，ME＝BC，得到DM＝ME，根據(jù)等腰直角三角形的性質證明；（2）根據(jù)三角形內角和定理、等腰三角形性質、平角的定義求解即可；（3）根據(jù)三角形內角和定理、等腰三角形的性質求解即可．【解答】（1）證明：如圖，連接DM，ME，∵CD、BE分別是AB、AC邊上的高，M是BC的中點，∴DM＝BC，ME＝BC，∴DM＝ME，又∵N為DE中點，∴MN⊥DE；（2）解：在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∵∠ABC＝70°，∠ACB＝50°，∴180°﹣∠A＝120°，∵DM＝ME＝BM＝MC，∴∠BMD+∠CME＝（180°﹣2∠ABC）+（180°﹣2∠ACB）＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB）＝120°，∴∠DME＝180°﹣（∠BMD+∠CME）＝60°；（3）解：∠DME＝180°﹣2∠A，理由如下：在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∵DM＝ME＝BM＝MC，∴∠BMD+∠CME＝（180°﹣2∠ABC）+（180°﹣2∠ACB）＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB）＝360°﹣2（180°﹣∠A）＝2∠A，∴∠DME＝180°﹣2∠A．【點評】此題考查了直角三角形斜邊上的中線、等腰三角形的判定與性質，熟記直角三角形斜邊上的中線、等腰三角形的判定與性質是解題的關鍵．20．（2022秋?建鄴區(qū)校級期中）已知：如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°．求證：BC＝AB．【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半，可得CD＝BD＝AD，再證明△BCD是等邊三角形，即可證明結論．【解答】證明：作斜邊AB上的中線CD，則CD＝BD＝AD＝AB，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴BC＝AB．BC＝BD＝CD．∴△BCD是等邊三角形，∴BC＝CD＝AB．【點評】本題主要考查了含30度角的直角三角形，在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半．21．（2022秋?鼓樓區(qū)期中）證明命題：直角三角形30°角所對的邊是斜邊的一半，請寫已知，求證，并證明．已知：△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°；求證：BC＝AB；證明過程：延長BC到D，使CD＝BC，連接AD，∵∠C＝90°，∴AC⊥BD，∴AD＝AB，∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴∠B＝60°，∴△ADB是等邊三角形，∴BD＝AB，∵BC＝CD＝BD，∴BC＝AB．．【分析】延長BC到D，使CD＝BC，連接AD，求出△ADB是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質得出BD＝AB，即可得出答案．【解答】已知：△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，求證：BC＝AB，證明：延長BC到D，使CD＝BC，連接AD，∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BD，∴AD＝AB，∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴∠B＝60°，∴△ADB是等邊三角形，∴BD＝AB，∵BC＝CD＝BD，∴BC＝AB，故答案為：△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°；BC＝AB；延長BC到D，使CD＝BC，∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BD，∴AD＝AB，∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴∠B＝60°，∴△ADB是等邊三角形，∴BD＝AB，∵BC＝CD＝BD，∴BC＝AB．【點評】本題考查了含30°角的直角三角形的性質和等邊三角形的性質和判定，能正確作出輔助線是解此題的關鍵．一．選擇題1．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°．首先以頂點B為圓心、適當長為半徑作弧，在邊BC、BA上截取BE、BD；然后分別以點D、E為圓心、以大于的長為半徑作弧，兩弧在∠CBA內交于點F；作射線BF交AC于點G．若BG＝1，P為邊AB上一動點，則GP的最小值為（）A．無法確定 B． C．1 D．2【分析】利用三角形的面積公式求出GC，再根據(jù)角平分線的性質定理以及垂線段最短解決問題即可．【解答】解：由尺規(guī)作圖步驟可得，BG平分∠ABC，∵∠C＝90°，∠B＝60°，∴∠CBG＝∠ABG＝30°，∴CGBG，∴點G到AB的距離等于GC，∴GP的最小值為，故選：B．【點評】本題考查作圖﹣基本作圖，垂線段最短，角平分線的性質定理等知識，解題的關鍵是讀懂圖象信息，屬于中考?？碱}型．2．如圖，在△ABC中，∠B＝60°，點D在邊BC上，且AD＝AC，若AB＝6，CD＝4，則BD的長為（）A．3 B．2.5 C．2 D．1【分析】過點A作AE⊥BC于E，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質得出DE＝ECCD＝2．由含30度角的直角三角形的性質求出BEAB＝3，那么BD＝BE﹣DE＝1．【解答】解：如圖，過點A作AE⊥BC于E，又∵AD＝AC，CD＝4，∴DE＝ECCD＝2．在直角△ABE中，∵∠AEB＝90°，∠B＝60°，∴∠BAE＝90°﹣∠B＝30°，∴BEAB6＝3，∴BD＝BE﹣DE＝3﹣2＝1．故選：D．【點評】本題考查了等腰三角形的性質，含30度角的直角三角形的性質，準確作出輔助線求出BE與DE是解題的關鍵．3．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC交邊AC于點D，E為BD的中點，若BC＝2，則CE的長為（）A． B．2 C． D．3【分析】由角平分線的性質推出∠CBD＝∠DBA＝30°，然后在Rt△BCD中，CEBD，即可求出CE的長度．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∴∠A＝30°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠DBA＝30°，∵BC＝2，∴CD＝2∴BD＝2CD＝4，∵E點是BD的中點，∴CEBD＝2．故選：B．【點評】本題主要考查角平分線的性質、30度直角三角形的性質、直角三角形斜邊上的中線的性質，熟練掌握直角三角形的性質是解題的關鍵．4．如圖，已知∠AOB＝60°，點P在邊OA上，OP＝10，點M、N在邊OB上，PM＝PN，若MN＝2，則OM＝（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】作PH⊥MN于H，根據(jù)等腰三角形的性質求出MH，根據(jù)直角三角形的性質求出OH，計算即可．【解答】解：作PH⊥MN于H，∵PM＝PN，∴MH＝NHMN＝1，∵∠AOB＝60°，∴∠OPH＝30°，∴OHOP＝5，∴OM＝OH﹣MH＝4，故選：B．【點評】本題考查的是直角三角形的性質、等腰三角形的性質，掌握直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半是解題的關鍵．5．如圖，已知∠ACB＝60°，PC＝12，點M，N在邊CB上，PM＝PN．若MN＝3，則CM的長為（）A．3 B．3.5 C．4 D．4.5【分析】首先過點P作PD⊥CB于點D，利用直角三角形中30°所對邊等于斜邊的一半得出CD的長，再利用等腰三角形的性質求出CM的長．【解答】解：過點P作PD⊥CB于點D，∵∠ACB＝60°，PD⊥CB，PC＝12，∴DC＝6，∵PM＝PN，MN＝3，PD⊥OB，∴MD＝ND＝1.5，∴CM＝6﹣1.5＝4.5．故選：D．【點評】此題主要考查了直角三角形中30°所對邊等于斜邊的一半得出CD的長以及等腰三角形的性質，得出CD的長是解題關鍵．6．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點E是AC邊上的動點（點E與點C、A不重合），設點M為線段BE的中點，過點E作EF⊥AB，垂足為點F，連接MC、MF．若∠CBA＝50°，則在點E運動過程中∠CMF的大小為（）A．80° B．100° C．130° D．發(fā)生變化，無法確定【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到MC＝MB＝ME，MF＝MB＝ME，得到MB＝MC＝ME＝MF，證明結論，于是得到結論．【解答】解：∵∠ACB＝90°，點M為線段BE的中點，∴MC＝BF，即MC＝MB＝ME，∵EF⊥AB，點M為線段BE的中點，∴MF＝BF，即MF＝MB＝ME，∴MB＝MC＝ME＝MF，∴點B、C、E、F在以點M為圓心的同一個圓上；∴∠CMF＝2∠CBA＝100°，故選：B．【點評】本題考查的是直角三角形的性質，掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關鍵．7．如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜邊AB上的高，AD＝3，則BD的長是（）A．12 B．9 C．6 D．3【分析】根據(jù)三角形的內角和求出∠A，根據(jù)余角的定義求出∠ACD，根據(jù)含30度角的直角三角形性質求出AC＝2AD，AB＝2AC，求出AB即可．【解答】解：∵CD⊥AB，∠ACB＝90°，∴∠ADC＝90°＝∠ACB，∵∠B＝30°，∴∠A＝90°﹣∠B＝60°，∴∠ACD＝90°﹣∠A＝30°，∵AD＝3，∴AC＝2AD＝6，∴AB＝2AC＝12，∴BD＝AB﹣AD＝12﹣3＝9，故選：B．【點評】本題主要考查的是含30度角的直角三角形性質和三角形內角和定理的應用，關鍵是求出AC＝2AD，AB＝2AC．8．如圖，公路AC、BC互相垂直，公路AB的中點M與點C被湖隔開，若測得AB的長為3.6km，則M、C兩點間的距離為（）A．1.8km B．3.6km C．3km D．2km【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半可求解．【解答】解：∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，∵M點是AB的中點，AB＝3.6km，∴CMAB＝1.8km．故選：A．【點評】本題主要考查直角三角形斜邊上的中線，掌握直角三角形斜邊上的中線的性質是解題的關鍵．二．填空題9．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D是AB的中點，過點D作DE⊥BC，垂足為點E，連接CD，若CD＝5，BE＝4，則AC＝．【分析】由直角三角形的性質得出AB＝10，由三角形中位線定理得出BC＝2BE＝8，由勾股定理求出AC＝6．【解答】解：∵∠ACB＝90°，DE⊥BC，∴DE∥AC，∵點D是AB的中點，∴E是BC的中點，AB＝2CD＝10，∴BC＝2BE＝8，∴AC6，故答案為6．【點評】本題考查了三角形中位線定理，直角三角形的性質，勾股定理，熟練掌握三角形中位線定理是解題的關鍵．10．一副三角板按如圖所示的位置擺放，△BDE的直角邊BD恰好經(jīng)過Rt△ABC斜邊AC的中點M，BE交AC于點F，則∠BFM＝°．【分析】由直角三角形的性質得出AB＝10，由三角形中位線定理得出BC＝2BE＝8，由勾股定理求出AC＝6．【解答】解：∵∠ACB＝90°，DE⊥BC，∴DE∥AC，∵點D是AB的中點，∴E是BC的中點，AB＝2CD＝10，∴BC＝2BE＝8，∴AC6，故答案為6．【點評】本題考查了三角形中位線定理，直角三角形的性質，勾股定理，熟練掌握三角形中位線定理是解題的關鍵．11．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D是AB的中點，CD＝6，則AB＝．【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半可求解．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D是AB的中點，CD＝6，∴AB＝2CD＝12．故答案為：12．【點評】本題主要考查直角三角形斜邊上的中線，掌握直角三角形斜邊上的中線的性質是解題的關鍵．12．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝12．若AB的垂直平分線交BC于點M，交AB于點E，AC的垂直平分線交BC于點N，交AC于點F，則MN＝．【分析】連接AM、AN，由等腰三角形的性質得∠B＝∠C＝30°，再由線段垂直平分線的性質得BM＝AM，CN＝AN，然后由等腰三角形的在得∠MAB＝∠B＝30°，∠NAC＝∠C＝30°，證△AMN是等邊三角形，得MN＝AM＝AN，則MN＝BM＝CN，即可求解．【解答】解：連接A