蘇科版2025年新八年級(jí)數(shù)學(xué)暑假銜接講義第2部分-預(yù)習(xí)-第14講實(shí)數(shù)(學(xué)生版+解析)

/第14講實(shí)數(shù)模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過(guò)關(guān)測(cè)1．了解實(shí)數(shù)的概念，知道無(wú)理數(shù)是客觀存在的；2．知道實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)；3.會(huì)用計(jì)算器比較實(shí)數(shù)的大小，進(jìn)行簡(jiǎn)單的實(shí)數(shù)的運(yùn)算。1.（1）如圖，試著就算，你能說(shuō)出的值嗎？（2）你可以畫(huà)出長(zhǎng)度為的線段嗎？要去想，所以構(gòu)造以1cm、3cm為直角邊的是直角三角形即可；求一下后面兩個(gè)數(shù)。（3）可以畫(huà)出半徑為1cm的圓，求出它的周長(zhǎng)和面積嗎？周長(zhǎng)為2Πcm；面積為Πcm2。因此，想上面含有根號(hào)、含有Π的數(shù)都是無(wú)理數(shù)。有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為實(shí)數(shù)。無(wú)理數(shù)也可以在數(shù)軸上面表示出來(lái)。如圖A表示的數(shù)為每一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來(lái)表示；反過(guò)來(lái)，數(shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)都表示一個(gè)實(shí)數(shù)。實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)。2.（1）實(shí)數(shù)a的相反數(shù)是-a；（2）一個(gè)正實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是是本身，一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，0的絕對(duì)值是0；（3）乘積為1的兩個(gè)實(shí)數(shù)互為倒數(shù)。3.有理數(shù)的絕對(duì)值、相反數(shù)、倒數(shù)的意義，有理數(shù)大小比較的方法，有理數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、運(yùn)算律，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)都仍然適用。在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，不僅可以進(jìn)行加、減、乘、除、乘方運(yùn)算，而且可以進(jìn)行開(kāi)立方運(yùn)算以及非負(fù)實(shí)數(shù)的開(kāi)立方運(yùn)算。4.實(shí)數(shù)的大小比較：任意兩個(gè)實(shí)數(shù)都可以比較大小，正實(shí)數(shù)大于0，負(fù)實(shí)數(shù)小于0，正實(shí)數(shù)大于一切負(fù)實(shí)數(shù)，兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)中絕對(duì)值大的反而小。5.比較大?。?）（2）平方法：倒數(shù)法：考點(diǎn)一：實(shí)數(shù)的概念例1．實(shí)數(shù)的倒數(shù)是（

）A． B． C． D．2【變式1-1】下列命題中是真命題的是（

）A．實(shí)數(shù)包括正實(shí)數(shù)和負(fù)實(shí)數(shù) B．?dāng)?shù)軸上的點(diǎn)與有理數(shù)一一對(duì)應(yīng)C．兩邊及其中一邊對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等 D．若兩個(gè)三角形全等，則對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角是對(duì)【變式1-2】判斷正誤，在后面的括號(hào)里對(duì)的填寫(xiě)“正確”，錯(cuò)的填寫(xiě)“錯(cuò)誤”，并說(shuō)明理由．(1)無(wú)理數(shù)都是開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)．()(2)無(wú)理數(shù)都是無(wú)限小數(shù)．()(3)無(wú)限小數(shù)都是無(wú)理數(shù)．()(4)無(wú)理數(shù)包括正無(wú)理數(shù)、零、負(fù)無(wú)理數(shù)．()(5)不帶根號(hào)的數(shù)都是有理數(shù)．()(6)帶根號(hào)的數(shù)都是無(wú)理數(shù)．()(7)有理數(shù)都是有限小數(shù)．()(8)實(shí)數(shù)包括有限小數(shù)和無(wú)限小數(shù)．()【變式1-3】把下列實(shí)數(shù)表示在如圖所示的數(shù)軸上，并比較它們的大?。ㄓ谩?lt;”連接），，0，，，．考點(diǎn)二：實(shí)數(shù)的分類(lèi)例2．下列說(shuō)法正確的是（

）A．無(wú)理數(shù)是無(wú)限小數(shù)，無(wú)限小數(shù)是無(wú)理數(shù) B．是無(wú)理數(shù)C．實(shí)數(shù)包括正實(shí)數(shù)和負(fù)實(shí)數(shù) D．帶根號(hào)的數(shù)都是無(wú)理數(shù)【變式2-1】如圖，正方形M的邊長(zhǎng)為m，正方形N的邊長(zhǎng)為n，若兩個(gè)正方形的面積分別為9和5，則下列關(guān)于m和n的說(shuō)法，正確的是（

）A．m為有理數(shù)，n為無(wú)理數(shù) B．m為無(wú)理數(shù)，n為有理數(shù)C．m，n都為有理數(shù) D．m，n都為無(wú)理數(shù)【變式2-2】在下列數(shù)中：①π，②，③，④1.7，⑤，⑥0，⑦1.1010010001…（每?jī)蓚€(gè)1之間依次多一個(gè)0），⑧．非負(fù)整數(shù)有；無(wú)理數(shù)有．（填寫(xiě)序號(hào)）【變式2-3】已知的立方根是，的算術(shù)平方根是1．(1)求a，b的值．(2)若，且是整數(shù)，求的平方根．考點(diǎn)三：實(shí)數(shù)的大小比較例3.比大，比小的整數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【變式3-1】如圖，實(shí)數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為5．下列各數(shù)中，與最接近的是（

）A． B． C． D．【變式3-2】比較大小：9（填“”，“”或“”）．【變式3-3】計(jì)算：(1)(2)考點(diǎn)四：無(wú)理數(shù)的估算例4．已知，則估計(jì)a的值應(yīng)在（

）A．之間 B．之間 C．之間 D．之間【變式4-1】點(diǎn)在數(shù)軸上的位置如圖所示，這四個(gè)點(diǎn)中有一個(gè)點(diǎn)表示實(shí)數(shù)，這個(gè)點(diǎn)是（

）A．M B．N C．P D．Q【變式4-2】已知，則整數(shù)n的值是．【變式4-3】運(yùn)行程序如圖所示，從“輸入實(shí)數(shù)x”到“結(jié)果是否”為一次程序操作．

(1)若輸入后程序操作僅進(jìn)行了一次就輸出結(jié)果，求a的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，輸入x后程序操作進(jìn)行了兩次輸出結(jié)果，求x的取值范圍；考點(diǎn)五：實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算例5．下列計(jì)算正確的是（

）A． B．C． D．【變式5-1】下列運(yùn)算一定正確的是（

）A． B．C． D．【變式5-2】計(jì)算：．【變式5-3】計(jì)算：(1)(2)考點(diǎn)六：程序下的運(yùn)算例6.有一個(gè)數(shù)值轉(zhuǎn)換器，原理如圖所示，當(dāng)輸入的的值為時(shí)，輸出的值是（

）

A． B． C． D．【變式6-1】按如圖所示的程序計(jì)算，若開(kāi)始輸入的n值為，則最后輸出的結(jié)果是（

）A．24 B． C．25 D．【變式6-2】按如圖所示的程序計(jì)算，若開(kāi)始輸入的值為25，則最后輸出的y值是．【變式6-3】如圖1，有一個(gè)底面積為，高為的圓柱魔方，現(xiàn)打算把它放進(jìn)一個(gè)如圖2的底面正方形邊長(zhǎng)為，高為的長(zhǎng)方體的盒子里．(1)這個(gè)魔方底面圓的直徑是多少？(2)它能放進(jìn)去嗎？為什么？1．下列各數(shù)中，最小的數(shù)是（

）A． B． C．2 D．2．公元前年，古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的希伯索斯發(fā)現(xiàn)了邊長(zhǎng)為的正方形的對(duì)角線長(zhǎng)不能用有理數(shù)表示，為了紀(jì)念他，人們把這些數(shù)取名為無(wú)理數(shù)．下列各數(shù)中，屬于無(wú)理數(shù)的是（

）A． B． C． D．3．如圖，在數(shù)軸上與表示的點(diǎn)距離最近的點(diǎn)是（

）A．A點(diǎn) B．B點(diǎn) C．C點(diǎn) D．D點(diǎn)4．我們定義：若一個(gè)三角形的兩個(gè)內(nèi)角與，滿(mǎn)足，則這樣的三角形稱(chēng)為“奇妙互余三角形”．已知是“奇妙互余三角形”，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．5．已知三角形的兩邊長(zhǎng)分別為，第三邊長(zhǎng)為，若為整數(shù)，則的值不可能為（

）A．1 B．2 C．3 D．46．用※定義一種新運(yùn)算：對(duì)于任意實(shí)數(shù)和，規(guī)定，如：．則的結(jié)果是（

）A．9 B．11 C．13 D．157．如果，表示的整數(shù)部分，則（）A． B． C． D．8．觀察下列等式：，，，…將以上等式相加得到．用上述方法計(jì)算：其結(jié)果為（）A． B． C． D．9．在實(shí)數(shù)，，，中，最小的無(wú)理數(shù)是．10．、為兩個(gè)連續(xù)的整數(shù)，，則．11．寫(xiě)出比大且比小的整數(shù)是．12．用“@”表示一種新運(yùn)算；對(duì)于任意正實(shí)數(shù)a，b，都有，如，則的結(jié)果是．13．已知，則的整數(shù)部分為．14．已知是的整數(shù)部分，，其中是整數(shù)，且，那么以為兩邊的直角三角形的第三邊的長(zhǎng)度是．15．把下列各數(shù)填入相應(yīng)的大括號(hào)內(nèi)：有理數(shù)集合：；無(wú)理數(shù)集合：；正實(shí)數(shù)集合：；負(fù)實(shí)數(shù)集合：．16．把下列各數(shù)填在相應(yīng)的大括號(hào)里：，，0，，2013，，，0.010010001（相鄰兩個(gè)1之間0的個(gè)數(shù)逐次加1），，整數(shù)集合{

}；非負(fù)數(shù)集合{

}；分?jǐn)?shù)集合{

}；無(wú)理數(shù)集合{

}．17．【閱讀理解】的整數(shù)部分是2，則的小數(shù)部分可以表示為．【問(wèn)題解決】(1)若，且是整數(shù)，求的值；(2)已知的小數(shù)部分是，的小數(shù)部分是，且，求的值．18．我們知道，任意一個(gè)有理數(shù)與無(wú)理數(shù)的和為無(wú)理數(shù)，任意一個(gè)不為零的有理數(shù)與一個(gè)無(wú)理數(shù)的積為無(wú)理數(shù)，而零與無(wú)理數(shù)的積為零，由此可得：如果，其中m，n為有理數(shù)，x為無(wú)理數(shù)，那么，，運(yùn)用上述知識(shí)解決下列問(wèn)題：(1)若m，n為有理數(shù)，且，求m，n的值；(2)若m，n為有理數(shù)，且，求的立方根；(3)若m，n為有理數(shù)，且，則______．

第14講實(shí)數(shù)模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過(guò)關(guān)測(cè)1．了解實(shí)數(shù)的概念，知道無(wú)理數(shù)是客觀存在的；2．知道實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)；3.會(huì)用計(jì)算器比較實(shí)數(shù)的大小，進(jìn)行簡(jiǎn)單的實(shí)數(shù)的運(yùn)算。1.（1）如圖，試著就算，你能說(shuō)出的值嗎？（2）你可以畫(huà)出長(zhǎng)度為的線段嗎？要去想，所以構(gòu)造以1cm、3cm為直角邊的是直角三角形即可；求一下后面兩個(gè)數(shù)。（3）可以畫(huà)出半徑為1cm的圓，求出它的周長(zhǎng)和面積嗎？周長(zhǎng)為2Πcm；面積為Πcm2。因此，想上面含有根號(hào)、含有Π的數(shù)都是無(wú)理數(shù)。有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為實(shí)數(shù)。無(wú)理數(shù)也可以在數(shù)軸上面表示出來(lái)。如圖A表示的數(shù)為每一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來(lái)表示；反過(guò)來(lái)，數(shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)都表示一個(gè)實(shí)數(shù)。實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)。2.（1）實(shí)數(shù)a的相反數(shù)是-a；（2）一個(gè)正實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是是本身，一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，0的絕對(duì)值是0；（3）乘積為1的兩個(gè)實(shí)數(shù)互為倒數(shù)。3.有理數(shù)的絕對(duì)值、相反數(shù)、倒數(shù)的意義，有理數(shù)大小比較的方法，有理數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、運(yùn)算律，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)都仍然適用。在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，不僅可以進(jìn)行加、減、乘、除、乘方運(yùn)算，而且可以進(jìn)行開(kāi)立方運(yùn)算以及非負(fù)實(shí)數(shù)的開(kāi)立方運(yùn)算。4.實(shí)數(shù)的大小比較：任意兩個(gè)實(shí)數(shù)都可以比較大小，正實(shí)數(shù)大于0，負(fù)實(shí)數(shù)小于0，正實(shí)數(shù)大于一切負(fù)實(shí)數(shù)，兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)中絕對(duì)值大的反而小。5.比較大?。?）（2）平方法：倒數(shù)法：考點(diǎn)一：實(shí)數(shù)的概念例1．實(shí)數(shù)的倒數(shù)是（

）A． B． C． D．2【答案】C【分析】本題主要考查實(shí)數(shù)與倒數(shù)的定義，熟練掌握倒數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)倒數(shù)的定義可直接進(jìn)行求解．【詳解】解：∵∴實(shí)數(shù)的倒數(shù)是，故選：C．【變式1-1】下列命題中是真命題的是（

）A．實(shí)數(shù)包括正實(shí)數(shù)和負(fù)實(shí)數(shù) B．?dāng)?shù)軸上的點(diǎn)與有理數(shù)一一對(duì)應(yīng)C．兩邊及其中一邊對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等 D．若兩個(gè)三角形全等，則對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角是對(duì)應(yīng)角【答案】D【分析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是判斷命題的真假、實(shí)數(shù)的定義、數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)的關(guān)系、全等三角形的性質(zhì)與判定，解題關(guān)鍵是能夠根據(jù)實(shí)數(shù)的定義、數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)的關(guān)系、全等三角形的性質(zhì)與判定判斷命題真假．根據(jù)實(shí)數(shù)的定義可得A選項(xiàng)錯(cuò)誤，根據(jù)數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)的關(guān)系可得B選項(xiàng)錯(cuò)誤，根據(jù)全等三角形的判定可得C選項(xiàng)錯(cuò)誤，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得D選項(xiàng)正確．【詳解】A選項(xiàng)，實(shí)數(shù)包括正實(shí)數(shù)、零和負(fù)實(shí)數(shù)，故原命題錯(cuò)誤，是假命題，不符合題意，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)一一對(duì)應(yīng)，實(shí)數(shù)包括有理數(shù)和無(wú)理數(shù)，故原命題錯(cuò)誤，是假命題，不符合題意，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，兩邊及其中一邊對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等，故原命題錯(cuò)誤，是假命題，不符合題意，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，若兩個(gè)三角形全等，則對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角是對(duì)應(yīng)角，故原命題正確，是真命題，符合題意，D選項(xiàng)正確．故選：D．【變式1-2】判斷正誤，在后面的括號(hào)里對(duì)的填寫(xiě)“正確”，錯(cuò)的填寫(xiě)“錯(cuò)誤”，并說(shuō)明理由．(1)無(wú)理數(shù)都是開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)．()(2)無(wú)理數(shù)都是無(wú)限小數(shù)．()(3)無(wú)限小數(shù)都是無(wú)理數(shù)．()(4)無(wú)理數(shù)包括正無(wú)理數(shù)、零、負(fù)無(wú)理數(shù)．()(5)不帶根號(hào)的數(shù)都是有理數(shù)．()(6)帶根號(hào)的數(shù)都是無(wú)理數(shù)．()(7)有理數(shù)都是有限小數(shù)．()(8)實(shí)數(shù)包括有限小數(shù)和無(wú)限小數(shù)．()【答案】錯(cuò)誤正確錯(cuò)誤錯(cuò)誤錯(cuò)誤錯(cuò)誤錯(cuò)誤正確【分析】根據(jù)有理數(shù)，無(wú)理數(shù)，實(shí)數(shù)的概念逐項(xiàng)判斷即可【詳解】(1)(錯(cuò)誤)無(wú)理數(shù)不只是開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)，還有，1．020020002…這類(lèi)的數(shù)也是無(wú)理數(shù)；故答案為：錯(cuò)誤．(2)(正確)無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，是屬于無(wú)限小數(shù)范圍內(nèi)的數(shù)；故答案為：正確．(3)(錯(cuò)誤)無(wú)限小數(shù)包括無(wú)限循環(huán)小數(shù)和無(wú)限不循環(huán)小數(shù)兩類(lèi)數(shù)，其中無(wú)限不循環(huán)小數(shù)才是無(wú)理數(shù)；故答案為：錯(cuò)誤．(4)(錯(cuò)誤)0是有理數(shù)；故答案為：錯(cuò)誤．(5)(錯(cuò)誤)如，雖然不帶根號(hào)，但它是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，所以是無(wú)理數(shù)；故答案為：錯(cuò)誤．(6)(錯(cuò)誤)如，雖然帶根號(hào)，但＝9，這是有理數(shù)；故答案為：錯(cuò)誤．(7)(錯(cuò)誤)有理數(shù)還包括無(wú)限循環(huán)小數(shù)；故答案為：錯(cuò)誤．(8)(正確)有理數(shù)可以用有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)表示，無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，所以

實(shí)數(shù)可以用有限小數(shù)和無(wú)限小數(shù)表示；故答案為：正確．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)，無(wú)理數(shù)，實(shí)數(shù)的概念，理解概念是解題的關(guān)鍵．【變式1-3】把下列實(shí)數(shù)表示在如圖所示的數(shù)軸上，并比較它們的大?。ㄓ谩?lt;”連接），，0，，，．【答案】數(shù)軸表示見(jiàn)解析，【分析】本題主要考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，立方根，實(shí)數(shù)大小的比較，解題的關(guān)鍵是熟練掌握數(shù)軸上點(diǎn)的特點(diǎn)．首先求出，，然后根據(jù)數(shù)軸的特點(diǎn)，將各個(gè)點(diǎn)表示在數(shù)軸上，利用數(shù)軸比較大小即可．【詳解】解：，，用“”連接為：．考點(diǎn)二：實(shí)數(shù)的分類(lèi)例2．下列說(shuō)法正確的是（

）A．無(wú)理數(shù)是無(wú)限小數(shù)，無(wú)限小數(shù)是無(wú)理數(shù) B．是無(wú)理數(shù)C．實(shí)數(shù)包括正實(shí)數(shù)和負(fù)實(shí)數(shù) D．帶根號(hào)的數(shù)都是無(wú)理數(shù)【答案】B【分析】本題主要考查了實(shí)數(shù)的分類(lèi)以及無(wú)理數(shù)的定義，根據(jù)實(shí)數(shù)的分類(lèi)以及無(wú)理數(shù)的定義一一判斷即可．【詳解】解：A．無(wú)限不循環(huán)小數(shù)都是無(wú)理數(shù)，原說(shuō)法錯(cuò)誤，故該選項(xiàng)不符合題意；B．是無(wú)理數(shù)，正確，故該選項(xiàng)符合題意；C．實(shí)數(shù)分為正實(shí)數(shù)．負(fù)實(shí)數(shù)和零，原說(shuō)法錯(cuò)誤，故該選項(xiàng)不符合題意；D．帶根號(hào)的數(shù)不一定都是無(wú)理數(shù)，例如，，2是有理數(shù)，原說(shuō)法錯(cuò)誤，故該選項(xiàng)不符合題意；故選：B．【變式2-1】如圖，正方形M的邊長(zhǎng)為m，正方形N的邊長(zhǎng)為n，若兩個(gè)正方形的面積分別為9和5，則下列關(guān)于m和n的說(shuō)法，正確的是（

）A．m為有理數(shù)，n為無(wú)理數(shù) B．m為無(wú)理數(shù)，n為有理數(shù)C．m，n都為有理數(shù) D．m，n都為無(wú)理數(shù)【答案】A【分析】本題考查算術(shù)平方根、實(shí)數(shù)的分類(lèi)，先根據(jù)正方形面積公式求得邊長(zhǎng)m、n，再根據(jù)實(shí)數(shù)的分類(lèi)判斷即可．【詳解】解：由題意，，，∴，，∴m為有理數(shù)，n為無(wú)理數(shù)，故選：A．【變式2-2】在下列數(shù)中：①π，②，③，④1.7，⑤，⑥0，⑦1.1010010001…（每?jī)蓚€(gè)1之間依次多一個(gè)0），⑧．非負(fù)整數(shù)有；無(wú)理數(shù)有．（填寫(xiě)序號(hào)）【答案】⑥⑧①⑤⑦【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)的分類(lèi)及定義即可求得答案．本題考查實(shí)數(shù)的分類(lèi)及定義，無(wú)理數(shù)是指無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，大于等于0的整數(shù)為非負(fù)整數(shù)；必須熟練掌握．【詳解】解：，非負(fù)整數(shù)有⑥⑧；無(wú)理數(shù)有①⑤⑦；故答案為：⑥⑧；①⑤⑦．【變式2-3】已知的立方根是，的算術(shù)平方根是1．(1)求a，b的值．(2)若，且是整數(shù)，求的平方根．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了立方根、算術(shù)平方根的定義以及無(wú)理數(shù)的估算，熟練掌握基本知識(shí)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)立方根和算術(shù)平方根的定義即可求出a，b的值；（2）根據(jù)無(wú)理數(shù)的估算求出c的值，再代入求值即可．【詳解】（1）解：由題意得，解得：；（2），，由（1）得，，.的平方根是，的平方根是．考點(diǎn)三：實(shí)數(shù)的大小比較例3.比大，比小的整數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】本題考查的是估算無(wú)理數(shù)的大小，分別估算出和的取值范圍即可．【詳解】解：，，比大，比小的整數(shù)是2．故選：B．【變式3-1】如圖，實(shí)數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為5．下列各數(shù)中，與最接近的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，得到，，繼而得到，解答即可．本題考查了絕對(duì)值，實(shí)數(shù)大小比較，熟練掌握兩點(diǎn)間距離越小，兩個(gè)數(shù)越靠近是解題的關(guān)鍵．【詳解】根據(jù)題意，得到，因?yàn)樗运栽谥g，所以所以數(shù)軸上表示數(shù)m與的距離小于表示數(shù)m與的距離，即數(shù)m與?

最接近，故選A．【變式3-2】比較大?。?（填“”，“”或“”）．【答案】【分析】本題主要考查實(shí)數(shù)的大小比較，先求出兩個(gè)實(shí)數(shù)的平方是關(guān)鍵．先求兩個(gè)數(shù)的平方，進(jìn)而即可比較大?。驹斀狻拷猓骸撸?，，∴，故答案為：．【變式3-3】計(jì)算：(1)(2)【答案】(1)8(2)6【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．（1）先計(jì)算算術(shù)平方根、立方根和絕對(duì)值，再計(jì)算加減即可；（2）先算乘方、絕對(duì)值、算術(shù)平方根和去括號(hào)，再計(jì)算加減即可．【詳解】（1）原式；（2）原式．考點(diǎn)四：無(wú)理數(shù)的估算例4．已知，則估計(jì)a的值應(yīng)在（

）A．之間 B．之間 C．之間 D．之間【答案】C【分析】此題考查了估算無(wú)理數(shù)的大小，熟練掌握估算的方法是解本題的關(guān)鍵．先估算出的范圍，再估算出的范圍即可求解．【詳解】解：，即，，a的值應(yīng)在之間，故選：C．【變式4-1】點(diǎn)在數(shù)軸上的位置如圖所示，這四個(gè)點(diǎn)中有一個(gè)點(diǎn)表示實(shí)數(shù)，這個(gè)點(diǎn)是（

）A．M B．N C．P D．Q【答案】C【分析】本題主要考查實(shí)數(shù)與數(shù)軸的一一對(duì)應(yīng)，無(wú)理數(shù)的估算，掌握無(wú)理數(shù)的估算方法是解題的關(guān)鍵．根據(jù)無(wú)理數(shù)的估算，先確定的范圍，再根據(jù)數(shù)軸與實(shí)數(shù)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系即可求解．【詳解】解：∵，∴，∴，由數(shù)軸可知，只有點(diǎn)的取值范圍在1和2之間，故選：C．【變式4-2】已知，則整數(shù)n的值是．【答案】7【分析】本題考查了無(wú)理數(shù)的估算，估算出的大小即可求解．【詳解】解：，，即，故；故答案為：7．【變式4-3】運(yùn)行程序如圖所示，從“輸入實(shí)數(shù)x”到“結(jié)果是否”為一次程序操作．

(1)若輸入后程序操作僅進(jìn)行了一次就輸出結(jié)果，求a的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，輸入x后程序操作進(jìn)行了兩次輸出結(jié)果，求x的取值范圍；【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)進(jìn)行了一次運(yùn)算，列出不等式，解之即可；（2）根據(jù)運(yùn)行了兩次，可得第一次沒(méi)有停止，第二次停止，分別列出不等式，解之即可．【詳解】（1）解：由題意可列不等式為，解得：；（2）當(dāng)時(shí)，第一次沒(méi)有停止，則可列式為：，解得：，則第二次輸入的值為，第二次停止了，輸出結(jié)果，則可列式為，解得：，故的取值范圍為．【點(diǎn)睛】本題考查一元一次不等式（組）的應(yīng)用，通過(guò)給出的操作過(guò)程來(lái)列一元一次不等式并求出對(duì)應(yīng)的解．考點(diǎn)五：實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算例5．下列計(jì)算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，算術(shù)平方根以及立方根；根據(jù)實(shí)數(shù)的性質(zhì)以及實(shí)數(shù)的加減，算術(shù)平方根，立方根進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】解：A.，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；

B.，故該選項(xiàng)正確，符合題意；C.，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；

D.，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；故選：B．【變式5-1】下列運(yùn)算一定正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，算術(shù)平方根，立方根，根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則，進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】解：A.，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；

B.，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；C.，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；

D.，故該選項(xiàng)正確，符合題意；故選：D．【變式5-2】計(jì)算：．【答案】1【分析】此題主要考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，計(jì)算負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，零次冪，以及平方運(yùn)算，最后再算加減法即可．【詳解】解：故答案為：1．【變式5-3】計(jì)算：(1)(2)【答案】(1)4(2)【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，整式的加法，乘法運(yùn)算，完全平方公式，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．（1）利用負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，有理數(shù)的乘方，零指數(shù)冪分別計(jì)算，再進(jìn)行加減運(yùn)算；（2）利用完全平方公式展開(kāi)，單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式計(jì)算，最后再合并同類(lèi)項(xiàng)．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式．考點(diǎn)六：程序下的運(yùn)算例6.有一個(gè)數(shù)值轉(zhuǎn)換器，原理如圖所示，當(dāng)輸入的的值為時(shí)，輸出的值是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了與流程圖有關(guān)的實(shí)數(shù)運(yùn)算、求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根、無(wú)理數(shù)的概念．先將輸入，求出算術(shù)平方根，若結(jié)果是無(wú)理數(shù)則輸出，若結(jié)果是有理數(shù)，則將有理數(shù)輸入，直到求出的算術(shù)平方根是無(wú)理數(shù)為止．【詳解】解：輸入的的值為時(shí)，；∵是有理數(shù)，∴將輸入，輸出的是無(wú)理數(shù)，故輸出．故選：B．【變式6-1】按如圖所示的程序計(jì)算，若開(kāi)始輸入的n值為，則最后輸出的結(jié)果是（

）A．24 B． C．25 D．【答案】B【分析】本題以程序計(jì)算考查實(shí)數(shù)的運(yùn)算，將代入計(jì)算，再判斷即可．【詳解】解：將代入計(jì)算，第一次：，進(jìn)行第二次計(jì)算，第二次：，∴輸出結(jié)果，故選：B．【變式6-2】按如圖所示的程序計(jì)算，若開(kāi)始輸入的值為25，則最后輸出的y值是．【答案】【分析】本題考查實(shí)數(shù)的分類(lèi)及運(yùn)算．根據(jù)已知判斷每一步輸出結(jié)果即可得到答案．【詳解】解：由所示的程序可得：25的算術(shù)平方根是5，5是有理數(shù)，再取5的平方根，是無(wú)理數(shù)，輸出為y，∴開(kāi)始輸入的x值為25，則最后輸出的y值是．故答案為：．【變式6-3】如圖1，有一個(gè)底面積為，高為的圓柱魔方，現(xiàn)打算把它放進(jìn)一個(gè)如圖2的底面正方形邊長(zhǎng)為，高為的長(zhǎng)方體的盒子里．(1)這個(gè)魔方底面圓的直徑是多少？(2)它能放進(jìn)去嗎？為什么？【答案】(1)這個(gè)魔方底面圓的直徑為(2)能放進(jìn)去，理由見(jiàn)解析【分析】本題考查了圓的計(jì)算和圓柱體的計(jì)算，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)圓的面積公式求解即可；（2）分別比較圓的直徑和長(zhǎng)方體底面邊長(zhǎng)，圓柱的高和長(zhǎng)方體的高，即可判斷，【詳解】（1）設(shè)這個(gè)魔方底面圓的半徑為，根據(jù)半徑與面積的關(guān)系得，，，∴直徑為，答：這個(gè)魔方底面圓的直徑為；（2）能放進(jìn)去．理由如下：∵∴，∴，又∵，即魔方底面圓的直徑小于長(zhǎng)方體盒子底面的邊長(zhǎng)，且高小于長(zhǎng)方體的高，所以能放進(jìn)去．1．下列各數(shù)中，最小的數(shù)是（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的大小比較，正數(shù)大于0，負(fù)數(shù)小于0，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)，兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而?。鶕?jù)實(shí)數(shù)的大小比較方法解答即可.【詳解】解：∵，∴，∴最小的數(shù)為．故選：A．2．公元前年，古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的希伯索斯發(fā)現(xiàn)了邊長(zhǎng)為的正方形的對(duì)角線長(zhǎng)不能用有理數(shù)表示，為了紀(jì)念他，人們把這些數(shù)取名為無(wú)理數(shù)．下列各數(shù)中，屬于無(wú)理數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)無(wú)理數(shù)的定義，判斷每個(gè)選項(xiàng)是否符合無(wú)限不循環(huán)小數(shù)的特征即可解答．本題考查了無(wú)理數(shù)的定義，理解無(wú)理數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵是有限小數(shù)，∴是有理數(shù)，∴項(xiàng)不符合題意；∵是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，∴是無(wú)理數(shù)，∴項(xiàng)符合題意；∵是分?jǐn)?shù)，屬于有理數(shù)，不是無(wú)理數(shù)，∴項(xiàng)不符合題意；∵，屬于有理數(shù)，不是無(wú)理數(shù)，∴是有理數(shù)，∴項(xiàng)不符合題意；故選．3．如圖，在數(shù)軸上與表示的點(diǎn)距離最近的點(diǎn)是（

）A．A點(diǎn) B．B點(diǎn) C．C點(diǎn) D．D點(diǎn)【答案】C【分析】此題考查了無(wú)理數(shù)大小的估計(jì)，實(shí)數(shù)與數(shù)軸，解題的關(guān)鍵正確估算出無(wú)理數(shù)的大?。浪愠鰺o(wú)理數(shù)的大小，然后結(jié)合數(shù)軸即可求解．【詳解】解：，，點(diǎn)與表示的點(diǎn)距離最近，符合題意．故選：C．4．我們定義：若一個(gè)三角形的兩個(gè)內(nèi)角與，滿(mǎn)足，則這樣的三角形稱(chēng)為“奇妙互余三角形”．已知是“奇妙互余三角形”，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了新定義和三角形內(nèi)角和定理理解新定義是解題的關(guān)鍵．通過(guò)和三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)．【詳解】解∶是“奇妙互余三角形”，，，故選∶B．5．已知三角形的兩邊長(zhǎng)分別為，第三邊長(zhǎng)為，若為整數(shù)，則的值不可能為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】本題考查無(wú)理數(shù)的估算，三角形三邊關(guān)系：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．根據(jù)三角形三邊關(guān)系：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，再估算出第三邊的范圍，結(jié)合整數(shù)直接求解即可得到答案．【詳解】解：由題意可得，設(shè)第三邊為x，即，∵，即∴，∵第三條邊長(zhǎng)為整數(shù)，∴x可能為：2，3，4，則第三邊長(zhǎng)不可能為1，故選：A6．用※定義一種新運(yùn)算：對(duì)于任意實(shí)數(shù)和，規(guī)定，如：．則的結(jié)果是（

）A．9 B．11 C．13 D．15【答案】B【分析】本題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算，理解新定義的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．根據(jù)定義的新運(yùn)算發(fā)展進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：由題意得：．故選：B．7．如果，表示的整數(shù)部分，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，則，，即，由，可得，則答案可得．【詳解】解：設(shè)，則，∴，∴，即，∵，∴，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了立方和公式，關(guān)鍵是進(jìn)行合理的變形，難度較大．8．觀察下列等式：，，，…將以上等式相加得到．用上述方法計(jì)算：其結(jié)果為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由上述規(guī)律可知，，，，同理，然后將各式相加后即可求解．【詳解】由題意可知：=．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是實(shí)數(shù)的計(jì)算規(guī)律，此題為積化和差題型，有一定的難度，弄明白了計(jì)算規(guī)律就容易求解．能夠理解題意，看懂運(yùn)算規(guī)律，并能運(yùn)用規(guī)律求解是前提，解決此類(lèi)題型的關(guān)鍵是會(huì)裂項(xiàng)相消．9．在實(shí)數(shù)，，，中，最小的無(wú)理數(shù)是．【答案】【分析】根據(jù)無(wú)理數(shù)的定義及實(shí)數(shù)大小比較的法則即可解答．本題考查了無(wú)理數(shù)的定義，實(shí)數(shù)大小比較的法則，理解無(wú)理數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵是有理數(shù)，，，∴，∵與是有理數(shù)，與是無(wú)理數(shù)，∴最小的無(wú)理數(shù)是，故答案為．10．、為兩個(gè)連續(xù)的整數(shù)，，則．【答案】7【分析】本題考查了無(wú)理數(shù)的估算，結(jié)合，、為兩個(gè)連續(xù)的整數(shù)，可得，，問(wèn)題即可作答．【詳解】，，，∵、為兩個(gè)連續(xù)的整數(shù)，，，，故答案為：．11．寫(xiě)出比大且比小的整數(shù)是．【答案】2【分析】此題主要考查了估算無(wú)理數(shù)大小，直接利用，接近的整數(shù)是2，進(jìn)而得出答案，正確得出無(wú)理數(shù)接近的有理數(shù)是解題關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)這個(gè)數(shù)為，，為整數(shù)，且，．故答案為：2．12．用“@”表示一種新運(yùn)算；對(duì)于任意正實(shí)數(shù)a，b，都有，如，則的結(jié)果是．【答案】3【分析】原式利用題中的新定義計(jì)算即可求出值．此題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．【詳解】解：根據(jù)題中的新定義得：．故答案為：3．13．已知，則的整數(shù)部分為．【答案】2【分析】本題主要考查非負(fù)數(shù)的性質(zhì)和無(wú)理數(shù)的估算，先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得出的值，再求出的整數(shù)部分即可．【詳解】解：∵，且，∵解得，∴，∵∴∴的整數(shù)部分為2，故答案為：2．14．已知是的整數(shù)部分，，其中是整數(shù)，且，那么以為兩邊的直角三角形的第三邊的長(zhǎng)度是．【答案】或【分析】本題考查無(wú)理數(shù)的整數(shù)部分、勾股定理等知識(shí)，由題中條件，分別得到、，分類(lèi)討論，利用勾股定理求出以為兩邊的直角三角形的第三邊的長(zhǎng)度即可，熟記無(wú)理數(shù)估算及勾股定理是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【詳解】解：是的整數(shù)部分，，，，，，即，其中是整數(shù)，，，，當(dāng)為直角三角形的兩直角邊時(shí)，第三邊長(zhǎng)為；當(dāng)為直角三角形的直角邊、為直角三角形的斜邊時(shí)，第三邊長(zhǎng)為；綜上所述，以為兩邊的直角三角形的第三邊的長(zhǎng)度是或，故答案為：或．15．把下列各數(shù)填入相應(yīng)的大括號(hào)內(nèi)：有理數(shù)集合：；無(wú)理數(shù)集合：；正實(shí)數(shù)集合：；負(fù)實(shí)數(shù)集合：．【答案