一卷練透01+導(dǎo)數(shù)的幾何意義（切線問題）（解析版）

一卷練透01導(dǎo)數(shù)的幾何意義（切線問題）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要12023下·北京·高二北京市第二十五中學(xué)?？计谥校┣€y=2x2+1在點(diǎn)P(-1,3)處的切線方程為()A．y=-4x-1B．y=-4x-7C．y=4x-1D．y=4x+7【答案】【答案】A【分析】求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得解.【詳解】求導(dǎo)函數(shù)y,=4x，當(dāng)x=-1時(shí)，y,=4×(-1)=-4，:曲線y=2x2+1在點(diǎn)P(-1,3)處的切線方程為：y-3=-4(x+1)，即y=-4x-1.故選：A.22023下·四川成都·高二校聯(lián)考期中）函數(shù)f(x)=ex+x在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線斜率為2，則x0=()【答案】【答案】D【分析】先求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得答案.【詳解】∵f,(x)=ex+1，k=f,(x0)=ex+1=2，解得x0=0，3江蘇省無錫市四校2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)f(x)與g(x)的部分圖象如A．g,(-1)<0<f,(-1)B．0<f,(-1)<g,(-1)【答案】【答案】B【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義直接判斷.在區(qū)間[1,3]上，g(x)的圖象比f(x)的圖象更陡峭，所以f,(1)<g,(1)，f,(3)<故選：B.4北京市海淀區(qū)首都師范大學(xué)附屬中學(xué)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中練習(xí)數(shù)學(xué)試題）若直線l過原點(diǎn)，且與函數(shù)的圖像相切，則該直線的斜率為()【答案】【答案】B【分析】求導(dǎo)，由切點(diǎn)坐標(biāo)可得切線斜率，由點(diǎn)斜式即可得切線方程，代入坐標(biāo)原點(diǎn)即可求解x0=e，進(jìn)而可求斜率.因?yàn)樗栽O(shè)切點(diǎn)為所以，所以切線方程為又切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以解得x0=e，所以切線方程的斜率為5江西省部分學(xué)校2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期4月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知P為函數(shù)圖象上一點(diǎn)，則曲線y=f(x)在點(diǎn)P處的切線的斜率的最小值為()【答案】【答案】C【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得曲線在點(diǎn)P處的切線的斜率結(jié)合基本不等式計(jì)算即可求解.【詳解】f(x)的定義域?yàn)?0,+∞).故曲線故曲線y=f(x)在點(diǎn)P處的切線的斜率的最小值為2.6江蘇省鹽城中學(xué)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）若直線y=kx+b是曲線f(x)=lnx+2的切線，【答案】D【分析】設(shè)出兩個(gè)切點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得.將切點(diǎn)代入兩條曲線，聯(lián)立方程可分別求得k,x1,x2,代入其中一條曲線即可求得b的值，由此可求k一b.【詳解】直線y=kx+b是曲線y=lnx+2的切線,也是曲線y=ln(x+1)的切線,則兩個(gè)切點(diǎn)都在直線y=kx+b上,設(shè)兩個(gè)切點(diǎn)分別為(x1,kx1+b),(x2,kx2+b),則兩個(gè)曲線的導(dǎo)數(shù)分別為2且切點(diǎn)在各自曲線上,所以22③②可得k=21212故選：D.7浙江省杭州市第十四中學(xué)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期階段性測(cè)試（期中）數(shù)學(xué)試題）設(shè)對(duì)于曲線f(x)=exx上任一點(diǎn)處的切線l1，總存在曲線g(x)=3ax+2cosx上一點(diǎn)處的切線l2，使得l1丄l2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．|-1,B．|-,C．-,2),|D．|-,【答案】【答案】D【分析】由題設(shè)兩曲線任意一點(diǎn)切線斜率分別為f,(m)=-em-1、g,(n)=3a-2sinn，根據(jù)垂直關(guān)系及指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)的性質(zhì)確定f,(m)、g,(n)的范圍，進(jìn)而判斷包含關(guān)系，即可求參數(shù)范圍.【詳解】由f,(x)=-ex-1，則x=m的切線斜率為f,(m)=-em-1<-1，由g,(x)=3a-2sinx，則x=n的切線斜率為g,(n)=3a-2sinn，8福建省寧德市一級(jí)達(dá)標(biāo)校五校聯(lián)合體2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）懸鏈線是平面曲線，是柔性鏈條或纜索兩端固定在兩根支柱頂部，中間自然下垂所形成的外形如圖，在工程中（如懸索橋、雙曲拱橋、架空電纜）有廣泛的應(yīng)用.當(dāng)微積分尚未出現(xiàn)時(shí)，伽利略猜測(cè)這種形狀是拋物線，直到1691年萊布尼c(x-x)茲和伯努利利用微積分推導(dǎo)出懸鏈線的方程y=2(|ec+ecc(x-x)弦函數(shù)下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A．y=cosh(x)是偶函數(shù)C．y=cosh(x)曲線上任意一點(diǎn)切線的斜率均大于0D．y=cosh(x)曲線上任意一點(diǎn)函數(shù)值的平方與該點(diǎn)切線斜率的平方之差均為1【答案】【答案】C【分析】對(duì)于【分析】對(duì)于A：根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義分析判斷；對(duì)于B：求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可得值域；對(duì)于C：取特值x=0，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義分析判斷；對(duì)于D：根據(jù)原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的解析式分析判斷.所以y=cosh(x)是偶函數(shù)，故A正確；由題意可知因?yàn)閥=ex與y=-e-x在R上單調(diào)遞增，可知y=(cosh)'(x)在R上單調(diào)遞增，且(cosh)'(0)=0，則y=cosh(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，在(-∞,0)上單調(diào)遞減，當(dāng)x趨近于-∞,+∞,y=cosh(x)趨近于+∞,所以y=cosh(x)值域?yàn)閇1,所以y=cosh(x)曲線上任意一點(diǎn)函數(shù)值的平方與該點(diǎn)切線斜率的平方之差均為1，故D正確；二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9福建省福州市八縣（市）協(xié)作校2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）對(duì)于函數(shù)y=ex，以下直線方程是曲線y=ex的切線方程的有()A．y=x+1B．y=x-1【答案】【答案】AC【分析】設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義根據(jù)斜率的值可求出切點(diǎn)，從而可求切線方程.【詳解】設(shè)切點(diǎn)為P(x0,ex)，y'=ex，則切線的斜率k=ex，0=0，切點(diǎn)為P(0,1)，故切線方程為y=x+1，所以A正確，B錯(cuò)誤；0若則x0=1，切點(diǎn)為P(1,)，故切線方程為即故D錯(cuò)誤.故選：AC10廣西三新聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期5月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）牛頓在《流數(shù)法》一書中，給出了高次代數(shù)方程的一種數(shù)值解法——牛頓法．具體做法如下：如圖，設(shè)r是f(x)=0的根，首先選取x0作為r的初始近似值，在x=x0處作f(x)圖象的切線，切線與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)記作x1，稱x1是r的一次近似值，然后用x1替代x0重復(fù)上面的過程可得x2，稱x2是r的二次近似值；一直繼續(xù)下去，可得到一系列的數(shù)x0,x1,x2,…,xn,…在一定精確度下，用四舍五入法取值，當(dāng)xn—1,xn(n∈N*)近似值相等時(shí)，該值即作為函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn)r，若使用牛頓法求方程x2=3的近似解，可構(gòu)造函數(shù)f(x)=x2—3，則下列說法正確的是 A．若初始近似值為1，則一次近似值為3【答案】【答案】BD【分析】根據(jù)牛頓法，即可求切線方程，進(jìn)而得橫坐標(biāo)結(jié)合選項(xiàng)即可求解BD.【詳解】設(shè)【詳解】設(shè)f(x)=x2一3，f(x)的零點(diǎn)就是x2=3的解．所以x1若x0故選：BD11黑龍江省哈爾濱市第三中學(xué)校2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）若過點(diǎn)P(1,λ)可作3條直線與函數(shù)f(x)=(x1)ex的圖象相切，則實(shí)數(shù)λ可能是()【答案】【答案】BC，再構(gòu)造函數(shù)g(x)=ex(x22x+1)，將問題轉(zhuǎn)化為y=g(x)與y=λ的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，再數(shù)形結(jié)合求解即可．因?yàn)閒'(x)=xex，f'(x0)=x0ex，，所以令g(x)=ex(x22x+1)，則g'(x)=ex(x21)，所以，當(dāng)x<1或x>1時(shí)，g'(x)<當(dāng)1<x<1時(shí)，g,(x)>0，g(x)單調(diào)遞增，故當(dāng)x=1時(shí)，g(x)取極小值當(dāng)x=1時(shí)，g(x)取極大值g(1)=0，由g(x)=ex(x1)2，可知，當(dāng)x≠1時(shí)，g(x)<0，所以函數(shù)g(x)的圖象大致如圖，由圖可知，當(dāng)時(shí)，直線y=λ與函數(shù)g(x)的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)過點(diǎn)P(1,λ)可作3條直線與函數(shù)f(x)=(x—1)ex的圖象相切，由此可知，BC符合題意.故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12內(nèi)蒙古自治區(qū)赤峰市赤峰第四中學(xué)2020-2021學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（理）試題）曲線f(x)=3lnx—x2f,(1)在點(diǎn)(3,m)處的切線方程為．【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)將x=1代入求出f,(1)，確定解析式后，將點(diǎn)(3,m)代入解析式，求得m的值，然后根據(jù)切線方程公式解出結(jié)果.因?yàn)閒=3lnx—x2f,，所以，所以f,(1)=32f,(1)，解得f,(1)=1，所以f(x)=3lnxx2，所以曲線f(x)=3lnx—x2f,(1)在點(diǎn)(3,m)整理得整理得5x+y-3ln3-6=0.故答案為：5x+y-3ln3-6=013云南省綏江縣第一中學(xué)2020-2021學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（理）試題）設(shè)點(diǎn)P是曲線【分析】【分析】求出導(dǎo)數(shù)確定斜率的取值范圍，由此得傾斜角的范圍．2所以曲線上點(diǎn)所以曲線上點(diǎn)P處的切線的斜率的取值范圍為,+∞)，即tana≥,「「ππ)故答案為：故答案為：14陜西省西安市鐵一中學(xué)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中理科數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)f(x)=2+lnx,g(x)=a，若總存在兩條不同的直線與函數(shù)y=f(x),y=g(x)圖象均相切，則實(shí)數(shù)a的范【分析】將有兩條公切線轉(zhuǎn)化為h(x)=4(lnx+1)與直線y=a2有兩個(gè)不同交點(diǎn)，后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)x單調(diào)性與極值情況畫出大致圖象，即可得答案.【詳解】設(shè)切線在f(x)=2+lnx,g(x)=ax上的切點(diǎn)分別為(x1,y1),(x2,y2).因則切線方程可表示為均相切，等價(jià)于與直線y=a2有兩個(gè)不同交點(diǎn)令h,(x(x注意到x→→→→0，可得h大致圖象如下，則故答案為：(0,2)四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15廣西玉林市第十五中學(xué)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)y=xlnx.(1)求這個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；(2)求這個(gè)函數(shù)的圖像在點(diǎn)(1,0)處的切線方程.(2)xy1=0【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算可得；（2）求出切線的斜率，再利用點(diǎn)斜式計(jì)算可得.16河南省駐馬店市2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)f(x)=x+x4.(1)求曲線y=f(x)與直線2x+y—1=0垂直的切線方程；(2)若過點(diǎn)A(0,—3)的直線l與曲線y=f(x)相切，求直線l的斜率.(2)3或5【分析】（1）求出切線的斜率，再寫出切線方程；（2）根據(jù)切線的斜率與直線l的方程列方程組求解即可.所以又所以k=1+4m3=3或5.17河南名校聯(lián)盟2022-2023年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷）已知兩曲線f(x)=x3+ax和g(x)=x2+bx+c都經(jīng)過點(diǎn)P(1,2)，且在點(diǎn)P處有公切線．(1)求a,b,c的值；(2)設(shè)拋物線g(x)=x2+bx+c上一動(dòng)點(diǎn)M到直線y=3x—2的距離為d，求d的最小值．(2)340【分析】（【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)題意可得關(guān)于a,b,c的方程，解方程，即可求得答案；（2）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，即可求得答案.兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)分別是f,(x)=3x2+a，g,(x)=2x+b，則拋物線在點(diǎn)M處的切線斜率應(yīng)該與直線y=3x—2相同，則g,(x)=2x+2=3，解得，又因?yàn)辄c(diǎn)M在拋物線上，解得．所以最短距離即d的最小值為點(diǎn)M到直線y=3x—2的距離，代入點(diǎn)到直線的距離公式得即最短距離為即最短距離為18北京市海淀區(qū)清華大學(xué)附屬中學(xué)永豐學(xué)校2022~2023學(xué)年高二下學(xué)期期中調(diào)研數(shù)學(xué)試題）令f(x)=x2+x—1，對(duì)拋物線y=f(x)，持續(xù)實(shí)施下面牛頓切線法的步驟：在點(diǎn)(1,1)處作拋物線的切線交x軸于(x1,0)在點(diǎn)(x1,f(x1))處作拋物線的切線交x軸于(x2,0)在點(diǎn)(x2,f(x2))處作拋物線的切線交x軸于(x3,0)由此能得到一個(gè)數(shù)列{xn}，回答下列問題：(1)求x1的值23【答案】(1)23【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義和點(diǎn)斜式方程求解切線方程，然后令y=0即可求出結(jié)果．（