重科大熱工基礎(chǔ)課件第2章 熱量傳輸?shù)?2講 導(dǎo)熱的有限差分解法

第十二講:一、本課的基本要求：1.重點(diǎn)掌握有限差分法的基本概念、基本原理。2.掌握穩(wěn)定導(dǎo)熱的差分解法即會建立差分方程，了解差分方程的求解法。二、本課的重點(diǎn)、難點(diǎn)：1.本課的重點(diǎn)是有限差分法的基本概念、基本原理。2.本課的難點(diǎn)是差分方程的建立。第二章熱

量

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輸導(dǎo)熱的有限差分解法§2.6導(dǎo)熱的有限差分解法

2.6.1有限差分法的基本概念1.有限差分的原理

由微分學(xué)得知，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是函數(shù)的增量與自變量之比的極限，又稱為微商。

第二章熱

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輸

式中

t與

x為有限差分，

t/

x稱為有限差商。當(dāng)

x

時，差商的極限就是微商，當(dāng)

x為一有限小量時，差商就可看著是微商的近似，即

上式稱為向前差分，也可向后差分及中心差分，其表現(xiàn)形式分別為第二章熱

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輸同樣，函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)也可用二階差商來近似表示

用差商來近似表示微商必然引起誤差，誤差的大小可用泰勒級數(shù)展開式來估計。對于向前差分、向后差分為

x數(shù)量級，而中心差分是

x2的數(shù)量級。第二章熱

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輸2.差分網(wǎng)絡(luò)

用差商近似微商的差分法的實(shí)質(zhì)是把連續(xù)變化的變量離散化為不連續(xù)的階躍變化的過程。這種離散化的過程是有規(guī)律的，按一定的步長把連續(xù)變量離散化為不連續(xù)的階躍變化過程，稱為區(qū)域的網(wǎng)絡(luò)化。

一維不穩(wěn)定導(dǎo)熱：有空間變量x和時間變量

兩個自變量，溫度t是x和

的函數(shù)。見書上199頁圖2-6-2。二維穩(wěn)定導(dǎo)熱的空間網(wǎng)格圖見書上圖2-6-3。第二章熱

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輸2.6.2穩(wěn)定導(dǎo)熱的差分解法1.建立差分方程

二維穩(wěn)定導(dǎo)熱的導(dǎo)熱微分方程為：第二章熱

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輸?shù)诙聼?/p>

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輸又

x=

y上式稱為差分方程。

它表明：常物性穩(wěn)定導(dǎo)熱量可用溫度關(guān)系式表明，流向任一節(jié)點(diǎn)的熱量和恒等于零。第二章熱

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輸2.差分方程的求解(1)松弛法——又叫張弛法或余數(shù)調(diào)節(jié)法。其基本思路是通過假定各節(jié)點(diǎn)溫度的初始近似值，代入節(jié)點(diǎn)方程，比較并調(diào)節(jié)各方程的余數(shù)值，使之等于或接近零為止（這是因為穩(wěn)定導(dǎo)熱情況下，各節(jié)點(diǎn)熱量之和必為零）。具體步驟：1)視具體條件假定各節(jié)點(diǎn)溫度的第一近似值。第一近似值雖不影響最終結(jié)果，但假設(shè)得好可大大縮短計算時間。

第二章熱

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輸2)將第一近似值代入節(jié)點(diǎn)方程。一般而言，任何一個節(jié)點(diǎn)方程均不會等于零而是等于某一不為零的余數(shù)q*。3)調(diào)整余數(shù)最大的節(jié)點(diǎn)方程的有關(guān)溫度，使該方程q*為零。調(diào)整量為q*/4，則該方程q*為零。第二章熱

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輸5)比較調(diào)整后節(jié)點(diǎn)方程的余數(shù)，再按步驟3）調(diào)整余數(shù)最大的方程的有關(guān)溫度使其等于零6)如此反復(fù)，直到所有方程余數(shù)為零或接近零為止。

4)當(dāng)調(diào)整后，凡與該節(jié)點(diǎn)溫度有關(guān)的其他節(jié)點(diǎn)也要相應(yīng)改變，將調(diào)整后的溫度代入各節(jié)點(diǎn)方程將會出現(xiàn)新的余數(shù)。jit第二章熱

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輸(2)

迭代法

也即高斯——賽得爾迭代法，亦稱高斯迭代法。它是一種逐步逼近求線性代數(shù)方程組的方法，其步驟：1)根據(jù)假設(shè)的第一近似值代入方程式，逐次計算各節(jié)點(diǎn)的第二近似值。2)根據(jù)第二近似值代回原方程組，求各點(diǎn)的第三近似值。3)如此反復(fù)計算，直到連續(xù)兩次計算近似值中值差最大的一個小于預(yù)先給定的誤差為止。第二章熱

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