高一下學期期末質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學試卷（含解析）湖南省瀏陽市2023-2024學年

湖南省瀏陽市2023-2024學年高一下學期期末質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學試卷1．已知向量a=(1,2),b=(3,m)，若aA．?4 B．4 C．?6 D．62．復數(shù)z=2?iA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．邊長為2的正三角形的直觀圖的面積是（）A．64 B．62 C．324．已知圓錐的底面圓周在球O的球面上，頂點為球心O，圓錐的高為3，且圓錐的側(cè)面展開圖是一個半圓，則球O的表面積為（）A．24π B．36π C．48π D．64π5．下列說法正確的是（）①已知a,b,c為三條直線，若a,b異面，b,c異面，則a,c異面；②若a不平行于平面α，且a?α，則③兩兩相交且不公點的三條直線確定一個平面；④若△ABC在平面α外，它的三條邊所在的直線分別交α于P、Q、R，則P、Q、R，三點共線．A．①② B．③④ C．①③ D．②④6．已知某樣本的容量為50，平均數(shù)為70，方差為75.現(xiàn)發(fā)現(xiàn)在收集這些數(shù)據(jù)時，其中的兩個數(shù)據(jù)記錄有誤，一個錯將80記錄為60，另一個錯將70記錄為90.在對錯誤的數(shù)據(jù)進行更正后，重新求得樣本的平均數(shù)為x，方差為s2，則（）A．x=70,s2C．x=70,s27．如圖所示，已知點G是△ABC的重心，過點G作直線分別交AB,AC兩邊于M,N兩點，且AM=xAB，AN=yA．22+33 B．228．某工業(yè)園區(qū)有A、B、C共3個廠區(qū)，其中AB=63km，BC=10km，∠ABC=90°，現(xiàn)計劃在工業(yè)園區(qū)內(nèi)選擇P處建一倉庫，若∠APB=120°，則A．6km B．8km C．43km 9．給定一組數(shù)5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，則（）A．平均數(shù)為3 B．標準差為8C．眾數(shù)為2 D．85%分位數(shù)為510．有6個相同的小球，分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回地隨機取兩次，每次取1個球.用x表示第一次取到的小球的標號，用y表示第二次取到的小球的標號，記事件A：x+y為偶數(shù)，B：xy為偶數(shù)，C：x>2，則（）A．PB=34 B．C．A與C相互獨立 D．B與C相互獨立11．正多面體也稱柏拉圖立體（被譽為最有規(guī)律的立體結(jié)構(gòu)），是所有面都只由一種正多邊形構(gòu)成的多面體（各面都是全等的正多邊形）．數(shù)學家已經(jīng)證明世界上只存在五種柏拉圖立體，即正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體．已知一個正八面體ABCDEF的棱長都是2（如圖），則（）A．BE//平面ADFB．直線BC與平面BEDF所成的角為60°C．若點P為棱EB上的動點，則AP+CP的最小值為2D．若點P為棱EB上的動點，則三棱錐F?ADP的體積為定值412．如圖，某學校共有教師200人，按老年教師、中年教師、青年教師的比例用分層隨機抽樣的方法從中抽取一個60人的樣本，則被抽到的青年教師的人數(shù)為.13．拋兩枚質(zhì)地均勻的骰子，向上的點數(shù)分別為x，y，則x，y，3能夠構(gòu)成三角形三邊長的概率為.14．在△ABC中，點D,E分別在邊BC和邊AB上，且DC=2BD=2,BE=2AE,AD交CE于點P，設BC=a,BA=b.用a,b表示BP為；若M為15．一條東西方向的河流兩岸平行，河寬250m，河水的速度為向東23km/?.一艘小貨船準備從河的這一邊的碼頭A處出發(fā)，航行到位于河對岸B（AB與河的方向垂直）的正西方向并且與B相距250316．在一場娛樂晚會上，有5位民間歌手（1到5號）登臺演唱，由現(xiàn)場數(shù)百名觀眾投票選出最受歡迎歌手．各位觀眾須彼此獨立地在選票上選3名歌手，其中觀眾甲是1號歌手的歌迷，他必選1號，不選2號，另在3至5號中隨機選2名．觀眾乙和丙對5位歌手的演唱沒有偏愛，因此在1至5號中選3名歌手．（1）求觀眾甲選中3號歌手且觀眾乙未選中3號歌手的概率；（2）X表示3號歌手得到觀眾甲、乙、丙的票數(shù)之和，求“X≥2”的事件概率．17．為了落實習主席提出“綠水青山就是金山銀山”的環(huán)境治理要求，某市政府積極鼓勵居民節(jié)約用水.計劃調(diào)整居民生活用水收費方案，擬確定一個合理的月用水量標準x（噸），一位居民的月用水量不超過x的部分按平價收費，超出x的部分按議價收費.為了了解居民用水情況，通過抽樣，獲得了某年200位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照[0,1),[1,2),?,[8,9)分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其中0.4a=b.（1）求直方圖中a,b的值，并由頻率分布直方圖估計該市居民用水的平均數(shù)（每組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值作為代表）；（2）設該市有40萬居民，估計全市居民中月均用水量不低于2噸的人數(shù)；（3）若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過標準x（噸），估計x的值.18．如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是矩形，PA=AD=4，AB=2，PA⊥平面ABCD，且M是PD的中點.（1）求證：AM⊥平面PCD；（2）求異面直線CD與BM所成角的正切值；（3）求直線CD與平面ACM所成角的正弦值.19．任意一個復數(shù)z的代數(shù)形式都可寫成復數(shù)三角形式，即z=a+bi=rcosθ+isinθ，其中i為虛數(shù)單位，r=z=a2+b2≥0,θ∈（1）試將z=3?3（2）試應用復數(shù)乘方公式推導三倍角公式：sin3θ=3sinθ?4sin（3）計算：cos4

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：由向量a=(1,2),b=(3,m)因為a⊥(a+b)故答案為：A.【分析】根據(jù)題意結(jié)合向量垂直的坐標表示，從而列出方程得出實數(shù)m的值.2．【答案】D【解析】【解答】解：z=2?i1+i=故答案為：D.【分析】根據(jù)復數(shù)代數(shù)形式的除法運算求z，再結(jié)合復數(shù)的幾何意義判斷即可.3．【答案】A【解析】【解答】解：易知正三角形的面積為：S=3則直觀圖的面積為：3×故答案為：A.【分析】先求正三角形的面積，再由直觀圖和原圖的面積比為2:44．【答案】C【解析】【解答】解：設圓錐的底面半徑為r，因為圓錐的高為3，所以圓錐母線長l=3又因為圓錐的側(cè)面展開圖是一個半圓，所以πrl=12π即2r=9+r2，解得r=故球O的表面積為S表故答案為：C.【分析】設出圓錐的底面半徑，結(jié)合圓錐底面半徑、母線及高的關(guān)系與側(cè)面面積計算即可得其母線長，再結(jié)合球的表面積計算公式計算即可.5．【答案】B【解析】【解答】解：①、直線a、b異面，b、c異面，則a、c可能平行、相交或異面，故①錯誤；②、易知a與α相交，設a∩α=P，在α內(nèi)過點P的直線l與a共面，故②錯誤；③、兩條相交直線確定一個平面，第三條直線與前面兩條直線的交點在此平面內(nèi)，故③正確；④、設平面α∩平面ABC=l，因為P∈α,P∈平面ABC，所以P∈l，同理Q∈l,R∈l，故P、Q、R三點共線，故④正確.故答案為：B．

【分析】利用空間中直線、平面的位置關(guān)系逐項判斷即可.6．【答案】A【解析】【解答】解：由題意可知：更正后樣本的均值為x=設收集的48個準確數(shù)據(jù)分別記為x1則75==1s=150x故答案為：A．【分析】根據(jù)平均數(shù)、方差公式計算即可.7．【答案】A【解析】【解答】解：點G是△ABC的重心，則AG?因為AM?=xAB又因為M,G,N三點共線，所以13x+13y當且僅當2x3y=y3x，即x=2+26故答案為：A.【分析】利用重心的性質(zhì)結(jié)合平面向量共線定理得到13x8．【答案】B【解析】【解答】解：法一：設∠BAP=θ，0°<θ<60°，則∠ABP=60°?θ，∠PBC=90°?60°?θ在△BAP中，由正弦定理BPsin∠BAP=ABsin∠APB，在△PBC中，

C=144=144=144=264=232?1211cos2θ+5所以，當2θ+φ=90°時CP2min=232?12×14=64，

所以法二：如圖，因為∠APB=120°，

所以點P在如圖所示的圓O上，則圓O的直徑為R=1由圓周角的性質(zhì)可得∠ADB=180°?120°=60°，

所以∠AOB=120°，∠OBA=30°．連接OC，可得OP+CP≥OC（當P為OC與圓O的交點時取等號），在△OBC中，OB=6，BC=10，∠OBC=120°，根據(jù)余弦定理可知OC即OC=14，所以CP的最小值為14?6=8km故答案為：B.

【分析】設∠BAP=θ，0°<θ<60°，利用正弦定理得到BP=12sinθ，在△PBC中利用余弦定理得到CP2，再由三角恒等變換公式和三角函數(shù)的性質(zhì)，從而求出9．【答案】A,D【解析】【解答】解：由平均數(shù)的計算公式，可得x=由方程的公式，可得s2所以標準差為85由眾數(shù)的定義，可得數(shù)據(jù)的眾數(shù)為2和3，所以C錯誤；將數(shù)據(jù)從小到大排序得1，2，2，2，3，3，3，4，5，5，可得i=10×85%所以第85百分位數(shù)為5，所以D正確.故答案為：AD.【分析】根據(jù)平均數(shù)、方差、眾數(shù)和百分位數(shù)的概念與計算方法，逐項判定，從而找出正確的選項.10．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：A、由題意，可得PBB、PA=3則PA?PB=1C、PC=4則PA?PC=1D、PBC則PB?PC=3故答案為：ACD.【分析】由題意，根據(jù)獨立事件乘法公式計算即可判斷A；根據(jù)相互獨立事件定義，分別計算出PA、PB、PAB11．【答案】A,C【解析】【解答】解：A、連接BD,EF，如圖所示：

由正八面體ABCDEF的性質(zhì)可知，EF⊥平面ABCD，

且EF,BD相交于點O，O為BD和EF的中點，因為BE=DE=BF=DF=2，所以四邊形BFDE為菱形，所以BE//DF，又因為DF?平面ADF，BE?平面ADF，所以BE//平面ADF，故A正確；B、連接AC，如圖所示：

則AC,BD相交于點O，因為四邊形ABCD為正方體，所示AC⊥BD，由A選項，同理可得四邊形AECF為菱形，故AC⊥EF，又因為BD∩EF=O，BD,EF?平面BEDF，所以AC⊥平面BEDF，即直線BC與平面BEDF所成的角為∠CBO，由題意得BD=AB2+AD2=2C、由題意得，AP=CP，故只需AP最小，在等邊三角形ABE中，當P為BE的中點時，AP⊥BE，此時AP最小，且AP=3，故若點P為棱EB上的動點，則AP+CP的最小值為2D、VF?ADP=VA?FDP，其中A到平面設菱形BFDE的面積為S，則S=12BD?EF=若點P為棱EB上的動點，則三棱錐F?ADP的體積為定值13故答案為：AC.【分析】由對稱性可得四邊形BFDE為菱形，故BE//DF，從而得到線面平行即可判斷A；作出輔助線，得到直線BC與平面BEDF所成的角為∠CBO，求出邊長，得到夾角即可判斷B；AP=CP，故只需AP最小，當P為BE的中點時，AP⊥BE，此時AP最小，且AP=3，從而求出AP+CP的最小值即可判斷C；等體積法得到三棱錐F?ADP的體積為定值212．【答案】18???????【解析】【解答】解：易知青年教師的比例為30%，則青年教師被抽出的人數(shù)為60×30故答案為：18.【分析】根據(jù)青年教師的比例計算即可．13．【答案】7【解析】【解答】解：易知拋兩枚骰子，共有36種結(jié)果，

因為x，y，3構(gòu)成三角形的三邊長，所以|x?y|<3<x+y，當x=y，有5種情況：x=2,3,4,5,6；當x<y（x>y的情況只需x與y互換即可，即兩種情況相同）時，x=1,y=3；x=2，y=3,4；x=3，y=4,5；x=4，y=5,6；x=5，y=6，

共有5+2×8=21（種）情況，則所求概率為P=21故答案為：712【分析】由題意，利用列舉法、結(jié)合古典概型概率公式計算即可.14．【答案】BP=1【解析】【解答】解：如圖所示：

因為DC=2BD，BE=2AE，所以BD=13BC設DP=λDA，

=1設EP=μEC=2由平面向量基本定理得，1?λ3=μλ=則BP=以B為原點，BC所在直線為x軸，垂直于BC方向為y軸，建立平面直角坐標系，如圖所示：

則B(0,0),C(3,0),D(1,0)，因為∠ECB=30°，所以直線CE的斜率為所以直線CE的方程為：y=?3設點M的坐標為(a,3?BM=(a,3?則BM?當a=98時，BM?故答案為：BP=17【分析】利用向量的線性運算及平面向量的基本定理求解即可；以B為原點，建立平面直角坐標系，由∠ECB=30°，得直線CE的斜率，求得直線CE的方程，再由點M在直線CE上，設點M的坐標(a,315．【答案】由題意，作出圖形，如圖所示：

易知AB=250m=0.250km,BC=2503m=3則∠CAB=60°，即合速度的方向與水流的方向成150°的角，設小貨船的速度為v1，水流速度為v2，合速度為v，則v1則小船航行速度的大小為221【解析】【分析】由題意，作出圖形，利用直角三角形結(jié)合余弦定理求解即可．16．【答案】解：（1）設A表示事件“觀眾甲選中3號歌手”，B表示事件“觀眾乙選中3號歌手”則PA=C21C32=23，PB=C42C53=35

∵事件A與B相互獨立，A與B相互獨立

則AB表示事件“甲選中3號歌手，且乙沒選中3號歌手”

∴PAB=PA?PB=PA?1?PB=23×25=415

即觀眾甲選中3號歌手且觀眾乙未選中【解析】【分析】（1）根據(jù)古典概型計算公式（一個事件的概率等于該事件包含的基本事件數(shù)除以樣本空間中所有可能的基本事件數(shù)）分別求出甲、乙選中3號歌手的概率；利用PAB=PA?PB求得結(jié)果；

（2）根據(jù)17．【答案】（1）解：由頻率分布直方圖各矩形面積和為1，可得0.04+0.08+a+0.20+0.26+a+b+0.04+0.02=1，因為0.4a=b，所以a=0.15，b=0.06，則該市居民用水的平均數(shù)估計為：x=0.5×0.04+1.5×0.08+2.5×0.15+3.5×0.20+4.5×0.26

+5.5×0.15+6.5×0.06+7.5×0.04+8.5×0.02=4.07（2）解：由頻率分布直方圖可得：月均用水量不超過2噸的頻率為：0.04+0.08=0.12，則月均用水量不低于2噸的頻率為：1?0.12=0.88，即全市40萬居民中月均用水量不低于2噸的人數(shù)為：40×0.88=35.2（萬）；（3）解：由頻率分布直方圖知月均用水量不超過6噸的頻率為：0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.88，月均用水量不超過5噸的頻率為：0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73，則85%的居民每月的用水量不超過的標準x（噸），5<x<6，0.73+0.15(x?5)=0.85，解得x=5.8，即標準為5.8噸.【解析】【分析】（1）由頻率分布直方圖各矩形面積和為1以及0.4a=b列方程組求得a,b的值，并由頻率分布直方圖中間值作為代表，計算平均數(shù)即可；（2）計算不低于2噸人數(shù)對應的頻率，求出對應的人數(shù)即可；（3）由頻率分布直方圖計算頻率，可判斷5<x<6，再根據(jù)頻率列出方程，求x的值即可.（1）由頻率分布直方圖可得0.04+0.08+a+0.20+0.26+a+b+0.04+0.02=1，又0.4a=b，則a=0.15，b=0.06，該市居民用水的平均數(shù)估計為：x=0.5×0.04+1.5×0.08+2.5×0.15+3.5×0.20+4.5×0.26+5.5×0.15+6.5×0.06+7.5×0.04+8.5×0.02=4.07（2）由頻率分布直方圖可得，月均用水量不超過2噸的頻率為：0.04+0.08=0.12，則月均用水量不低于2噸的頻率為：1?0.12=0.88，所以全市40萬居民中月均用水量不低于2噸的人數(shù)為：40×0.88=35.2（萬）；（3）由頻率分布直方圖知月均用水量不超過6噸的頻率為：0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.88，月均用水量不超過5噸的頻率為：0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73，則85%的居民每月的用水量不超過的標準x（噸），5<x<6，∴0.73+0.15(x?5)=0.85，解得x=5.8，即標準為5.8噸.18．【答案】（1）證明：在四棱錐P?ABCD中，因為PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，所以PA⊥CD，

又因為底面ABCD是矩形，所以CD⊥DA，

因為DA∩PA=A，所以CD⊥平面PAD，

因為AM?平面PAD，所以CD⊥AM，

又因為M是PD的中點，PA=AD=4，所以AM⊥PD，

又因為CD∩PD=D，所以AM⊥平面PCD；（2）解：因為底面ABCD是矩形，所以CD//BA，則異面直線CD與BM所成角即為直線BA與直線BM所成的角，

由（1）得CD⊥平面PAD，則BA平面PAD，

因為AM?平面PAD，所以BA⊥AM，所以△BAM為直角三角形，

又因為M是PD的中點，PA=AD=4，所以AM=22，

在Rt△BAM中，∠ABM即為異面直線CD與BM所成角，tan∠ABM=AMAB=2，

即異面直線（3）解：取AD中點為N，連接MN，AC，如圖所示：

在△PAD中，M,N分別為線段PD,AD的中點，故MN//PA,MN=12PA=2，

因為PA⊥平面ABCD，所以MN⊥平面ABCD，

所以VM?ACD=13×MN×12×AD×CD=83，

由（1）得AM⊥平面PCD，因為MC?平面PCD，所以AM⊥MC，

因為PA=AD=4，所以PD=42,MD=22，又因為AB=CD=2，所以MC=23，

所以S△AMC=12×AM×MC=26，

設點D到平面AMC的距離為?，直線CD與平面【解析】【分析】（1）利用線面垂直的判定定理證明CD⊥平面PAD，證明CD⊥AM，再利用線面垂直的判定定理證明即可；（2）根據(jù)題意可得異面直線CD與BM所成角即為直線BA與直線BM所成的角，利用線面垂直可證△BAM為直角三角形，求∠ABM的正切值即可；（3）利用等體積法求解點D到平面AMC的距離?，直線CD與平面ACM所成角為θ，sinθ=?CD，再求解直線CD（1）解：∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD，又四邊形ABCD是矩形，∴CD⊥DA，∵DA∩PA=A，∴CD⊥平面PAD，∵AM?平面PAD，∴CD⊥AM，又M是PD的中點，PA=AD=4，∴AM⊥PD，∵CD∩