求極限lim的題庫(kù)及答案

求極限lim的題庫(kù)及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=$（）A.0B.1C.不存在D.∞2.$\lim_{x\to\infty}\frac{3x+1}{2x-1}=$（）A.0B.$\frac{3}{2}$C.1D.∞3.若$\lim_{x\toa}f(x)=A$，則$f(a)$（）A.等于AB.不等于AC.不一定有定義D.以上都不對(duì)4.$\lim_{x\to0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=$（）A.eB.1C.0D.∞5.當(dāng)$x\to0$時(shí)，$x^2$是比$x$（）A.高階無(wú)窮小B.低階無(wú)窮小C.同階無(wú)窮小D.等價(jià)無(wú)窮小6.$\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}=$（）A.0B.1C.2D.不存在7.若$\lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}f(x)=A$，則$\lim_{x\to\infty}f(x)$（）A.等于AB.不等于AC.不存在D.以上都不對(duì)8.$\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=$（）A.0B.1C.eD.∞9.當(dāng)$x\to\infty$時(shí)，$\frac{1}{x}$是（）A.無(wú)窮大量B.無(wú)窮小量C.有界變量D.無(wú)界變量10.$\lim_{x\to0}\frac{\tanx}{x}=$（）A.0B.1C.2D.不存在二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列極限存在的是（）A.$\lim_{x\to0}\frac{1}{x}$B.$\lim_{x\to0}\sinx$C.$\lim_{x\to\infty}\cosx$D.$\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^2}$2.當(dāng)$x\to0$時(shí)，與$x$等價(jià)無(wú)窮小的有（）A.$\sinx$B.$\tanx$C.$e^x-1$D.$\ln(1+x)$3.極限運(yùn)算的法則有（）A.$\lim_{x\toa}[f(x)+g(x)]=\lim_{x\toa}f(x)+\lim_{x\toa}g(x)$B.$\lim_{x\toa}[f(x)g(x)]=\lim_{x\toa}f(x)\cdot\lim_{x\toa}g(x)$C.$\lim_{x\toa}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim_{x\toa}f(x)}{\lim_{x\toa}g(x)}(\lim_{x\toa}g(x)\neq0)$D.$\lim_{x\toa}kf(x)=k\lim_{x\toa}f(x)$（$k$為常數(shù)）4.下列說(shuō)法正確的是（）A.無(wú)窮小量乘以有界變量還是無(wú)窮小量B.無(wú)窮大量乘以無(wú)窮大量是無(wú)窮大量C.無(wú)窮小量與無(wú)窮大量互為倒數(shù)D.兩個(gè)無(wú)窮小量的和還是無(wú)窮小量5.求極限的方法有（）A.直接代入法B.約去零因子法C.等價(jià)無(wú)窮小替換法D.洛必達(dá)法則6.當(dāng)$x\to\infty$時(shí)，以下極限為0的有（）A.$\frac{1}{x^3}$B.$\frac{\sinx}{x}$C.$\frac{1}{x+1}$D.$\frac{x}{x^2+1}$7.下列極限值為1的是（）A.$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}$B.$\lim_{x\to0}(1+x)^{\frac{1}{x}}$C.$\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}$D.$\lim_{x\to0}\frac{\tanx}{x}$8.極限$\lim_{x\toa}f(x)$存在的充要條件是（）A.$\lim_{x\toa^+}f(x)$存在B.$\lim_{x\toa^-}f(x)$存在C.$\lim_{x\toa^+}f(x)=\lim_{x\toa^-}f(x)$D.$f(a)$有定義9.當(dāng)$x\to0$時(shí)，下列哪些是無(wú)窮小量（）A.$x^2$B.$1-\cosx$C.$x\sin\frac{1}{x}$D.$\frac{1}{x}$10.關(guān)于極限$\lim_{x\to\infty}\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}$（$P_n(x)$是$n$次多項(xiàng)式，$Q_m(x)$是$m$次多項(xiàng)式），說(shuō)法正確的是（）A.當(dāng)$n\ltm$時(shí)，極限為0B.當(dāng)$n=m$時(shí)，極限為最高次項(xiàng)系數(shù)之比C.當(dāng)$n\gtm$時(shí)，極限為∞D(zhuǎn).以上情況都有可能三、判斷題（每題2分，共10題）1.無(wú)窮小量就是0。（）2.若$\lim_{x\toa}f(x)$存在，$\lim_{x\toa}g(x)$不存在，則$\lim_{x\toa}[f(x)+g(x)]$不存在。（）3.當(dāng)$x\to0$時(shí)，$x^3$是比$x^2$高階的無(wú)窮小。（）4.$\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^{2x}=e$。（）5.函數(shù)在某點(diǎn)有極限則在該點(diǎn)一定連續(xù)。（）6.無(wú)窮大量與無(wú)窮大量的和還是無(wú)窮大量。（）7.若$\lim_{x\toa}f(x)=0$，$\lim_{x\toa}g(x)=0$，則$\lim_{x\toa}\frac{f(x)}{g(x)}$一定存在。（）8.當(dāng)$x\to0$時(shí)，$\sinx$與$x$是等價(jià)無(wú)窮小。（）9.極限$\lim_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}$不存在。（）10.用等價(jià)無(wú)窮小替換求極限時(shí)，可以在加減法中隨意替換。（）四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.簡(jiǎn)述等價(jià)無(wú)窮小替換的條件。答案：在求極限的乘除運(yùn)算中，當(dāng)自變量趨于某值時(shí)，函數(shù)中的無(wú)窮小量可用其等價(jià)無(wú)窮小替換。但在加減法運(yùn)算中，一般不能隨意替換，只有在替換后不改變?cè)綐O限值時(shí)才可使用。2.求極限$\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}$時(shí)如何運(yùn)用等價(jià)無(wú)窮小替換？答案：當(dāng)$x\to0$時(shí)，$\sin3x$與$3x$是等價(jià)無(wú)窮小。所以$\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}=\lim_{x\to0}\frac{3x}{x}=3$。3.說(shuō)明直接代入法求極限的適用情況。答案：當(dāng)函數(shù)在自變量趨近的值處有定義，且函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)時(shí)，可將自變量趨近的值直接代入函數(shù)表達(dá)式求極限。例如對(duì)于多項(xiàng)式函數(shù)求極限，大多可直接代入。4.簡(jiǎn)述洛必達(dá)法則使用的前提條件。答案：適用于$\frac{0}{0}$型或$\frac{\infty}{\infty}$型未定式。即求極限時(shí)，分子分母同時(shí)趨于0或者同時(shí)趨于無(wú)窮大，且在某去心鄰域內(nèi)分子分母都可導(dǎo)，分母導(dǎo)數(shù)不為0。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論等價(jià)無(wú)窮小在不同類型極限運(yùn)算中的應(yīng)用及注意事項(xiàng)。答案：在乘除極限運(yùn)算中，等價(jià)無(wú)窮小替換可簡(jiǎn)化計(jì)算。但在加減法中要謹(jǐn)慎，需保證替換后不影響極限值。比如$\lim_{x\to0}\frac{\sinx-x}{x^3}$，若在加減法中隨意用等價(jià)無(wú)窮小替換會(huì)出錯(cuò)，需用泰勒展開(kāi)等其他方法求解。2.探討無(wú)窮小量與無(wú)窮大量之間的關(guān)系，并舉例說(shuō)明。答案：在自變量的同一變化過(guò)程中，若$f(x)$為無(wú)窮大量，則$\frac{1}{f(x)}$為無(wú)窮小量；反之，若$f(x)$為無(wú)窮小量（$f(x)\neq0$），則$\frac{1}{f(x)}$為無(wú)窮大量。例如當(dāng)$x\to0$時(shí)，$x$是無(wú)窮小量，$\frac{1}{x}$是無(wú)窮大量。3.結(jié)合具體例子說(shuō)明求極限的多種方法如何綜合運(yùn)用。答案：如求$\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}$，可先約去零因子，得到$\lim_{x\to1}(x+1)$，再直接代入$x=1$得極限為2。又如$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x(1+x)}$，先利用等價(jià)無(wú)窮小$\sinx\simx$（$x\to0$），再直接代入計(jì)算得極限為1。4.討論極限在實(shí)際數(shù)學(xué)問(wèn)題和其他學(xué)科領(lǐng)域中的應(yīng)用。答案：在數(shù)學(xué)中，極限用于定義導(dǎo)數(shù)、定積分等概念。在物理中，可求瞬時(shí)速度、加速度等；在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域，可用于分析邊際成本、邊際收益等。例如求物體運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度，就是通過(guò)位移函數(shù)的極限來(lái)確定。答案一、單項(xiàng)選擇題1.B