2025秋初中數(shù)學(xué)九年級上冊（滬科版 安徽專用）上課課件 23.1 1.第1課時(shí) 正切

23.1銳角的三角函數(shù)1.銳角的三角函數(shù)第1課時(shí)正切

1.經(jīng)歷探索直角三角形中某銳角確定后其對邊與鄰邊的比值也

隨之確定的過程，理解正切的意義．2.能夠用正切值表示直角三角形中兩邊的比，表示生活中物體

的傾斜程度、坡度等，并能夠用正切進(jìn)行簡單計(jì)算．3.體驗(yàn)數(shù)形之間的聯(lián)系，進(jìn)一步學(xué)習(xí)利用數(shù)形結(jié)合的思想分析

問題和解決問題，提高解決實(shí)際問題的能力．4.引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動，探索與發(fā)現(xiàn)新知識，理解三角函數(shù)

與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系．汽車免不了爬坡，爬坡能力是衡量汽車性能的重要指標(biāo)之一．汽車的爬坡能力是指汽車在滿載時(shí)所能爬越的最大坡度．怎樣描述坡面的坡度(傾斜程度)呢？在下圖中，有兩個(gè)直角三角形，直角邊AC與A1C1表示水平面，斜邊AB與A1B1分別表示兩個(gè)不同的坡面．ABC10020A1B1C110030坡面A1B1比坡面AB更陡．坡面AB和A1B1哪個(gè)更陡？你是怎樣判斷的？12從圖中很容易看出∠A＜∠A1

，所以坡面A1B1比坡面AB更陡．還有其他的判斷方法嗎？因?yàn)锳C=A1C1，所以只要比較BC和B1C1的長度即可，BC＜

B1C1，所以坡面A1B1比坡面AB更陡．類似地，在下圖中，坡面AB和A1B1哪個(gè)更陡？你又是怎樣判斷的？ABC10030坡面A1B1比坡面AB更陡．因?yàn)锽C=

B1C1

，所以只要比較AC和A1C1的長度即可，

因?yàn)锳1C1＜AC

，所以坡面A1B1比坡面AB更陡．A1B1C18030再來看下圖中，坡面AB和A1B1哪個(gè)更陡？A1B1C18030ABC10020能否從前面的問題中得到一些啟示？水平寬度和垂直高度都不一樣水平長度相等，垂直高度不等．水平長度不等，垂直高度相等．坡面的垂直高度和水平寬度的比值越大，坡面就應(yīng)該越陡．再來看下圖中，坡面AB和A1B1哪個(gè)更陡？A1B1C18030ABC10020∵0.2＜0.375，∴坡面A1B1更陡．如圖，在銳角A的一邊任取一點(diǎn)B，過點(diǎn)B作另一邊的垂線BC，垂足為C，得到Rt△ABC；再任取一點(diǎn)B1，過點(diǎn)B1作另一邊的垂線B1C1，垂足為C1，得到另一個(gè)Rt△AB1C1……這樣，我們可以得到無數(shù)個(gè)直角三角形，在這些直角三角形中，銳角A的對邊與鄰邊之比

……有怎樣的關(guān)系？BCAB1C1B2C2試著測出這些對邊與鄰邊的長度，并計(jì)算出比值．你能證明這個(gè)結(jié)論嗎？BCAB1C1B2C2證明：∵∠ACB=∠AC1B1=90°，

∠A=∠A，∴Rt△ABC∽Rt△AB1C1．∴，即．

已知：如圖，在Rt△ABC、Rt△AB1C1和Rt△AB2C2中，∠ACB=∠AC1B1=∠AC2B2=90°．求證：．

同理可得，

．

∴

．

證明當(dāng)銳角A的大小確定后，無論直角三角形的大小怎樣變化，∠A的對邊與鄰邊的比值總是固定值．歸納如圖，在Rt△ABC中，我們把銳角A的對邊與鄰邊的比叫做∠A的正切(tangent)，記作tanA，即ABCca∠A的鄰邊b∠A的對邊斜邊歸納ABCca∠A的鄰邊b∠A的對邊斜邊

tanA是一個(gè)完整的符號，tanA不表示“tan”乘以“∠A”；它表示∠A的正切，記號里習(xí)慣省去角的符號“∠”，但當(dāng)用

三個(gè)字母表示角時(shí)，角的符號“∠”不能省略，如tan∠ABC；

tanA沒有單位，它表示一個(gè)比值，銳角A的對邊和鄰邊的比；初中階段僅研究直角三角形中，∠A是銳角的正切；將來遇到

銳角的正切問題，也必須放在直角三角形中去研究.1234注意

如圖，正切經(jīng)常用來描述坡面的坡度．坡面的鉛直高度h和水平長度l的比叫做坡面的坡度(或坡比)，記作i，即i=h∶lhl(坡度通常寫成h∶l的形式)．現(xiàn)在你會描述坡面的坡度了嗎？坡面與水平面的夾角叫做坡角(或稱傾斜角)，記作α，于是有α坡度(i=tan

α)越大，坡角α越大，坡面就越陡．交流典型例題分析根據(jù)正切的定義計(jì)算：【例】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，求tanA和tanB．ABC典型例題【例】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，

BC=3，求tanA和tanB．ABC43解：1.如圖所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，

AB=10，求tanB的值.ABC解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，

BC=6，AB=10，2.如圖所示，梯形護(hù)坡石壩的斜坡AB的坡度i＝1∶3，壩高BC＝2米，則斜坡AB的長是()

B

3.如圖所示，A，B，C三點(diǎn)在正方形網(wǎng)格線的交點(diǎn)處，網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1，若將△ACB繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△AC'B'，則tanB'的值為_______.

ABCC′B′銳角的正切問題，必須放在直角三角形中．正切正切：坡度