課時(shí)31562.3.1二次函數(shù)與一元二次方程不等式（第一課時(shí)）-2.3二次函數(shù)與一元二次不等

2.3.1二次函數(shù)與一元二次方程、不等式（第一課時(shí)）(人教A版普通高中教科書(shū)數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)第二章)羅湖高級(jí)中學(xué)朱叢云一、教學(xué)目標(biāo)1.從函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次方程會(huì)結(jié)合一元二次函數(shù)的圖象,判斷一元二次方程實(shí)根的存在性及實(shí)根的個(gè)數(shù)，了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系。2.從函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次不等式。經(jīng)歷從實(shí)際情景中抽象出一元二次不等式的過(guò)程，了解一元二次不等式的現(xiàn)實(shí)意義。能借助一元二次函數(shù)求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集。3.借助一元二次函數(shù)的圖象,了解一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的聯(lián)系。二、教學(xué)重難點(diǎn)1.判斷一元二次方程實(shí)根的存在性及實(shí)根的個(gè)數(shù)，了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系。2.能借助一元二次函數(shù)求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集。三、教學(xué)過(guò)程從函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次方程和一元二次不等式用函數(shù)理解方程和不等式是數(shù)學(xué)的基本思想方法。可以幫助學(xué)生用一元二次函數(shù)認(rèn)識(shí)一元二次方程和一元二次不等式。通過(guò)梳理初中數(shù)學(xué)的相關(guān)內(nèi)容,理解函數(shù)、方程和不等式之間的聯(lián)系，體會(huì)數(shù)學(xué)的整體性。1.一元二次不等式的概念1.1創(chuàng)設(shè)情境，引發(fā)思考二次函數(shù)與一元二次方程、不等式在初中,我們從一次函數(shù)的角度看一元一次方程、一元次不等式,發(fā)現(xiàn)了三者之間的內(nèi)在聯(lián)系,利用這種聯(lián)系可以更好地解決相關(guān)問(wèn)題對(duì)于二次函數(shù)、一元二次方程和一元二次不等式,是否也有這樣的聯(lián)系呢?【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)實(shí)際問(wèn)題，讓學(xué)生感受“求不等式”這樣的問(wèn)題是客觀存在的，是源于實(shí)際生活的.同時(shí)引發(fā)學(xué)生思考.1.2探究典例，形成概念問(wèn)題2：【數(shù)學(xué)情境】在初中，我們學(xué)習(xí)了從一次函數(shù)的觀點(diǎn)看一元二次方程、一元一次不等式的思想方法.類(lèi)似地，能否從二次函數(shù)的觀點(diǎn)看一元二次不等式，進(jìn)而得到一元二次不等式的求解方法呢？【活動(dòng)預(yù)設(shè)】通過(guò)圖象解決不等式求解問(wèn)題，分析二次函數(shù)與一元二次函數(shù)不等式之間的關(guān)系【設(shè)計(jì)意圖】從引例中的具體問(wèn)題入手，樹(shù)立學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，為推廣一元二次不等式求解做準(zhǔn)備。教師的講授：下面，我們先考察一元二次不等式與二次函數(shù)之間的關(guān)系.【設(shè)計(jì)意圖】從實(shí)例推廣到一元二次不等式的一般解法，引導(dǎo)學(xué)生從圖象的角度加深對(duì)一元二次不等式的理解，為下一個(gè)環(huán)節(jié)作鋪墊.教師的講授：判別式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2(x1<x2)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒(méi)有實(shí)數(shù)根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1，或x>x2}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a)))))Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}??問(wèn)題4：一元二次不等式與一元二次函數(shù)有什么關(guān)系？【活動(dòng)預(yù)設(shè)】根據(jù)圖表給出的信息追問(wèn)，讓學(xué)生關(guān)聯(lián)一元二次不等式和一元二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，關(guān)注他們之間的關(guān)系。一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集就是一元二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象在x軸上方的點(diǎn)的橫坐標(biāo)x的集合；ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集就是一元二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象在x軸下方的點(diǎn)的橫坐標(biāo)x的集合．【設(shè)計(jì)意圖】數(shù)形結(jié)合，讓學(xué)生從數(shù)和形兩個(gè)角度深刻地理解一元二次不等式和一元二次函數(shù)之間的關(guān)系。3.具體感知，理性分析問(wèn)題5：【數(shù)學(xué)情境】【活動(dòng)預(yù)設(shè)】根據(jù)圖象不同交點(diǎn)情況分析此時(shí)一元二次不等式的解集問(wèn)題6：【數(shù)學(xué)情境】對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)是負(fù)數(shù)的不等式，該怎樣求解呢？【活動(dòng)預(yù)設(shè)】求下列不等式的解集：(1)－2x2＋x－6<0；(2)－x2＋6x－9≥0；(1)原不等式可化為2x2－x＋6>0.因?yàn)榉匠?x2－x＋6＝0的判別式Δ＝(－1)2－4×2×6<0，所以函數(shù)y＝2x2－x＋6的圖象開(kāi)口向上，與x軸無(wú)交點(diǎn)(如圖所示)．觀察圖象可得，原不等式的解集為R.(2)原不等式可化為x2－6x＋9≤0，即(x－3)2≤0，函數(shù)y＝(x－3)2的圖象如圖所示，根據(jù)圖象可得，原不等式的解集為{x|x＝3}．(學(xué)生)反思感悟解一元二次不等式的一般步驟(1)將一元二次不等式化為一端為0的形式(習(xí)慣上二次項(xiàng)系數(shù)大于0)．(2)求出相應(yīng)一元二次方程的根，或判斷出方程沒(méi)有實(shí)根．(3)畫(huà)出相應(yīng)二次函數(shù)示意草圖，方程有根的將根標(biāo)在圖中．(4)觀察圖象中位于x軸上方或下方的部分，對(duì)比不等式中不等號(hào)的方向，寫(xiě)出解集．問(wèn)題7：含參數(shù)的不等式問(wèn)題如何求解？解關(guān)于x的不等式x2－(3a－1)x＋(2a2－2)>0.學(xué)生：原不等式可化為[x－(a＋1)][x－2(a－1)]>0，討論a＋1與2(a－1)的大?。?1)當(dāng)a＋1>2(a－1)，即a<3時(shí)，不等式的解為x>a＋1或x<2(a－1)．(2)當(dāng)a＋1＝2(a－1)，即a＝3時(shí)，不等式的解為x≠4.(3)當(dāng)a＋1<2(a－1)，即a>3時(shí)，不等式的解為x>2(a－1)或x<a＋1.綜上，當(dāng)a<3時(shí)，不等式的解集為{x|x>a＋1或x<2(a－1)}，當(dāng)a＝3時(shí)，不等式的解集為{x|x≠4}，當(dāng)a>3時(shí)，不等式的解集為{x|x>2(a－1)或x<a＋1}．【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)含參數(shù)不等式的求解，進(jìn)一步拓展學(xué)生的解一元二次不等式的嚴(yán)謹(jǐn)性訓(xùn)練，體會(huì)數(shù)學(xué)的分類(lèi)討論思想。問(wèn)題8：如果已經(jīng)知道不等式的解集，反過(guò)來(lái)求不等式是什么怎么辦？已知關(guān)于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集為{x|2<x<3}，求關(guān)于x的不等式cx2＋bx＋a<0的解集．學(xué)生：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集為{x|2<x<3}可知a<0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系可知eq\f(b,a)＝－5，eq\f(c,a)＝6.由a<0知c<0，eq\f(b,c)＝－eq\f(5,6)，故不等式cx2＋bx＋a<0，即x2＋eq\f(b,c)x＋eq\f(a,c)>0，即x2－eq\f(5,6)x＋eq\f(1,6)>0，解得x<eq\f(1,3)或x>eq\f(1,2)，所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<\f(1,3)或x>\f